《线性代数》模拟题答案1-3

线性代数模拟题1

一．单选题.

1.下列（ A ）是4级偶排列．

（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果

13332

31

2322

21

131211

==a a a a a a a a a D ，33

32

3131

23222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=， 那么=1D （ B ）．

（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-．

3. 设A 与B 均为n n ?矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．

（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+； （C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ． 4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*

A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*

kA 等于（ B ）．

（A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,....,,21中有一零向量

(B)

s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例

(C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D)

s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2

)(2

121211ββααα-+

++k k ; (B) 2

)(2

121211ββααα++

-+k k

(C) 2

)(2

121211ββββα-+

++k k ; (D) 2

)(2

121211ββββα++

++k k

7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－

1的一个特征值是（ B ）

(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/4

8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1

-I|=( B )

(a)0 (b)24 (c)60 (d)120

9. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．

（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．

（A ）()A A '='

22； (B) ()

11

22--=A A ； (C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]

'=''---111)()(A A ． 二．计算题或证明题

1. 设矩阵

???

?

?

??----=324122

3k k

A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1

AP 为对角矩阵？

(2)求出P 及相应的对角矩阵。

解：（1）先求矩阵A 的特征值 ()()01132

4

12

232

=-+=-------=-λλλ

λ

λ

λK K

I A 解得 11=λ, 132-==λλ

()02=-x E A λ, 当()E A 2λ-的秩为1时，1-=λ有两个相应的线性无关特征向量，即

???

?

?

??---2240224K K

的秩为0， 显然只有当K=0时，矩阵A 有三个线性无关的特征向量，因而存在可逆矩阵P ，使得AP P 1

-为对角矩阵。

（2）分别解()0=-X E A 与()0=+X E A ，得

?????

??=1011ξ ??????? ??-=01212ξ ?

???

??

?

??=10213ξ

单位正交化后得： ???????

?

?

=210211P ???

?

?

?

?

?

?

??=052552P ??????? ??=5520553P 相应的对角矩阵为 ???

?

?

??--111 2. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值为λ，A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d ，证明：d/λ是A *的一个特征值。 证：因为λ为A 的特征值，故存在非零向量ξ，使得 λξξ=A

两边同乘*

A ，得 λξξ*

*=A A A

即 ξλξ*

=A E A ，也即

ξξλ

*=A d

故

λ

d

为 *

A 的一个特征向量

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

???

??=++=++=++2

321

3213211a ax x x a x ax x x x ax

解：该方程组的增广矩阵为 ???

?

?

??=21111111a a a a a B

对其进行初得变换：

????

? ??--+-----?????

??------3222

2

3222120011011~111011011~a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

B

()()()()()???

?

?

?

?-+-+----=a a a a a a a a a a

111200111

01122

（1） 当2-=a 时， ()()B R A R <, 方程组无解

（2）当1≠a 且2≠a 时, ()()3==B R A R ，方程组有唯一解。

()()211111

1

12

+-==?a a a a a ()

()a a a a a a

--==?11111

11221

()2

2

21111

1

1

-==?a a a a a

()()2

2

2

3111111

1

-+==?a a a a a a ∴ 2111+=??=

a x 2122++-=??=a a x ()2

1233++=??=a a x （3）当1=a 时，()()1==B R A R ，方程组有无穷解

?

???? ??=000000001111B ， 该方程有一特解 ???

?? ??=001ξ

对应的齐次线性方程组为 0=AX ，其中 ???

?? ??=000000111A

解得其通解为 ????

?

??-+????? ??-='10101121k k x （21,k k 为任意常数）

故该非齐次线性方程组的通解为???

?

? ??+????? ??-+????? ??-=00110101121k k x （21,k k 为任意常数）

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

??????

?

??-=??????? ??=??????? ??=??????? ??=??????? ??-=0211,6512,14703,2130,421154321ααααα

解：向量组 ()????

??

?

?

?--==0614

242571211031

12301

,,,,54321αααααA 对其进行初等行变换: ??

?

?

?

??

??--???????

??--2200000000

01110

1230

1

~

422200*********

1230

1~A

????

??

?

??--???????

?

?000

11000101101030

1~0000

01100001110

123

01~ 可见该向量组的秩为3，基中一个极大无关组为

421,,ααα

2133ααα+=

4215αααα+--=

5. 若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，试证：BA AB -是对称矩阵． 证： ()BA AB AB BA B A A B BA AB -=+-=''-''='

-

∴ BA AB -是对称矩阵

线性代数模拟题2

一．单选题. 1. 若)

541()

1(l k N -55443211a a a a a l k 是五阶行列式ij a 的一项，则k 、l 的值及该项符号为（ A ）

． （A ）2=k ，3=l ，符号为负； (B) 2=k ，3=l 符号为正；

(C) 3=k ，2=l ，符号为负； (D) 1=k ，2=l ，符号为正． 2. 下列行列式（ A ）的值必为零．

(A) n 阶行列式中，零元素个数多于n n -2个；(B) n 阶行列式中，零元素个数小于n n -2个； (C)

n 阶行列式中，零元素个数多于n 个； (D) n 阶行列式中，零元素的个数小于n 个．

3. 设A ，B 均为n 阶方阵，若()()22B A B A B A -=-+，则必有（ D ）． （A ）I A =； (B)O B =； (C)B A =； (D)BA AB =．

4. 设A 与B 均为n n ?矩阵，则必有（ C ）．

（A ）B A B A +=+；（B ）BA AB =；（C ）BA AB =；（D ）()111

---+=+B A B A ．

5. 如果向量β可由向量组s ααα,....,,21线性表出，则（ D ）

(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (B) 存在一组全为零的数s k k k ,....,,21，使等式s s k k k αααβ+++=....2211成立 (C) 对β的线性表示式不唯一

(D) 向量组s αααβ,....,,,21线性相关

6. 齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是（ C ）

(A)系数矩阵A 的任意两个列向量线性相关 (B) 系数矩阵A 的任意两个列向量线性无关 (C )必有一列向量是其余向量的线性组合 (D)任一列向量都是其余向量的线性组合

7. 设n 阶矩阵A 的一个特征值为λ，则(λA －

1)2＋I 必有特征值（ C ）

(a)λ2+1 (b)λ2

-1 (c)2 (d)-2

8. 已知 ???

?

? ??-=00000123a A 与对角矩阵相似，则a ＝（ A ）

(a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 2

9. 设A ，B ，C 均为n 阶方阵，下面（ D ）不是运算律．

（A ）()A B C C B A ++=++)( ； （B ）BC AC C B A +=+)(； （C ）)()(BC A C AB =； （D ）B AC C AB )()(=． 10. 下列矩阵（ B ）不是初等矩阵．

(A)????? ??001010100；（B ）????? ??010000001；（C ）????? ??100020001；（D ）????

? ??-100210001． 二．计算题或证明题

1. 已知矩阵A ，求A 10。其中???

?

??-=2101A 解： (

)

???

?

??

--=???? ??-???? ??-=222

21

201

21012101A ()

???

?

?

?

--=???? ??-???? ??-???? ??-=33321

201210121012101A 猜想 ()

???

? ??

--=n n

n

A 21

201

当1=n 时，(

)????

?

?

--=22221

201

A 显然成立 当2=n 时，(

)

???

?

?

?

--=333

21

201A 成立 假设k n =时，(

)

???

? ?

?

--=k k k A 21

201

则 (

)

()

???

?

??--=???? ??-???? ?

?

--=+++11121

201210121

201

k k k k k A 归纳假设成立

∴ ()???

? ??

--=10101021201A

2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0且λ

-1

是A -1

的一个特征值。

证： λ是可逆矩阵A 的特征值，则

01

000111=-

?=-?=-?=----I A A I I A A I A λ

λλλ

∴

λ

1

是 1

-A 的一个特征值。

3. 当a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

???

??-=++-=++-=++2

2332`

1321321ax x x x ax x a x x ax

解：对该方程组的增广矩阵 ???

??

??---=211211311a a a a B 进行初等行变换：

()()

()????

?

?

?-+----????? ??---132100011

0211

~311211211~a a a a

a a a a a a B 由此可见：（1）当 2-=a 时，该方程组无解

（2）当1-≠a 且2-≠a 时，该方程组有唯一解

()()2

12a a -+=? ()3

11-=?a

()2

213--=?a ()2

313--=?a

所以 2111+-=??=

a a x 2322+-=??=a x 2

3

33+-=??=a x （3）当1=a 时，()()1==B R A R ，方程组有无穷解

????? ??-=000000002111B ， 该方程有一特解 ???

?

? ??-=013ξ

对应的齐次线性方程组的通解为 ???

??

??-+????? ??-='10101121k k x （21,k k 为任意常数）

故该非齐次线性方程组的通解为???

?

? ??-+????? ??-+????? ??-=01310101121k k x （21,k k 为任意常数）

4．求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．

??????

?

??-=??????? ??=??????? ??=??????? ??=2001,1211,1111,43214321αααα

解： 该向量组()????

??

?

?

?--==0614

242571211031

12301

,,,,54321αααααA 对其进行初等行变换：

????

??

?

??--???????

??---??????? ??-------000

01100101

0100

1~0000110

0211

01111~633031202110111

1~A 由此可见，该向量组的秩为3，基中321,,ααα为其一个极大无关组

3214αααα---=

5. 若A 是对称矩阵，T 是正交矩阵，证明AT T 1

-是对称矩阵．

证：由题意知A A T

=, T T T

=-1

则()

()

()

AT T T A T T A T AT

T T

T

T

T T T

111

1----===

AT T 1- 是对称矩阵得证。

线性代数模拟题3

一．单选题.

1. 设五阶行列式ij a m =，依下列次序对ij a 进行变换后，其结果是（ C ）．

交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．

（A ）m 8； (B)m 3-； (C)m 8-； (D)

m 4

1

． 2. 如果方程组??

?

??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则（ D ）． （A ）0=k 或1=k ；（B ）1=k 或2=k ；（C ）1-=k 或1=k ；（D ）1-=k 或3-=k ． 3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若I ABC =，则下列各式中总是成立的有（ A ）．

（A ） I BCA =； (B) I A C B =； (C) I B A C =； (D) I C B A =． 4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且A 可逆，下式（ A ）必成立．

（A ）若AC AB =，则C B =； (B) 若CB AB =，则C A =； (C) 若BC AC =，则B A =； (D) 若O BC =，则O B =． 5. 若向量组s ααα,....,,21的秩为r ，则（ D ）

（A ）必定r

(C )向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意个1+r 向量必定线性相关 6. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是（ C ）

(A)

133221,,αααααα+++ ; (B) 123211,,αααααα+++ ;

(C)

133221,,αααααα--- ; (D) 1332213,2,αααααα+++ .

7. 设A 、B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（ B ） (a)λI-A ＝λI-B (b)A 与B 有相同的特征值和特征向量

(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵 (d)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）

8. 当（ C ）时，A 为正交矩阵，其中 ???

?

??=c b a A 0 (a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .

9. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ C ）

(A) 14433221,,,αααααααα++++线性无关; (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关; (C)

14433221,,,αααααααα-+++线性无关; (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关.

10. 当=A （ B ）时，有

A ????

?

??---=????? ??32

1

32

1

332

21

132

1

321

321

333c c c b b b c a c a c a c c c b b b a a a ． （A ）????? ??-103010001；（B ）????? ??-100010301；（C ）????? ??-101010300；（D ）????

?

??-130010001．

二．计算题或证明题

1. 设A ～B,试证明：(1)A m ～B m (m 为正整数)（2）如A 可逆，则B 也可逆，且A －

1～B －

1

证：（1）1=m 时, B A ~（已知），即存在可逆矩阵P ，使得BP P A 1

-=

2=m 时， ()

P B P BP P A 212

12--==

假设k m =时，P B P A k

k 1

-=，则 ()()

P B P BP P P B P A k k k 11111+---+== 所以 m

m B A ~

（2）BP P A 1

-=? B BP P A ==-1

又 说 0≠A ∴ 0≠B

BP P A 1-=P B P A 111---=?, 即11~--B A

2. 如n 阶矩阵A 满足A 2

=A ，证明：A 的特征值只能为0或-1。 证： ()002

=-?=-?=E A A E A A A A

0=?A 或0=-E A 0=?λ或1=λ

3. 当a 、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．

????

??

?=++-=+-+=--=+-+b

x x x x a x x x x x x x x x x x 4321432143243215311222 解：对该方程组的增广矩阵 ????

??

?

??-----=b a B 5111311111

11012

221 进行初等行变换： ????

?

?

?

??+-----??????? ??--------200000000111103111~222011110111103111~a b a

a a

b a a B 由此可见：（1）当 0≠a 或02≠+-a b 时，该方程组无解

（3）当0=a 且02=+-a b 时，即20-==，b a 时，方程组有无穷解

该方程的一个特解为 ????

??

? ??-=0121ξ

对应的齐次线性方程组的通解为 ????

??? ??-+??????? ??-='10

14011321k k x （21,k k 为任意常数） 故该非齐次线性方程组的通解为????

??

? ??-+??????? ??-+??????? ??-=01

211014011321k k x （21,k k 为任意常数） 4. 判断向量β能否被321,,ααα线性表出，若能写出它的一种表示法．

??????? ??----=10738β，????

??

?

??---=??????? ??--=??????? ??-=1365,2053,3172321ααα 解： 设332211αααβk k k ++=，则 ?????

??-=---=+-=---=-+1

237

33

6578

532321

31321321k k k k k k k k k k k

该方程组的增广矩阵()????

??? ??----------??????? ??----------==10123365785327301

~

10123730136578532b A B ??

??

?

?

?

??-----???????

??-------???????

?

?-------??????? ??------790001140033910

7301

~11972001140033910

7301

~7728001197200339107301~1110204627502213

0730

1~ 可见该方程组无解，即β不能由321ααα，，

线性表出。

5. 若方阵A 可逆，则A 的伴随矩阵*

A 也可逆，并求出*

A 的逆矩阵．

证： E A A A E A AA =?=*

*

又 0≠A ∴ 0≠*

A

()

()

A

A A A A A A A =

=?=---*

-*1

1

1

1