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1.02的365次方公式

1.02的365次方公式

公式

1.02的365次方是1377.4,0.98的365次方是0.0006。每天比你努力一点的人,其实已经领先你很远了。

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构: 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程.... 就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ⑶难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 针对练习: 1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 典型例题: 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 针对练习: 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法 ⑵关键点:降次 类型一、直接开方法:()m x m m x ±=?≥=,02

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式:2 0 (0)ax bx c a ++=≠,a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 (也可以使用因式分解法) ①2 (0)x a a =≥ 解为:x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为:x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为:ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:()ax b cx d +=±+ (2)因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法 (3)公式法:一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为:222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时,右端是负数.因此,方程没有实根。 注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。 备注:公式法解方程的步骤: ①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:2 0 (0)ax bx c a ++=≠,并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-,并判断方程解的情况。 ③代公式:1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1:一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为: 1222b b x x a a -+-== 所以:12b x x a += +=-, 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定,求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式,配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.,因式分解,公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③ 整式方程.... 就是一元二次方程。 (2)一般表达式:)0(02≠=++a c bx ax 注:当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点:(1)只含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式,则这个方程就为一元二次方程. (4)将方程化为一般形式: 2 =++c bx ax 时,应满足(a≠0) (4)难点:如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题: 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

一元二次方程的解法—公式法

课题:1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式,明确运用公式求根的前提条件是b 2 -4ac ≥0. 【重点难点】 重点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程。 难点:掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读:阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠,方程两边都除以a ,得 把常数项移到方程右边,得 配方,得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ,2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中,若240b ac -≥< 0时,方程有实数根吗? 练一练: 1.方程4-x 2=3x 中a= ,b= ,c= , b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的,对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

(1) 当_____________时,它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式,利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 (2) 当_____________时,方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程: (1)22330 x x -+= (2)x x 2322=- (3)a a a =-+)2)(2(51 (4)23(1)y y += 例2.已知y 1=2x 2+7x -1,y 2=6x +2,当x 取何值时y 1=y 2? 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是( ) A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程: (1)2220x x +-=; (2)2 30x x -=

一元二次方程求根公式讲解学习

一元二次方程求根公 式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往 能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程 ;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若 配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑 运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才 能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3).

复系数一元二次方程求根公式教学浅议

复系数一元二次方程求根公式教学浅议 文/哈瀛东 在初中《代数》课本中,运用配方法推导了实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在Δ=b2-4ac≥0时的求根公式 在高中《代数》下册“复数”一章中,运用配方法推导出实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在Δ=b2-4ac<0时的求根公式 之后,结束了中学数学对一元二次方程求根公式的研究.由于中学数学未研究复系数一元二次方程的求根公式,学生在复数集中解一元二次方程方面未形成完整的知识框架;在解与复系数一元二次方程的根有关的问题时,往往用复数相等的定义解复系数一元二次方程,运算繁冗.教学中,学生也常常提出“实系数一元二次方程求根公式能否向复系数一元二次方程推广”,“是否存在复系数一元二次方程求根公式”等疑问.在多年的教学实践中,笔者认识到,在结束实系数一元二次方程求根公式的研究后,趁热打铁,安排一二个课时,以练习课的形式,引导学生推导复系数一元二次方程求根公式,明确实系数与复系数这两类一元二次方程求根公式的内在联系,在复数运算的复习中,使学生形成完整的认知结构,加深实数集扩展到复数集的合理性的理解,提高对实数集与复数集之间的辩证关系的认识.既有利于中学数学教学,又有利于学生智力的发展和创新能力的培养. 在具体教学时,笔者是这样安排的. 一、创设情境,激发求知欲 笔者对复数运算法则及实系数一元二次方程求根公式进行简单复习之后,让学生做练习: 1.求证:任一复数z的平方根都可表示成±u(u∈C)的形式. 解:设z=r(cosθ+isinθ),其平方根为 (其中n=0,1), 即 或 =- 命题成立. 2.解方程:x2+(2-i)x+1-i=0. 解:设x=a+bi(a,b∈R),代入方程并整理,得 a2-b2+2a+b+1+(2ab-a+2b-1)i=0. 由复数相等的定义,得 面对此二元二次方程组,学生束手无策,欲进无路,欲退不愿,企盼教师指点迷津. 二、适时点拨,引导学生探求新公式

一元二次方程求根公式

一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为. 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根.

二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为 要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元

一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法

一、 考点突破 1. 理解一元二次方程的定义、解,食+版& = 0 (在0), a 、b 、c 均为常数,尤其。不为零要切记。 2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法,如因 式分解法、公式法等,弄清化一元二次方程为一 元一次方程的转化思想。 二、 重难点提示 熟练掌握一元二次方程的几种解法。 一、知识结构 厂一元一次方程O 壬二元一次方程组 整式方程一 A 去分母 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是:降次。降次 的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式: 杯+Zxr + c = O 是常数,且 "0). 2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 降次 「解法 —元二次方程- _______ L 根的判别式 W 方程一 分式方程

形如(mx + n)2= /? (r > 0) 的方程,两边开平方,即可转化为两个一元一次方程来解,这种方法叫做直接开平方法. (2)配方法 把一元二次方程通过配方化成如+ 〃)2=,(房0)的形式,再用直接开平方法解,这种方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程次& + ”0 (^0)的一般步骤是:① 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数〃;②移项,也就是使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项;③ 配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方;④ 化原方程为(》+〃?)、〃的形式;⑤ 如果,20就可通过两边开平方来求出方程的解;如果〃V0,则原方程无解. (3)公式法 通过配方法可求得二元二次方程ax2 + bx + c = 0(。n 0)的求根公式:x=-b土尸,用求根公式解一元二次方程的方法叫做本'式法. 兀—次方程ar2 + + c = 0 ( a,b,c是常数,且心0)的根的判别式是屏-4必.利用根的判别式可以判定方程实根的个数;利用根的判别式也可以建立等式、不等式,求方程中的参数的值或取值范围; 通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题,也可运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题等。

《用求根公式法解一元二次方程》教学设计

“用求根公式法解一元二次方程”教学设计 一、使用教材 新人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册 二、素质教育目标 (一)知识教学点 1、一元二次方程求根公式的推导 2、利用公式法解一元二次方程 (二)能力训练点 通过配方法解一元二次方程的过程,进一步加强推理技能训练,同时发展学生的逻辑思维能力。 (三)德育渗透点 向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想。 三、教学重点、难点、关键点 1、教学重点:一元二次方程的求根公式的推导过程 2、教学难点:灵活地运用公式法解一元二次方程 3、教学关键点: (1)掌握配方法的基本步骤 (2)确定求根公式中a 、b 、c 的值 四、学法引导 1、教学方法:指导探究发现法 2、学生学法:质疑探究发现法 五、教法设计 质疑—猜想—类比—探索—归纳—应用 六、教学流程 (一)创设情境,导入新课:

前面我们己学习了用配方法解一元二次方程,想不想再探索一种比配方法更简单,更直接的方法? 大家一定想,那么这节课我们一同来研究。 < 设计意图 > 数学是一种逻辑性较强的科目,并且有时计算量较大,如果能简化计算,那是我们所期望的,逐步激发学生的学习欲望。 教师;下面我们先用配方法解下列一元二次方程 学生;(每组一题,每组派一名同学板演) 1.2x 2-4x-1=0 2. x 2+1.5=-3x 3.02 1 22=+-x x 4. 4x 2-3x+2=0 完成后小组内进行交流,并进行反馈矫正。 学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤 教师板书:(1)移项; (2)化二次项系数为1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m )2=n 的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解. 教师:通过以上四个方程的求解,你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗? 学生:独立思考 < 设计意图 > 规律的探索与猜想不仅要体现数学知识的应用,而且要注重在观察实践中抽象出规律。 (二)新知探索

九年级化学必背公式定理

二元一次方程的定义 把两个含有不同未知数的一次方程联合在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。 二元一次方程组定义:两个结合在一起的,且共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。 二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解:一般的,二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。 一般解法,代入消元法:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。解法 消元的方法有两种

代入消元法 用代入消元法的一般步骤是: 【1】选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式; 【2】将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程; 【3】解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值; 【4】将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数; 【5】把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。[1] 例:解方程组: x+y=5① 6x+13y=89② 解:由①得 x=5-y③ 把③代入②,得 6(5-y)+13y=89 即 y=59/7 把y=59/7代入③,得 x=5-59/7 即 x=-24/7 ∴ x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。 加减消元法 用加减法消元的一般步骤为: ①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数; ②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程; ③解这个一元一次方程; ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值; ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。

一元二次方程题型分类的总结

一元二次方程题型分类总结 知识梳理 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 考点类型一 概念 只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方程.... 就是一元二次方程。 )0(02≠=++a c bx “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“ 0”; ②未知数指数为“2”; ③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨 论。 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值 为 。 ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程, ⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围

是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) A.m=n=2 B.m=3,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点类型二 方程的解 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值 为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则 此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两 个根, 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根,则代数式=-m m 2 。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根,则=-a a 622 。 ★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为( ) A 1- B 1 C c b - D a - ★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。

二元一次方程知识点归纳及解题技巧汇总

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 把两个一次方程联立在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义:一个含有两个未知数,并且未知数的都指数是1的整式方程,叫二元一次方程。二元一次方程组定义:两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程,叫二元一次方程组。 二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个公共解,叫做二元一次方程组的解。 一般解法,消元:将方程组中的未知数个数由多化少,逐一解决。 消元的方法有两种: 代入消元法 例:解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解:由①得x=5-y③ 把③带入②,得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③, x=5-59/7 即x=-24/7

∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。 加减消元法 例:解方程组x+y=9① x-y=5② 解:①+②2x=14 即x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtracti on),简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况: 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”),所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②,因为方程②化简后为x +y=5 这与方程①相矛盾,所以此类方程组无解。

初中数学二次根式公式定理,因式分解等公式定理汇总

初中数学二次根式公式定理,因式分解等公式定理汇总 因式分解公式定理 1 因式分解 11 因式 如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式 12 因式分解 把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解 1 提取公因式法 2 运用公式法 3 分组分解法 4 十字相乘法 5 配方法 6 求根公式法 13 用待定系数法分解因式 2 余式定理及其应用 21 余式定理 f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a) 如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理 22 余式定理的应用 23 因式分解法解一元方程 24 根与系数的关系 如果x1,x2时二次三项式ax2+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 二元二次方程组公式定理 第七章二元二次方程组 1 二元二次方程与二元二次方程组 11 二元二次方程 含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程 关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax2+bxy+cy2+dy+ey+f=0 其中ax2,bxy,cy2叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项 12 二元二次方程组 2 二元二次方程组的解法 21 第一种类型的二元二次方程组的解法 当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的

各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法 22 第二种类型的二元二次方程组的解法 分式与二次根式公式定理 第六章分式与二次根式 1 分式与分式方程 11 指数的扩充 12 分式和分式的基本性质 设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式 分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变 13 分式的约分和通分 分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简 如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式 对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分 14 分式的运算 15 分式方程 方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程 2 二次根式 21 根式 在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根 含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式 具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母 如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式 23 二次根式的运算 24 无理方程 根号里含有未知数的方程叫做无理方程 资料来源:初中数学https://www.wendangku.net/doc/ed3977828.html,

一元二次方程之求根公式

一元二次方程之求根公式 形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 242 2,1-±-= 内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运 算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( ) A . 一4 B .8 C .6 D .0 【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a . 【例4】 设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111, 试求x 的 值. 注: 一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax (0≠a )直接作零值多项式代换; (2)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax --=2,代换后降次; (3)把方程02=++c bx ax (0≠a )变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2,代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时,在未指明方程类型时,应分0=a 及0≠a 两种情况讨论;解绝对值方程需脱去绝对值符号,并用到绝对值一些性质,如 222 x x x ==. 巩固练习 1.已知a 、b 是实数,且0262=-++b a ,那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 . 2.已知0232 =--x x ,那么代数式1 1)1(23-+--x x x 的值是 . 3.若142=++y xy x ,282=++x xy y ,则y x +的值为 . 4.若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根,则( ) A .b a = B .0=+b a C .1=+b a D .1-=+b a

一元二次方程求解(公式法求解)

一元二次方程求解(公式法求解) 一.选择题(共2小题) 1.已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是() A.0<a<1 B.1<a<1.5 C.1.5<a<2 D.2<a<3 2.一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是() A.x1=x2=B.x1=0,x2=﹣2 C.x1=,x2=﹣3D.x1=﹣,x2=3 二.填空题(共19小题) 3.方程x2﹣|x|﹣1=0的根是. 4.已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为.5.已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x= .6.若x2+3xy﹣2y2=0,那么= . 7.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是,条件是.8.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,x1= ,x2= .9.一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为. 10.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,他是这样做的:

小明的解法从第步开始出现错误;这一步的运算依据应是.11.(1)解下列方程:①x2﹣2x﹣2=0;②2x2+3x﹣1=0;③2x2﹣4x+1=0;④x2+6x+3=0; (2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式.12.已知x=(b2﹣4c>0),则x2+bx+c的值为. 13.方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为. 14.方程x2﹣3x+1=0的解是. 15.已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac= . 16.方程x2﹣4x﹣7=0的根是. 17.一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是. 18.有一个数值转换机,其流程如图所示:若输入a=﹣6,则输出的x的值为.

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理) 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理:对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠,如果方程有两个实数根12,x x ,那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明:(1)定理成立的条件0?≥ (2)注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 (1)计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根,试求下列各式的值: (1) 22 12x x +; (2) 12 11x x +; (3) 12(5)(5)x x --; (4) 12||x x -. 解:由题意,根据根与系数的关系得:12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222 121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:

222121212()2x x x x x x +=+-, 121212 11x x x x x x ++=,22 121212()()4x x x x x x -=+-, 12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+, 33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等.韦达定理体现了整体思想. 【课堂练习】 1.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22 的值为_________ 2.已知x 1,x 2是方程2x 2 -7x +4=0的两根,则x 1+x 2= ,x 1·x 2= , (x 1-x 2)2 = 3.已知方程2x 2 -3x+k=0的两根之差为212 ,则k= ; 4.若方程x 2 +(a 2 -2)x -3=0的两根是1和-3,则a= ; 5.若关于x 的方程x 2+2(m -1)x+4m 2 =0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ; 6. 设x 1,x 2是方程2x 2 -6x+3=0的两个根,求下列各式的值: (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 -1x 2 7.已知x 1和x 2是方程2x 2-3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: 22 21x 1x 1+ (2)构造新方程 理论:以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 x+y=5 xy=6 解:显然,x ,y 是方程z 2 -5z+6=0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2 显然,此法比代入法要简单得多。

二次方程求根公式

一元二次方程求根公式 一. 温故知新 一元一次方程:①在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1, 这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式,所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤:去分母,移项,合并同类项,未知数系数化为1。 二元一次方程:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组:两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程的解。 二. 新课讲解: 1,求根公式的推导: 创设问题情境(二): 如果一元二次方程是一般形式c/+/x + c = 0(“H0),你能否用上面配方法的 步骤求出它们的两根,请同学们对立完成下面这个问题. 问题:已知ax2 + bx + c = 0(" H 0)且b2 - 4ac >0 ,推导出它的两个根 -h + y/b2 -4ac -b-y/b2 -4ac 1la - 2u 分析:因为前面具体数字已做的很多,我们不妨把a,b,c也当作一个具体的数字,根据上面的解题步骤可以一直推下去。 探究解决问题(二): 解:移项、化二次项系数为1、配方、直接开平方得, -b土、/b2 -4"。 x = ------------- 2a _b + V/?2-4ac -b-yjb1 -4ac ???x\ = -- z ------ ,心= ------ ------ 2a 2a 由上可知,一元二次方程ax2+bx + c = 0{a^0)的根是由方程的系数a,b,c而

一元二次方程求根公式.

主讲:黄冈中学高级教师 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识

1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2);

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