概率论与数理统计及其应用课后答案(高等教育出版社)

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：

（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录

投掷的次数。

（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，

记录投掷的次数。

（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰

子，观察出现的各种结果。

解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{Λ=S ；（3）},,,,{ΛTTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。

2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求

)])([(),(),(),(___

___

AB B A P AB P B A P B A P ??。

解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，

375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，

875.0)(1)(___

--=AB P AB P ，

5

.0)(625.0)])([()()])([()])([(___

=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。

解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为

72.0900

648

=

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。

解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为

48344=??个，所以出现奇数的概率为

48.0100

48

= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为

48.0100

48

=

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。

（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。

解: （1）所求概率为338

4

12

1

31425=C C C C ；

（2） 所求概率为16567

4952014

124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为165

7

495354124

7=

=C C 。

6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。

解：根据题意，)(M n n <张提货单分发给M 个销售点的总的可能分法有n M 种，某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的可能分法有

k n k n M C --)1(种，所以某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率为

n

k

n k

n M

M C --)1(。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。 （1）求3只球至少有1只配对的概率。 （2）求没有配对的概率。

解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以 （2）没有配对的概率为3

162=；

（1）至少有1只配对的概率为3

2311=-。

8，（1）设,1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P ，求)|(),|(),|(B A A P A B P B A P ?,

)|(),|(AB A P B A AB P ?.

（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。 解：（1）由题意可得7.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ，所以

313.01.0)()()|(===

B P AB P B A P ， 5

1

5.01.0)()()|(===A P AB P A B P ， 75

)()()()]([)|(=?=??=

?B A P A P B A P B A A P B A A P ，

7

1

)()()()]([)|(=?=??=

?B A P AB P B A P B A AB P B A AB P ，

1)

()

()()]([)|(===

AB P AB P AB P AB A P AB A P 。

（2）设)4,3,2,1(=i A i 表示“第i 次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为4321A A A A ，它的概率为（根据乘法公式）

)|()|()|()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =

0408.020592

840124135127116==???=。

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。

解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A ，“另一只

也是红球”记为事件B 。则事件A 的概率为

6

5

314232422)(=?+??=A P （先红后白，先白后红，先红后红）

所求概率为

51

6

53142)()()|(=?

==A P AB P A B P

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以A 表示事件“一病人以为自己患癌症”，以B 表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。

（1）)(),(B P A P ；（2）)|(A B P ；（3）)|(A B P ；（4）)|(B A P ；（5）)|(B A P 。 解：（1）根据题意可得

%50%45%5)()()(=+=+=B A P AB P A P ； %15%10%5)()()(=+=+=A B P BA P B P ；

（2）根据条件概率公式：1.0%

50%

5)()()|(===A P AB P A B P ； （3）2.0%

501%

10)()()|(=-==A P A B P A B P ；

（4）17

9

%151%45)()()|(=-==B P B A P B A P ； （5）3

1

%15%5)()()|(===

B P AB P B A P 。

11，在11张卡片上分别写上engineering 这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger 的概率。

解：根据题意，这11个字母中共有2个g ，2个i ，3个n ，3个e ，1个r 。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g 中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i 中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为

924013326403661738193102112==?????；或者92401

6

11

1

11311131212=A C C C C C C 。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A 、症状B ，有20%的人只有症状A ，有30%的人只有症状B ，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求 （1）该人两种症状都没有的概率； （2）该人至少有一种症状的概率；

（3）已知该人有症状B ，求该人有两种症状的概率。

解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201=---； （2）至少有一种症状的概率为%60%401=-；

（3）已知该人有症状B ，表明该人属于由只有症状B 的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B 的条件下该人有两种症状的概率为4

1

%10%30%10=+。

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。

通讯线 通讯量的份额

无误差的讯息的份额

1 0.4 0.9998

2 0.

3 0.9999 3 0.1 0.9997 4

0.2

0.9996

解：设“讯号通过通讯线i 进入计算机系统”记为事件)4,3,2,1(=i A i ，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B 。则根据全概率公式有

9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)|()()(4

1?+?+?+?==∑=i i i A B P A P B P

=0.99978

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。根据全概率公式有 %1.12%4%90%85%10)|()()|()()(=?+?=+=B A P B P B A P B P A P ， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 %06.17%

1.121%)

851%(10)(1)|()()()()|(=--=-==

A P

B A P B P A P A B P A B P 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.

15，计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？

解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M ，“程序在A,B,C 三台打字机上打字”分别记为事件321,,N N N 。则根据全概率公式有 025.004.01.005.03.001.06.0)|()()(3

1=?+?+?==∑=i i i N M P N P M P ，

根据Bayes 公式，该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为

24.0025.001

.06.0)()|()()|(111=?==

M P N M P N P M N P ，

60.0025.005

.03.0)()|()()|(222=?==

M P N M P N P M N P ，

16.0025

.004

.01.0)()|()()|(333=?==

M P N M P N P M N P 。

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。

解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A ，“一讯息是可信的”记为事件B 。根据Bayes 公式，所要求的概率为

%9947.99%

1.0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(=?+??=+==

B A P B P B A P B P B A P B P A P AB P A B P

17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C 分别记事件“第一次得H ”，“第二次得H ”，“两次得同一面”。试验证A 和B ，B 和C ，C 和A 分别相互独立（两两独立），但A,B,C 不是相互独立。 解：根据题意，求出以下概率为

21)()(=

=B P A P ， 21

21212121)(=?+?=C P ； 412121)(=?=AB P ， 412121)()(=?==CA P BC P ，41

2121)(=?=ABC P 。

所以有

)()()(B P A P AB P =，)()()(C P A P AC P =，)()()(C P B P BC P =。

即表明A 和B ，B 和C ，C 和A 两两独立。但是

)()()()(C P B P A P ABC P ≠

所以A,B,C 不是相互独立。

18，设A,B,C 三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C 各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。

解：设“A,B,C 进球”分别记为事件)3,2,1(=i N i 。 （1）设恰有一人进球的概率为1p ，则

}{}{}{3213213211N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.04.07.05.04.03.05.0??+??+??=

29.0=

（2）设恰有二人进球的概率为2p ，则

}{}{}{3213213212N N N P N N N P N N N P p ++=

)()()()()()()()()(321321321N P N P N P N P N P N P N P N P N P ++= （由独立性） 6.03.05.06.07.05.04.07.05.0??+??+??= 44.0=

（3）设至少有一人进球的概率为3p ，则

}{13213N N N P p -=)()()(1321N P N P N P -=4.03.05.01??-=94.0=。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH +血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH +型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH +型血的概率是多少？因为

第一次就检验出该型血的概率为0.4；

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24； 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144； 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864； 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p ，试求系统的可靠性。 解：设“元件i 能够正常工作”记为事件)5,4,3,2,1(=i A i 那么系统的可靠性为

)()()()}()(){(5432154321A A P A P A A P A A A A A P ++=??

)()()()(543215435421321A A A A A P A A A P A A A A P A A A P +---

)()()()()()()()()()()()(542132154321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P --++=

)()()()()()()()(54321543A P A P A P A P A P A P A P A P +-

534322p p p p p p p +---++= 543222p p p p p +--+=

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes 公式）

解：设“一产品真含有杂质”记为事件A ，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件B 。则要求的概率为)|(B A P ，根据Bayes 公式可得

)

|()()|()()

|()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=

又设“产品被检出含有杂质”记为事件C ，根据题意有4.0)(=A P ，而且8.0)|(=A C P ，9.0)|(=A C P ，所以

384.0)8.01(8.0)|(223=-??=C A B P ；027.09.0)9.01()|(223=?-?=C A B P

故，

9046

.01698

.01536

.0027.06.0384.04.0384.04.0)|()()|()()|()()|(==?+??=+=

A B P A P A B P A P A B P A P B A P

（第1章习题解答完毕）

第2章

随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以Y 记进行验血的次数，求Y 的分布律。

解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因

此有

116.04.0)4.01(4.0}{--?=-?==k k k Y P ， （Λ

,3,2,1=k ）

上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A 处流至B 处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X 表示当信号发出时水自A 流至B 的通路条数，求X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解：X 只能取值0，1，2。设以

)

3,2,1(=i A i

记第

i

个阀门没有打开这一事件。则

)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ?=?==

)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，

类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X

P ，

416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X 表示15

个人中无任何健康保险的人数（设各人是

否有健康保险相互独立）。问X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。 解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为

15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=??==-k C k X P k k k

。

（1）,

2501.08.02.0)3(123315=??==C X P

（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X

P ；

（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；

（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X

P

0611.0)0()1(==-=-X P X P

4，设有一由n 个元件组成的系统，记为][/G n k ，这一系统的运行方式是当且仅当n 个元件中至少有

k )0(n k ≤<个元件正常工作时，系统正常工作。现有一][5/3G 系统，它由相互独立的元件组成，设

每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。

解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X

服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

99144

.01.09.0)(5

3

55

53

=??==∑∑=-=k k k k

k C

k X P

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立） 解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

∑=-?=≤=<6

080008000999.0001.0)6()7(k k

k k C X P X P

3134

.0!8!)001.08000(6

8

6

0001.08000==?≈∑∑=-=?-k k k k k e k e （查表得）。

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~)10(π，求}15{>X P

（2）已知随机变量X~)(λπ，且有5.0}0{=>X P ，求}2{≥X P 。

解：（1）0487.09513.01}15{1}15{=-=≤-=>X P X

P ；

（2）根据5.01}0{1}0{=-==-=>-λe X P X

P ，得到2ln =λ。所以

1534

.02/)2ln 1(5.01}1{}0{1}2{≈-=--==-=-=≥-λλe X P X P X P 。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t 分钟内收到讯息的次数

)2(~t X π（设各人收到讯息与否相互独

立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(~πX 。

（1）1353

.0}0{2≈==-e X

P ；

（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以

00145

.0)1353.01(1353.0}4{445=-?==C Y P 。

（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

()∑∑∞=-∞=-???

?

??=???? ?

?051005

2

!32!2k k k k k e k e

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X 表示铃响至结束讲解的时间。设X 的概率密度为

??

?≤≤=他

其100

)(2

x kx x f ， （1）确定k ；（2）求}3

1

{≤X

P ；（3）求}2141{

≤≤X P ；

（4）求}3

2

{>X P 。 解：（1）根据3

)(11

2k

dx kx dx x f =

==

??+∞

∞

-，得到3=k ； （2）271313}31{3

3

/10

2

=??? ??==≤?dx x X P ；

（3）64741213}2141{3

3

2

/14/12

=??? ??-??? ??==≤≤?dx x X P ；

（4）27193213}32{3

1

3

/22

=??? ??-==>?dx x X P 。

9，设随机变量X 的概率密度为??

?≤≤=他

其1000

003.0)(2

x x x f ，求t 的方程0

4522

=-++X Xt t

有实根的概率。

解：方程04522

=-++X Xt t 有实根表明0)45(442≥--=?X X ，即0452≥+-X X ，

从而要求

4≥X 或者1≤X 。因为

001.0003.0}1{1

2

==≤?dx x X P ， 936.0003.0}4{10

4

2==≥?dx x X P

所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X （以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

??

???≥=-他

其00100

)(200/2x e x x f x

（1） 求寿命不到一周的概率； （2） 求寿命超过一年的概率；

（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。

解：（1）00498.01100}1{200/11

200

/2≈-==<--?

e dx e x X

P x ； （2）000001.0100}52{200/270452

200

/2≈==>-+∞

-?e dx e x X P x ；

（3）25158.0100100}

20{}

26{}2026{200/27620

200/26

200

/22≈==

>>=

>>-∞

+-+∞

-??e dx e x dx e x X P X P X X P x x 。

11，设实验室的温度X （以

C ο

计）为随机变量，其概率密度为

??

???≤≤--=他其210)4(91

)(2x x x f

（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。

（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y 表示10个实

验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y 的分布律。

（3） 求}2{=Y

P ，}2{≥X P 。

解：（1）?=

-=>2

12275

)4(91}1{dx x X

P ； （2）根据题意)27

5

,

10(~B Y

，所以其分布律为

10,2,1,0,2722275)(1010Λ=?

?

? ?????? ???==-k C k Y P k

k k

（3）

2998.02722275)2(8

2

2

10=??? ?????? ???==C Y P ，

5778.0)1()0(1)2(==-=-=≥Y P Y P Y P 。

12，（1）设随机变量Y 的概率密度为

??

?

??≤<≤<-+=他

其100102.02

.0)(y y Cy

y f

试确定常数C ，求分布函数)(y F ，并求}5.00{≤≤Y P ，}1.0|5.0{>>Y Y P 。

（2）设随机变量X 的概率密度为

??

?

??≤≤<<=他其422008/8/1)(x x x x f

求分布函数)(x F ，并求}31{≤≤

x P ，}3|1{≤≥X X P 。

解：（1）根据2

4.0)2.0(2.0)(11

1

C

dy Cy dy dy y f +

=++==

???-+∞

∞

-，得到2.1=C 。 110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01

1

00

101≥<≤<≤--

??++++==??????---∞-y y y y dy y dy dy y dy dy dy y f y F y y

y

11001112.02.06.0)1(2.002

≥<≤<≤--

????+++=y y y y y y y 25.02.045.0)0()5.0(}0{}5.0{}5.00{=-=-=≤-≤=≤≤F F Y P Y P Y P ；

7106

.0

226

.0

1

45

.0

1

)1.0(

1

)5.0(

1

}1.0

{

1

}5.0

{

1

}1.0

{

}5.0

{

}1.0

|5.0

{=

-

-

=

-

-

=

≤

-

≤

-

=

>

>

=

>

>

F

F

Y

P

Y

P

Y

P

Y

P

Y

Y

P

（2）

4

4

2

2

8

8

1

8

8

1

8

1

)

(

)

(

2

4

2

2

02

≥

<

≤

<

≤

<

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

+

=

=

??

??

?

?

∞

-

x

x

x

x

dx

x

dx

dx

x

dx

dx

dx

x

f

x

F x

x

x

4

4

2

2

1

16

/

8/

2

≥

<

≤

<

≤

<

?

?

?

?

?

?

?

=

x

x

x

x

x

x

16

/7

8/1

16

/9

)1(

)3(

}3

1{=

-

=

-

=

≤

≤F

F

x

P；

9/7

)3(

)1(

)3(

}3

{

}3

1

{

}3

|1

{=

-

=

≤

≤

≤

=

≤

≥

F

F

F

X

P

X

P

X

X

P。

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。

解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此

)1

(

1

}

,

{

-

=

=

=

n

n

j

Y

i

X

P，（j

i≠，且n

j

i≤

≤,

1）

当n取3时，

1

}

,

{=

=

=j

Y

i

X

P,（j

i≠，且3

,

1≤

≤j

i）,表格形式为

14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为

（1）求}1

,1

{=

=Y

X

P，}1

,1

{≤

≤Y

X

P；

（2）求至少有一根软管在使用的概率；

（3）求}

{Y

X

P=，}2

{=

+Y

X

P。

解：（1）由表直接可得}1

,1

{=

=Y

X

P=0.2，

}1,1{≤≤Y X P =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42

（2）至少有一根软管在使用的概率为

9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P

（3）}2{}1{}0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X

P =0.1+0.2+0.3=0.6

28.0}0,2{}1,1{}2,0{}2{===+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P

15,设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

?

?

?>>=+-他其，，0

,00),()42(y x Ce y x f y x 试确定常数C ，并求}2{>X P ，}{Y X P >，}1{<+Y X P 。

解：根据

1),(0

,0=??>>y x dxdy y x f ，可得

8

),(10

40

20

)

42(0

,0C

dy e dx e

C dy Ce

dx dxdy y x f y x

y x y x =

===

??????+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>>，

所以8=C

。

404220)

42(2

2

428),(}2{-+∞

-+∞

-+∞

+-+∞

>====

>??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f X P y x

y x x ；

3

2)1(2428),(}{0

42040

20)

42(0

=

-====

>???????+∞

---+∞

-+-+∞

>dx e e dy e

dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x x x

y

x

x

y x y

x 2210

410

210

)

42(1

1

)1(428),(}1{-----+-<+-====

<+??????e dy e dx e

dy e

dx dxdy y x f Y X P x

y x

x

y x y x 。

16，设随机变量（X ，Y ）在由曲线1,2/,22===x x y x y 所围成的区域G 均匀分布。

（1） 求（X ，Y ）的概率密度； （2） 求边缘概率密度

)(),(y f x f Y X 。

解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度

),(y x f 必定是一常数，故由

),(61

),(),(12

22

/1

y x f dy y x f dx

dxdy y x f x x G

=

==?

???，得到?

??∈=他其，0),(,6),(G y x y x f 。

（2）

??

???<<===??∞

+∞-他其，,01

036),()(22

/2

2x x dy dy y x f x f x

x X ；

?????<<-<<-=?????

?

?????<≤<<==???∞+∞-他其，，，他

其，，，015.0)1(65.00)2(6015.065.006),()(1

2y y y y y y dx y dx dx y x f y f y y

y

Y

18，设Y X ,是两个随机变量，它们的联合概率密度为

??

???>>=+-他其，，0,002),()1(3y x e x y x f y x ，

（1） 求),(Y X 关于X 的边缘概率密度)(x f X ；

（2） 求条件概率密度)|(|x y f X Y ，写出当5.0=x 时的条件概率密度；

（3） 求条件概率}5.0|1{=≥X Y

P 。

解：（1）

??

?

??>===??+∞-+-∞

+∞-其他,00,22),()(0

2)1(3x e x dy e x dy y x f x f x y x X 。 （2）当0>x 时，

???>==-其他

,00,)(),()|(|y xe x f y x f x y f xy X X Y 。

特别地，当5.0=x 时

???>==-其他,

00

,5.0)5.0|(5.0|y e x y f y X Y 。

（3）5.01

5.01

|5.0)5.0|(}5.0|1{-+∞

-+∞

====

=≥??

e dy e dy x y

f X Y P y X Y 。

19，（1）在第14题中求在0=X 的条件下Y 的条件分布律；在1=Y 的条件下X 的条件分布律。

（2）在16题中求条件概率密度

)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ，)5.0|(|x f Y X 。

解：（1）根据公式}

0{}

0,{}0|{====

==X P X i Y P X i Y P ，得到在0=X 的条件下Y 的条件分布律

为

类似地，在1=Y

的条件下

的条件分布律为

（2）因为

??

?∈=他

其，0),(,6),(G y x y x f 。 ?????<<==?他其，,01

036)(2

2/2

2x x dy x f x

x X ；??

???<<-<<-=他其，，，015.0)1(65.00)2(6)(y y y y y y f Y 。

所以，当10<

??

???<<==其他,02/,2

)(),()|(2

22|x y x x

x f y x f x y f X X Y ；

当5.00<

?

??

??

<<-==其他

,02,21)(),()|(|y x y y

y y f y x f y x f Y Y X ；

当15.0<≤y 时，

?

??

??<<-==其他

,

01,11)(),()|(|x y y

y f y x f y x f Y Y X ；

当

5.0=y 时，

???

??<<-=其他

,

015.0,5

.011

)|(|x y x f Y X 。

20，设随机变量（X ，Y ）在由曲线

x y x y =

=,2所围成的区域G 均匀分布。

（1） 写出（X ，Y ）的概率密度； （2） 求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；

（3） 求条件概率密度

)|(|x y f X Y ，并写出当5.0=x 时的条件概率密度。

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

《应用概率统计》复习题及答案

工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其

4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《应用概率统计》张国权编课后答案详解习题一解答

习 题 一 解 答 １. 设Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个随机事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ及其运算符号表示出来： (1) Ａ发生，Ｂ、Ｃ不发生； (2) Ａ、Ｂ不都发生，Ｃ发生； (3) Ａ、Ｂ中至少有一个事件发生，但Ｃ不发生； (4) 三个事件中至少有两个事件发生； (5) 三个事件中最多有两个事件发生； (6) 三个事件中只有一个事件发生． 解：（1）C B A (2)C AB (3)()C B A ? (4)BC A C AB ABC ?? (5)ABC (6)C B A C B A C B A ?? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ２. 袋中有15只白球 5 只黑球，从中有放回地抽取四次，每次一只．设Ａi 表示“第i 次取到白球”（i ＝1，2，3，4 ），Ｂ表示“至少有 3 次取到白球”． 试用文字叙述下列事件： (1) 41 ==i i A A ， (2) A ,(3) B ， (4) 32A A ． 解：（1）至少有一次取得白球 （2）没有一次取得白球 （3）最多有2次取得白球 （4）第2次和第3次至少有一次取得白球 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ３. 设Ａ、Ｂ为随机事件，说明以下式子中Ａ、Ｂ之间的关系． (1) Ａ Ｂ＝Ａ （2）ＡＢ＝Ａ 解：（1）A B ? (2)A B ? ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ４. 设Ａ表示粮食产量不超过500公斤，Ｂ表示产量为200-400公斤 ，Ｃ表示产量低于300公斤，Ｄ表示产量为250-500公斤，用区间表示下列事 件： (1) AB ， (2) BC ，(3) C B ，(4)C D B )( ，(5)C B A ． 解：(1)[]450,200; (2)[]300,200 (3)[]450,0 (4)[]300,200 (5)[]200,0 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ５. 在图书馆中任选一本书，设事件Ａ表示“数学书”，Ｂ表示“中文版”， Ｃ表示“ 1970 年后出版”．问： (1) ＡＢＣ表示什么事件？ (2) 在什么条件下，有ＡＢＣ＝Ａ成立？ (3) C ?Ｂ表示什么意思？ (4) 如果A ＝Ｂ，说明什么问题？ 解：（1）选了一本1970年或以前出版的中文版数学书 （2）图书馆的数学书都是1970年后出版的中文书 （3）表示1970年或以前出版的书都是中文版的书 （4）说明所有的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ６. 互斥事件与对立事件有什么区别？试比较下列事件间的关系． (1) X ＜ 20 与X ≥ 20 ； (2) X ＞ 20与X ＜ 18 ；

应用数理统计吴翊李永乐第三章假设检验课后作业参考答案

第三章 假设检验 课后作业参考答案 某电器元件平均电阻值一直保持Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件,测 得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分布， 试在显著水平下确定这批元件是否合格。 解：

{}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从一 批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比， X 较μ大20(2/cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提 高 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=<

概率论与数理统计课后习题答案

习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n

7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01

应用数理统计课后习题参考答案

习题五 1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g) 日期重旦量 1 5500 5800 5740 5710 2 5440 5680 5240 5600 4 5400 5410 5430 5400 9 5640 5700 5660 5700 10 5610 5700 5610 5400 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05) 解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5. 2 假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5 检验的问题：H。：i 2 L 5, H i : i不全相等. 计算结果： 注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为 查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所 以拒绝H。，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验 解 根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 . 2 假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .

日产量 操作工 查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05， 所以接受H 。，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 3 试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另 一个是温度 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？ （ =0.05 ） 解 根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用 设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12. 2 假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j , ）,i 1,2,3, j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应； 检验的问题：（1） H i 。： i 全部等于零，H i — i 不全等于零； （2） H 20 : j 全部等于零，H 21： j 不全等于零； 计算结果： 查表F 0.95（2,6） 5.143 ,局.95（3,6） 4.757 ,显然计算值F A , F B 分别大于查表值, 或p = 0.0005 , 0.0009均显著小于0.05，所以拒绝H i°,H 20，认为含铜量和试验温度 都会对钢的冲击值产生显著影响作用 . 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 检验的问题：H 0： 1 计算结果： H i : i 不全相等

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 随机事件及概率 第一节 样本空间与随机事件 1.试写出下列的样本空间。 {}{} ()()()()()()()()(){}(){} ()(){} 2 2(1)0100,(2)1,(3)(5,0)5,15,25,35,40,51,52,53,54,5(4),02,,5,212,,0,1,2,3,4,5,6s x x x R s x x x z s s x y x y x y R s x y x y x y =≤≤∈=≥∈== ≤+≤∈=≤+≤= 2.化简下列各式： ()()1() 2A Ω整个样本空间 3.设A,B,C 为三个事件，用A,B,C 的运算关系表示下列事件： ()()()()()()()()1234567ABC A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 第二节 随机事件的概率 1. ()()()()1121341c a b c b c a c ---+--+ 2. P(A ∪B ∪C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) =1/4+1/4+/4-0-0-1/8+0 =5/8

{}{}()()()()()() ()()( )() ()293101831012=053 10310 1 15331 11(+-) 10101514 115 A B C P A C P B C P AB C p A p AB P A B P A B P A P A B P A B P AB === = == ===-=-===-= 设含含 4. ()()()()()1311011372102321013 10 27 15 1 15 C P A C C C P B C C P C C == == == 设这个球是黑球为事件A 设刚好一个白球一个黑球为事件B ，两个球全是黑球为事件C. 5. ()2 21232 1523 35C C P A C ==设这两件商品来自同一场地为事件A 。 6. ()()()()500 412 411013641=0.746 3652=10.427 12 p A A p A ?? =- ???-=设至少有一个人的生日是月 日为事件A 。设至少有两个人的生日是同一个月的为事件A 。

应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。

7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=

应用数理统计习题答案 西安交大 施雨

应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：

目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社

第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：

i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++

《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案

习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??；

概率论与数理统计期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).

(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩