关于_高等数学_第三版_上_中册初析

收稿日期:1999-03-03

关于《高等数学》(第三版)上、中册初析

朱弘毅

(上海冶金高等专科学校公共课部　上海　200233)

《高等数学》(第三版)在各方面的支持下,通过编写人员的辛勤劳动,已由上海科学技术出版社出版,该教材已使用一年.现在作为一个读者,通过对《高等数学》(第三版)上、中册(以下简称《第三版》)的通读,作一分析和讨论,以求抛砖引玉.

1　《第三版》注重基本概念从实际问题中引入

基本概念在“基本要求”[1]中的高低用“理解”、“了解”、“知道”不同的词加以区分.在《第三版》中约有50多个主要的基本概念.对于这些基本概念“基本要求”中大多数提出“理解”的要求,也就是说,要求学生理解这些概念.

对于高等工程专科学生来说,通过在校三年的学习,培养他们成为德、智、体全面发展的高级工程技术应用性人才.因此如何培养他们学会将给定的物理问题或工程问题表示成数学形式的能力,是数学课所肩负的一项重要任务.数学基本概念的讲述,对这方面能力的培养,起到了非常良好的作用.《第三版》各编者在《高等数学》《第二版》(以下简称《第二版》)的基础上结合教学进行自己的创作,数学的基本概念从应用观点提出,让学生以此为例进行模仿,从中掌握方法,而不是从这些概念的逻辑发展的观点提出.

极限概念是整本微积分的基石,导数、定积分都是以特定的极限形式提出的.另一方面,十分抽象的极限概念是刚迈进高等学校大门的学生遇到的第一个重要的基本概念,n ※∞数列{x n }的极限、x ※x 0(x ※∞)时函数f (x )的极限都是不能完全看到,只能从趋向“※”来考虑的,因此如何使学生“理解”极限概念是一件十分重要的事.

《第三版》从学生认识问题的过程:感性认识※理性认识※实际出发作如下叙述.

“观察下面两个数列

(1)12,14,18,116, (12)

,…(2)2,12,43,34,…,n +(-1)n -1n

,…为清楚起见,将上述两数列的各项用数轴上的对应点x 1,x 2,…表示(如图1(a )、(b )所示).

由从图1可知,当n 无限增大时,数列{12

n }在数轴上的对应点从原点的右侧无限接近于0;数列n +(-1)n -1n 在数轴上的对应点从x =1的两侧无限接近于1.一般可给出下面的定义(指数列极限定义).”

这里,通过几何的直观克服了数学形式的抽象,学生通过数列

12n 在数轴上点x 1、x 2、x 3、…、的位置变第20卷　第3期1999上海冶金高等专科学校学报

Journal of Shanghai College of Metallurgy Vo l .20,No .31999

图1　数列极限说明

化,从原点的右侧无限接近于原点,从而得出

lim n ※∞

12n

=0学生易于接受这样的认识问题的过程.

《第二版》虽然也从几何上考虑,但是选例及处理上都不是很恰当.它考虑单位圆的内接正n 边形的面积.

A n =n 2sin 2πn 然后从n 取3、4、6、8、16、100、1000、…计算A n 的值、列表,从中看到n 无限增大时,A n 无限接近一个常数

3.14….指出这就是单位圆的面积,这个常数就是数列A 1、A 2、…、A n 、…的极限.然而从这些数得到3.14是不很显然的.

《第三版》的上述叙述,还帮助学生克服认识问题的片面性,数列在数轴上的对应点的变化趋势,当n ※∞时,可以有多种变化情况,使学生通过几何直观全面认识问题.

《第三版》第三章曲率概念,从几何直观说明曲线的弯曲程度与那些因素有关.《第二版》用2个图(图2(a )、(b ));而《第二版》用3个图(图3(a )、(b )、(c ))来说明

.

图2　

曲线的弯曲

图3　曲线的弯曲

我认为2个图比3个图好.实际上《第三版》是将《第二版》的图(a )、(b )合并成为图2(a ),这一合并就将原来分开比较的情况集中在一个图中比较,可比较的正确性显然加强了.

174 上　海　冶　金　高　等　专　科　学　校　学　报1999　

2　《第三版》注意调动学生的积极性,做好基本公式的引入过程

教材对学生来说是一个不讲话的教师,因此新教材的叙述中也应该采用启发式方法,利用学生已有的知识,调动学生的积极性,让学生一步一步跟着叙述的展开进行积极的思考,掌握新的知识.上述“基本概念从实际问题中引入”是这方面的一个例证,这里从基本公式的引入过程再来说明这一点.

《第二版》第五章第二节讲定积分的基本公式,分2段讲授,第一段中给出积分上限的函数

Υ(x )=

∫x a f (t )d t 然后,给出定理,即Υ(x )在[a ,b ]上可导,且导数为

Υ′(x )=f (x )

第二段开门见山地以定理形式给出定积分的基本公式

∫b a f (x )d x =F (b )-F (a )

其中,F (x )是连续函数f (x )在[a ,b ]上的原函数.

《第三版》对这些内容的处理上,还是分这2小段,第1段中叙述:“设物体作变速直线运动,其速度v =v (t ),我们已经知道在时间间隔[T 1,T 2]中经过的路程为S =∫T 2

T 1v (t )d t .另一方面,假若能找到路程S 与时间t 的函数S (t ),则此函数在[T 1,T 2]上的改变量S (T 2)-S (T 1)就是物体在这段时间间隔中所经过的路程,于是可得

∫T

2T 1v (t )d t =S (T 2)-S (T 1

)由第二章知,S ′(t )=v (t ),即S (t )是v (t )的原函数,因此求变速直线运动的物体在时间间隔[T 1,T 2]中所经过的路程就转化为寻求v (t )的原函数S (t )在[T 1,T 2]上的改变量.

然后在第2段中指出:“这个实际问题的结构是否具有普遍性?就是说,函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分∫b a f (x )d x 是否等于f (x )的原函数F (x )在[a ,b ]上的改变量F (b )-F (a )?即∫b

a f (x )d x =F (

b )-F (a ),”这就是定积分基本公式.由此产生原函数是否存在的问题.于是,在第一段中解决原函数的存在问题,引入变上限定积分Υ(x )=

∫x

a f (t )d t ,证明Υ(x )在[a ,

b ]上可导,且Υ′(x )=f (x ),第二段中证明∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ).由此可见,《第三版》对于这些内容的具体处理上更符合认识过程和启发式教学的原则,使抽象的理论与具体例子结合,学生不仅易于接受,且不易忘记.

我们知道,如果函数f (x )在x 0的某邻域内有直至n +1阶导数,则对此邻域内任意点x ,

f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(x 0)2!

(x -x 0)2+…+f (n )(x 0)n !(x -x 0)n +R n (x )其中,R n (x )=f (n +1)(ξ)(n +1)!

(x -x 0)n +1(ξ在x 0与x 之间).这就是n 阶泰勒公式.它为函数展开成幂级数作准备.为讲述n 阶泰勒公式,《第二版》从微分近似公式f (x )≈f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)

175　No .3朱弘毅:关于《高等数学》(第三版)上、中册初析

出发,从提高精度和具体估计误差入手,应用柯西中值定理得到余项R 1(x )=f (x )-[f (x 0)+f ′(x 0)(x -

x 0)]=f ″(ξ)2!

(x -x 0)2从而得到一阶泰勒公式,最后说明“用类似的证明方法”可得n 阶泰勒公式.这里须指出的是:对于中值定理“基本要求”中提出“了解”的测度,现在要应用柯西中值定理,证明-阶泰勒公式,理论性、抽象性太高,是超过了“基本要求”所要求的标准.

《第三版》首先讨论n 次多项式f (x )=A 0+A 1x +…+A n x n 能否表示成关于(x -x 0)的n 次多项式问题,即

f (x )=a 0+a 1(x -x 0)+a 2(x -x 0)2+…+a n (x -x 0)

n 其中a 0、a 1、a 2、…、a n 是待定系数.通过逻辑推理,得到n 次多项式f (x )可以唯一地表示为

f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(x 0)2!(x -x 0)2+…+f (n )(x 0)n !(x -x 0)

n 然后提出:一般地,如果一个函数f (x )在x 0处有直至n 阶导数,则可以写出一个n 次多项式

P n (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(x 0)2!(x -x 0)2+…+f (n )(x 0)n !

(x -x 0)n 但P n (x )不一定等于f (x ),引入余项R n (x )=f (x )-P n (x ).然后不给出证明指出:当f (x )在x 0的某邻域内有直至n +1阶导数时

R n (x )=f (n +1)(ξ)(n +1)!

(x -x 0)n +1(ξ在x 0与x 之间)

得到泰勒公式

这里,学生对问题的认识随着作者的思路逐步深入,选择讨论n 次多项式表示成关于(x -x 0)的n 次多项式问题,作为启动问题是恰当好处的,并具有事半而功倍作用,《第三版》又把握好理论要求的深度,删去了应用柯西中值定理的证明是完全必要的、正确的.

3　《第三版》能紧扣“基本要求”把握好基本理论要求的测度

高等数学与初等数学的一个明显的差别在于,高等数学教学工作中要求学生掌握一定的基本理论,以培养学生的分析和解决问题的能力及逻辑推理的能力.对于基本理论的要求,“基本要求”从高到低用“理解”、“了解”、“知道”三级区分,教材的编者必须把握好基本理论所要求的测试,否则背离“基本要求”和客观的对象实际情况.《第三版》在这方面做了一定的工作.

“基本要求”对第一章函数、极限、连续这部分的基本理论提出要求,“知道夹逼准则和单调有界极限存在准则”,“知道初等函数的连续性”.“知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理、最大值和最小值)”.

在第一章编写过程中,花费了大量的精力,按照“基本要求”对内容进行改革,降低了对极限定义的要求,用描述性给出极限的定义,删去了一些涉及极限的有关定理和性质.

在第三章导数的应用中删去了罗尔中值定理的证明,而对于洛必塔法则的证明、极值存在的第二充分条件的证明打上“＊”,不作必要的要求.删去了拉格郎日中值定理的推论(若在(a ,b )内f ′(x )=0,则在(a ,b )内f ′(x )=C )的证明.删去正项级数比值审敛法的证明.

4　《第三版》注意基本技能的培养和训练“基本要求”指出:“对运算、方法从高到低用“熟练掌握”、“掌握” 、“会”或“能”三级区分.《第三版》按照176 上　海　冶　金　高　等　专　科　学　校　学　报1999　

“基本要求”注意把握好深度,加强能力的培养.

《第三版》对极限运算能力的培养上注意运算的深度,对极限的计算着重于四则运算法测、2个重要极限和罗必塔法则的应用,这是紧扣“基本要求”的.

对于多元函数偏导与连续的关系中,编者删去了《第二版》中用定义求

z =f (x ,y )=xy x 2

+y 2,(x ,y )≠(0,0)0, (x ,y )=(0,0)

在点(0,0)处的两个偏导数的例题.

对于函数单调性、极值、凹凸及拐点的讨论中,《第二版》基本上用文字叙述式进行讨论,而任课教师一般都以列表式进行处理.为此,编者对这部分内容的例题基本上都用列表式进行运算.这主要在于列表式讨论清晰,各种符号表示函数的不同性态,并有利于学生的自查和教师的批阅.

“基本要求”指出:“熟练掌握不定积分的第一类换元法和常见类型的分部积分法”、“熟练掌握二重积分的计算方法”.《第三版》在为“熟练掌握”的落实不仅在选择例题上做了一定的工作,而且为学生掌握方法上与《第二版》不同,动了一点脑筋.

《第三版》在说明了第一类换元法公式后,将整个过程形式上“写成如下的一串表达式

∫g (x )d x 恒等变形

∫f [φ(x )]φ′(x )d x 凑微分

∫

f [φ(x )]d φ(x )代换u =φ(x )

∫f (u )d u 若F ′(u )=f (u

)F (u )+C 还原u =φ(x ) F [φ(x )]+C

方法熟练后,可不设u ,虚框部分可省略”.

又如,在分部积分法举例中,也用虚框指明那些函数进入微分号d x

内.

∫x 2e -x d x =-∫x 2d (e -x )=-[x 2e -x -∫

e -x d (x 2)]=-x 2e -x +2∫

x e -x d =…=-e -x (x 2+2x +2)+c

上述加虚框的处理,有利于学生对公式的理解,使学生清晰地看到方法如何使用的过程,有利于方法的掌握.

在二重积分中将积分区域分为x -型、y -型,有利于学生应用如何公式化为累次积分.

又如在一阶线性微分方程求解的讨论中,编者提出一种方法:“先求方程d y d x +P (x )y =Q (x )所对应的一阶齐次线性微分方程d y d x +P (x )y =0的通解,记为Y ;再求方程d y d x

+P (x )y =Q (x )的一个特解,记为y ＊,那么方程d y d x

+P (x )y =Q (x )的通解为y =Y +y ＊…,下面讨论如何求Y 和y ＊.”这种方法虽然得到的通解公式与一般处理的一样,但是它为2阶常系数线性微分方程的解的结构的讨177　No .3朱弘毅:关于《高等数学》(第三版)上、中册初析

论打下了基础.5　《第三版》在结构的处理,作了一处有益尝试

《第三版》的内容处理上消弱第一章函数、极限与连续,增设一节再论极限概念,打＊.在第三章第一节中值定理中首先提出极值的必要条件,将洛必塔法则这节放到函数图形的描绘这节之后.这样的按排有利于函数性态的讨论,不再在性态讨论中插入求极限的洛必塔法则.

在定积分的应用中,第二节讲述平面圆形的面积,并将定积分∫b

a f (x )d x 的几何意义作为第一段,克服了定积分概念在讲定积分概念时叙述定积分的几何意义,在定积分应用中又谈几何意义的重复现象.删去曲率弧微分这一段,但弧微元以直观的形式给出.由于实际需要,在定积分在物理方面的应用这一节中增设平均值和均方根.

多元函数的极值这一节中《第二版》讲述最小二乘法,现在删去,而将它放在数理统计中,必便学用结合.在每节或适当内容之后,配备练习题,这有利于学生及时消化和理解所讲授的概念、理论和方法.在每章后所配有的复习题中增加了不少选择题,以检查有关概念、理论、方法掌握的情况,这些都是十分可取的.6　《第三版》存在尚须修正的问题

1)对于有些内容的处理上,还可以加大改革力度.例如,极限的ε-N 、ε-δ、ε-X 的定义等等,新教材中作为一节,打＊,以说明其超大纲,对于这些内容是否可以删去.同样地,基本初等函数在高中阶段已经熟练掌握,也不必要在附录中重述基本初等函的定义域、图形及特性.

2)个别内容的处理上存在超“基本要求”的情况.第七章第四节中所举的“求微分方程y ″+y ′=2x 2-3+e -x cos x ”例题,就是一例.

3)某些内容的叙述不精练、有缺陷.例如,第二章第三节在引入曲线凹凸概念的陈述较罗嗦.又如参数方程下求面积公式,作者想讲清问题,结果反而没有讲清楚.

4)部分习题、练习题的难度过大.例如,习题1-4第1(2)题,在文献[5]中是第12.11题,打上＊.又如,复习题二第12题,设f (x )可导,求y =ln f (x 2),y =f (e x sin x )的导数;习题10-1(1)第5题,利用被积函数及积分区域的对称性确定下列积分的值,等等,都是要求过高的习题.

7　结束语

从以上所述的初步分析可见,《高等数学》(第三版)注意运用辩证唯物主义观点阐述客观规律,重要的概念从实际问题引出;注意对难度较大的基础理论,不追求严格的论证,用例子简要说明;注意基本运算的训练,但不追求过分复杂的计算;在内容处理上更简洁、更紧凑、更便于教与学.《高等数学》(第三版)符合“基本要求”,是一本具有专科特色的教材.

上述的初步分析,是个人的意见.由于个人水平的局限性,在分析中难免有不妥之处,希望同仁赐正.

(下转第181页)178

上　海　冶　金　高　等　专　科　学　校　学　报1999　

几年来的教学经验使我体会到:通过以上教学方法;学生的作品从起步开始,每个人的风格形成和技艺同步增长,绘画语言与内心思想交融所形成的意境随着他们的努力和不断学习而提高,色彩的个性和境界得到了充分的体现.我深深感到,教学只有不断探索、不断创新,才能取得生机勃勃的丰硕成果.

(

上接第167页)这给大专生提供了不少新的就业机会;②近年来,民营、私营企业发展势头迅猛,这些小公司、小企业十分注重毕业生的动手能力,这恰好符合大专生的自身特点,为大专毕业生开辟了新的就业市场.③专科教育经过几年的改革,已略见成效,专科人才培养重点向“一专多能”的复合型人才转移,这种变化受到用人单位的欢迎.如上海冶高专的机电一体化专业和会贸专业毕业生的高就业率就是很好的例证.

当然,大专生就业在今后几年内还将面临激烈的竞争,严峻的考验.笔者认为,学校和学生自己均应尽快认清形势,以全新的就业理念,良好的就业心态和正确的市场定位,并加强营销组合策略的应用,定能为大专生本不乐观的就业形势开辟出一片蓝天.

参考文献

[1]　菲利普·科特勒.营销管理.上海:上海人民出版社,1990

[2]　苏亚民.现代营销学.对外贸易教育出版社,1995

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[4]　新民晚报,1999-04-02

[5]　新闻晨报,1999-04-02

(上接第178页)

参考文献

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[3]　黄淑芳,曹助我.高等数学(第二版)上、中册.上海:上海科学技术出版社,1992

[4]　同济大学数学教研室.高等数学(第四版).北京:高等教育出版社

[5]　同济大学数学教研室.高等数学习题集.北京:高等教育出版社181　No .3韩　兵:色彩表现中的个性与境界

收稿日期:1999-02-30色彩表现中的个性与境界

韩　兵

(上海冶金高等专科学校建筑工程系　上海　200233)

“色彩”在这里是指艺术地表现颜色之间的相互关系.从素描教学进入色彩教学,我们首先让学生了解一些色彩的基本知识,即所有的色彩都是由红、黄、兰3个原色和黑、白2个极色调配而成.色彩有它的三要素:色相、明度、纯度和它的3个方面即固有色、光源色、环境色及4个色彩对比,即明度对比、纯度对比、冷暖对比、补色对比等等.通过色彩要素、色彩3个方面及色彩对比等,观察和理解物体的色彩关系并形成色彩统一的调子.面对如此一大堆的色彩理论,许多初学的学生还是常常会说:“老师,我从来没有画过色彩,我不会画”.这是1个给自己设立障碍的问题.其实,“人人都是艺术家”.许多人都人为地把自己与艺术分离,从来没有尝试过自己的直觉,挖掘过自己内在的潜力.只有在理论的基础上通过不断的尝试,寻找自己色彩的感觉,逐步摸索出色彩的规律,才能发现自己潜在的色感.所以我总鼓励他们,自己动手调颜色,大胆地尝试一下吧!你会发现自己有很多意想不到的灵气.因为色彩理论是向导,而每个人的色彩感觉是真真实实的一种本能,一种天赋,因人而异,关键是一定要树立自信和勇气!如果失去了自信,也就失去了自己宝贵的直觉,必然导致盲目的摹仿和照抄,产生画面僵化、色彩混乱等结果.因此鼓励学生自身的信心和大胆的勇气在色彩教学中尤为重要.教学实践发现,有的学生虽然素描基础并不好,但他们凭着自己的直觉本能,画面上的色彩塔配却有独到之处,有着天然的和谐之美;而有的素描基础比较好的学生按照画素描方法来画色彩,会出现画面色彩没有和谐感.针对这种现象,如何把握学生色彩学习的入门关,最大限度地发挥学生的内在潜力,有效地解决出现的问题,是我们教学的关键问题.

如果说素描教学是一种理性分析的教学手段,那么色彩是人们对物体对象的一种直觉的印象.人们对色彩的感受与体验带有天赋、生理及地理环境等的因素,所以色彩的个性化是显而易见的.因此,通过一系列的静物写生作业来培养学生学习色彩知识的感受能力的同时;还要强调他们个性化的色彩,并让他们从普通人的视觉观察方法转变为绘画专业人员的视觉角度去观察体会色彩的变化.我们在色彩教学中,首先是精心设计一组组静物的造型形式、物体间的排列节奏、色彩之间的和谐搭配和整体空间组织,以及所观察的各个角度都能体现到构图的美感,然后对学生进行3部分要求.

第一步:观察与感受并融入个人风格

学生站在画室的各个角度观察这些静物,首先是设计构图的美感,这是非常重要的,接着把握对色彩的第一印象,并保持这种新鲜的感觉.我们教师要传递给学生这样一种欣赏美的感受:请睁开你的眼睛,美就在你的眼前!关键是去寻找、发现.生命是如此动人,世界是如此美好———新鲜的充满生机的水果、轻盈巧编的花蓝、美丽生辉的花瓶,或者一束令女孩怦然心动的鲜花、一瓶令男生心醉的XO ……生意盎然、色彩绚丽的一组组美妙的静物在我们眼前展示,我们能无动于衷吗?色彩就在眼前跳跃,一种强烈的表现欲望冲动起来了.我们看到每个学生对静物的印象与反应是不同的,所以,他所表现的情绪也就不同,那些充满激情的学生

第20卷　第3期1999上海冶金高等专科学校学报

Journal of Shanghai College of Metallurgy Vo l .20,No .31999

超星下高等数学尹逊波优选精选答案

1【单选题】 设有n阶导数，且有2n个不同的极值点，则方程至少有（） A、个实根 B、n个实根 C、个实根 D、个实根 我的答案：C得分：10.0分 2【单选题】 设函数在处可导，且则（）A、 B、 C、 D、0。 我的答案：B得分：10.0分 3【单选题】

设在点的某邻域内连续，且具有一阶连续导数，并有 ，则（） A、为的极大值点， B、为的极小值点， C、是曲线的拐点， D、以上结论都不对 我的答案：C得分：10.0分 4 【单选题】 曲线的拐点是（） A、。 B、。 C、。 D、。 我的答案：C得分：10.0分 5 【单选题】

设函数在的某邻域内连续，且满足，则（） A、是的极大值点 B、是的极小值点 ?C、是的驻点，但不是极值点， ?D、不是的驻点，也不是极值点 我的答案：C得分：10.0分 6 【单选题】 设，其中为有界函数，则在处（）。?A、极限不存在 ?B、极限存在，但不连续 ?C、连续，但不可导 ?D、可导 我的答案：D得分：10.0分 7 【单选题】 设函数在区间内有定义，若当时，恒有 ，则必是的( )。

?A、连续而不可导的点 ?B、间断点 ?C、可导点，且 ?D、可导点，且 我的答案：C得分：10.0分 8 【单选题】 设：，则函数在点处必然（） ?A、取极大值 ?B、取极小值 ?C、可导 D、不可导 我的答案：D得分：10.0分 9 【单选题】 设则在处( ) 。

?A、左导数存在，右导数不存在 ?B、左、右导数均存在 ?C、左、右导数都不存在 ?D、左导数不存在，右导数存在 我的答案：A得分：10.0分 10 【单选题】 设在上连续，且，则下述结论正确的是：（） A、若为单调递增函数，则亦为单调递增函数 ?B、若为单调递减函数，则亦为单调递减函数 ?C、若为非负函数，则为单调递增函数 ?D、若为有界函数，则亦为有界函数 我的答案：C

高等数学Ⅱ答案。同济大学应用数学系本科少学时类型第三版

习题7-1 1. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 习题7-2 1. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 3. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为

(?a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, ?b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, ?b, ?c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(?a, b, ?c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(?a, ?b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(?a, ?b, ?c). 4.自点P 0(x , y , z )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ). 5.过点P 0(x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 标各有什么特点？ 解在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y , z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z ). 6. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 7.已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及 11.在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距离

高等数学第三版上册答案

高等数学第三版上册答案 【篇一：中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3 章课后习题详解】 t>习题3-1 ★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值 ?。 （1） f(x)?2x2?x?3,[?1,1.5]； （2） f(x)?x?x,[0,3]。 知识点：罗尔中值定理。 2 解：（1）∵f(x)?2x?x?3在[?1, 1.5]上连续，在(?1,1.5)内可导，且f(?1)?f(1.5)?0， ∴ （2）∵∴ 1 ?(?1,1.5)即为所求。 4 f(x)?x?x在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)?f(3)?0， f(x)?x?x 在[0,3]上满足罗尔定理的条件。令 y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性。 f(1)?f(0) 1?0 3 2 知识点：拉格朗日中值定理。 可验证定理的正确性。 1]连续，在(0,1)内可导，∴y?4x?5x?x?2在解： ∵y?f(x)?4x?5x?x?2在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件。又区间[0, f?(?)? 32 f(1)??2,f(0)??2，f?(x)?12x2?10x?1， ∴要使

f(1)?f(0)5?0，只要：??(0,1)， 1? 012 ∴??? 1?012 ★3.已知函数 。 解：要使 的?。 f(2)?f(1)3 2?1★★4.试证明对函数 总是位于区间的正中间。 证明：不妨设所讨论的区间为[a,b]，则函数y?px2?qx?r在[a,b]上 连续，在(a,b)内可导，从 而有 f(b)?f(a)(pb2?qb?r)?(pa2?qa?r) b?ab?a b?a ，结论成立。 2 ★5.函数 f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1,2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满 知识点：柯西中值定理。 思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程 便为所求。 解：∵f(x)?x3及g(x)?x2?1在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且在(1,2)内的每一点处有 g?(x)?2x?0，所以满足柯西中值定理的条件。要使 ? 14 即为满足定理的数值。 ★★★6.设 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?0。求证： / 结论出发，变形为 f/(x)x?f(x)，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数 也是利用中值定理解决问题时常

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(- , -5) (5, + ), B =[-10, 3), 写出A B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A B =(- , 3) (5, + ), A B =[-10, -5), A \ B =(- , -10) (5, + ), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B )C =A C B C . 证明 因为 x (A B )C x A B x A 或x B x A C 或x B C x A C B C , 所以 (A B )C =A C B C . 3. 设映射f : X Y , A X , B X . 证明 (1)f (A B )=f (A ) f (B ); (2)f (A B ) f (A ) f (B ). 证明 因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B )=f (A ) f (B ). (2)因为 y f (A B ) x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A ) f (B ), 所以 f (A B ) f (A ) f (B ). 4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中 I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.