3.1.2导数的概念(1课时)导学案

课题： 导数的概念 编号 1-1 3.1.2 主备人 审核人 使用人

【学习目标】：1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

【学习重点】：导数概念的形成，导数内涵的理解

【学习过程】：

（预习教材P 74~ P 76，找出疑惑之处）

复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是()r V ，求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.

复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.

【合作探究】：

探究任务一：瞬时速度

问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为________.一般地，若物体的运动规律为)(t f s =，则物体在时刻t 的瞬时速度v 就是物体在t 到t t ?+这段时间内，当_________时平均速度的极限，即t

s v x ??=→?0lim =___________________ ()105.69.42++-=t t t h

问题2： 瞬时速度是平均速度t

s ??当t ?趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x

?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0

x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x

?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0(3)

x

y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率

(4)导数x

x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

典型例题

例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.

例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，

(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ??. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t

s ??. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度

小结：

利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；第二步：求平均变化率

0()f x x y x x +??=??； 第三步：取极限得导数00()lim x y f x x

?→?'=?. 【当堂检测】：

1.在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

2.已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ）

A 、)()(00x f x x f y -?+=?叫函数增量

B 、x

x f x x f x y ?-?+=??)()(00叫函数在[x x x ?+00,]上的平均变化率 C 、)(x f 在点0x 处的导数记为y ' D 、)(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '

3.求函数x y =在1=x 处的导数

4. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度