初高中数学衔接教案4

初升高数学衔接

第四讲 二次函数

二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。

1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质

问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝

12

x 2

，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：

可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝

12

x 2

，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系

图2.2-2

图2.2-1

来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)＋1与y ＝2x 的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

由于y ＝ax 2

＋bx ＋c ＝a (x 2

＋b x a )＋c ＝a (x 2

＋b x a ＋224b a

)＋c －24b a

=a

b a

c a b x a 44)2(2

2-++

所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2

4(,

)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－

2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b

a

-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2

44ac b a

-．

（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2

4(,

)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－

2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b

a

-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝2

44ac b a

-．

上述二次函数的性质可以分别通过图2.2－3和图2.2－4直观地表示出来．因此，

在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y ＝－3x

2

－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 3

(,0)3

和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这五点画出图象（如图2.2－5所示）

． 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出

关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

解法一：y ＝x 2

＋bx ＋c ＝(x +2

b )2

24b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平

移4个单位，得到22

(4)224

b b y x

c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，

2

40,220,4b

b c ?--=????-+=??

解得b ＝－8，c ＝14． 图2.2-3

图图2.2－5

解法二：把二次函数y ＝x ＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，

得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像．

由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数

y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论．

解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x 2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数

的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；

（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a 2；

（3）当0≤a ＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；

（4）当a ≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a 2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．

说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，

①

图2.2－6

②

③

本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n ＝．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；

当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x

时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0．①

并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以

x1＋x2＝

b

a

-，x1x2＝

c

a

，

即b

a

＝－(x1＋x2)，

c

a

＝x1x2．

所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b c

x x

a a

++)

= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]

＝a(x－x1) (x－x2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式（两根式）：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2． 又顶点在直线y ＝x ＋1上， 所以，2＝x ＋1，∴x ＝1． ∴顶点坐标是（1，2）．

设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴21(32)1a -=-+，解得a ＝－2．

∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+，即y ＝－2x 2＋8x －7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)， 展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，

顶点的纵坐标为

22

12444a a a a

--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，

∴|－4a |＝2，即a ＝1

2

±．

所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－213

22

x x -+．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，

又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，

∴对称轴为直线x ＝－1． 又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．

于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2． ∴a ＝－

12，或a ＝1

2

． 所以，所求的二次函数为y ＝－

12(x ＋1)2＋2，或y ＝1

2

(x ＋1)2－2．

说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用

交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得

22,

8,

842,a b c c a b c -=-+??

-=??=++?

解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．

所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？ 练 习

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确

（2）函数y＝－1

2(x＋1)

2＋2的顶点坐标是（）

（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

例1 求把二次函数y＝2x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：

（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；

（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系

数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

解：二次函数y＝2x2－4x－3的解析式可变为

y＝2(x－1)2－1，

其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为

y＝2(x－3)2－2．

（2）把函数y＝2(x－1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为

y＝2(x＋1)2＋2．

2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

例2 求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

（1）直线x＝－1；

（2）直线y＝1．

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数y＝2x2－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象

图2.2－7

的顶点为A 1(－3，1)，所以，二次函数y ＝2x －4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3)2－1，即y ＝2x 2＋12x ＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x

＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状．

由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图

象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B (1，3)，且开口向下，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1)2＋3， 即y ＝－2x 2＋4x ＋1．

4. 二次函数的最值问题

在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0

a >时，函数在2

b x a =-处取得最小值2

44ac b a

-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处

取得最大值2

44ac b a

-，无最小值。

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题。同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用。

例1当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值。

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值。

例2当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值。

图2.2－8

例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围。

例4当1t x t ≤≤+时，求函数215

22

y x x =

--的最小值(其中t 为常数)。 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置。

例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量

m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤。

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式； (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？