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矩阵的合同与相似及其等价条件

矩阵的相似与合同及其等价条件研究

（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶

引言

矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.

1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念

1.1矩阵等价的定义[1]

定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.

由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：

定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.

根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：

定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]

定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得

B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .

1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:

性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .

性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （2

1,k k 是任意常数）

性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.

性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似. （m 为正整数）证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()

P A P B AP P m m m

11--==，故

可以得到m A 与相m B 相似.

性质1.7 如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1

-B ～1

-A . 证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()

P A P B AP P 1111

1-----==，

故可以得到1

-B ～1

-A .

性质1.8 如果矩阵A ～B ，那么B A =.

证明存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.

性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.

证明设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()

P A P AP P B 111

11-----==，从而1-B 和1

-A 也相似.

若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.

性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.

证明设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-λλ ()P A E P -=-λ1

A E -=λ

故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.

性质1.11 相似矩阵有相同的迹.

证明可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，

()()

AP P t B t r r 1-=

()

PA P t r 1-=

()A t r =

例1 ???? ??=3002A ，???

??=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？

解从已知可知63

002==

A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r

对于A 的特征多项式3

--=-λλλA E )3)(2(--=λλ

故A 的特征值为2和3.

对于矩阵B ,62

003==

B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r

矩阵B 的特征多项式)3)(2(2

--=--=

λλλλB . 故矩阵B 的特征值是2和3.

存在一个可逆矩阵?

? ??=0110P 使得B AP P =-1

，从定义矩阵B 与矩阵A 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].

例2 设实数域上的3级实对称矩阵???

??------=124242421A ，对角矩阵

???

??-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如

果相似求出可逆矩阵P .

解由矩阵A 的特征多项式为1

1020

2424

421

-+---=---λλλλλλλ

2421

---=

λλλ

)4()5(2+-=λλ 故矩阵A 的特征值为5和—4.

容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，

故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,???????

? ?

?--=3253

10315152

552325154

551

P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]

定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ?.

n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：

⑴ 反身性: 即任一n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如A 与B 合同，则B 与A 合同.

⑶ 传递性: A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.

⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.

2. 合同矩阵与相似矩阵的关系

2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].

⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.

⑵ 相似、合同矩阵均有相同的秩.

若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k

=，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Ra n k A Ra n k =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.

⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.

若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].

矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ?B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.

例1 设????? ??----=542452222

A ,??

?????

?---

=3245

3245451

3145252T ,?????

??=1000010001B , 不难验证：

B AT T T =，有B A ?.

我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.

例2 ???? ??=3221A ，???? ??--=12441B ，???

??-=2001C . 经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.

我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是

111()E B E P AP P E P P AP λλλ----=-=-

()P E A P λ--

=E A λ-

故特征值相同.

然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同:

例3 设?????

??=121211

A ，?

???

??=430

01B ，???

? ??-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ?，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和4

显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].

结论2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.

证明设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ?.

反过来，对于矩阵???? ??=010001A ，????

??=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相

似.

结论2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.

证明设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，

若记11,P Q P P T

== ,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.

反过来对于矩阵???

??=1001A ,

???? ??=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．

2.4矩阵合同与相似的关系[7]

结论2.3 如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.

证明设M 、N 的特征值均为1λ 、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：

? ??=-n MP P λλ 11

同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：

? ??=-n NQ Q λλ 11

从上面两式有：

NQ Q MP P 11--=

将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：

MPQ QP N 1`-= ()()1

1---=PQ M PQ

由于 E QQ E PP T T ==, 故 T PQ 可逆，又由于：

（

1111)()()T T

PQ PQ PQ Q P ----= T T QP PQ =

E =

所以1-PQ 是正交矩阵

故M ～N N M ?,

结论2.4 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =, 有()

()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似，又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.

结论2.5 若A ～B ,且B A ?，C ～D 且D C ?，则

???? ??C A 00～???? ??D B 00，???

??????? ??D B C A 0000

证明从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得

AP P =-111

D CP P =-212

令 ???

? ??=21

0P P P 则 ???

? ??=---121

00P P P

且 ???

?=???? ??---21

1110

000CP P AP P P C A P

???

? ??=D B 00

故 ???? ??C A 00～????

??D B 00

又因为D C B A ??，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得 1122,T T T AT B T CT D ==

令????

?=2100T T T

则 ???

? ?

?=T T

T T T 210

0 然而 112200000000

T T

T T A A T T T T C C T ??????

??=

? ? ????????? 11220000

T T T T T ????=

? ???

?? 11220000T T

T AT D T CT ????== ? ???

故 ???? ??C A 00????

??D B 00

3 相似矩阵的应用

3.1 相似矩阵的简单应用[8]

在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()

P B P BP

P A m m

m 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵

简单化。利用相似的关系把矩阵化简为对角矩阵，但并不是所有的矩阵都可以对角化.

例1 求m

A （m 是任一个正整数）：1214A ??

= ?-??

解由已知矩阵A 的特征多项式为E A λ- 故 0E A λ-=

2(1)(4)2560λλλλ--+=-+=

故有特征值为:2λ=，或3.

可以看到2阶矩阵A 有两个不同的特征值，故可以对角化.

当2λ=时,12012X -??

= ?-??，1220x x -=，得到特征向量（2 ，1）.

当3λ=时,22011X -??

= ?-??，同理可以得到特征向量（1 ，1）.

存在2111T ??= ???，求得11112T --??= ?-??，1

2003T AT -??= ???

即3

12003m A T T -??

= ???

11232(32)23

2(32)m m

m m m

m m

m m A +-??--= ?--??

3.1.1实对称矩阵一定相似于对角矩阵.

例2 设???

? ??----=542452222A ，求正交矩阵T ，使得AT T T 为对角矩阵.

解计算可得2

(1)(10)E A λλλ-=--，所以121λλ==,310λ=.

当1=λ时,得到特征向量()T

a 0,1,21-=,T

a ??? ?

=25,2,12

当10=λ时,得到特征向量T

a ??

??-=1,1,213

将特征向量单位化，得????????? ??-=051521β，????????

? ??=4554544522β，?????

??? ??-=3232313β 令()321,,βββ=T ，则T 为正交矩阵，且?????

??=1011AT T T

即A 正交相似与对角矩阵.

3.1.2 矩阵不可以化为对角矩阵的情况[9].

例3 设矩阵???

? ??-----=21410262046

B ，可以得到0=-B E λ.

得到特征值4221==λλ，(2重).

当21=λ时,得到特征向量???

??=2221β

当42=λ时,得到特征向量???

? ??-=1142β

只有两个特征向量,故矩阵B 不可以对角化. 3.2 矩阵合同的应用[10]

矩阵的合同主要应用在二次型，二次型的标准型，求矩阵的合同标准型.下面介绍几种求实对称矩阵合同标准型的方法： 3.2.1 非退化线性替换

例1 用正交替换把实二次型3231212

22132184452),,(x x x x x x x x x x x f --++=化为

标准型.

解令?????????????????

???

?--=??

????????321321315310325

15455

1315152552y y y x x x 则 23222132110),,(y y y x x x f ++=

3.2.2 利用配方法把二次型化成标准型.

例2 二次型()32312

322321222,,x x x x x x x x x f -+-=

解()23

3123213231212322213212)2()222(,,x x x x x x x x x x x x x x x x x f --+---+++= ()()2

312

3212x x x x x x ----+= 令3

323213

212x x x x x x y y y -

?????=== 则 2

22213212),,(y y y x x x f --= 3.2.3 通过矩阵成对的初等行、列变换法.

例 3 用矩阵的成对初等行、列变换法把数域K 上二次型化成标准形，

()32312322321222,,x x x x x x x x x g -+-=

解 ()321,,x x x g 的矩阵是???

? ??---=21111010

0A ，那么()E A ,.经过成对的初等行列变换

得到:

对角矩阵矩阵?

? ??-=200010001D ，可逆矩阵????

???

?-=2100211

0011C ，令CY X =，得 23

22213212),,(y y y x x x g --=

结论

基于对矩阵相关知识概念的了解.本文对矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同的概念的把握,同时阐述了矩阵的等价、相似、合同的三者的关系.给予了矩阵的相似的应用,矩阵合同的应用.特别在线性代数中，运用矩阵的相似标准型和合同标准型把矩阵对角化使问题简单化.再者,对求解矩阵的合同标准型几种方法分别是非线性替换,配方法和成对的初等行列变换.通过一些实例使我们更清楚的了解矩阵的相似于合同及其等价三者的联系，对以后的学习提供的帮助和进一步了解.

参考文献

[1] 智婕. 矩阵等价、相似、合同联系[J].牡丹江师范学院报.2006,(3):6.

[2] 张禾瑞. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社.1983:190-202.

[3] 丘维声. 高等代数(第二版).北京:高等教育出版社.2002:192-199.

[4] 卢刚. 线性代数[M].北京:高等教育出版社.2005:101-179.

[5] 耿秀荣. 概念辨析过程数学变式教学[D].山东师范大学数学系硕士学位论文.2001,32-42.

[6] 王晓玲,候建文. 矩阵三种关系间的联系[J].山西农业大学学报.2004,(2):188-190.

[7] 马蔚华. 矩阵的相似与合同之等价条件的探究[J].湖南广播电视大学学报.2000,(4):70-71.

[8] 李样明，金玲玲. 关于矩阵合同关系的几个问题[J].广东教育学院学报.1995,(2):25-27.

[9] 吴赣昌. 线性代数[M].北京:中国人民大学出版社.1994:198-224.

[10] 同济大学教研室. 线性代数[M].北京:高等教育出版社.2003:215-243.

致谢

我所撰写的学位论文是在导师王晶晶认真指导下完成的.她严格地要求我，认真的的指导. 老师渊博的知识认真的态度也使我受益匪浅，这对于我以后的工作学习都具有很好的示范作用.我的论文的撰写和校对过程中，还得到了许多同学的帮助，同学和老师都给予我很大的帮助,使我熟悉了撰写论文的一般格式和许多注意事项,对论文的写作又有了深刻的认识.

最后感谢王老师的辛勤指导.

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B : 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得 T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即1 2 m P Q Q Q =L 。此时7 11 T T T m n P Q Q Q -=L 边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -==L L 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵

从而11 1 ()PQ QP ---= 又由于1 111()()()QP QP T QP P TQT ----= 1()T T QP P TQ -= T QQ = 1 QQ -= E = 1 QP -∴为正交矩阵所以A B :且A B ? 定时5：两合同矩阵，若即PTAP B =，若A 为对称矩阵，则B 为对称阵，而两相似矩阵则不一定有些性质证明：A B ?即T P AP B =，若对称阵，则T A A = ()T T T B P AP = T T P A P = T P AP = B = 所以B 边为对称阵 [注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？引理6：对称矩阵相似于对角阵?A 的每一个特征根λ有秩||I A n s λ-=-，S 为λ的重数.

线性代数关于等价、相似、合同的对比

定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。等价具有反身性即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性若A与B等价，则B与A等价传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。 2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程最常见的方程有以下两类：（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×m矩阵，求出矩阵X满足AX＝B 原理：AX＝B时（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×n矩阵，求出矩阵X满足XA＝B。解：由方程XA＝B XAA-1＝B A-1解为x= B A-1 要注意的是，矩阵方程XA＝B的解为x= B A-1，而不可以写成x= A-1B。因为X满足XA＝B X T满足A T X T＝B T从而有X T=（A T）-1 B T=（BA-1）T 所以，可以先用上述方法求解A T X T＝B T，再把所得结果X T转置即得所需的X＝BA-1。定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。向量组之间的等价关系有下列基本性质：设A,B,C为三个同维向量组，则有定义5.2.1 设A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵p使得B=p-1AP。则称A 和B是相似的，记为A～B。

当两个n阶方阵A和B之间存在等式B=P-1AP时，我们就说A经过相似变换变成了B。同阶方阵之间的相似关系有以下三条性质：（1）反身性 A～A，这说明任意一个方阵都与自己相似。事实上，有矩阵等式（2）对称性若A～B则B～A，这说明A和B相似与B和A相似是一致的。事实上，有（3）传递性若A～B，B～C则A～CP，这说明当A和B相似，B和C相似时，A和C一定相似。事实上，由B=P-1AP，C=Q-1BQ即可推出C=Q-1P-1APQ=（PQ）-1A（PQ）定理5.2.1 相似矩阵必有相同的特征多项式，因而必有相同的特征值，相同的迹和相同的行列式。需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。定理5.2.2n阶方阵A与对角阵P-1AP =相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。两个重要结论：（1）任意一个无重特征值的方阵一定相似于对角矩阵；（2）对角元两两互异的三解矩阵一定相似于对角矩阵；（3）若A中任一k的特征根对应有k个线性无关特征向量，则A一定与对角阵∧相似. 定义5.3.4 如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。定义5.3.5 若是 R n中的一个正交向量组，且其中每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组。（正交单位向量组）定理5.3.1 正交向量组必线性无关。必有向量组正交，且是标准正交组。(正交单位向量组) 定义5.3.5 如果n阶实方阵A满足，则称A为正交矩阵。定义5.4.1 设A，B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得，则称A与B正交相似。定理5.4.3 （对称矩阵基本定理）对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵P，使得对角矩阵中的n个对角元就是A 的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角矩阵的实方阵一定是对称矩阵。定理5.4.4 两个有相同特征值的同阶对称矩阵一定是正交相似矩阵定义6.1.3 设A，B都是n阶方阵，若存在可逆阵P使得。则称A与B合同。

矩阵的各种标准形研究

玉林师范学院本科生毕业论文反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学学生班级2010级1班姓名学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院指导教师姓名指导教师职称副教授

数学与应用数学2010级1班梁玉漫指导老师钟镇权摘要数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑体，小四.

Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。（二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。（三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ= ，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ ）是向量组（12,,,n λλλ ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ ）?（12,,,m βββ ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =?? r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

关于矩阵等价标准型定理的探讨

上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵等价标准型定理的探讨作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:

关于矩阵等价标准型定理的探讨姓名：学号：摘要：矩阵的等价标准形在我们的学习中很重要，能帮助我们解决许多问题．本文首先阐述并论证矩阵的等价标准型定理，其次本文就本定理的各方面的应用进行了逐个具体举例验证。关键词：矩阵等价标准型定理应用正文：引言本文主要讲述了矩阵的等价标准型定理，也就是矩阵的相抵标准型定理。接下来的就简单介绍了等价标准型定理的基本性质，最后分类具体介绍了等价标准型定理在线性代数中的各方面应用。章节一：等价标准型的概念定义1、设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 I 00 0r PAQ ??= ???，则我们把I 00 0r ?? ?? ? 称为 A 的等价标准型，也称相抵标准型定理。定义2、对于任意m*n 的矩阵A ，则A 一定可以通过一系列初等行变换和一系列初等变换化成形式为I 000 r ??? ? ??m*n （r

为矩阵A 的等价标准型. 章节二：等价标准型的性质两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．当矩阵A 是可逆矩阵时，矩阵A 的秩（即r （A ））是唯一的。下面给出相应的证明：（反证法）假设 r 不唯一, 不妨设 r < s , 存在 m 阶可逆矩阵 P, M 和 n 阶可逆矩阵 Q, N ,使得 P AQ = 000Ir ?????? ，M AN =s 000I ?????? 所以A = P ?1 000Ir ?????? Q ?1 = M ?1s 00 0I ?????? N ?1 ? M P ? 1000Ir ???? ? ?Q ?1N =s 000I ????? ? ，将 M P ?1 和 Q ?1N 进行相容的分块,记M P ?1= 123 4P P P P ?????? ，Q ?1N =Q 1Q 2Q 3Q 4?? ??? ? ，其中P 1 和Q 1 是r 阶方阵.则 1 234P P P P ??????000Ir ??????Q 1Q 2Q 3Q 4??????=P1Q 1 P1Q 2P3Q 1 P3Q 2?? ? ??? =s 000I ????? ? =Ir 000Is-r 00 0?? ???????? 比较相应位置的分块矩阵, 得 P 1Q 1 = I r , P 1Q 2 = 0r ×(n ?r ), P 3 Q 1 = 0(m ?r )×r , P 3Q 2 =00 0Ir ?????? （m-r ）×（n-r ）则P 1 Q 2 = 0 ? Q 2 = 0, P 3Q 1 = 0 ? P 3 = 0，所以P 3Q 2 =0，

合同与相似概念区别

代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C A C =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C A C =。而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。为了研究着这种特殊的映射在空间下的性质，我们有引进了双线性函数的“度量矩阵”，并以此矩阵来研究双线性函数的有关性质。于是双线性函数与空间的一组基、一个n 阶矩阵也建立起了一种一一对应的关系，如图 1'n A n T T AT T AT -=对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级正交矩阵，使得 → 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上线性变换空间的一组基一个矩阵线性变换→ 对空间元素的作用直接体现在基上变换的运算可反映在矩阵的运算上双线性函数空间的一组基一个矩阵双线性函数

矩阵的等价标准形应用

第3讲矩阵的等价标准形的应用设矩阵m n A ?的秩rank A r =，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q ，使 00 0r E PAQ ??= ??? ，我们把000r E ?? ??? 称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题．例1 每个方阵A 均可写成A BC =，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2 C C =）．证设A 的秩rank A r =，则存在可逆阵P 和Q ，使000r E A P Q ?? = ??? ．记B PQ =， 100 0r E C Q Q -??= ??? ，显然B 是个可逆阵，2 C C =是个幂等阵，并且A BC =．例2 设n 阶方阵A 的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使1 P AP -的后n r -行全是零．证存在可逆阵P 和Q ，使1000r E P AQ -??= ???，从而1 1 000r E P AP Q P --??= ??? 的后n r -行全是零．例3 设n 阶矩阵A 的秩rank A r n =<，证明存在非零n 阶矩阵B ，使0BA AB ==．证由例1知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12A A A =．记()1 21B E A A -=-，显然0B ≠，且 ()()11211212210BA E A A A A A A E A A AB --=-==?-?=．例4 设n 阶矩阵A ，B 满足AB E =，证明BA E =．证存在n 阶矩阵P ，Q ，使得000r E PAQ ?? = ??? ，这里r =rank A ，我们断言r n =．事实上，从AB E =易知 1 1 00 0r E PAQ Q B P Q B --???== ??? ， 11 000r E E Q BP --??=? ??? ，由此显然得到r n =，此时11PAQ Q BP E --==，从而111 E Q BP PAQ Q BAQ ---=?=，进而BA E =．例5 设n 阶幂等阵A （即2 A A =）的秩rank A r =，证明存在可逆阵P ，使

矩阵等价相似合同的关系

矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。相似是指两个矩阵特征值一样。相似必等价，合同必等价。 1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。 2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE| 所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP 3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。相似必合同，合同必等价。等价就是矩阵拥有相同的r。矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同，因为两矩阵相似，有相同的特征多项式和特征根，就一定有相同的r，惯性系数一定相同，可以化成相同的标准形，矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形（A、B都有其对应的对角形矩阵，结合定义即可推出），标准形相等规范形一定相等，所以相似一定合同。

矩阵的合同变换

矩阵的合同变换摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。关键词：矩阵秩合同对角化定义1：如果矩阵A 可以经过一系列初等变换变成B ，则积A 与B 等价，记为A B ? 定义2：设A ，B 都是数域F 上的n 阶方阵，如果存在数域F 上的n 阶段可逆矩阵P 使得1B P Ap -=，则称A 和B 相似A B 定义3：设A ，B 都是数域F 上的n 阶矩阵，如果存在数域F 上的一个n 阶可逆矩阵P ，使得T P AP B = 那么就说，在数域F 上B 与A 合同。以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。定理1：合同变换与相似变换都是等价变换证明：仅证合同变换，相似变换完全相似因为P 可逆，所以P 存在一系列初等矩阵的乘积，即12m P Q Q Q =。此时71 1T T T m n P Q Q Q -=边为一系列初等矩阵的乘积若111T T T T m n m B P AP Q Q Q AQ Q -== 则B 由A 经过一系列初等变换得到。所以A B ?，从而知合同变换是等价变换。定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩定理3：相似矩阵有相同特征多项式证明：共1A B B P AP -= 1||det ||del I B I P AP λλ--=- 又因为I λ为对称矩阵所以11det ||||||I P AP P I A P λλ---=- 1||||||P I A P λ-=- ||I A λ=- 注①合同不一定有相同特征多项式定理4：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A 与B 相似且合同

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。（二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系

等价、相似、合同的关系

矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険. 1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称￡与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示* 2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即 A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R, 若A", K?C则貝?C；若, B^C则/ = C（传递性）? （2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S?若rank 4 = F *则（￡A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形 O O ⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“ 注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4 与必的特征值相同不能筆知』?J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.

（3）用正交相似变换可将/化简成 Q J AQ=Q-l AQ^ 对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点?总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.

数学矩阵等价标准型问题研究

数学矩阵等价标准型问题研究摘要：矩阵在高等代数内容中发挥非常重要的作用，在教学过程中尤其受到重视。形成一个庞大的矩阵知识体系，其中包括了线性变化、线性代数等方面的内容，囊括了大量的矩阵知识。矩阵的等价关系是高等数学学习矩阵的一个重要范畴，在高等代数中有全面介绍，在解决矩阵问题的过程中需要掌握矩阵标准形的应用。本篇文章中，由于标准形最为广泛，一般情况下都采用标准形的方式研究等价标准形、合同标准形、若当标准形、相似标准形以及正交标准形，更在标准形的进一步研究中发挥重要的作用。在与标准形相关的问题中，矩阵等价标准形处于一个非常重要的地位，也是需要做出重点探究的内容，掌握矩阵等价标准形的性质特征，在以后的学习过程中发挥重大作用。其中，矩阵等价标准形作为非常重要的研究对象，需要做出更深层次的探究，最终帮助我们了解矩阵等价标准形的特征，探究更广泛的应用。数学领域其它内容问题，物理、化学等学科，都需要使用到矩阵等价标准形一系列知识。不容忽视矩阵的三个重要关系，即等价关系、相似关系和合同关系，三者之间存在一定的联系，来达到相互影响、相互促进的作用，需要在教学的过程中充分利用矩阵的三种关系，对线性代数的教学也给予一定辅助。关键词：矩阵；标准形；等价关系；标准型应用数学教学的过程中，必然会接触到高等代数这门学科，作为数学学习的基本性学科，涉及到更多的知识概念、定理证明和性质描述等等。作为大学生数学课程，一般情况下是构建代数体系、代数难题，但是由于缺乏具体模型而逻辑性要求更高，使在学习的过程中造成一定的难度性，实际应用的时候使人手足无措。究其原因在于学生不了解高等代数与初等代数的区别，用中学生的思想观念和学习方法来学习，未领会高等代数中蕴含的数学方法和思想，对概念和定理的理解不足，缺少对数学方法的理解和总结。高等代数涉及的数学思想有很多，比如等价、类比、划归、结构、分类等思想，了解和应用这些数学思想可以更好地了解和掌握高等代数中的数学知识。等价思想是高等代数中比较重要的一种思想方法，是学生从计算解题到学习代数结构的结合点，为后续课程的学习起到铺垫的作用。在教学中，教师应深刻理解和把握课程内容，澄清教学体系，学科思想，把握重点，化解难点，解决疑点，达到帮助学生更好地学习和掌握高等代数知识的目的，也有助于高校高等代数精品课程的建设。本文就高等代数中的等价思想

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

目录摘要 ............................................................................................................... I 引言 . (1) 1矩阵间的三种关系 (1) 1.1 矩阵的等价关系 (1) 1.2 矩阵的合同关系 (1) 1.3. 矩阵的相似关系 (2) 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3) 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5) 结束语 (6) 参考文献 (6)

摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件

引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ = 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =. 性质1 （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ? （3）传递性：即若A B ?，B C ?，则A C ? 定理1 若A 为m n ?矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和 Q （n 阶），使得00 0r m n I PAQ B ??? == ???.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ?矩阵，则A B ?当且仅当()()r A r B =. 1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵 p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =

矩阵的等价标准型定理

矩阵的等价标准型定理王耀伟学号摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。一、等价标准型定理及其证明对任意m ×n 矩阵A ，用一系列的m 阶初等方阵P 1，P 2，…，P s 左乘A ，以及一系列初等方阵Q 1， Q 2…Q s 右乘A ，将A 化成()??? ? ??000r I ，其中r=rank A.存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q 使PAQ 具有上述形式。证明：先证明定理“任意的m ?n 矩阵A 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为()??? ? ??000r I ” 。如果A=O ，则A 已经是所需的形状。设A=（a ij )m ×n ≠O.其中必有某个元a ij ≠0,当k ≠1时将A 的第一行与第k 行互换，可以将非零元a kl 换到第一行；如果l ≠1；再将第一列和第l 列互换，将非零元换到第（1,1）位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（a ij )m ×n 化为B=（b ij )m ×n ,使b 11≠0.对2≤i ≤m,2≤j ≤n,将B=（b ij )m ×n 的第一行的-b i1b -111倍加到第i 行，第一列的-b 1j b -111倍加到第j 列，可以将B 中第二至m 行的第一列元化为0，第二至n 列的第一行元化为0.再将第一行乘b -111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B 化成了如下形式的矩阵C=??? ? ??11 A 。其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。如果A1=0，则C 已经是所需形状。设A1≠0，重复以上步骤，对A1作初等行变换和初等咧变换可以将A1化为???? ??21 A 的形状。其中A2是（m-2)×(n-2）矩阵。这也就是对C 的第二至m 行作初等行变换，对C 的第二至第n 列作初等列变换，将C 进一步化为???? ? ??211A 重复这个过程，最后可以得到形如()???? ??000r I

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同引言随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。一、矩阵的三种关系 1）矩阵的等价关系定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。性质：（1）反身性：即A ≌A ；（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ； 2）矩阵的合同关系定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。（2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。

第三章矩阵的标准形与若干分解形式-2

§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得： ()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。类似地可以定义左公因子。定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵 ()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为 T T T N D R ))(),(()(λλλ= 便是一个。定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得 ()()()()()()()()()()? ? ? ???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。证明：（1）证明()λR 是右公因子。设()()()()()?? ????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()??? ???=? ???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。（2）证明()λR 是gcrd 。

矩阵的合同与相似及其等价条件

矩阵的合同-等价与相似的联系与区别

矩阵的合同变换

线性代数关于等价、相似、合同的对比

矩阵的各种标准形研究

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

关于矩阵等价标准型定理的探讨

合同与相似概念区别

矩阵的等价标准形应用

矩阵等价相似合同的关系

矩阵的合同变换

矩阵的合同,等价与相似的联系与区别

等价、相似、合同的关系

数学矩阵等价标准型问题研究

矩阵的等价,合同,相似的联系与区别

矩阵的等价标准型定理

解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2

第三章矩阵的标准形与若干分解形式-2