二重积分的计算方法小结 余义江

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摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Key Words (1)

1.化二重积分为累次积分 (1)

2. 二重积分的变量变换 (5)

2.1 二重积分的变量变换公式 (5)

2.2 利用极坐标计算二重积分 (6)

结束语 (8)

参考文献： (8)

二重积分的计算方法小结

学生姓名：余义江 学号：20085031166 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师：李景杰 职称：副教授

摘 要：本文介绍了几种常用的二重积分的计算方法.并通过实例加以阐析. 关键词：二重积分;累次积分;变量变换

The Summary of the Calculation of Double Integral

Abstract:This paper introdues several common used methods of calculating the double integral. Examples and summaries are also given.

Key Words: Double integral; Repeated integral; Variable transformation

引言

对于二重积分，如果按定义去计算其积分值是非常复杂的，因此必须寻找其计算的简单方法.

1.化二重积分为累次积分

定理[]1

1 设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =?上可积，且对每个[],x a b ∈,积

分(),d c

f x y dy ?存在，则累次积分d

c

dy

?(),b

a

f x y ?dx 也存在，且

(),D

f x y d σ??b a

dx

=?

(),d

c

f x y dy ?.

定理[]'1

1 设(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =?上可积，且对每个y ∈ [],c d ,积分(),b

a

f x y dx ?存在，则累次积分d

c

dy

?(),b

a f x y ?dx 也存在，且

(),D

f x y d σ??(),d b

c

a

dy f x y dx =?

?.

特别地当(),f x y 在矩形区域[][],,D a b c d =?上连续时,则有

(),D f x y d σ??

(),d b c

a

dy f x y dx =??b

a

dx

=?(),d

c

f x y dy ?.

例1 计算()2

D

x y d σ+??，其中[][],,D a b c d =?. 解 应用定理1（或定理'1）有

(),D f x y d σ??

()1

1

2

00dx x y dy =+??=()331

0133x x dx ??--?

?????

?7

6=. 定理[]2

2 设D 为由x a =，x b =()a b <，()1y y x =，()2y y x =所围成的区域，其中()1y x ，()2y x 在[],a b 上连续且()1y x ≤()2y x .如果(),f x y 在D 上可积，

(),D

f x y dxdy ??I =，又对每个固定的[],x a b ∈，一元函数(),f x y 在

()1y x ≤y ≤()2y x 上可积，()()

()

21,y x y x f x y ?

dy I =()x ，则()I x 在[],a b 上可积，且

()b

a

I x dx I =?

.即(),D

f x y dxdy ??=()()

()()

21,b

y x a

y x f x y dy dx ??

.

定理二把二重积分的计算化为一个先y 后x 的累次积分.完全类似的有以下定理

定理[]'2

2 设D 为由y c =，y d =()c d <，()1x x y =，()2x x y =所围成的区域，

其中，()1x y ,()2x y 在[],c d 上连续且()1x y ≤()2x y .如果(),f x y 在D 上可积，

(),D

f x y

d x d

y ??I =，又对每个固定的[],y c d ∈，一元函数(),f x y 在()1x y ≤x ≤()2x y 上可积，()()

()21,x y x y f x y dx ?

I =()y ，则()I y 在[],c d 上可积，且

()d

c

I y dy I =?.即

(),D

f x y dxdy ??

=()()

()

()

21,d

x y c

x y f x y dx dy ??

.

注意，在利用定理2时，必须要求积分区域D 满足以下条件，即任何平行于y 轴的直线0x x =()0a x b <<和D 的边界至多只有两个交点.定理'2也类似.如果区域

D 不满足以上条件时，则要将区域D 适当地分割为若干个小区域，使每个小区域满

足以上条件 .

如果对区域D 定理2和定理'2都能用时，则有 (),D

f x y dxdy ??=()()

()

21,b

y x a y x dx f x y dy ??

=d

c

dy

?()()()

21,x y x y

f x y dx ?.

此时到底将二重积分化为先x 后y 的累次积分，还是化为先y 后x 的累次积分，则要看具体的问题而定，看哪种算法简单.

例2 设D 是由直线0x =，1y =及y x =围成的区域，试计算：I =2

2y D

x e

d σ

-??的值.

解 若用先对y 后对x 的积分，则2

1

1

2

y x

I x dx e

dy -=??.

由于函数2

y e 的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有

2

1

20

y

y I dy x e

dx -=??213013y y e dy -=? . 由分部积分法，即可算得：11

63I e

=-.

上例说明积分的次序的选择与二重积分计算的繁，简程度有着极为密切的关系.如果选择不当将增大计算难度或无法计算. 所以，如果按某种次序的累次积分的计算很麻烦，或者根本积不出来，那就需要考虑更换积分次序了.积分换序的一般步骤是：

1. 由所给的累次积分的积分限，写出积分区域的不等式表达式；

2. 将不等式两端看成等式，可得积分区域的边界线.然后画出积分区域D ；

3. 将区域D 按相反次序用不等式表示出来；

4. 按3中的不等式将积分表示为二次积分.

例3

计算2

40x

I dx dy y ππ

=?.

解 由于sin x

y

?dy 无法求出，所以考虑交换积分次序.由已知，积分区域可表示为

D ：2

04

x π≤≤

2

y π

≤≤

其边界曲线为

y ，2

y π

=

和0x =

作出区域D 的图形（图1），再将D 按相反次序 表示为 D ：2

0π

≤≤y ，20y x ≤≤

于是

dx y

x dy dy y x dx I y x

????

==2004

2

2

2

sin sin π

ππ

()20

cos y y y dy π

=-?

2

18

2

ππ

=

-

+.

同定积分的计算一样，有时，奇偶性来简化运算.具体地有：

1. 若()y x f ,是x 的奇函数，即()()y x f y x f ,,-=-且积分区域D 关于y 轴对称，则

()0,=??σd y x f D

；

2. 若()y x f ,是x 的偶函数，即()()y x f y x f ,,=-且积分区域D 关于y 轴对称，则

()()σσd y x f d y x f D D

????=1

,2,

其中1D 是区域D 的位于y 轴右侧的子区域；

同理，若()y x f ,是y 的奇或偶函数,而积分区域又关于x 轴对称,则我们也有类似的简化公式.

例4 计算()

22D

I xy x y d σ=+??,其中D 由2y x =与1y =直线围成.

解 积分区域如图2所示,它关于y 轴对称，所以 ()

22D

I xy x y d σ=+??2D

xy d σ=??+

2

D x yd σ??

02=+又由于子区域1D 可表示为 1D ：201,1x x y ≤≤≤≤所以

1

2

2D I x yd σ=??211

2

02x dx x ydy =??1

20

x =?

421

=

.

2. 二重积分的变量变换

在定积分的计算中我们已经知道，通过变量代换可以使被积函数得到简化，因而使该定积分变得简单易求.同样对于二重积分也可以用二重积分使问题简化.通过变量代换将一个难积的二重积分变得容易积分，关键在于选好变量，变量的选择有时根据函数有时根据积分区域决定.

2.1 二重积分的变量变换公式

定理[]1

3 设(),f x y 在有闭区域D 上可积，变换T ：(),x x u v =，(),y y u v =将uv

平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，

函数(),x u v ，(),y u v 在?分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

()()

()

,,0,x y J u v u v ?=≠?，(),u v ∈?

则

(),D

f x y

d x d y =??()()()(),,,,f

x u

v y u v J u v d u d v

?

??. 选择变量代换时，我们一般可遵循以下两条原则：

1. 所选的变换要能够使被积函数尽可能的简化，以便容易积分；

2. 要使积分区域容易用新的变量表示，从而使积分限容易确定. 例5 求x y

x y

D

e

dxdy +-??其中D 是由0x =，0y =，1x y +=所围成区域（图3）.

解 为了简化被积函数，令u x y =-，v x y =+.为此作变换

T :()12x u v =

+,()1

2

y u v =-,

则 ()111

2

2,011222

J u v =

=>-.在变换T 的作用下，区域?的原象如图4所示，所以

D

2D

=10v v dv -??()11

12u v v v v e e dvdv e du --=-??

1

4

e e --=.

2.2 利用极坐标计算二重积分

对以有些二重积分，其积分区域用极坐标方程表示比较方便，且其被积函数用极坐标变量表示也比较简单，这时，我们就可以考虑用极坐标来计算二重积分.

定理[]1

4 设(),f x y 满足定理3的条件，且在极坐标变换

T ：cos ,

sin ,x r u r θθ=??=?

0,02r θπ≤<+∞≤≤

下，xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域?对应，则成立

(),D

f x y dxdy ??()cos ,sin f r r rdrd θθθ?

=??．

由定理4可以看到，用极坐标变换计算二重积分，除变量做相应的替换外，还

必须把“面积微元”dxdy 换成r drd θ.

注意，在将积分区域D 用坐标变量r ，θ表示时，通常先确定极角θ的变化范围.具体做法是，通过极点在区域对应的极角θ最小，最大值的两侧边界作两条切线（或射线），它们将D 的边界分为内，外两段，设其方程分别为()1r ?θ=和

()2r ?θ=．由此可得极角θ的变化范围αθβ≤≤；然后由极点出发在[],αβ内引一条射线，它由()1r ?θ=进入区域，而由 ()2r ?θ=穿出区域，所以极半径r 的变化范围为()()12r ?θ?θ≤≤．因此，积分区域可用极坐标变量表示为

D ：αθβ≤≤，()()12r ?θ?θ≤≤

特别地，如果积分区域退化为一个如图5所示的曲边扇形，即区域的内侧边界缩为极点时，积分区域可表示为

D ：αθβ≤≤，()0r ?θ≤≤

若如图6所示，极点位于积分区域D 的内部时，则可视为图5当0α=，2βπ=时的特例．即可用不等式

D ：02απ≤≤，0r ≤≤

θ，后对例6 求2

2

x

y D

e d σ--??，其中D 是圆2x +解 采用极坐标，积分区域可表示为 D ：02θπ≤≤，0r a ≤≤ 于是

2

2

x y D

e d σ--??2

r D

e r d r d θ-=??2

200

a

r

d r

e dr πθ-=??

21202r a e π-??=- ???

()

2

1a e π-=-

例7 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222x y ax +=()0a >所截得（含圆柱面内的部分）立体的体积．

解根据

4D

V =其中，D 由半圆与轴围成．

利用极坐标，积分区域D 可表示为

2

4D

V =4D

θ=

2c 20

4d π

θθ=??

()3320231sin 3

a d πθ=-?

3232

323

a π??=

- ???． 结束语

在计算二重积分时，选择适当的坐标，以及适当的积分顺序是很重要的．一般

地，当积分区域为圆域、环域或扇形区域时，或被积函数中含有的

项时，

常利用极坐标．在计算重积分时，特别应注意对称性的利用，这可大大减少计算量．

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析.下册[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]贾晓峰等.微积分与数学模型.下册[M]. 北京：高等教育出版社;海德堡：施普林格出版社，1999.

[3]沈燮昌,邵品琮. 数学分析纵横谈[M].北京：北京大学出版社，1991. [4]徐利治等.大学数学解题法诠释[M].合肥：安徽教育出版社，1999.

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2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于

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32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计 算，这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5

电线电缆截面积怎样计算

1、常用的电线、电缆按用途分有哪些种类？ 答：按用途可分为裸导线、绝缘电线、耐热电线、屏蔽电线、电力电缆、控制电缆、通信电缆、射频电缆等。 2、绝缘电线有哪几种？ 答：常有的绝缘电线有以下几种：聚氯乙烯绝缘电线、聚氯乙烯绝缘软线、丁腈聚氯乙烯混合物绝缘软线、橡皮绝缘电线、农用地下直埋铝芯塑料绝缘电线、橡皮绝缘棉纱纺织软线、聚氯乙烯绝缘尼龙护套电线、电力和照明用聚氯乙烯绝缘软线等。 3、电缆桥架适合于何种场合？ 答：电缆桥架适用于一般工矿企业室内外架空敷设电力电缆、控制电缆，亦可用于电信、广播电视等部门在室内外架设。 4、电缆附件有哪些？ 答：常用的电附件有电缆终端接线盒、电缆中间接线盒、连接管及接线端子、钢板接线槽、电缆桥架等。 5、什么叫电缆中间接头？ 答：连接电缆与电缆的导体、绝缘屏蔽层和保护层，以使电缆线路连接的装置，称为电缆中间接头。

6、什么叫电气主接线？ 答：电气主接线是发电厂、变电所中主要电气设备和母线的连接方式，包括主母线和厂用电系统按一定的功能要求的连接方式。 7、在选择电力电缆的截面时，应遵照哪些规定？ 答：电力电缆的选择应遵照以下原则： （1）电缆的额定电压要大于或等于安装点供电系统的额定电压；（2）电缆持续容许电流应等于或大于供电负载的最大持续电流；（3）线芯截面要满足供电系统短路时的稳定性的要求； （4）根据电缆长度验算电压降是否符合要求； （5）线路末端的最小短路电流应能使保护装置可靠的动作。 8、交联聚乙烯电缆和油纸电缆比较有哪些优点？ 答：（1）易安装，因为它允许最小弯曲半径小、且重量轻； （2）不受线路落差限制； （3）热性能好，允许工作温度高、传输容量大； （4）电缆附件简单，均为干式结构； （5）运行维护简单，无漏油问题； （6）价格较低； （7）可靠性高、故障率低； （8）制造工序少、工艺简单，经济效益显着。

导线截面积与载流量的计算97126

导线截面积与载流量的计算 2008年03月04日星期二11:00 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。<关键点> 一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值 4×8A/mm2=32A 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围：S=< I /（5~8）>=0.125 I ~0.2 I（mm2）S-----铜导线截面积（mm2）I-----负载电流（A） 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=UIcosф，其中日光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A) 也就是说，这个家庭总的电流值

为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。绝缘导线载流量估算 铝芯绝缘导线载流量与截面的倍数关系如下，铜导线见文中所说比例 估算口诀： 二点五下乘以九，往上减一顺号走。 三十五乘三点五，双双成组减点五。 条件有变加折算，高温九折铜升级。 穿管根数二三四，八七六折满载流。 说明： (1)本节口诀对各种绝缘线(橡皮和塑料绝缘线)的载流量(安全电流)不是直接指出，而是“截面乘上一定的倍数”来表示，通过心算而得。由表5 3可以看出：倍数随截面的增大而减小。 “二点五下乘以九，往上减一顺号走”说的是2．5mm’及以下的各种截面铝芯绝缘线，其载流量约为截面数的9倍。如2．5mm’导线，载流量为2．5×9＝22．5(A)。从4mm’及以上导线的载流量和截面数的倍数关系是顺着线号往上排，倍数逐次减l，即4×8、6×7、10×6、16×5、25×4。 “三十五乘三点五，双双成组减点五”，说的是35mm”的导线载流量为截面数的3．5

二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月

二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.

计算方法：第2章习题答案

第二章答案 1. 计算下列函数()f x 关于[]0,1C 的12,,f f f ∞ ： 注：()max ,a x b f f x ∞ ≤≤=()1 b a f f x dx =?，()() 12 2 2 b a f f x dx = ? ()()() ()()()()()()()()3 10 11122 31,41n m x f x x f x x f x x x m n f x x e -=-= - =-=+与为正整数 解：（1）()()3 1-=x x f ( )()()11max max 3 =-==∞x x f x f 11 3 1 1 ()(1)7 f f x dx x dx ==-=?? ()( ) 111 1 2 2 262 ()(1)f f x dx x dx = = -= ? ? （2）()12 f x x =- () ()11max max 22 f x f x x ∞ ==- = 1 1 1211 02 112 2 2 122 01111 ()()()22241[()]()26b a f x dx x dx x dx f f x dx x dx =-=-+-= ???? ==-= ? ????? ? ???? （3）()() 1,n m f x x x m n =-与为正整数 () max (1)m n m n m n m n f x x m n +=-=∞+ () 1 1 0!!(1)1!m n m n f x x dx m n =-=++?

()() () 11 12 222 20 2!2! (1)() 221! m n m n f x x m n ?? =-= ?? ??++ ? （4）()()10 1x f x x e- =+ 101 10 max(1)2 x f x e e- - =+= ∞ 1 10 26813184 10 (1)9864101 x f x e dx e - =+=- ? () []21 2 1 10 2 ] 1 [dx e x f x ?- + = 2 8 23209 5067136711 8 3199 6857623833 e - = 2.令()()[] 21,0,1 n n T x T x x *=-∈，试证() {} n T x *是在[] 0,1上带权 ( )x ρ=的正交多项式，并求()()()() 0123 ,,, T x T x T x T x ****。 解： ()()()( ) ( )()( )()()() 11 **** 00 11 ** ,(21)(21) 21 1 ,, 2 m n m n n m m n m n m n m n T T x T x T x dx x T x dx t x T T t T t dt t T t dt T T ρ -- ==-- =- === ?? ?? 令，则有 () {} n T x *是在[] 0,1上带权( )x ρ=的正交多项式。 * 00 * 11 *2 22 *32 33 ()(21)1 ()(21)21 ()(21)881 ()(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x T x T x x x x =-= =-=- =-=-+ =-=-+- 3.() {} i i x ?∞ = 是区间[] 0,1上带权()x x ρ=的最高次项系数为1的正交多项式族，其 中() 1 x ?=，求()() 1 3 x x dx x ?? ?1 和。 解法一： 11 330 00 ()()()() x x dx x x x dx ?ρ?? = ?? {} 11 303 00 ()[0,1]()1 ()()()0()0 i i x x x x x x dx x x dx ?ρ ρ??? ∞ = = ∴== ?? 是区间上带权的最高次项系数为的正交多项式 ，即

导线截面积计算方法

（1）导线截面积与载流量的计算 （导体的）（连续）截流量(continuous) current-carrying capacity (of a conductor)是指:（导体的）（连续）截流量在规定条件下，导体能够连续承载而不致使其稳定温度超过规定值的最大电流。 导线截面积与载流量的计算 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值4×8A/mm2=32A 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围： 导线截面积与载流量的计算 S=< I /（5~8）>=0.125 I ~0.2 I（mm2） S-----铜导线截面积（mm2）；I-----负载电流 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=UIcos ф，其中日光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A)也就是说，这个家庭总的电流值为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。 四、估算口诀 二点五下乘以九，往上减一顺号走。 三十五乘三点五，双双成组减点五。 条件有变加折算，高温九折铜升级。 穿管根数二三四，八七六折满载流。 说明： 本节口诀对各种绝缘线(橡皮和塑料绝缘线)的载流量(安全电流)不是直接指出，而是“截面乘上一定的倍数”来表示，通过心算而得。倍数随截面的增大而减小。 “二点五下乘以九，往上减一顺号走”，说的是2．5mm’及以下的各种截面铝芯绝缘线，其载流量约为截面数的9倍。如2．5mm’导线，载流量为2．5×9＝22．5(A)。从4mm’及以上导线的载流量和截面数的倍数关系是顺着线号往上排，倍数逐次减l，即4×8、6×7、10×6、16×5、25×4。

数值分析第二章上机题之第二题

姓名：蒋元义、学号：、专业：测绘工程 一、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数2 1 ()125f x x =+作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数即()f x 的图形。 解： 当N=10时，代码及图像如下： x=-1:0.2:1; y=1./(1+25*x.^2); x1=linspace(-1,1,10); p=interp1(x,y,x1,'linear'); p1=interp1(x,y,x1,'spline'); plot(x,y,'b'); hold on plot(x1,p,'r'); hold on plot(x1,p1,'k'); legend('龙格函数','多项式插值函数','三次样条插值函数'); grid on; title('N=10的插值函数及原函数图形'); xlabel('x 轴'); ylabel('y ‘轴');

当N=20时，代码及图像如下： x=-1:0.2:1; y=1./(1+25*x.^2); x1=linspace(-1,1,20); p=interp1(x,y,x1,'linear'); p1=interp1(x,y,x1,'spline'); plot(x,y,'b'); hold on plot(x1,p,'r'); hold on plot(x1,p1,'k'); legend('龙格函数','多项式插值函数','三次样条插值函数'); grid on; title('N=20的插值函数及原函数图形'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴');

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

数值分析第二章小结

第2章线性方程组的解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。 本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。 在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。 二、本章知识梳理

2.1、Gauss 消去法（次重点） Gauss 消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 2.1.1顺序Gauss 消去法（对方程组的增广矩阵做第二种初等行变换） 定理 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素) (k kk a (k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件是方程组的系数矩阵A 的前 n-1个顺序主子式 )1,,2,1(0)1()1(1 ) 1(1)1(11-=≠=n k a a a a D kk k k K ΛΛM M Λ 消元过程：对于 k=1,2,···,n-1 执行 （1）如果 ,0)(=a k kk 则算法失效，停止计算，否则转入（2） 。 （2）对于i=k+1,k+2,···n,计算 a a k kk k ik k i m )() (,= n k j i m a a a k kj ik k ij k ij ,,1,,) ()() 1(Λ+=-=+ n k i m b b b k k ik k i k i ,,1,) ()() 1(Λ+=-=+ 回代过程： a b x n nn n n n ) () (/= ） （1,,2,1/)() (1 )() (?--=- =∑+=n n k a x a b x k kk j n k j k kj k k k 2.1.2 列主元素Gauss 消去法（把） （n k k i a k kj ,,1,) (?+=中绝对值最大的元素交换到第k 行的主对角线位置）（重点） 定理 设方程组的系数矩阵A 非奇异，则用列主元素Gauss 消去法求解方程组时，各个列主元素a (k=1,2,```,n-1)均不为零。 消元过程：对于 k=1,2,···,n-1 执行 （1）选行号k i ，使 )()(max k i n i k k k i k k a a ≤≤=。 （2）交换A 与b 两行所含的数值。 （3）对于i=k+1,k+2,···n,计算

电线截面积及线径计算方法

电线截面积及线径计算方法 电缆大小用平方标称，多股线就是每根导线截面积之和，如48股(每股线径0.2)1.5平方的线:0.785X(0.2X0.2)X48=1.5 导线截面积与载流量的计算： 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。一般铜导线的安全载流量为 5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。 [关键点]一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为3~5A/mm2。如：2.5 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值2.5×8A/mm2=20A 4 mm2 BVV铜导线安全载流量的推荐值 4×8A/mm2=32A。 二、计算铜导线截面积利用铜导线的安全载流量的推荐值 5~8A/mm2，计算出所选取铜导线截面积S的上下范围： S=[ I /（5~8）]=0.125 I ~0.2 I（mm2） S-----铜导线截面积（mm2） I-----负载电流（A） 三、功率计算一般负载（也可以成为用电器，如点灯、冰箱等等）分为两种，一种式电阻性负载，一种是电感性负载。对于电阻性负载的计算公式：P=UI 对于日光灯负载的计算公式：P=U Icosф，其中日

光灯负载的功率因数cosф=0.5。不同电感性负载功率因数不同，统一计算家庭用电器时可以将功率因数cosф取0.8。也就是说如果一个家庭所有用电器加上总功率为6000瓦，则最大电流是 I=P/Ucosф=6000/220*0.8=34(A) 但是，一般情况下，家里的电器不可能同时使用，所以加上一个公用系数，公用系数一般0.5。所以，上面的计算应该改写成I=P*公用系数/Ucosф=6000*0.5/220*0.8=17(A) 也就是说，这个家庭总的电流值为17A。则总闸空气开关不能使用16A，应该用大于17A的。 电线截面积与安全载流量的计算 一、一般铜导线载流量导线的安全载流量是根据所允许的线芯最高温度、冷却条件、敷设条件来确定的。 一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为 3~5A/mm2。<关键点> 一般铜导线的安全载流量为5~8A/mm2，铝导线的安全载流量为 3~5A/mm2。如：2.5mm2BVV铜导线安全载流量的推荐值 2.5×8A/mm2=20A4mm2BVV铜导线安全载流量的 推荐值4×8A/mm2=32A

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

数值分析第二章 习题

第二章 习 题 1. 已知函数()f x 在3,1,4x =的值分别为4，2，5，求Lagrange 插值多项式的表达式. 2. 已知函数 ()f x 在3x =和 4的值分别为0.5和0.64，用线性插值求此函数在 3.8x =的函数值. 3. 证明：对于 ()f x 的以01x x <为节点的一次插值多项式1()p x ，有 2 101()()()8 x x f x p x M ??≤，01x x x ≤≤， 其中01 max ()x x x M f x ≤≤′′= . 4. 已知函数 ()f x 的函数值表： x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ()f x 0.70010 0.40160 0.10810 -0.17440 -0.43750 试利用这个函数表求函数()f x 在0.3和0.4之间的零点. 5. 设 01,,,n x x x ???为1n +个互异的节点，()k l x 为n 阶 Lagrange 插值基函数， 0()()n k k x x x ω==?∏.证明： （1） 0()1n k k l x =≡∑； （2） 0(),0,1,2,,k n j j k k x l x x j n =≡=???∑； （3） ()()0,0,1,2,,n j k k k x x l x j n =?≡=???∑； （4）() ()()() k k k x l x x x x ωω= ′?.

6. 若73()1f x x x =?+，求0172,2,,2f ???????和018 2,2,,2f ???????. 7. 设 53()1f x x x =++，求以1x =?，-0.8，0，0.5，1为插值节点的Newton 插值多 项式和插值余项. 8. 已知函数值表： x 0 1 4 3 6 ()f x -7 8 5 14 求Newton 插值多项式的表达式. 9. 分别在下列情况下计算 1n ?次多项式()p t 在指定点t 的的值，各需要多少次乘 法运 算？ （a）多项式()p t 按照单项式基函数展开； （b）多项式()p t 按照Lagrange 基函数展开； （c）多项式()p t 按照Newton 基函数展开. 10. 在区间[]0,/2π上使用5个等距节点对函数sin t 进行插值，试计算最大误差. 在 []0,/2π上选取若干点，比较函数值和插值多项式的值，验证误差界. 如果希望最大误 差为10 10 ?，需要多少个插值节点？ 11. 一直平面曲线()y f x =过点（0,1） ，（1,3），（2,4），试求一个三次多项式3()p x ，使其经过这3个点，并且满足3(1)1p ′=；然后给出余项3()()()R x f x p x =?的表达式. 12. 试求一个四次多项式4()p x ，使其满足44 44(0)(0)0(1)(1)1p p p p ′′====，，4(2)1p =. 13. 能否通过使用分段二次多项式进行插值，使插值函数是二次连续可微的？为什么？ 14. 设[]4 (),f x C a b ∈. 求三次多项式()p x ，使之满足插值条件 11 ()(),0,1,2, ()(),i i p x f x i p x f x ==?? ′′=?