2011中考数学压轴题特训

中考数学压轴题汇编

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝1

2

时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x －h)2

＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=

12时，y=x ＋()11002

x -,即y=1

502x +。 ∴y 随着x 的增大而增大，即P=

1

2

时，满足条件（Ⅱ）……3分 又当x=20时，y=

1

100502

?+=100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1

2

时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=()2

20a x k -+,……8分

∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a ×802

＋k=100 ② 开始

y 与x 的关系式

结束

输入x 输出y

由①②解得1160

60

a k ?=?

??=?， ∴()212060160y x =-+。………14分 2、（常州）已知(1)A m -，与(233)B m +，是反比例函数

k

y x

=

图象上的两个点． （1）求k 的值；

（2）若点(1

0)C -，，则在反比例函数k

y x

=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，

求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由(1)2(33)m m -=+ ，得23m =-，因此23k =． ····· 2分

（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，3BE =，23BC =，因此

30BCE = ∠．

由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =

∠．

当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ， 故不符题意． ····························· 3分 当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．

由于30DAF =

∠，设11(0)DF m m =>，则13AF m =，12AD m =， 由点(123)A --，，得点11(1323)D m m -+-+，． 因此11(13)(23)23m m -+-+= ，

B

C x

y

1

1

1-

1- O

解之得1733m =

（10m =舍去），因此点363D ??

? ???

，．

此时14

33AD =，与BC 的长度不等，故四边形ADBC 是梯形． ······ 5分

如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ．

由于AC BC =，因此30CAB = ∠，从而150ACD =

∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足，

则60DCH =

∠，设22(0)CH m m =>，则23DH m =，22CD m =

由点(1

0)C -，，得点22(13)D m m -+，， 因此22(1)323m m -+= ．

解之得22m =（21m =-舍去），因此点(123)D ，．

此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形． ········ 7分 如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，

同理可得，点(23)D --，，四边形ABCD 是梯形． ·············· 9分

图1

A

B

C x

y O

F

D

E

图2

A

B

C x

y

O

D

H

综上所述，函数23

y x

=

图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：363D ??

? ???，或(123)D ，或(23)D --，． ······

10分

3、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴55

22

a x a -=-

=………2分 （2）(30)A -，

(54)B ， (04)C ，…………5分 把点A 坐标代入2

54y ax ax =-+中，解得1

6

a =-

………6分 215

466

y x x ∴=-++…………………………………………7分

图3

A

B

C

x

y

O

D

A

C B

y x

0 1

1

（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ． 过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =，

5.5AN =，52

BM =

① ······························································································································ 以

AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1

PAB △． 222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ················· 8分

在1Rt ANP △中，22

22211199

80(5.5)2

PN

AP AN AB AN =-=

-=-= 1519922P ??

∴- ? ??

?， ························· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．

在2Rt BMP △中，22222225295

8042

MP BP BM AB BM =

-=-=-

=

10分 25829522P ??

-∴ ? ???

， ························

11分 ③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．

画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点

C ． 过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3

Rt Rt PCK BAQ △∽△． A

x

0 1

1

Ｑ 2P 1P

3P Ｎ

Ｍ Ｋ

y

31

2

P K BQ CK AQ ∴

==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK = ··············· 13分 3(2.51)P ∴-， ··························· 14分 注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k

y k x

=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．

（1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k

y k x

=

>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k

y k x

=>于P Q ，两

点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .

∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）.

∵ 点A 是直线 与双曲线 （k>0）的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1， ∵ 点C 在双曲线上，

y = 8时，x = 1

∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON . S 矩形ONDM = 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 . 图12

O

x

A

y

B

x y 21x

y 8

=

S △AOC = S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二：如图12-2，

过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8

y x

=

上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8

y x

=

上 , ∴ S △COE = S △AOF = 4 。 ∴ S △COE + S 梯形CEFA = S △COA + S △AOF . ∴ S △COA = S 梯形CEFA . ∵ S 梯形CEFA = 1

2

×（2+8）×3 = 15 ,

∴ S △COA = 15 .

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ 是平行四边形 .

∴ S △POA = S 平行四边形APBQ =

×24 = 6 . 设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）,

得P ( m , ) .

过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， 4

1

41

m

8

∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 . 若0＜m ＜4，如图12-3， ∵ S △POE + S 梯形PEFA = S △POA + S △AOF , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴

18

(2)(4)62m m

+?-=. 解得m = 2，m = - 8(舍去) .

∴ P （2，4）. 若 m ＞ 4，如图12-4， ∵ S △AOF + S 梯形AFEP = S △AOP + S △POE , ∴ S 梯形PEFA = S △POA = 6 . ∴

18

(2)(4)62m m

+?-=， 解得m = 8，m = - 2 (舍去) . ∴ P （8，1）.

∴ 点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线212

y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P

是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线

PC 的位置关系，并说明理由．(参考数：2 1.41≈，3 1.73≈，5 2.24≈)

解： (1)由已知条件可知： 抛物线21

2

y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点．

∴ 903,210.2m n m n ?

=-+????=++?? ……………………………………2分

解得 3

1,2

m n ==-． ………………………3分

(2) ∵213

22

y x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-． …………………4分

设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,

3.2k b b -=-+???=-?? 解得13

,22k b ==-．

∴ 直线PC 的解析式是13

22y x =-． …………………………6分

说明：只要求对13

22

k b ==-，，不写最后一步，不扣分．

(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．

设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt△O CD 中，∵ O C =3

2

，3OD =，

∴ 2233

()3522

CD =+=

． …………8分 ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o

，∠CD O 公用，

∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分

∴ OC CD AE AD =， 即33

5

226AE =． ∴ 655

AE =． …………………11分

∵

6

5 2.688 2.55

> ， ∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90

的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）

（3）当O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：

2AB AC == ················ 1分

213602

n R S π==π ················ 2分

（2）连接AO 并延长，与弧BC 和O 交于E F ，，

22EF AF AE =-=-

························ 1分 弧BC 的长：2

1802

n R l π=

=π

······················ 2分 222

r π=

π ∴圆锥的底面直径为：2

22

r =

····················· 3分 2

222

-<

，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． · 4分 （3）由勾股定理求得：2AB AC R ==

A

B

C

O

①

②

③

E F

弧BC 的长：2

1802

n R l R π=

=π ····················· 1分 2

22

r R π=

π ∴圆锥的底面直径为：2

22

r R =

···················· 2分 22(22)EF AF AE R R R =-=-=-

2

222

-<

且0R > 2

(22)2

R R ∴-<

·························· 3分 即无论半径R 为何值，2EF r < ····················· 4分

∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x ＝2

7

的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点B 的坐标是(0,83)，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动，设(08)t t <≤秒后，直线PQ 交OB 于点D.

（1）求∠AOB 的度数及线段OA 的长； （2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （3）当4

3,33

a OD ==时，求t 的值及此时直线PQ 的解析式；

（4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角

形与OAB ?相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ?不相似？请给出你的结论，并加以证明.

O

E

F

x=

72

B (0,4)

A (6,0)

x

y

B

A

C

D

P O

Q

x

y

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，

A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PA

B 沿PB 翻折，

得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、

PF 重合．

(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值； (2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．

解：(1)由已知PB 平分∠APD ，PE 平分∠OPF ，且PD 、PF 重合，则∠BPE =90°．∴∠OPE ＋∠APB =90°．又∠APB ＋∠ABP =90°，∴∠OPE =∠PBA ．

∴Rt △POE ∽Rt △BPA ．…………………………………………………………2分

∴

PO BA OE AP =

．即34x y x =-．∴y =2114(4)333

x x x x -=-+(0＜x ＜4)． 且当x =2时，y 有最大值1

3

．…………………………………………………4分 (2)由已知，△PAB 、△POE 均为等腰三角形，可得P (1，0)，E (0，1)，B (4，3)．……6分

设过此三点的抛物线为y =ax 2

＋bx ＋c ，则1,0,164 3.c a b c a b c =??++=??++=?∴1,23,21.

a b c ?=??

?=-??

=???

y =213

122

x x -+．…………………………………………………………8分 图1

F

E P

D y x

B

A C O

图2

O

C A B

x

y

D

P

E F

(3)由(2)知∠EPB =90°，即点Q 与点B 重合时满足条件．……………………9分 直线PB 为y =x －1，与y 轴交于点(0，－1)． 将PB 向上平移2个单位则过点E (0，1)，

∴该直线为y =x ＋1．……………………………………………………………10分

由21,

13

1,22y x y x x =+??

?=-+??

得5,6.x y =??=?∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q (4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分 y

x

N H D P

Q E

M

C B

A

O