线性空间练习题
线性空间练习题
一、单项选择题
R 3中下列子集（ ）不是R 3的子空间．
A ．}1|),,{(233211=∈=x R x x x w
B ．}0|),,{(333212=∈=x R x x x w
C ．}|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈=
D ．}|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈= 二、判断题
1.设n n P V ?=则{,0}n n
W A A P A ?=∈=是V 的子空间.
2、已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则维(V ）＝2.
3、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组
12,,,s ααα 线性表出，则维(W)＝s
4、设W 是线性空间V 的子空间，如果
,V W W αβαβ?∈??，，且则必有
.W αβ+?
三、1．已知},|00{1R b a b a W ∈???
?
??=,},,|00{11112R c a c a W ∈???
? ??=是22
R ?的两个子空间，求2121,W W W W +?的一个基和维数．
2．已知α关于基},,{321βββ的坐标为（1，0，2），由基},,{321ααα到基}
,,{321βββ的过渡矩阵为???
?
?
??012001423，求α关于基},,{321ααα的坐标．
四、设n P 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ?∈=且
记n W AX X P W X X P AX n 12{},{,0},=∈=∈= 1.证明：21,W W 都是n P 的子空间； 2. 证明：21W W P n ⊕=.
线性变换练习题
一、填空题
1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换
σ
在这组基下的矩阵是
33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝_________，而可逆矩阵T ＝
_________满足1
,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为_________ .
2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈,
则1
(0)σ-＝_______，()1dim (0)σ-＝______，()
dim ()n P σ＝_____ .
3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为________变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构.
6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ .
二、判断题
1．设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,,s V ααα∈ 线性无关，则向量组12(),(),,()s σασασα 也线性无关. （ ）
2．设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1
()(0).V V σσ-=⊕
（ ）
3．在线性空间2R 中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是2
R 的一个线性变换. （ ） 4．若σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当1
(0)σ-＝｛0｝. （ ） 5．设σ为线性空间V 的一个线性变换，W 为V 的一个子集，若()W σ是V 的一个子空间，则W 必为V 的子空间. （ ）
三、计算与证明
1．设00111100A a ??
?
= ?
???，问a 为何值时，矩阵A 可对角化? 并求一个可逆矩阵X,，使-1X AX=.Λ.
2．在线性空间n P 中定义变换σ：122(,,,)(0,,,)n n x x x x x σ= （1）证明：σ是n P 的线性变换. （2）求()n P σ与1
(0).σ- （3）1
()(0).n
n
P P σσ-⊕=
3．若A 是一个n 阶矩阵，且2A A =，则A 的特征值只能是0和1.
欧氏空间练习题
一、填空题
1．设V 是一个欧氏空间， V ξ∈，若对任意V η∈都有(,)0ξη=，则ξ＝_________．
2．在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________，α＝_________． 3．在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη 下的坐标是12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝_________，ξ＝_________．
4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 5．已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2
A ＝_________．
二、判断题
1．在实线性空间2R 中，对于向量1212(,),(,)x x y y αβ==，定义1122(,)(1)x y x y αβ=++，那么2
R 构成
欧氏空间。( )
2．在n 维实线性空间n R 中，对于向量1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，定义11(,)a b αβ=，则n
R 构成
欧氏空间。 ( )
3．12,,,n εεε 是n 维欧氏空间V 的一组基，1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y 与分别是V 中的向量,αβ在这组基下的坐标，则1122(,)n n x y x y x y αβ=+++ 。( ) 4．对于欧氏空间V 中任意向量η，
1
η
是V 中一个单位向量。( )
5．12,,,n εεε 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()
ij
n n
A a ?=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )
6．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( ) 7．设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )
8．若,στ都是欧氏空间V 的对称变换，则στ也是对称变换。( )
三、计算题
1．把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基. 2．求正交矩阵T ，使T AT '成对解角形。
220212020A -?? ?=-- ? ?-??
四、证明题
1．设A ，B 为同级正交矩阵，且A B =-，证明：0A B +=． 2．设A 为半正定矩阵，且0A ≠，证明：0A E +>．
3．证明：n 维欧氏空间V 与T
V 同构的充要条件是，存在双射:V V σ'→，并且,V αβ?∈ 有
小 测 验 九
一、填空题
1、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --??
?
=- ? ???
，则向量
12323βααα=+-的长度为 。
2、设???
? ?????? ?????? ??='=10212112,),(2
，，A A R 则中的内积为βαβα在此内积之下的度量矩阵
为 。
3、在n 维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为 。
4、在欧氏空间4
R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。
5、设n
R 为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。 二、已知二次型
222
123123121323(,,)()222f x x x t x x x x x x x x x =++++-
（1）t 为何值时二次型f 是正定的？
（2）取1t =，用正交线性替换化二次型f 为标准形
三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为
112121216-?? ?-- ? ?-??
（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k
四、设β为n 维欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 的线性变换A 如下： 2(,),A V ααβαβα=-?∈
证明：
（1）A 为第二类的正交变换（称为镜面反射）。
（2）V 的正交变换B 是镜面反射的充要条件为1是B 的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1. 五、已知σ是对称变换，证明：σ的不变子空间W 的正交补W ⊥
也是σ的不变子空间．
小测验(六)
一、填空题
1、已知000,,00A V a b
c a b c R c b ????
??
?
=+∈?? ??? ?+?
???
是33R ?的一个子空间，则维（V ）
＝ ， V 的一组基是 .
2、在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是 .
3、已知a 是数域P 中的一个固定的数，而
1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=
是P n+1的一个子空间，则a ＝ ，而维(W)＝ . 4、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，2,n n A P A A ?∈=且记
12{},{,0},n W AX X P W X X P AX =∈=∈=
则W 1、W 2都是P n 的子空间，且W 1＋W 2＝ ，12W W ＝ . 5、设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .
二、计算与证明
1、
在线性空间P 2×2中，
121212112111,,,10110137A A B B ---????????==== ? ? ? ?????????
1）求1212(,)(,)L A A L B B 的维数与一组基. 2）求1212(,)(,)L A A L B B +的维数与一组基.
2、在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=-
1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====---
3、设13,02?? ???
1) 证明：在P n n ?与A 可交换的矩阵的全体W 是一个子空间； 2) 求W 的维数和一组基；
3) 写出W 中矩阵的一般表达式。
4、证明：22,,1x x x x x +-+是3P[x]的一组基，并求2273x x ++在此基下的坐标。
5、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
12{()(),()()},{()(),()()}
W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--
证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕
6、设12,V V 是V 的任意两个非平凡子空间，证明：12V V V ≠
线性空间-知识点及其注释
第五章 线性空间-知识点及其注释 知识点：n 维数组向量，向量空间，线性空间，线性组合，线性表示，向量组等价，线性相关，线性无关，极大无关组，秩，生成子空间，子空间，基，维数，坐标，基变换，坐标变换，同构，交子空间，和子空间，直和，线性方程组的解空间，基础解系，特解，通解。 #n 维数组向量#简称为n 维向量，是指由数域F 中n 个数n a a a ,,,21 组成的n 元有序数组，常记为12(,,,)T n a a a 或),,,(21n a a a ，又称为n 元（数组）向量。由数域F 上所有n 维数组向量所构成的线性空间称为n 维（元）（数组）向量空间，记为n F 。 #线性组合#表达式1122s s k k k ααα+++称为向量组s ααα,,,21 的系数分别为12,,,()s k k k F ∈的线性组合，s k k k ,,,21 称为线性组合系数。 #线性表示#向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示(出)是指存在数域F 中的数s k k k ,,,21 ,使1122s s k k k αααα=+++。 向量组s ααα,,,21 可由向量组12,,,t βββ线性表示是指每个i α（1,2,...,i s =）都可由向量组12,,,t βββ线性表示。显然，向量组的线性表示具有传递性。 在n F 中，向量α可由向量组s ααα,,,21 线性表示?线性方程组 1122 s s x x x αααα+++=有解? 1212(,, ,,)(,, ,)s s rank rank ααααααα=。 #向量组等价#向量组s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ等价是指向量组 s ααα,,,21 与向量组12,,,t βββ可以相互线性表示。显然，向量组等价是 等价关系，即具有自反性、对称性和传递性。
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267 .1设,,M N M N M M N N ?==证明: 证明: 一方面.M N M ? 另一方面, 由于M M ?,,N M ? 得 .N M M ? 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =. (2))()()(L M N M L N M = 证 明 : (1) . ),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即 .M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈. 另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ??,所以 )()()(L N M L M N M ?. (2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ??,所以 )()()(L M N M L N M ?. 另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈?且则 若).(,L N M x M x ∈∈则 若 ∈∈∈?x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有 ) ()()(),(L N M L M N M L N M x ?∈所以. 3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
子空间的和与直和
5.5 子空间的和与直和 授课题目： 子空间的和与直和. 教学目标： 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时 教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程： 一 子空间的的和 回忆: 令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。 1. 定义：设12,W W V ?，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为 即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈ 定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间. 证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ?∈?+=+=+有， 111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间. ∴ 111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈ 于是 ()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴ 12W W +是V 的子空间。 推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则 {}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈ 仍然是V 的子空间. 补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121
第6章线性空间练习题.doc
第6章 线性空间练习题 一、填空题（3515''?=） 1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是 ． 2. 从 R 2的基 1211,01αα????== ? ?-????到基1211,12ββ???? == ? ????? 的过渡矩阵为 ． 3. 已知132326583945A ?? ? = ? ??? ，则0AX =解空间的维数是 ，解空间一组基 是 ． 4. 设2 R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++?=?=，则 2(,,)R R ⊕?，不作成线性空间的理由可以为 ． 5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间 (,,)Q Q +?，该空间的维数是 ． 二、单项选择题（3515''?=） 1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )． (A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {} (,,)0a b c a ≥ (C) { } 222 (,,)1a b c a b c ++≤ (D) {} (,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2 (,,,)R R +? (B) (,,,)C R C +?是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +?是复数域 4. 向量空间{}12123(,, ,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ． (A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在n R 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )． (A) 112 12()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-
第一章线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
习题与复习题详解(线性空间)----高等代数
习题5. 1 1． 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈o 其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R + + ?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈o , 所以R + 对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2) ()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==o ; (6)()()a a a a a λ μμλμλμλλμ??==== ??? o o o o ; (7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕o o o ; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间.
线性空间练习题参考答案
第六章 线性空间练习题参考答案 一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=L L 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++I . 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123 ,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,) x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩
最新向量空间的定义教案(50分钟)
向量空间的定义教案 (50分钟)
“向量空间的定义”教案（50分钟） I 教学目的 1、使学生初步掌握向量空间的概念。 2、使学生初步了解公理化方法的含义。 3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。 II 教学重点 向量空间的概念。 Ⅲ 教学方式 既教知识，又教思想方法。 Ⅳ 教学过程 第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 一、向量空间概念产生的背景 1）αββα+=+ 数 a+b, ab; 2）)()(γβαγβα++=++ 几何向量 αβα a ,+; 3）αα=+0 多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）0='+αα 函数 f(x)+g(x),af(x); 5）βαβαa a a +=+)( 矩阵 A+B ，aA; 6）αααb a b a +=+)( …… 7）)()(ααb a ab = 8）αα=1 二、向量空间的定义 定义1 令F 是一个数域，F 中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示。令V 是一个非空集合，V 中元素用小写希腊字母 ,,,γβα来表示。把V 中的元素叫做向量，而把F 中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V 是F 上的向量空间： 1 在V 中定义了一个加法，对于V 中任意两个向量βα,，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做βα与的和，并且记作βα+。
即若,,V V ∈∈βα则V ∈+→βαβα),(。 2 有一个数量与向量的乘法，对于F 中每一个数a 和v 中每一个向量α有v 中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a 与α的积，并且记作αa 。 即V a a V F a ∈→∈∈ααα),(,,。 3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律： 1）αββα+=+； 2）)(γβαγβα++=++； 3）在V 中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V 中每一个向量 α，都有αα=+0； 4）对于V 中每一向量α，在V 中存在一个向量α'，使得0=+'αα，这样的α'叫做α的负向量。 5）βαβαa a a +=+)(； 6）ba a b a +=+αα)(； 7）)()(ααb a ab =； 8）αα=1。 注1：定义1称为公理化定义，以公理化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。 公理化方法???形式以理化方法 实质公理化方法 注2：数域F 称为基础域。 三、向量空间的例子 例1 解析几何里，V 2或V 3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。 例2 M mn （F ）对于矩阵的加法和数乘来说作成F 上的向量空间。 特别，},,2,1,|),,,{(21n i F a a a a F i n n =∈=关于矩阵加法和数乘构成的F 上的向量空间称为F 上的n 元列空间。
线性空间练习题
、单项选择题 R 3中下列子集( )不是R 3的子空间. C. w 3 {(X 1,X 2,X 3) R 3 | X 1 X 2 X 3) D 二、判断题 P nn 则W {A A P nn ,A 0)是V 的子空间. 2、已知V {(a bi,c di) a,b,c,d R)为R 上的线性空间，则维(V) =2. 3、 设线性空间 V 的子空间 W 中每个向量可由 W 中的线性无关的向量组 i , 2,|||, s 线性表出，则维 (W)= S 4、 设W 是线性空间V 的子空间，如果 ， V, W 且 W,则必有 W. 三、I .已知W { a b |a,b R) , W 2 ( a i 0 |a i ,^ R),是R 2 2的两个子空间，求 0 0 G 0 W i W 2,W i W 2的一个基和维数. 关于基{ i , 2, 3)的坐标为(i, 0, 2),由基{ i , 2, 3)到基{ i , 2, 3) 的过渡矩阵为i 0 0 ,求 关于基{ i , 2, 3)的坐标. 2 i 0 四、设P n 是数域P 上的n 维列向量空间，A p n n 且A 2 A, 记 W i {AX X P n ), W 2 (X X P n , AX 0), 1. 证明：W i ,W 2都是P n 的子空间; 2. 证明：P n W i W 2. 线性变换练习题 、填空题 线性空间练习题 A. w i ((X i ，X 2, X 3) R 3|x 2 1) 3 . w {(X i ,X 2,X 3) R |X 3 0) W 4 {( X i ,X 2,X 3) R 3 | X i X 2 X 3) i.设V 2.已知
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
线性空间与子空间
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（），交（） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和 x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+；
（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
01 线性空间与子空间
第一讲 线性空间 一、 线性空间的定义及性质 [知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成 的整体 集合的表示：枚举、表达式 集合的运算：并（U ），交（I ） 另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R ）和复数域（C ）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。 1． 线性空间的定义： 设V 是一个非空集合，其元素用x,y,z 等表示；K 是一个数域，其元素用k,l,m 等表示。如果V 满足[如下8条性质，分两类] （I ）在V 中定义一个“加法”运算，即当x,y V ∈时，有唯一的和x y V +∈（封闭性），且加法运算满足下列性质 （1）结合律 ()()x y z x y z ++=++； （2）交换律 x y y x +=+； （3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =； （4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使
x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -） 。则有()x x +-= o 。 （II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质 （5）数因子分配律 ()k x y kx ky +=+； （6）分配律 ()k l x kx lx +=+； （7）结合律 ()()k lx kl x =； （8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。 注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合， 如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。 （2）两种运算、八条性质 数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运 算和数乘运算则可以十分抽象。 （3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭 性。唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。 当数域K 为实数域时，V 就称为实线性空间；K 为复数域，V 就称为复线性空间。 例1． 设R +＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为 x y=xy , k k x x =o 证明：R +是实数域R 上的线性空间。 [证明] 首先需要证明两种运算的唯一性和封闭性
第六章线性空间自测练习
第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {
第一章 线性空间与线性变换
第一章 线性空间与线性变换 §1 线性空间的概念 定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。 定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果 （1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有 V ∈+y x ； （2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有 V ∈x λ； （3）上述两个运算满足下列八条规则： 1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1； P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立： 6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(， 则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。 例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合 }|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ， 若对于V 中任两元素 ),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y = 及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为 ),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX = 则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n P 。 例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与
习题与复习题详解线性空间高等代数
习题与复习题详解线性 空间高等代数 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
习题5. 1 1．判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间． 答 是． 因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知，n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵，数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间. 2．全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R +⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈. 因为,a b R a b ab R ++?∈?⊕=∈, ,R a R a a R λλλ++?∈∈?=∈, 所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕; (2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕; (3) R +中存在零元素1, ?a R +∈, 有11a a a ⊕=?=; (4) 对R +中任一元素a ，存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλ μλλμ?? ==== ?? ? ;
(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕; 所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵，其加法定义为 按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否. A B B A ∴⊕⊕与不一定相等. 故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（１）, 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间. 4．在22P ?中，{}2222/0,,W A A A P W P ??==∈判断是否是的子空间. 答 否. 121123123345?????? ? ? ??????? 例如和的行列式都为零，但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭. 习题 1．讨论22P ?中 的线性相关性. 解 设11223344x A x A x A x A O +++=, 即1234 1 234 12341234 00 ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=??+++=??+++=??+++=? . 由系数行列式3111111 (3)(1)111111 a a a a a a =+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关； 2．在4R 中，求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中 解 设11223344x x x x ααααα=+++
对线性空间的理解
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。 我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动， 上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。 认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。 因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。 下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？ 我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., x n为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量a i其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。 L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据
线性代数教案-第一章 线性空间
第一章线性空间 一、教学目标与基本要求 数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中. 数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定 义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质. 1 线性空间的定义及例 定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系: 1.1.1封闭公理 公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y. 公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x. 加法运算和数乘运算合称线性运算. 1.1.2加法公理 公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有 x+ +. = x y y 公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有 + x+ = +. + y ) ) z (z ( y x 公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有 +. x= x θ -的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x +) - (. θ x= x 1.1.3数乘公理 公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有 b (ab a=. x) x ( )
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间与欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一的一个元素γ与她们对应,成为α与β的与,记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一的一个元素δ与她们对应,称为k 与α的数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则: 1)αββα+=+;交换律 2))()(γβαγβα++=++;结合律 3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质的元素0称为V 的零元素); 存在零元 4)对于V 中每一个元素α,都有V 中的元素,使得0=+βα(β称为α的负元素)、存 在负元 数量乘法满足下面两条规则: 5)αα=1; 存在1元 6)αα)()(kl l k =、 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则: 7)αααl k l k +=+)(; 数的分配律 8)βαβαk k k +=+)(、 元的分配律
在以上规则中,l k ,表示数域中的任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵,按矩阵的加法与矩阵的与数的数量乘法,构成数 域K 上的一个线性空间,记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数(连续实函数),按函数的加法与数与函数的数量乘法,构成一个实数 域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。 例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。 二.简单性质 1.零元素就是唯一的。 2.负元素唯一。 3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。 4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。 三、同构映射 定义:设,V V '就是数域K 上的线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就 是一一映射,则称A 就是线性空间的同构映射,简称同构。线性空间V 与'V 称为同构的线性空间。 定理 数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件就是她们有相同的维数。 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还就是同构映射。 ?同构 §2 线性子空间的与与直与 子空间的与:设12,W W 就是线性空间V 的子空间,则集合121122{}W W W αααα=+∈∈|或 也就是一个线性子空间,称为12,W W 的与,记为12W W +、 线性空间分类?维数
子空间直和的判定与证明
子空间直和的判定与证明 一、直和的定义： 设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式 α=α1+α2，α1?V1，α2?V2， 是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2. 二、判定定理： 1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2） 只有在αi全为零向量时才成立. 证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。 必要性：显然成立； 充分性：设α?V1+V2，它有两个分解式 α=α1+α2=β1+β2，αi,βi?Vi （i=1,2） 于是（α1-β1）+（α2-β2）=0. 其中αi-βi?Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有 α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）. 这就是说，向量α的分解式是唯一的。 2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}. 证明：充分性：假设α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2） 那么α1=-α2? V1∩V2. 由假设α1=α2=0. 这就是证明了V1+V2是直和。 必要性：任取向量α?V1∩V2，于是零向量可以表成 0=α+（-α），α?V1，—α?V2. 因为是直和，所以α=-α=0， 这就证明了V1∩V2={0}. 3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必 要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）. 证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知， 维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}， 由定理2得，V1+V2是直和。 必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2）， 由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价， 则维（W）=维（V1）+维（V2）. 4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W. 证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。 三、（1）直和的定义1： 设V1，V2, ……Vs都是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+……+Vs中每个向量α的分解式α=α1+α2+……+αs，αi?Vi （i=1,2, ……,s）是唯一的，这个和就是直和，记为V1⊕V2⊕……⊕Vs.