《函数与导数》单元测试卷
全卷满分:150分考试时间:120分钟 2017.2.28
★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的)
1.已知f(x)=lnx
x2
,则f′(e)=( D )
A.1
e3
B.
1
e2
C.-
1
e2
D.-
1
e3
2.若函数f(x)=1
3
x3-f′(1)·x2-x,则f′(1)的值为( A )
A.0 B.2 C.1 D.-1
3.函数f(x)=
x2
x-1
(B )
A.在(0,2)上单调递减 B.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增
C.在(0,2)上单调递增 D.在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递减
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( B )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图,
则f(x)的图象可能是( D )
6.方程2x3-6x2+7=0在(0,2)内根的个数为( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若函数f(x)=13x 3-ax 2
+ax 在(0,1)内有极大值,在(1,2)内有极小值,则实数a 的取值
范围是( A )
A.? ????1,43
B.? ????0,43 C .(-∞,0)∪(1,+∞) D.? ??
??0,43 8.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x +1)(x -a),且f(x)在x =a 处取得极大值,则实数a 的取值范围是( B )
A .a>-1
B .-1 C .0 D .a>1 9.函数y =1 2 x -2sin x 的图象大致是( C ) 10.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( A ) A .(-∞,-1)∪(0,1) B .(-1,0)∪(1,+∞) C .(-∞,-1)∪(-1,0) D .(0,1)∪(1,+∞) 11.若定义在R 上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( B ) A .f ? ????1k <1k B .f ? ????1k -1<1k -1 C .f ? ????1k >1k -1 D .f ? ?? ??1k -1>k k -1 12.已知函数f(x)=2x ae x ax --有两个零点,则实数a 的取值范围是( D ) A .(-∞, 1e ) B. (0,1 e ) C .(-∞,0) D .(0,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.若函数f(x)=ax 2 -1 x 的单调增区间为(0,+∞),则实数a 的取值范围是____[0,+∞) 14.函数y =xe x 在其极值点处的切线方程为_ y =-1e _______. 15.已知a<0,函数f(x)=ax 3 +12 a lnx ,且f′(1)的最大值是-12,则实数a 的值为____-2____. 16.已知函数y =f(x)在定义域???? ??-32,3上可导,其图象如图,记y =f(x)的导函数y =f′(x),则不等式xf′(x)≤0的解集是_.??????-3 2 ,-12∪[0,1] 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y =xsinx - 2cosx ;(2)f(x)=3x sinx -cosx -lnx x ;(3)y =(2x 2 +3)(3x -2). 17.解:(1)y′=(xsinx)′-? ?? ??2cosx ′=sinx +xcosx -2sinx cos 2 x . (2)∵(3x sinx)′=(3x )′sinx+3x (sinx)′ =3x ln3sinx +3x cosx =3x (sinxln3+cosx); ? ????cosx -lnx x ′= cosx-lnx ′x- cosx-lnx ·1x 2 =? ????-sinx -1x x -cosx +lnx x 2 = -1-xsinx -cosx +lnx x 2 . ∴f′(x)=3x (sinxln3+cosx)+1+xsinx +cosx -lnx x 2 . (3)方法一:y′=(2x 2 +3)′(3x-2)+(2x 2 +3)(3x -2)′=4x(3x -2)+(2x 2 +3)·3 =18x 2-8x +9. 方法二:∵y =(2x 2 +3)(3x -2)=6x 3 -4x 2 +9x -6,∴y′=18x 2 -8x +9. 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 3 -ax 2 -3x. (1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若x =-1 3是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a)上的最大值. 18.解:(1)f′(x)=3x 2 -2ax -3.∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,即3x 2 -2ax -3≥0在[1,+∞)上恒成立,则必有a 3 ≤1 且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0. 即a 的取值范围为(-∞,0]. (2)依题意,得f′? ????-13=0,即13+23a -3=0, ∴a =4,∴f(x)=x 3 -4x 2 -3x. 令f′(x)=3x 2 -8x -3=0,得x 1=-13,x 2=3,则当x 变化时,f′(x),f(x)的变化情 况如下表所示: 19. (本小题满分12分)设函数f(x)=3x 2 +ax e x (a ∈R). (1)若f(x)在x =0处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线y =f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程; (2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a 的取值范围. 19.解:(1)对f(x)求导得 f′(x)= 6x+a e x - 3x 2 +ax e x e x 2=-3x 2 + 6-a x+a e x , 因为f(x)在x =0处取得极值,所以f′(0)=0,即a =0. 当a =0时,f(x)=3x 2 e x ,f′(x)=-3x 2 +6x e x ,故f(1)=3e ,f′(1)=3 e , 从而f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y -3e =3 e (x -1),化简得3x -ey =0. (2)由(1)知f′(x)=-3x 2 + 6-a x+a e x . 令g(x)=-3x 2 +(6-a)x +a , 由g(x)=0解得x 1=6-a -a 2 +366,x 2=6-a +a 2 +36 6. 当x +36 6 ≤3,解得a≥-92,故a 的取值范围为???? ??-92,+∞. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lnx -a x . (1)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为3 2,求a 的值. 20.解:(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞), 且f′(x)=1x +a x 2=x +a x 2,∵a>0,∴f′(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知,f′(x)= x +a x 2. ①若a≥-1,则x +a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min =f(1)=-a =32,∴a =-3 2 (舍去). ②若a≤-e ,则x +a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min =f(e)=1-a e =32?a =-e 2 (舍去). ③若-e 当1 2?a =- e. 综上所述,a =- e. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x + 1 x -a . (1)当a =1 2 时,求函数f(x)在x =0处的切线方程. (2)函数f(x)是否存在零点?若存在,求出零点的个数,若不存在,说明理由. 21.解:(1)∵f(x)=e x +1 x -a , ∴f′(x)=e x - 1 x-a 2,∴f′(0)=1-1 a 2. 当a =1 2 时,f ′(0)=-3.又f(0)=-1, ∴f(x)在x =0处的切线方程为y -(-1)=-3(x -0),即y =-3x -1. (2)函数f(x)的定义域为(-∞,a)∪(a ,+∞). 当x ∈(a ,+∞)时,e x >0,1x -a >0, ∴f(x)=e x+ 1 x-a >0. 即f(x)在区间(a,+∞)上没有零点.当x∈(-∞,a)时, f(x)=e x+ 1 x-a = e x x-a +1 x-a , 令g(x)=e x(x-a)+1. 只要讨论g(x)的零点即可.g′(x)=e x(x-a+1),g′(a-1)=0. 当x∈(-∞,a-1)时,g′(x)<0,g(x)是减函数; 当x∈(a-1,a)时,g′(x)>0,g(x)是增函数. ∴g(x)在区间(-∞,a)上的最小值为g(a-1)=1-e a-1. 显然,当a=1时,g(a-1)=0,∴x=a-1是f(x)的唯一的零点;当a<1时,g(a-1)=1-e a-1>0,∴f(x)没有零点; 当a>1时,g(a-1)=1-e a-1<0,∴f(x)有两个零点. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1 3 x3-ex2+mx+1(m∈R),g(x)= lnx x . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)对任意x1,x2∈(0,+∞),若g(x1) 22.解:(1)f′(x)=x2-2ex+m,Δ=4(e2-m), ①当m≥e2,Δ≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R上单调递增. ②当m ∴f(x)在(-∞,e-e2-m)和(e+e2-m,+∞)上单调递增;令f′(x)<0,得e-e2-m (2)∵g′(x)=1-lnx x2 ,令g′(x)= 1-lnx x2 =0得,x=e;令g′(x)>0得,0 g′(x)<0得,x>e.∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(e) =1 e .又f′(x)=(x-e)2+m-e2,∴当x>0时,f′(x)min=m-e2,∴?x1,x2∈(0,+∞), g(x1) e 1 e . 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值 高中数学函数的单调性与导数测试题(附答 案) 选修2-21.3.1函数的单调性与导数 一、选择题 1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是() A.b2-4ac0 B.b0,c0 C.b=0,c D.b2-3ac0 [答案] D [解析]∵a0,f(x)为增函数, f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立, =(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0. 2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+) [答案] D [解析]考查导数的简单应用. f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex, 令f(x)0,解得x2,故选D. 3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为() A.[-1,+) B.(-,2] C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+) [答案] B [解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2]. 4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是() [答案] C [解析]当01时xf(x)0 f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数 当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C. 5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是() A.-,-2和0,2 B.-2,0和0,2 C.-,-2, D.-2,0和 [答案] A [解析]y=xcosx,当-x2时, cosx0,y=xcosx0, 当02时,cosx0,y=xcosx0. 6.下列命题成立的是() A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0 导数单元测试 【检测试题】 一、选择题 1. 设函数()y f x =可导,则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于( ). A .'(1)f B .3'(1)f C .1 '(1)3 f D .以上都不对 2. 已知函数f (x )=ax 2 +c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D. 0 3 .()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足( ) A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4.三次函数x ax y +=3 在()+∞∞-∈,x 内是增函数,则 ( ) A . 0>a B .0 全国百所名校高考数学一轮复习试卷 专题四:函数与导数 满分150分,考试用时120分钟。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.函数( )sin f x x = 的导数为( ) A .( )'sin cos f x x x = B .( )'sin cos f x x x = C .( )' cos f x x = D .( )' cos f x x = 2.已知函数f (x )的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( ) A .(2)(3)(3)(2)f f f f <'<-' B .(3)(3)(2)(2)f f f f <-'<' C .(3)(2)(3)(2)f f f f <'<-' D .(3)(2)(2)(3)f f f f ''-<< 3.设函数()f x 可导,则()() 11lim 3x f f x x ?→-+??等于( ) A .()1f -' B .()31f ' C .()113f - ' D .()1 13 f ' 4.函数3()31f x x x =-+,[3,0]x ∈-的最大值.最小值分别是( ) A .3,-17 B .1,-1 C .1,-17 D .9,-19 5.函数()21 x x f x x =+ +的图象大致为( ) A . B . C . D . 6.函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数,其导函数为()f x ',且满足 2()()0f x f x x '+ <,则不等式(2020)(2020)5(5)52020 x f x f x ++<+的解集为( ) A .{} 20202015x x -<<- B .{} 2015x x <- C .{}20200x x -<< D .{} 2015x x >- 7.若函数()()ln 01f x x x =<≤与函数()2 g x x a =+有两条公切线,则实数a 的取值范围是( ) A .1,2??-+∞ ??? B .13ln ,24? ?-- ??? C .3ln 4 ??-- ?? ? D .13ln ,24??-- ?? ? 8.设函数()1x x e f x e =-,下列说法中正确的是( ) A .()f x 的单调递增区间为(,0)(0,)-∞+∞ B .()f x 图象的对称中心为10,2??- ??? C .()f x 图象的对称中心为1,02?? - ??? D .()f x 的值域为(1,0)- 9.若对任意()0,x ∈+∞,不等式22ln ln 0x e a a a x --≥恒成立,则实数a 的最大值为( ) A B .e C .2e D .2e 10.已知函数()21(1)2 x x f x x e ae ax =--+只有一个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A .(﹣∞,0]∪[ 1 2 ,+∞) B .(﹣∞,0]∪[ 1 3 ,+∞) 导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 3.设f′(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( ) A.不存在B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直 4.曲线y=-1 x 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A.y=x-2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x-2 5.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A.(0,0) B.(2,4) C.(1 4 , 1 16 ) D.( 1 2 , 1 4 ) 6.已知函数f(x)=1 x ,则f′(-3)=( ) A.4 B.1 9 C.- 1 4 D.- 1 9 7.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 10.函数f(x)=-x2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A.f(2),f(3) B.f(3),f(5) C.f(2),f(5) D.f(5),f(3) 11.函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为( ) A.-10 B.-71 C.-15 D.-22 12.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒运动的距离为s= 1 4 t4- 5 3 t3+2t2,那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 二、填空题 13.设函数y=f(x)=ax2+2x,若f′(1)=4,则a=________. 14.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 b a =________. 15.函数y=x e x的最小值为________. 16.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17.求下列函数的导数:(1)y=3x2+x cos x; (2)y= x 1+x ; (3)y=lg x-e x. 18.已知抛物线y=x2+4与直线y=x+10,求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 19.已知函数f(x)= 1 3 x3-4x+4.(1)求函数的极值; (2)求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值. 全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案) (2015年-2018年共11套) 函数与导数小题(共23小题) 一、函数奇偶性与周期性 1.(2015年1卷13)若函数f (x ) =ln(x x +为偶函数,则a= 【解析】由题知ln(y x = 是奇函数,所以ln(ln(x x ++- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.考点:函数的奇偶性 2.(2018年2卷11)已知是定义域为的奇函数,满足 .若 , 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 解:因为是定义域为 的奇函数,且 , 所以, 因此, 因为 ,所以, ,从而 ,选C. 3.(2016年2卷12)已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-,若函数1 x y x += 与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,?,()m m x y ,,则()1 m i i i x y =+=∑( ) (A )0 (B )m (C )2m (D )4m 【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01, 对称,而11 1x y x x +==+也关于()01,对称, ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +,∴()1 1 1 022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+? =∑∑∑,故选B . 二、函数、方程与不等式 4.(2015年2卷5)设函数211log (2),1, ()2,1,x x x f x x -+-=?≥? ,2(2)(log 12)f f -+=( ) (A )3 (B )6 (C )9 (D )12(word完整版)高二数学导数单元测试题(有答案)
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