空间向量在立体几何中的应用讲义 附习题

空间向量在立体几何中的应用二——夹角的计算

【学习目标】 1. 知识与技能

（1）理解空间中两条直线间与两个平面间夹角的含义；

（2）明确空间中两直线夹角的求法及夹角的表示，能够利用平面的法向量求平面间的夹角.

2. 过程与方法

（1）在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力； （2）通过对空间几何图形的探究，使学生会恰当地建立空间直角坐标系. 3. 情感、态度与价值观

通过数相结合思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 【要点梳理】

要点一：直线间的夹角 1. 有关概念：

两直线的夹角：当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π??

????

内的角

叫作两直线的夹角．

异面直线的夹角：当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角．

要点诠释：异面直线的夹角的范围是0,2π??

???

.

2. 直线夹角的向量计算方法：

已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两

点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足||

cos ||||

AC BD AC BD θ?=?

.

要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 即

设直线1l 与2l 的方向向量分别为1s ，2s .

当0≤12s s ，≤2

π

时，直线1l 与2l 的夹角等于12s s ，；

当2

π

<12s s ，≤π时，直线1l 与2l 的夹角等于π12s s ，． 要点二：平面间的夹角 1. 平面间的夹角的定义：

平面1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则12l l =R 。我们把直线1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角.

2. 平面间夹角的向量计算方法：

设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则121212

cos =cos =

.θ?n n n n n n ，

要点诠释：

（1）两平面的夹角范围是02π??

????，.

（2）已知平面1π和2π的法向量分别为1n 和2n ，则

当0≤12n n ，≤π/2时，平面1π和2π的夹角等于12n n ，；

当π/2 ＜12n n ， ≤π时，平面1π和2π的夹角等于π12n n ，.

3. “平面间的夹角”不同于“二面角”

（1）二面角的有关概念

半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ.

（2

要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念

斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜线．．，斜线和平面的交点叫作斜足．．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面上的射影.

斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.

如图，l 是平面α的一条斜线，斜足为O ，OA 是l 在平面α内的射影，POA ∠就是直线l 与平面α的夹角.

特别地，如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0°；

如果一个直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角为90°. 要点诠释：

（1）直线和平面所成角的范围是02π??

????

，.

（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角；

（2）斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上. 2. 线面角的向量计算方法

设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为?，则有||

sin |cos |||||

θ??==

?a u a u .

【典型例题】

类型一：异面直线所成的角

【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题1】

例1. 长方体1111—ABCD A B C D 中，E F 、分别为11AB B C 、中点，若2AB BC ＝＝，1AA ＝4，试用向量法求直线1A E 与CF 的夹角的余弦值.

【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，写出各点的坐标，并写出向量1BD ，1AF 的坐标表示，1BD 与1AF

所成的角就是1BD ，1AF 所成的角或它的补角．因此，我们可以通过1BD ，1AF

的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值．

【答案】

1617

【解析】如图，建立空间坐标系，则

D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0)、C (0，2，0)、

1A (2，0，4)、1B (2，2，4)、1C (0，2，4). 由中点公式可知E (2，1，0)，F (1，2，4).

令1A E 与CF 的夹角为θ，则cos θ＝11A E CF A E CF

? ＝16

17.

∴1A E 与CF 的夹角的余弦值为

16

17

. 【总结升华】用空间向量法来研究两条异面直线所成的角的一般步骤是： 1. 建立适当的空间坐标系； 2. 确定相应的点的坐标；

3. 确定异面直线方向向量的坐标表示；

4. 用夹角公式确定两条异面直线所成的角，得出结论

.

举一反三：

【变式1】如图，在ABC ?中，ABC ∠?=60，90,BAC ∠=?AD BC 是上的高，沿AD

把ABD 折起，使0

90BDC ∠=. 设E 为BC 的中点，求AE 与DB

夹角的余弦值

.

【解析】由条件可知,,DA DB DC 两两垂直，不妨设1DB =.

以D 为坐标原点，以射线,,,,DB DC DA x y z 分别为轴建立的空间直角坐标

系，

有13(,,0),22

A E (0,0,0),(1,0,0),(0,3,0),D

B C

13(,,22AE = (3,0,0)DB =

AE DB ∴

与夹角的余弦值为

1cos ,22AE DB AE DB AE DB

?<>===?

. 【变式2】 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，

D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为

，求AC 的长．

【答案】

【解析】

以

为坐标原点，射线

为x

轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系

xyz -.

则（

），

1 （

），（），（

21，2

3

，0）， 设（1，0，c ），则B 1=（），DC =（，c ）.

因为?B 1，∠等于异面直线

与

的夹角.

故B 1·DC =|B 1|·|DC |cos 45°， 即22×2

2

22?+c =4， 解得c =2， ∴

类型二：平面间的夹角

例2. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D －，求平面11A BC 与平面ABCD 的夹角的

余弦值.

【思路点拨】可建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量的夹角进行求解．

【解析】如图建立空间直角坐标系，

11C A ＝（－1，1，0）

，A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面11A BC 与平面ABCD 的法向量， 由

011=?B A n ，

0111=?C A n .

可解得1＝（1，1，1），易知2n ＝（0，0，1）， 所以，=

3

3

.

所以平面11A BC 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为

3

3． 【总结升华】用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．

举一反三： 【变式1】(2016 全国Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°．

(Ⅰ)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (Ⅱ)求二面角E -BC -A 的余弦值．

【答案】 (Ⅰ)见解析 (Ⅱ) (Ⅰ)由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ．

又AF ?平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC ．

(Ⅱ)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(Ⅰ)知DG ⊥平面ABEF ．

以G 为坐标原点，GF 的方向为x 轴正方向，||GF

为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz ．

由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝3，可得

A (1，4，0)，

B (-3，4，0)，E (-3，0，0)，(00D ． 由已知，AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFD

C ．

又平面ABCD ∩平面EFDC ＝DC ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ．

由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°．

从而可得(20C -．

所以(10(040)(34(400)EC EB AC AB ===--=- ，，，，，，，，．

设()n x y z =

，，是平面BCE 的法向量，则

00

400

n EC x y n EB ??==????

=?=??? ，即··，

所以可得(30n =

，，

设m 是平面ABCD 的法向量，则00

m AC m AB ?=??=??

··，

同理可取(04)m =

，则cos ||||

n m n m n m ??==

，··． 故二面角E -BC -A

的余弦值为．

【变式2】在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 中

点，底面ABCD 是直角梯形，AB ?CD ，↓ADC =90°，1AB AD PD ===，

2CD =. 设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=

，试确定λ的值，使得平面BDP 与平面BDQ 为45°.

1

【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -.

则()100A ，，， B （1，1，0），C （0，2，0），P （0，0，1）.

因为PC =（0，2，-1），且PQ PC λ=

，λ∈（0，1），

所以()021Q λλ，，.

显然BC

=（-1，1，0）为平面PBD 的一个法向量. 设平面BDQ 的法向量为()a b c =n ，，， 又BD =（1，1，0），()021DQ=λλ

，，，

由00.BD DQ ??=?

??=??n n ，，得 所以2-11-1λλ?

?= ??

?n ，

，

.

所以

由λ∈（0，1），得=

λ1.

类型三：直线与平面的夹角

例3. 如图，在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．

【思路点拨】该题的难点在于建立合适的空间直角坐标系，并求出各个点的坐标. 以正四面体的高为z 轴，底面为xOy 平面建立空间直角坐标系，再分别求出直线CE 的方向向量与平面BCD 的法向量，转化为向量夹角的问题.

【解析】

建立以三角形BCD 的中心O 为原点，OD ，OA 依次为y 轴，z 轴，x 轴平行

于BC ．

设正四面体ABCD 的棱长为a ，

则,2a OF FC OD OA =

===

∴(,,0),(0,,0),(0,0,),2633

a C D A -

∵E 为AD 的中点，∴(0,

,)66

E

∴(2a CE =-

又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =

，

∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足sin cos ,||||CE n CE n CE n θ?=<>==

即CE 与平面BCD

所成的角为arcsin

3

． 【总结升华】用传统几何法求直线与平面所成的角，关键是找出与已知平面垂直的直线，从而确定斜线在面内的射影，得到斜线和平面所成的角，计算在三角形中进行．用向量法求直线与平面所成的角，关键是建立恰当的坐标系，求出斜线对应向量的坐标和平面的法向量坐标，由夹角公式及线面角与线线角的关系得到结果．

举一反三：

【高清课堂：立体几何中的向量方法399112例题2】

【变式1】已知正方体1111ABCD A BC D -，点F 是

BC 的中点，点E 在11C D 上，且1114C D ED =，求直线EF 与平面1ACD 所成角的正弦值.

【答案】

设正方体棱长为4，建立如图的空间直角坐标系—D xyz ，

则知A （4，0，0）， C(0，4，0)， D 1(0，0，4) ，(0,1,4),(2,4,0).E F

设1(,,).n x y z ACD =

是平面的法向量

11,,(4,4,0),(4,0,4)n AC n AD AC AD ⊥⊥=-=-

由

得1440440

n AC x y n AD x z ??=-+=???=-+=?? 令1,(1,1,1)x n ==

得．

(2,3,4)EF =-

cos ,||||EF n EF n EF n ?<>===?

∴直线EF 与平面1ACD

. 【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，D E 、分别为11AA B C 、

的中点，

DE ⊥平面1BCC ，若平面ABD 和平面BCD 为60°,求1B C 与平面BCD 的夹角的大小.

【答案】30°

【解析】以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz .

设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2

b ，

c ）.

于是DE →

=（12，2

b

，0），BC →=（-1，b,0）.

由DE ⊥平面1BCC 知，DE ⊥BC ，于是DE BC →→

?=0，求得b =1. 设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →

=则0,0.AN BC AN BD →

→

→

→

?=?=

又BC →

=（-1，1， 0），BD →

=（-1，0，c ），故0

0x y x cz -+=??

-+=?

令x =1, 则y =1, z =1c ,AN →=(1,1, 1

c

).

又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）， 由平面ABD 和平面BCD 为60°知，

故cos60AN AC =AN AC ?? ，求得c =.

于是 ），，（211=AN ， ）

，，211(1-=CB ， 2

1

cos 1

11=??=

CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 的夹角为30°.

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：

空间向量与立体几何知识点学生

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；

空间向量与立体几何讲义

高 二 年级 数学 学科 一、空间向量的数量积坐标运算 1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为 向量a 的坐标，记着p = . 2．空间向量的直角坐标运算 （1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2．数量积：即 ?=332211b a b a b a ++ 3 ．夹角：cos ||||a b a b a b ??==? 4．模长公式：若123(,,)a a a a = ，则||a == ． 5．平行与垂直： 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ 00332211=++?=??⊥b a b a b a 6．距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则||AB == ， 或,A B d = 【典型例题】例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c = ，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .

空间向量与立体几何知识点与例题

. 空间向量与立体几何知方法总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行 向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有

空间向量与立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题 一、选择题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于( C ) A. 13 D.2 3 1、解:C.由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体,设棱长为a , 则1AB =, 棱柱的高 1 3AO a ===(即点1B 到底面ABC 的距离),故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =、 另解:设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底,1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ,平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 1OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r 、 二、填空题: 1.(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ,二面角C AB D -- M N ，分别就是AC BC ，的中点,则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 . 1、答案: 1 6 、设2AB =,作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥,则CH AB ⊥,CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=,结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥,则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解:以O 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系, 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----, 1111(,,(,,)222222 M N ---,

空间向量与立体几何

题型专题(十) 空间向量与立体几何 主要考查基础知识、基本技能，应用所学分析解决问题的能力 考点一：利用空间向量证明空间位置关系 ——据两类向量(方向向量、法向量)定向，靠准确运算解题 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)． (1)线面平行： l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直： l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行： α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 2＝ka 3，b 2＝kb 3，c 2＝kc 3. (4)面面垂直： α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. [典例] 如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥ 底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面PAB ； (2)求证：平面PAD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)， C (1,2,0)， D (0,2,0)，P (0,0,1)， 所以E ? ????12 ，1，12，F ? ????0，1，12， EF ＝? ?? ??－12，0，0，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)．

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤： 1、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如, 2、设坐标：设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程：联立方程组?????=?=?0 ，并解方程组 4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标 二、利用向量求空间角： 1、求异面直线所成的角： 设b a ,为异面直线，点C A ,为a 上任意两点，点D B ,为b 上任意两点，b a ,所成的角为 θ ，则= θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围是：?≤=<21,n n θ或 ><-21,n n π ，其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离： 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为n ，,α?A α∈B ，则点A 到平面α

2、求两条异面直线的距离 设21,l l 是两条异面直线，n 是公垂线段AB 的方向向量，D C ,分别为21,l l 上的任意两点， 则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形， ABCD PA 平面⊥，点E 在线段PC 上，BDE PC 平面⊥ （1）证明：PAC BD 平面⊥ （2）若2,1==AD PA ，求二面角A PC B --的正切值

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直

线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?u u u r =即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若

2018高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲 空间向量与立体几何 知识要点 一．空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 b a AB OA OB +=+=； b a OB OA BA -=-=; 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> AC AB λ= <=>OB y OA x OC += (1=+y x 其中） （4）与a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=> )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有 序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量 ,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ， 使OC z OB y OA x OP ++= 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(, ,)x y z ， zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作 (,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表 示。空间中任一向量 k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112 233(,,)a b a b a b a b +=+++，

空间向量与立体几何知识点汇总

空间向量与立体几何知识点汇总 知识点一 空间向量及其运算 （一）、空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 1. 空间的一个平移就是一个向量。 2. 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 3. 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 （二）、共线向量 1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线 （或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 2.共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是 存在实数λ，使a ＝λb 。 （三）、两个向量的数量积 1.定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<>叫做,a b 的数量积，记作a b ?，即a b ?=||||cos ,a b a b ??<>。 2.空间向量数量积的性质 ① ||cos ,a e a a e ?=<>； ② 0a b a b ⊥??=； ③ 2||a a a =?． 3.空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=?； ②a b b a ?=?（交换律）； ③()a b c a b a c ?+=?+?（分配律）。 （四）、空间向量基本定理

如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 （五）、空间直角坐标系： 1.若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。 2.在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （六）、空间直角坐标系中的坐标表示 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． （七）、空间向量的直角坐标运算 1.若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2.若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，

利用空间向量解立体几何完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关 系，它 主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是 度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等 、基本工 1. 数量积： a b cos 2.射影公式：向量a在b上的射影为 a b b 3.直线Ax By C 0的法向量为A,B ，方向向量为B,A 4. 平面的法向量（略） 、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行两线的方向向量平行 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 线面垂直线与面的法向量平行 面面垂直两面的法向量垂直

三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点P x1, y1 , z1 与Q x2,y2,z2 的 距离为PQ (x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 2.点线距离求点P x0,y0 到直线l : Ax By C 0的距离：方 法：在直线上取一点Q x,y ， uuur 则向量u P u Q ur在法向量n A,B 上的射影PQ n= Ax0 By0 C n A2B2即为点P到l 的距离. 3.点面距离 求点P x0,y0 到平面的距离： 方法：在平面上去一点Q x,y ，得向量u P u Q ur，计算平面 的法向量n ，计算u P u Q ur在上的射影，即为点P到面的距离 . 四、用向量法解空间角 1. 线线夹角(共面与异面) 线线夹角两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2. 线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角 即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角 . 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹

空间向量与立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为1111 33 OA AA AB AC =- -,11AB AB AA =+ 2111126 ,,333 OA AB a OA AB ?= == 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为 111 12 3 OA AB AO AB ?= . 二、填空题： 1 ．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D --M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH ，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11 (),22 AN AC AB EM AC AE =+=-, 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=1 2 故EM AN ，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM ?= 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,

空间向量与立体几何知识点

空间向量与立体几何知识 点 Prepared on 22 November 2020

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以 求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是 0, 2 π ?? ? ??， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．