甘肃省兰州一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试卷
兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试
数学试卷(理科)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请将所有试题的答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 ( )
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN ＝ ( ) A. 121232
a b c -+ B. 111222a b c +- C. 211322a b c -
++ D. 221332a b c +- 3.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2
π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=
对称. 则下列判断正确的是 ( ) A. p 为真 B. p ?为假 C. p q ∨为真 D. p q ∧为假
4.下列结论错误的是 ( )
A. 命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”
B. 命题“230x ,x x ?∈-+>R ”的否定是 200
030x ,x x ?∈-+≤R C. 命题“若22ac bc >，则a b >”的逆命题为真命题
D. 命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则m ≠0或n ≠0”
5.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，
则动点P (x ，y )的轨迹方程为 ( )
A. 28y x =-
B. 28y x =
C. 24y x =-
D. 24y x =
6.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B
为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ ( )
A. 3
B.
C.
D. 2
7.已知椭圆22
142
x y +=上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有 ( )
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
8.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点，若△
ABF 为等边三角形，则
p ＝ （ ）
A. B.
C. 2
D. 3 9.椭圆221(0,0)ax by a b +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的
b a
的值为 ( )
A. B. C . D. 10.直三棱柱111ABC A BC -中，090BCA ∠=，M ，N 分别是11AB ，11AC 的中点，
1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 (
)
A ．110
B ． 25
C ．2
D ． 11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（ ）
A ． 12
B ．1
C
D 12.设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与C 交于点P ，Q . 若212||||PF FF =，且113||4||PF QF =，则C 的离心率为 （ ）
A ． 57
B ．35
C ．7
D ．5
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.抛物线2
12y x =-的准线与双曲线22
193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.
14.已知长方体1111ABCD ABC D -中，底面是边长为1的正方形，高为2，则点1A 到截面11AB D 的距离是 .
15.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.四位歌手的话只有一位是假的，则获奖的歌手是_____.
16.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. (本小题满分10分)
①已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点35(,)22-，，求椭圆
方程. ②已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>与圆22:(5)9M x y +-=. 双曲线C 的焦距为10，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线C 的方程.
18. (本小题满分12分)
设p ：实数x 满足22540x ax a -+< (其中0a >)，q ：实数x 满足50.2
x x -≤- (I)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围.
(II)若q ?是p ?的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角
三角形，AB ＝AC ＝1，BB 1＝2，∠ABB 1＝60°.
(I) 证明：AB ⊥平面AB 1C ；
(II) 若B 1C ＝2，求AC 1与平面BCB 1所成角的正弦值.