高等数学二 习题8-12

习题8.1

求下列各点所在象限:

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()()()() 1,-2,32,3,42,3,42,3,1;-----1、;2、;3、;4、______________,___________________________________p xoy yoz zox x y z --5、点关于平面的对称点是,关于平面的对称点是关于平面的对称点是,关于轴的对称点是,关于轴的对称点是,关于轴的对称点是;6、点5,3,4(-A 在xoy 平面上的射影点为_____ ______,在yoz 面上的射影点为__________,在 zox 轴上的射影点为_________,在轴上x 的射影 点为________,在轴上x 的射影点为______,在 轴上z 的射影点为_______ ; 7、已知空间直角坐标系下,立方体的4个顶点为 ),,(a a a A ---,),,(a a a B --,),,(a a a C --和 ),,(a a a D ,则其余顶点分别为

_________,____ __________,__________,_________ ; 8、已知三角形的三个顶点)4,1,2(-A ,)6,2,3(-B , )2,0,5(-C 求(1)过A 点的中线长; (2)过点的B 中线长;(3)过C 点的中线长 9、已知平行四边形ABCD 的两个顶点)5,3,2(--A ,

)2,3,1(-B 的及它的对角线的交点)7,1,4(-E ,则 顶点的坐标D 为_________,顶点C 的坐标为_____ ______; 10、若直线段落AB 被点)2,0,2(C 及点)0,2,5(-D 内 分为3等分,则A 端点的坐标为_________, B 端点

的坐标为_________ .

12.求点

到各坐标轴的距离. ()5,3,4-M 13.在 面上,求与三点 等距离的点

yoz ()()()

1,5,0,2,2,10,2,1,3C B A --14.试证明以三点 ()()()3,4,2,6,1,10,9,1,4C B A -2、 向量的___________叫做向量的模; 3、 ___________的向量叫做单位向量; 4、 _____________的向量叫做零向量; 5、 与_____无关的向量称为自由向量; 6、 平行于同一直线的一组向量叫做_________,三 个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ _________;

7、两向量___________

,我们称这两个向量相等;8、两个模相等、____________的向量互为逆向量;9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点,则终点 构成____________;10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点,则终点构成____________________;

11、要使b a b a -=+成立,向量b a ,应满足_______

_________________;12、要使b a b a +=+成立,向量b a

,应满足_______

16.以知

求与

17.设 有怎样的关系,能使得

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13、 用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平

行四边形 .

15.设 为单位向量,且满足 c

b a ,,求 a

c c b b a ?+?+?同时垂直的单位向量. 使得 与 b

a μλ+z

()()()3,1,3,1,3,3,2,1,1321M M M -同时垂直的单位向量.

()()μλ与问,4

,1,2,2,5,3==b a 2、 已知两点1M )2,1,0(和2M )0,1,1(-求,12;M M 求-221M M ;3、 已知两点1M 4(和)2,0,3(M ,则向量

=21M M ________ ,,方向 余弦αcos =_____;βcos =____;γcos =_____;

方向=α角_____ ,=β_____ ,=γ______; 4 、 已知向量k j i a ++=,k j i b 532+-=及 k j i c 22+--=,=0a 则______________; 0b =__________; 0c =____________;5、一向量与zox yoz xoy ,,三个坐标平面的夹角γβα,, 满足α2cos +β2cos +γ2cos =____________ .6 、一向量的终点在点)7,1,2(-B ,它在轴X ,轴Y 和轴Z 上的投影依次为74,4和-,求这向量的 起点的坐标A . 7 、求平行于向量{

}

6,7,6-=a

的单位向量 . 习题8.4 2、 已知(b a ,)=3,且a =1,b =2,求

2

)(b a ?; 3b a ,为其邻边的_________; 4、 两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中

有一个向量为________,或它们互相________;

5、 两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一个向量为____________,或它们互相______; 6k j i 23--=,k j i b -+=2 , 则b a ? = ____, b a ? = _______ , b a 3)2(?- = _______,

b a 2? = _________,),cos(b a

= __________ ;

7、设a =k j i +-32,k j i b 3+-=和,2j i c -=则 b b c b a ??)( = _________________ . 8、 已知c b a ,,为单位向量,且满足 能使行z μλ+轴垂直 .

10.应用向量证明:

直径所对的圆周角是直角 . 11.已知c b a ,,两两垂直,且

c b a s c b a

++====求,3,2,1的长度

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8.5 习题 1、 求Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程; 2、 求以点)1,2,2(-O 为球心,且通过坐标原点的球面方程; 3、 求球面:07442222=--+-++z y x z y x 的球心点及半径R ; xoz 面上以曲线________________绕_______轴旋转面成,或由yoz 面上以曲线_______________ 绕________轴旋转面成 ;

5、 若柱面的母线平行于某条坐标轴,则柱面方程的特

6、 曲面142

=+-z x 是由_______绕_________轴放置一周所形成的;

7、 曲面222

)(y x a z +=-是由______________绕_____轴旋转一周所形成的;

8、 方程2=x 在平面解析几何中表示___________在空间解析几何中表示

___________________;9、 方程422=+y x 在平面解析几何中表示_______________,在空间解析几何中表示_______________.10.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离,求这动点的轨迹方程 11.建立以点(13,-2)为球心,且通过坐标原点的球面方程. 12.将 坐标面上的抛物线 绕 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程 xoz x z 52=13.将 坐标面上的圆 绕 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程 14.将 坐标面上的双曲线 分别绕 及 y 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程

xoz

92

2=+z x xoy

36942

2=-y x x

8.6 习题 1、 求曲面z y x 1092

2=+与yoz 平面的交线; 2、 已知一柱面通过曲线

162222=++z y x ,02

22=-+y z x ,且 母线平行于y 轴,求该柱面方程; 3、 求曲线01,0332322=+-=-+-++z y z x yz z x 在 4、旋转抛物面2

2y x z +=(40≤≤z )

和xoz 面上的投影 . 6.求球面 与平面 的交线在 922=+y x 1=+z x xoy 面上的投影的方程 习题 8.7

1、 平面0=++Cz By Ax 必通过_______,(其中 C B A ,,不全为零);

2、平面0=++D Cz By __________x 轴;

3、平面0=+Cz By _______x 轴;

4、求通过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平 行的平面方程;

5、求通过),0,0()0,,0()0,0,(c b a 、、三点的平面方 ;

6、 求过点)2,2,2(,)1,1,1(---和)2,1,1(-三点的 平面方程 .

7、点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2=a 和

{}0,1,1-=b 的平面方程 . 8、 求通过Z 轴和点)2,1,3(--的平面方程 .

x

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9.求过点(3,0,-1)且与平面 012573=-+-z y x 平行的平面方程

10.求过点 且与连接坐标原点及点 ()6,9,2

0-M 的线段 垂直的平面方程 0OM 0M 11.求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三点的平面方程 12.求平行于 面且经过点(2,-5,3)的平面方程 xoz 13.求通过 轴和点(-3,1,-2)的平面方程 x

14.求点(1,2,1)到平面

的距离 01022=-++z y x 的平面方程 8.8 习题

1、 求通过点)3,1,4(-且平行于直线5

1

23-=

=-z y x 的直线方程; 2、 用对称式方程及参数方程表示直线L :???=++=+-4

21z y x z y x . 面方程 . 4、 求直线?

??=---=+-0923042z y x z y x 在平面14=+-z y x 上的投影直线的方程 . 8.9 习题 1、求曲线???

?

?==-+3

022

2z x z y ,在xoy 面上的投影曲线 的方程.

习题 9.1

1、 已知y

x

xy y x y x f tan ),(22-+=,求),(ty tx f .

2、 已知xy

y x y x f 2),(22+=,求(2,3)f -及(1,)y f x . 3、 已知)0()(22>+=y y

y x x y

f ,求()f x .

4、 已知22),(y x x

y

y x f -=+求(,)f x y 及

5、 求函数)

1ln(42

22

y x y x z ---=的定义域 6、求函数y x z -=的定义域.

7、求函数x y

z arcsin =的定义域.

8、求函数x

y x

y z 2222

-+=的间断点.

9、 证明极限y

x xy y x +-+→→1

1lim

0不存在 .

习题9.2 1、已知y

x

z tan ln =,求 z x ??及z y ??.

2、已知(),xy z z e x y x ?=+?求

及z

y ??;

3、已知,z y x u =求u x ??;u y ??及u

z ??.

4.已知,arctan x

y

z =求22z x ??;22z y ??及2z x y ???.

5、设z y

x

u )(=,求2u

z y ???.

6、求函数的偏导数 y xy z )1(+=;

7、求函数的偏导数 z y x u )arctan(-=.

8、设x

y z =,求.,22222y x z y z x z ???????和

9、设)ln(xy x z =,求y x z ???23和2

3y x z

???.

验证:

10、)11(y

x e

z +-=,满足z y

z y x z x 222

=??+??; 11、222z y x r ++= 满足

r z z

r y r x r =??+??+??222222.

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.

()

xy z ln =y z

x z ????,x z tan ln =y z x z ????,.13

.

求 .求 .

14

.

()()()()()22217.arctan 18.,,,0,0,1,1,0,2,0,1,02,0,1xx xz yz zzx y z x

f x y z xy yz zx f f f f ==++-设求及习题 9.3

1、设x

y e z =,求z x ??及z y ??和dz 2、已知)ln(222z y x u ++=,求du

4.已知 dz e z x y 求=5.已知 dz y x y

z 求22+=

习题9.4 1、已知x y y

x z cos cos =

,求z x ??及z

y ?? . 2、已知2

2)23ln(y y x x z -=,求z x ??和z y ??. 3、已知3

2sin t t e z -=,求dz dt . 4、设

u v

ue z =,而xy v y x u =+=,22,求y z x z ????, .

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6、设),,(22xy e y x f z -=(其具中f 有一阶连续偏导 数),求y

z

x z ????,.

7、设)(xyz xy x f u ++=,(其具中f 有一阶连续偏导 数),求.,,z u y u x u ?????? 8、设),(y x

x f z =,(其具中f 有二阶连续偏导数),求 22222,,y z

y x z x z ???????.

验证:211y

z

y z y x z x =??+??. 10、设?φ?φ,],),([其中y y x x z -+=具有二阶导数,求 .,2222y

z x z ???? y z x z y x v y x u v u z ????-=+=+=,,,,.112

2求而设dt dx t y t x e z y x 求而设,,sin ,.12

32===-()dt dz

t y t x y x z 求而设,4,3,arcsin .132==-=()

xy e y x f u ,22==14.求函数的一阶偏导数 15.求函数的一阶偏导数 ()xyz xy x f u ,,=习题9.5 1、已知x y y x arctan ln 22=+,求dy dx . 2、已知z x y z =,求 z x ??及 z y ??. 3.设,32)32sin(2z y x z y x -+=-+ 证明:.1=??+??y z x z 4、 如果函数),,(z y x f 对任何t 恒满足关系式

),,(),,(z y x f t tz ty tx f k =,则称函数),,(z y x f 为 k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程

),,(z y x kf z

f z y f y x f x =??+??+??.

5、设.,323

3y

x z a xyz z ???=-求

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6、设),,(t x f y =而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的

y x ,的函数,求.dx dy 7、设

),(y x z z =由方程),(x z y y x x F ++=0所确定, 8.9.10.1、2、3、4 1.,1(2.f (3.,),,(222c

b a z y x u ++=求u 沿场的梯度方向的方向导数

6.求函数 的极值

7.求函数

的极值 8.求函数 的极值

9. 求函数 在适合附加条件

下的极大值

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习题 9.8

1、 函数)4)(6(),(22y y x x y x f --=在_______点

取得极值为___________.

2、 函数xy z =在附加条件1=+y x 下的极______

值为_____________.

3、 方程02642222=----++z y x z y x 所确定的

函数),(y x f z =的极大值是___________,极小值是_____________.

4.在平面xoy 上求一点,使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.

5.求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.

()()2

24y x y x xy f ---=()(

)(

)2

246,y y x x y x f --=()(

)

y y x e y x f x 2,22+==xy

z =1=+y x 习题10.1 1、 当函数),(y x f 在闭区域D 上______________时,

则其在D 上的二重积分必定存在 .

2、 二重积分??D

d y x f σ),(的几何意义是

___________________________________.

3、 若),(y x f 在有界闭区域D 上可积,且

21D D D ??,当0),(≥y x f 时,

则??1

),(D d y x f σ__________??2

),(D d y x f σ;

当0),(≤y x f 时,

则??1

),(D d y x f σ__________??2

),(D d y x f σ .

222

4≤+y x 的面积 ,.

比较下列积分的大小:

5、????++D

D d y x d y x σσ322)()(与, 其中D 是由圆

2)1()2(2

2

=-+-y x 所围成 .

6、????++σσd y x d y x D

2)][ln()ln(与,其中D 是矩形

闭区域:10,53≤≤≤≤y x .

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2

3

4

5

6

7

1

2y

2

2

=的上侧 .

-

z-

R

x

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()() 5

3

2n

n

6

?4

+

+

?

1

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