高中数学：必修4全套教案(新人教A版)

第一章 三角函数

1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角

一、 教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于360?

角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2、过程与方法

通过创设情境：“转体720?，逆（顺）时针旋转”，角有大于360?

角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具

之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.

教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想

【创设情境】

思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360?

?

~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

【探究新知】

1．初中时，我们已学习了0360?

?~角的概念，它是如何定义的呢？

[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.

2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?

” （即转体2周），“转体1080?

”（即转体3周）等,都是遇到大于360?

的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?

的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了

什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).

[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?

=，负角150,660βγ?

?

=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.

3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的30?角、210?

-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.

4.[展示投影]练习:

(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?

5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.

[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32?

-的终边是OB ,那么328,392?

?

- 角的终边都是

OB ,而328321360???=-+?,39232(1)360???-=-+-?.

设{|32360,}S k k Z ββ?

?

==-+?∈,则328,392??-角都是S 的元素,32?

-角也是S 的元素.因此,所有与32?

-角终边相同的角,连同32?

-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与

32?-角终边相同.

一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合

{|360,}S k k Z ββα?==+?∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

6.[展示投影]例题讲评

例1. 例1在0360?

?

~范围内，找出与95012'?－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：

0360??－是指0360β??≤<）

例2.写出终边在y 轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?

-≤

720?<的元素β写出来.

7.[展示投影]练习

P第3、4、5题.

教材

6

∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等注意: （1）k Z

的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍.

8.学习小结

(1)你知道角是如何推广的吗?

(2)象限角是如何定义的呢?

(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直

=上的角的集合.

线y x

五、评价设计

1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．

2．多举出一些日常生活中的“大于360?的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，

进一步理解具有相同终边的角的特点．

1.1.2弧度制

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.

2、过程与方法

创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.

3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.

二、教学重、难点

重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.

难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.

三、学法与教学用具

在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.

教学用具:计算器、投影机、三角板

四、教学设想

【创设情境】

有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）

显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.

在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.

【探究新知】

1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.

弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.

2.弧度制的定义

[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).

3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.

我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π

等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=

α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π?

=填空:

1___rad ?=,1___rad =度

显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解

例1.按照下列要求,把'

6730?化成弧度:

(1) 精确值；

(2) 精确到0.001的近似值.

例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).

注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?

=,另外注意计算器计算非特殊角的方法. 7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表: y x

A

αO

B

角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一

的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.

8.例题讲评

例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:

(1)l R α=; (2)212S R α=

; (3)1

2

S lR =. 其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85?

的大小.

注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.

9.练习 教材10P .

9.学习小结

(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?

(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗? 五、评价设计

1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．

2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．

1.2.1任意角的三角函数(一)

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

2、过程与方法

初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.

3、情态与价值

任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对

三角函数概念的理解.

本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点

重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具

任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.

另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.

教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想

第一课时 任意角的三角函数（一）

【创设情境】

提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？

借助右图直角三角形，复习回顾.

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那 (,)P a b ,

么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点

它与原点的距离220r a b =

+>.过P 作x 轴的垂

线,垂足

为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .

则

sin MP b

OP r α=

=; cos OM a OP r α==; tan MP b

OM a

α==.

P 在α

思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

sin MP b OP α=

=; cos OM a OP α==; tan MP b

OM a

α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如

何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.

【探究新知】

1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.

2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?

y

P （a ，b ）

r

α O M

a 的终边

P(x,y

O

x

y

如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y

x x

α=

≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.

3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =

+那么2

2

sin x y

α=

+,2

2

cos x y

α=

+,

tan y

x

α=

.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.

4.例题讲评

例1.求

53

π

的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.

教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法: 如例2:设3,4,x y =-=-则22(3)(4)5r =

-+-=.

于是 4sin 5y r α=

=-,3cos 5x r α==-,4

tan 3

y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题

6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数

7．例题讲评

例3．求证：当且仅当不等式组sin 0

{

tan 0

θθ<>成立时，角θ为第三象限角.

8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:

sin(2)sin k απα+=

cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=

9.例题讲评

例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250?; (2)sin()4

π

-

; (3)tan(672)?-; (4)tan3π

例5.求下列三角函数值:

(1)'

sin148010?

; (2)9cos

4π; (3)11tan()6

π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0?

到360?

)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题

11.学习小结

(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；

(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗? 五、评价设计

1．作业：习题1.2 A 组第1,2题．

2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.

第二课时 任意角的三角函数（二）

【复习回顾】

1、 三角函数的定义；

2、 三角函数在各象限角的符号；

3、 三角函数在轴上角的值；

4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；

5、 三角函数的定义域.

要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】

1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？

2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点

(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:

根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==

随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？

3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、

OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？

（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α

的正切值吗？

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：

当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段

OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

cos OM x α==

同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：

当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有

sin MP y α==

4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）.

5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?

如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有

tan y AT x

α==

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？

（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解 例1．已知

4

2

π

π

α<<

，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题

9学习小结

(1)了解有向线段的概念.

(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】

1． 作业：

比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)

(1)sin15?

、tan15?

（2）'

cos15018?

、cos121?

（3）5

π

、tan 5π

2．练习三角函数线的作图.

1.2.2同角三角函数的基本关系

一、教学目标： 1、知识与技能

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.

2、过程与方法

由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式

证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

3、情态与价值

通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法. 二、教学重、难点

重点：公式1cos sin 2

2

=+αα及

αα

α

tan cos sin =的推导及运用：

（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具

利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2

2

=+αα及

αα

α

tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.

教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学设想

【创设情境】

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你

能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2

2

1MP OM +=,因此

221x y +=,即22sin cos 1αα+=.

根据三角函数的定义,当()2

a k k Z π

π≠+

∈时,有

sin tan cos α

αα

=. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切. 2. 例题讲评 例6.已知3

sin 5

α=-

,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.

3. 巩固练习23P 页第1,2,3题

4.例题讲评 例7.求证:

cos 1sin 1sin cos x x

x x

+=

-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结

（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 2

2

≠+βα，γ

β

αcos sin tan ≠

． O

x

y P M

1 A(1,

（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

五、评价设计

(1)作业：习题1.2A组第10,13题.

(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关

系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.

第二章平面向量

本章内容介绍

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.

本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）

第1课时

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

教学目标：

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、

平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规

授课类型：新授课

教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？

（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量. A

B

C

D

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？ 二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB ；

④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：

A(起点)

B

（终点）

a

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线

．．．．

段的起点无关

．．．．．．.

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）

．．．．．．．．．．．.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1 书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由

向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、、相等的向量.

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（FE DO CB ,,） 课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝ ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同. 2．书本88页练习 三、小结 ：

1、 描述向量的两个指标：模和方向.

2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

第2课时

§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用

它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：

1、 复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：

（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+

（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+

（4）船速为，水速为，则两速度和：AC =+

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a

A B C

A B

C

A B

C

A

B

C

a +b

a +b

a

a b b a

ｂ

ｂ ａ

a

O

A

a

a a

b b b

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；

（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，

当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|+b|=||-||.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 ３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b

作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：使=， =， =

则(+) +==+，+ (+) ==+ ∴(+) +=+ (+)

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：

例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结

1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号

.

五、课后作业：

P103第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题

1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为

h km /4，求水流的速度.

2、一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.

3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60?，求1v 和2v .

4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是

km/h ，最小是

km/h

５、已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60?，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.

６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

第3课时

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

教学目标：

1. 了解相反向量的概念；

2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.

学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的

减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：

一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，=++BA BA CB .

A B

D C

解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法

1． 用“相反向量”定义向量的减法

（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O ，

作= a ， = b 则= a - b

即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

4． 探究：

１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.

O A

a B’

b

-b b

B

a + (-

b )

a b O a

b

B

a

b

a -b

２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：

例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作OA = a ， OB = b ， OC = c ， OD = d ， 作， ， 则= a -b ， = c -d

例二、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ， 用a 、b 表示向量、. 解：由平行四边形法则得：

= a + b ， = - = a -b

变式一：当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a ， b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 练习：Ｐ98

四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：P103第4、５题 六、 板书设计（略） 七、 备用习题：

A B

D C

A

B

C

b

a

d c

D

O

a -b

A A

B

B

B’

O

a -

b a a b

b

O A

O

B

a -b

a -

b B

A O

-b