最基本的图形—点和线(1)随堂检测

最基本的图形——点和线（1）

◆随堂检测

1、如图，经过点C的直线有条，它们是，可表示的以点B为端点的射线有条，它们是。

2、如图所示，图中共有条线段。它们是。

3、下列各直线的表示法中，正确的是（）

A、直线A

B、直线AB

C、直线ab

D、直线Ab

4、下列说法正确的是（）

A、过一点P只能作一条直线

B、经过三点只能作三条直线

C、直线AB和直线BA表示同一条直线

D、直线a比直线b短

5、如图所示，有A，B，C，D四个点，按下列语句画出图形。

（1）画直线AB；射线CD；

（2）画射线DB，连结BC；

（3）作线段CA。

A··B

D··C

◆典例分析

例：（1）下列说法正确的是（）

A、直线AB和直线BA是两条直线

B、射线AB和射线BA是两条射线

C、线段AB和线段BA是两条线段

D、直线AB和直线a不能是同一条直线

（2）如图，从小华家去学校共有4条路，第条路最近，理由是。

（3）锯木料时，一般先在木板上画出两点，然后过这两点弹出一条墨线，这是利用了___________________________的原理。

解：（1）B

（2）③。理由是两点之间线段最短。

（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

评析：（1）同一直线主要看一点：是否在同一条线上；同一线段主要看两点：是否在同一条线上以及两端点是否相同；同一线段主要看三点：是否在同一条线上、端点是否相同、射出的方向是否一致。

（2）本例主要利用“所有连接两点的线中，线段最短”这个定理。

（3）本例主要利用“两点确定一条直线”这个定理。

●拓展提高

1、平面上有任意四个点，那么这四个点可以确定的直线有（）

Ａ、1条Ｂ、4条Ｃ、6条Ｄ、1条或4条或6条

2、下列说法正确的是（）

Ａ、经过两点有且只有一条线段Ｂ、经过两点有且只有一条直线

Ｃ、经过两点有且只有一条射线Ｄ、经过两点有无数条直线

3、如图，从A地到C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中，从A地到B地有两条水路，2条陆路，B地到C地有3条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有种。

4、工人师傅用方砖铺地时，常常打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样地砖铺得整齐，这是根据______________________道理。

5、在电视剧《西安大追捕》中，一个血债累累的杀人犯为逃避警方追捕，躲在贩毒同伙家的阳台上试枪，准备杀害追捕他的警察，这天是传统节日，他利用周围群众放鞭炮的声音作掩护，对准数十米外一幢楼上一扇窗户放了一枪，弹头穿过窗玻璃射到室内墙上反弹落在地面，公安人员根据玻璃和墙上两处着弹点，沿着这两点的___________，终于发现了凶手发枪的位置。

6、木工检验木条的边线是否是直的，常常用眼睛从木条的一端向另一端望去，如果看到两个端点及这条边线中的各点都重合于一点，那么这条边线就是直的，你可以同伙伴试一试这个方法，并说一说其中的道理。

7、研究探索：

在一条直线上取n（n≥2的自然数）个点，共多少条线段？

为解决上面的问题，我们可以尝试下面的方法：

（1）在一直线上取两点，可以得到______条线段；

（2）在一直线上取三点，可以得到3条线段，其中以A1为端点向右的线段2条，以A2为端点向右的线段1条，所以2＋1＝3条；

（3）在一直线上取四点，以A1为端点向右的线段_______条，以A2为端点向右的线段______条，以A3为端点向右的线段________条，所以在一直线上取四点，一共可以得到_____＋_____＋_____＝_______条线段；

综合以上方法，你的猜想是什么？

●体验中考

1、把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其依据为（）

A、线段有两个端点

B、线段可以比较大小

C、两点之间线段最短

D、过两点可以确定一条直线

2、直线AB上有一点C，直线AB外有一点D，则A、B、C、D四点能确定的直线有（）

A、3条

B、4条

C、1条或4条

D、4条或6条

，，处各有同一种动物，为争抢食物，动物的行动3、无障碍的平地上A处有食物，B C D

路线必然是呈________跑向食物，这样做的道理：_____________。

参考答案：

◆随堂检测

1、3，直线CD ，CA ，CB ；3，射线BC ，BA ，BD

2、13，线段AD 、DC 、BC 、AB 、AE 、EB 、AF 、AC 、FC 、BF 、BD 、FD 、EF

3、B

4、C

5、

●拓展提高

1、D

2、B

3、13

4、两点确定一条直线

5、反向延长线

6、因为有3条线段，它们分别是线段AB ，线段BC ，线段AC 。.经过两点有且只有一条直线。

7、（1）1；（3）3，2，1，3＋2＋1＝6；

猜想：一直线上取n 个点，共有

(1)

2n n 条线段。 ●体验中考

1、C

2、B

3、直线，两点之间线段最短。

【精品】三角形角平分线专题讲解

【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是笔直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C

最基本的图形---点和线

4.5.1点和线 【教学目标】 知识与技能 1.理解任何图形都是由点和线组成的,体会线段、射线、直线的形象,正确区分这三个图形,掌握它们的表示方法. 2.感受体会“两点之间,线段最短”以及“两点确定一条直线”,掌握两点间的距离的意义. 过程与方法 经历探索直线的性质的过程,通过动手操作活动了解两点确定一条直线等事实,积累数学活动经验,运用对比、归纳法总结差异. 情感态度与价值观 培养学生与他人合作交流,热爱数学、勤于思考的品质. 【教学重难点】 重点:线段、射线与直线的概念及表示方法. 难点:两个定理的理解,对严谨几何语言表达方式的适应. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 设计意图:创设问题情境,引导学生思考,激发学习兴趣,让学生体会生活离不开数学,数学来源于生活. 教师出示问题:在墙上钉一个钉子,给人以一个点的形象;若学校总务处为解决下雨天学生雨伞的存放问题,决定在每个班级教室外钉一根2米长的装有挂钩的木条,本校三个年级,每个年级八个班,问至少在木条上确定几个点钉钉子才能钉住?至少应需买多少颗钉子?你能帮总务处的老师算一算吗? 二、探索实践,自主归纳 设计意图:给学生一个平台,使学生充分发表自己的见解,让他们在经历操作活动探索图形性质的过程中,发现线段、直线的性质,培养空间观念,并能自己归纳出从操作活动中发现的结论. 1.两点间的距离 学生自学教材139、140页内容,理解点和线段的意义,明确“两点之间,线段最短”这一公理. 教师通过讲解让学生知道两点间的距离即是两点间线段的长度,而不是线段本身. 2.射线、直线的概念 让学生自学教材140页内容,然后教师提问学生,让他们能近似地描述这两个概念就行. 3.线段、射线、直线的表示方法 完成后师生共同总结以上表中内容. 4.直线的性质 结合引入中的问题,师生共同归纳得到:经过两点有一条直线,有且只有一条直线.(即两点

角平分线常用模型

每日一题：三角形中角平分线的基本模型 武穴市百汇学校徐国纲 在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。 【模型一】角平分线+垂直一边 若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形； 【模型二】角平分线+斜线 若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线 若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形； 【模型四】角平分线+平行线 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。 【模型五】角平分线+对角互补 若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD． 【模型六】夹角模型 ①BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+1 2 ∠A． ②BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=1 2 ∠A．

BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-1 2 ∠B．

精选七年级数学上册第4章图形的初步认识4-5最基本的图形-点和线4-5-1点和线练习新版华东师大版(1)

第4章图形的初步认识 4.5 最基本的图形-点和线 1. 点和线 1．按下列语句，不能正确画出图形的是() A.延长直线AB B.直线EF经过点C C.线段m与n交于点P D.经过点O的三条直线a、b、c 2．下列说法错误的是() A.直线l经过点A B.直线a、b相交于点A C.点C在线段AB上 D.射线CD与线段AB有公共点 3．[2016·柳州]如图，在直线l上有A、B、C三点，则图中线段共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4．如图，在射线AD上取点B、C，则图中共有射线() A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

5．平面上有三点，经过每两点作一条直线，则能作出的直线的条数是() A.1条 B.3条 C.1条或3条 D.以上都不对 6. [2017·黔南州]建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是() A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行 7．根据如图的图形填空： (1)直线a经过点____和点____； (2)点A既在直线____上，又在直线____上； (3)点B在直线___上，但在直线____外． 8．如图，直线l是一条平直的公路，A、B是某公司的两个仓库，位于公路两旁，请在公路上找一点C建一货物中转站，原则是AC与BC之和最小，请找出点C的位置． 9．如图，已知A、B、C、D四点，按照下列语句画图： (1)画射线AB； (2)画直线BC； (3)连结A D.

10．阅读下表，再解答下面的问题．(1)在表中空白处分别写出结果；

第5讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ(教师)

第五讲.几何问题之角平分线题型Ⅰ 【教学目标】 1.掌握角平分线的性质和判定； 2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题； 3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题； 4.学习分析问题、解决问题的能力。 【知识、方法梳理】： 一.知识要点详解： 1.角平分线的性质定理： （1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 （2）定理的数学表示：如图1，已知OE 是AOB ∠的平分线，F 是OE 上一点，若 CF OA ⊥于点C ，DF OB ⊥于点D ，则CF DF =。 （3）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； （4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 图1C 图2C E 2.角平分线性质定理的逆定理： （1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 （2）定理的数学表示：如图2，已知点F 在AOB ∠的内部，且FC OA ⊥于C ，FD OB ⊥于D ，若FD FC =，则点F 在AOB ∠的平分线上。 （3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。 （4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。

3.关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。 定理的数学表示：如图3，如果AP 、BQ 、CR 分别是ABC ?的内角BAC ∠、ABC ∠、 ACB ∠的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI EI FI ==。 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。 （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。 4.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示） 1.已知角平分线，构造全等三角形； 2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段； 3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。 D B N P E D C B A 三.角平分线性质定理之联想：

利用三角形角平分线构造基本图形

第 1 页 共 2 页 利用三角形角平分线构造基本图形 三角形的角平分线是三角形的重要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．利用三角形的角平分线构造基本图形给解题带来极大方便．下 面举例说明： 一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形 此情形可构造两种基本图形如图1，图2所示： 如图1，以AD 为轴翻折，使点C 落在AB 上（即在AE 上截取AE AC =），得ACD △AED ≌△．如图2，以AD 为轴翻折，使点B 落在AC 的延长线上（即延长AC 到E ，使AE AB =），得ABD AED △≌△． 例1 如图3，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=， 求：B C ∠:∠的值． 解法1：在AC 上截取AE 使AE AB =，连结AE ． ∵BAD DAE ∠=∠，AD AD =， ∴ABD AED △≌△， ∴B AED =∠∠，BD DE =． 又∵AB BD AC +=， ∴CE BD DE ==， ∴C EDC =∠∠， ∴2 B AED C ∠=∠=∠， ∴21B C :=:∠∠． 解法2：延长AB 到F ，使AF AC =，连结DF ．请读者一试． 二、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形 1．根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任意一点向角的两边作垂线，得到两个全等的直角三角形； 2．根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上任意一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形． 例2 如图4，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD DC =，BD 平分ABC ∠． 求证：180A C ?+=∠∠． 证明：过点D 作DE AB ⊥，交BA 延长线于点E ，作DF BC ⊥，交BC 于点 F ． ∵BD 平分ABC ∠， ∴DE DF =．又∵AD CD =， ∴Rt Rt EAD FCD △≌△， ∴EAD C =∠∠． ∵180EAD BAD ?+=∠∠， ∴180C BAD ?∠+∠=． 例3 如图5，已知等腰三角形ABC △中，90A ?∠=，B ∠的平分线交AC 于点D ，过点C 作BD 的垂线交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE = ． 证明：延长CE 交BA 的延长线于点F ， ∵BE 是ABC ∠的平分线，BE CF ⊥， ∴ BCF F =∠∠， ∴FBC △是等腰三角形． ∴CE FE =． ∴2CF CE =． B A C D E （图1） A B C D E （图2） C A B D E （图3） A B C D E F （图4）

最基本的图形--点和线(提高)知识讲解

最基本的图形--点和线（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 理解点和线是最基本的图形； 2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示； 3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验； 4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题； 5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力. 【要点梳理】 要点一、点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点. 要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法 1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线. （2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线． 要点诠释： （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 要点诠释： （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线； 图4

三角形角平分线专题讲解

二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段 的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法 图1-1 B 图 1-2 D B C

来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC A B C 图1-4 A B C

角平分线模型的构造复习课程

第二讲角平分线模型的构造 3月 角平分线 (l)定义：如图2-1，如果∠AOB ＝∠BOC ，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，像OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P 是∠MON 平分线上一点， (l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． (a) O (b) (2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”． (3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合(c) O (d) O (4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是（ ）cm. 图2-3 （a ） (2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC ． 图2-3（b ）

七年级数学最基本的图形——点和线华东师大版知识精讲

七年级数学最基本的图形——点和线华东师大版 【本讲教育信息】 一、教学内容 最基本的图形——点和线 二、知识要点 1. 知识点概要 ⑴在现实情境中理解点、线段、射线、直线等简单的平面图形。 ⑵了解两点之间线段最短，两点确定一条直线的事实。 ⑶会用度量的方法、叠合的方法比较两条线段的长短。 ⑷理解线段中点的概念以及图形的几何意义。 2. 重点难点 ⑴重点：线段、射线、直线的相关概念及表示方法、有关性质。 ⑵难点：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”在生活中的应用、线段中点的几何意义及其应用。 三、考点分析 （一）直线的相关知识 1. 生活中的形象：一根拉得很紧的线、笔直的铁路、纸的折痕等。 2. 直线的表示方法：⑴用表示它上面任意两点的两个大写字母表示。如图可记为“直线AB”或“直线BA”；⑵用一个小写字母表示。如图可记为“直线l”。 3. 直线的基本性质（公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 4. 直线性质的应用：木工师傅画线，日常生活中往墙上钉木条等。 5. 点与直线的位置关系：⑴点在直线上（或直线经过这个点）；⑵点不在直线上（或点在直线外，或直线不经过这个点）。 （二）射线的相关知识 1. 生活中的形象：手电筒射出的一束光线、激光灯的光束。 2. 射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这一点叫做射线的端点。 3. 射线的表示方法：（1）用两个大写字母表示射线，射线端点的字母应写在前面，如图可记为“射线AB”；（2）用一个小写字母表示。如射线l。 （三）线段的相关知识 1. 生活中的形象：一根竹竿、一支铅笔、一段走廊等。 2. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 3. 线段的表示方法：⑴用表示它的两个端点的两个大写字母表示。如图可记为线段AB 或线段BA。⑵用一个小写字母表示。如“线段l”。 4. 线段的基本性质（公理）：两点之间，线段最短。

用角平分线解题的基本图形

用角平分线解题的基本图形 利用角平分线解题时，常常见到以下三个基本图形。 在图1上，过角平分线上任一点作角平分线的垂线，截出一个等腰三角形，它是由两个全等的直角三角形拼成的。 在图2上，过角平分线上任意一点，作角的一边的平行线，则与角的另一边以及角平分线构成一个等腰三角形。 在图3上，在三角形的一边或其延长线上，截取线段等于另一边得两个全等的三角形。 以上图形，拓宽了“已知”与“未知”间的联系渠道，为寻求解题提供了更多思路，下面举中考题为例说明。 例1 如图4，在△ABC中，AC＜BC，从A向∠C的平分线引垂线，垂足为D，E是AB的中点，连结ED。 求证： (1988年济南中考题) 证明如图4，延长AD交BC于F。 ∵∠ACD=∠BCD，CD⊥AF， ∴△ADC≌△FDC。 ∴AD=FD，AC=FC。 ∴ED是△ABF的中位线。

)(21)(2121AC BC FC BC BF ED -=-==∴。 例2 如图5，△ABC 中，∠BAC=120°，AD 是∠BAC 的平分线，AB=5，AC=3。求：AD 的长。 (1993年徐州市中考题) 解 作DE ∥AC 交AB 于E,则AC ED AB BE =。 ∵ AD 平分∠BAC ， ∴EA=ED 。 ∵∠BAC=120°， ∴∠BAD=60°， ∴EA=ED=AD 。 8153 55,=∴==-∴ AD AD AD AC AD AB EA AB ，－即 例3 如图6，在△ABC 中，∠A=60°，角平分线BE 、CD 相交于O 。 (1)求∠DOE 的度数； (2)求证DO=EO ； (3)若BD=14，BC ∶CE=3∶1，求BE 的长。 (1)解 很容易求出∠DOE=120°。 (2)证明 由四边形内角和，得∠ADO+∠AEO=180°。

最基本的图形——点和线

第四章图形的初步认识 第5节最基本的图形——点和线 点和线 教学目的： 1、使学生掌握直线、射线、线段的区别与联系， 并能初步三种线的一些性质； 2、能从线段长度的角度来分析两点间的距离； 3、能初步理解直线与线段的两个重要性质（公理）。教学分析： 重点：三种线的性质特点、直线与线段的公理； 难点：对几何图形的本质特征的正确认识。 教具准备： 要求学生准备好的一条绳子和一条硬纸条。 教学设想： 运用层层推进，采取列表比较的方法进行学习。 教学过程： 一、知识导向： 本节课是初中几何基本知识的开门，所以能否把本节课的内容处理好，对以后学生学习几何知识有着重要的影响，所在要本次教学内容的安排上，应能使学生在知识学习中找到乐趣。在课堂的安排上，首先从线段入手，并以此为突破口，通过对线段的详细讲解，为下面的射线与直线的学习打好坚实的基础，在三种线的学习上，处理好不同线的比较，加深学习的记忆。另外在学习线段与直线的公理时，及时与实际相联系激发学生的学习兴趣。 二、新课拆析： 1、知识情景： （1）如果你站在一座足够高的楼上，望着楼底下的某一个，那么你将能见到什么？ （2）大家都学习过地理，也都曾见过地图册，那么当你看到北京的时候，你能看到什么？ （3）如果你把一条两头都打结的绳子拉直了，你将能发现什么？ 2、知识释疑： （1）从情景中，我们将能知道，那时，你能看到的将是一个点，而这个点就表示着这个人或这个城市的位置，因此，在考虑本节课时，如何把学生真正引入到美丽的几何学习中将是老师必须下功夫考虑的问题。 在情景的安排时，可在上课进行适当的变化，比如说，节日焰火可以看成由点运动而成。 在讲解时，要注意一方面通过现实生活中的实例让学生理解这些概念，另一方面

图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习

方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型 方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算 类型1 两个内角平分线的夹角 如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC ＝90°＋1 2 ∠A. 图1 图2图3 解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和． 类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角 如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P ＝1 2∠A. 解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半． 类型3 两外角平分线的夹角 如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O ＝90°－1 2 ∠A. 解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ 1．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°． 【变式1】如图，若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝20°． 【变式2】如图，若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°． 【变式3】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α 2 2 018． 方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线

最基本的图形——点和线

§4.5最基本的图形 练市一中钟志伟 教学目标: 1：知识目标：理解任何图形都是由点和线组成的，体会点、线段、射线、直线的形象，掌握点、线段、射线、直线的表示法； 2：能力目标：继续进行几何语言和几何识图能力的训练，通过探索点和线的性质，培养主动参与探索、获取知识的能力； 3、情感目标：对数学产生一定的兴趣，渗透学数学用数学的意识，并培养自己独立思考及与他人合作交流的习惯。 教学重点: 线段、射线、直线的认识以及表示法，感受、体会、理解“两点之间，线段最短”和“两点确定一条直线”。 教学难点: 线段、射线、直线的区别和联系以及两点之间的距离的概念。 教学方法: 创设问题情境，提出问题与学生共同探究，归纳、讨论式。 教学准备: 课件、多媒体设备、中国行政地图册、木条、圆柱模型、尺子、建筑图、城市夜景图等 教学过程： 一、创设情景，引入课题 请学生观看一幅精美的图片（建筑图）。电脑演示。 提问：1、这些精美的图片到底是由哪些最基本的图形组成的？（点和线） 2、请同学们讨论一下，平行四边形是由几个点和几条线段组成的？ 立方体是由几个点和几条线段组成的？ 二、自主合作，探究问题

（一）学一学，我一定能行的！ 下面我们来看一下点和线段是如何来表示的？ 1、点的表示 ·A ·B 用大写字母表示，在点的旁边标一个大写字母。读做点A ，点B 。 2、 线段的表示 A B a 在线段的两端标两个大写字母 在线段的中间标一个小写字母 读作线段AB 读作线段a 或线段BA 从这里我们可以知道，线段有两种表示方法。 （二）争一争，精益求精！ 小组合作探究：请分别说出下图中的各条线段。 A A B B B C D C 线段AB 线段AC 线段AB 线段AC 线段AB 线段AC 线段BC 线段BC 线段BD 线段BC 线段BD 线段BC 线段AO 线段DO 线段CO 线段BO 线段AD 线段BC （三）学一学，我一定能行的！ 3、 线段的性质 操场上，体育老师分别让三位学生，从操场的一端运球到操场的另一端，他们的运动路径如图，比较他们三个中，哪个学生所经过的路程最短？ C D 先让学生思考，然后预测，最后教师用电脑动画演示。 电脑演示，从操场的C 点到操场的另一端B 点分别沿三条不同的路径走 ，所走过的路程的长短。 在实际的情况中，我们都希望走的路越短越好，当然，选择笔直的路。由此，我们可以得出如下结论： 两点之间，线段最短。

最新中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

45o角的问 题 本文以两道含有45o角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们参考. 一、试题呈现 题1 (2017年丽水中考题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知点(2,0)C . (l)略; (2)设P 为线段OB 的中点，连结PA ，PC 若45CPA ∠=?，则m 的值是 . 题2 (2017年金华中考题)如图2，已知点(2,3)A 和点(0,2)B ，点A 在反比例函数 k y x = 的图象上.作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按照逆时针方向旋转45o，交反比例函数的图象于点C ，则点C 的坐标是 . 上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45o的特殊角.因此，如何利用45o角成为了解题的突破口，45o角的两边与x 轴的交点都形

成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法. 二、共同解法展示 1.构造“一线三等角”，利用相似三角形 丽水题解法1 如图3，在y 轴截取OD OC =，此时45PDC ∠=?，可以证得 ABP PDC ??:， BP BA CD PD =. 进而得到方程 ::(2)22 m m =+， 解得12m =. 金华题解法1 如图4，过点A 作等腰直角PNG ?，作ND NF =，连结DF ，易得 6NP NG ==，PG =. 设FN DN a ==， 可以证得APG FDA ??:， 得AP DF PG DA =， 3 a =+， 解得1a =， ∴(1,0)F . 求出AF 的解析式为33y x =-, 再与6y x =联列方程，得到C 点坐标为(1,6)--. 分析 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45o的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程. 2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形 丽水题解法2 如图5，过点C 作CD CP ⊥，交AP 于点D ，再作DE x ⊥轴，易得 OPC ECD ???，

最基本的图形--点和线(基础)知识讲解

最基本的图形--点和线（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解点和线是最基本的图形； 2．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示； 3. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验； 4. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题； 5. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力. 【要点梳理】 要点一、点、线、面、体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点. 要点二、线段、射线、直线的概念及表示方法 1.概念：一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线. （2）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线． 要点诠释： （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 要点诠释： （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线； 图4

角的平分线(基础)知识讲解

角的平分线（基础） 【学习目标】 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法． 3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题． 【要点梳理】 要点一、角的平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 要点二、角的平分线的逆定理 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点诠释： 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 要点三、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于1 2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC. 射线OC即为所求. 要点四、轨迹 把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹. 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆. 【典型例题】 类型一、角的平分线的性质 【高清课堂：角平分线的性质，例2】 1．如图，∠ACB ＝90°,BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，ED 的延长线交BC 的延 长线于F. 求证：AE ＝ CF 【答案与解析】 证明：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB,DC ⊥BF ∴DE ＝DC （角的平分线上的点到角两边的距离相等） 在△ADE 和△FDC 中 DEA DCF DE DC ADE FDC ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ADE ≌△FDC(ASA) ∴AE ＝CF 【总结升华】利用角平分线的性质可得DE ＝DC ，为证明三角形全等提供了条件 . 2、如图, △ABC 中, ∠C ＝ 90?, AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于 E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( ) A. 4cm B. 6cm C.10cm D. 以上都不对 【答案】B ； 【解析】由角平分线的性质，DC ＝DE ，△DEB 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝6. 【总结升华】将△DEB 的周长用相等的线段代换是关键.

七年级数学上册第4章图形的初步认识4.5最基本的图形__点和线1点和线课时练习新版华东师大版

点和线 (30分钟50分) 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.下列说法正确的是( ) A.延长线段AB B.延长直线AB C.延长射线OA D.作直线AB=CD 2.下列说法中正确的有( ) ①射线与其反向延长线成一条直线; ②直线a,b相交于点m; ③两条直线相交于两点; ④三条直线两两相交有三个交点. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 3.某高速路的设计者准备设计修建一条隧道,以缩短两地之间的里程,其主要依据是() A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拨木条,木条能转动,这说明__________;用两个钉子把细木条钉在木板上,就能固定细木条,这说明__________. 5.如图,从学校A到书店B最近的路线是________号路线,得到这个结论的根据是:________. 6.如图所示,图中的直线、射线、线段的条数分别为a,b,c,则a+b+c=______.

三、解答题(共26分) 7.(8分)已知平面上四点A,B,C,D,如图: (1)画直线AB. (2)画射线AD. (3)直线AB,CD相交于点E. (4)连结AC,BD相交于点F.

8.(8分)如图所示,回答下列问题 : (1)图中共有多少条射线? (2)图中共有多少条直线?请表示出来. (3)图中共有多少条线段?请表示出来. 【拓展延伸】 9.(10分)通过阅读解答问题(阅读中的结论可以直接用). 阅读:在直线上有n个不同的点,则此图中共有多少条线段?通过分析、画图尝试,得如下表格: 图形 直线上点 的个数共有线段 条数 两者关系 2 1 1=0+1 3 3 3=0+1+2 4 6 6=0+1+2+3 5 10 10=0+1+2+3+4 ………… n =0+1 +2+3+…+(n-1) 问题:(1)某学校七年级共有8个班进行辩论赛,规定进行单循环赛(每两班赛一场),那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场? (2)乘火车从A站出发,沿途经过3个车站方可到达B站,那么在A,B两站之间需要安排多少种不同的车票?

最基本的图形---点和线

课题：4.5.1最基本的图形———点和线 铜山县侯集中学新区分校张朝金 教学目标： 1、通过生活中的实例，进一步认识点、线段、射线、直线。 2、在探索图形特征和与他人合作交流等活动过程中，经历观察、实验、猜想等数学活动，进一步学习有条理地思考和表达，发展合情推理与空间观念。 3、从现实生活的具体情境中发现线段公理、直线公理，尝试用它们解决实际问题，发展应用意识。 4、体验图形是有效地描述现实世界的重要手段，积极参与数学活动，体验成功，建立自信心。 教学重点： 通过现实生活中的实例让学生理解点、线段、射线、直线的本质特征。 教学难点： ○1线段、射线、线段的区别和联系。 ○2应用线段公理、直线公理尝试解决实际问题。 教学方法： 探究与合作式教学法 教学工具： 投影片、小黑板、自制直观教具 教学过程： 情景引入：请说出你所见过的最宏伟的建筑或最奇妙的图形。然后教师说明它们都是由最基本的图形——点和线组成。板书课题：点和线 一、点（出示投影片） ○1指出南兴的大致位置。 ○2人类生活的地球是一个很大的球体，但在描述太阳系中行星绕太阳运行，地球只能被看作一点。 ○3请你标出自己现在所坐的位置。 说明：点通常表示一个物体的位置，没有大小。 ○4徐州的夜晚简直是灯的海洋，每一个彩灯可以看作一点。 ○5点阵式打印机打出的数字和字母。 如：

说明：美丽的文字或图案由点组成。 ○ 6把你的笔尖看作一个点，用你的笔或直尺在画板上画出自己最喜欢、最简单的图案。 展示同学们的作品，说明点动成线。 二、线段： 展示教具： 一根拉紧的绳子 一根竹竿（或铅笔） 问题：老师展示的这些东西，给我们什么样的形象？ 板书：线段 举例：列举生活中给我们线段形象的例子 线段表示： A B a 做一做： 1、你能画线段吗？请你把号码相同的点用线段连接起来，你得到了什么图案？ 2、用七根塑料棒可以摆出图中的“8”，你能去掉其中的若干根塑料棒摆出其它的九个数字吗？ 这种用七条线段构成的数字称为“七画字”，我们在日常生活中，常见到它的应用，你能举出实例吗？ 说明：本题让学生先思考，然后动手操作，再交流，最后举例。 3、○ 1如图(1)，有一条线段可以表示为线段_________ ○2如图(2)有几条线段? ○3如图（3）、（4 ）中分别有几条线段？ （3） （4） ○ 4若图中的线上有m 个点呢？ 说明：本题的第○ 4小题给学生足够的时间思考，然后小组讨论，各小组派代表进行全班交流。 观察： （1） 小狗应该走哪条路线？你认为小狗选择的哪条路线是最短路线，请说出你的验证方法。 (1) (2) A B A B C A B C D A B C D E