正态分布标准化公式

正态分布标准化公式

因为X～N(μ,σ^2), Y=(X-μ)/σ所以P(x)=(2π)^(-1/2)*σ^(-1)*exp{[-(x-μ)^2]/(2σ^2)}。

其中F(y)为Y的分布函数，F (x)为X的分布函数。

而F(y)=P(Y≤y)=P((X-μ)/σ≤y)=P(X≤σy+μ)=Fx(σy+μ)所以p(y)=F'(y)=F'x(σy+μ)*σ=P(σy+μ)*σ

=[(2π)^(-1/2)]*e^[-（y^2)/2]

从而Y～N(0,1)。

标准正态分布的密度函数样本

幻灯片1 正态分布 第二章 第七节 一、标准正态分布的密度函数 二、标准正态分布的概率计算 三、一般正态分布的密度函数 四、正态分布的概率计算幻灯片2 正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布, 这能够由 以下情形加以说明: ⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．能够证明, 如果一个随机指标受到诸多因素的影响, 但其中任何一个因素都不起决定性作用, 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 这些性质是其它 ⑵ 正态分布有许多良好的性质, 许多分布所不具备的． ⑶ 正态分布能够作为许多分布的近似分布．幻灯片3 －标准正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 一、标准正态分布的密度函数若连续型随机变量X 的密度函数为定义 则称X 服从标准正态分布,

记为标准正态分布是一种特别重要的它的密度函数经常被使用, 分布。 幻灯片4 密度函数的验证 则有 ( 2) 根据反常积分的运算有能够推出 幻灯片5 标准正态分布的密度函数的性质若随机变量 , X 的密度函数为 则密度函数的性质为: 的图像称为标准正态( 高斯) 曲线幻灯片6 随机变量 由于 由图像可知, 阴影面积为概率值。对同一长度的区间 , 若这区间越靠近 其对应的曲边梯形面积越大。标准正态分布的分布规律时”中间多, 两头少” . 幻灯片7 二、标准正态分布的概率计算 1、分布函数分布函数为幻灯片8 2、标准正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表, 有了它, 能够解决标准正态分布的概率计算.表中给的是x > 0时，①(x)的值. 幻灯片9 如果由公式得令则幻灯片10

数学分布(泊松分布、二项分布、正态分布、均匀分布、指数分布) 生存分析 贝叶斯概率公式 全概率公式讲解

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。它是简单算术平均的一种推广。例如某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。 也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为1.11个。 可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。 各种数学分布的方差是： 1、一个完全符合分布的样本 2、这个样本的方差 概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最大，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的人最多。 下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表示概率密度)：

离散型分布：二项分布、泊松分布 连续型分布：指数分布、正态分布、X 2分布、t 分布、F 分布 抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关 二项分布（binomial distribution ）：例子抛硬币 1、 重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验） 2、 抽样分布

正态分布、概率

信息系统项目管理师重点知识点：完工概率计算总结 例图： 活动BCD的乐观(m)工期都是9天，最可能(o)工期为12天，最悲观(p)工期都是15天，那么在14天内完成单项活动的概率和完成全部这三项活动的概率是多少 首先计算平均工期（PERT）：公式－－（乐观时间+4*最可能时间+悲观时间）/ 6 (9+4*12+15)/6=12天； 其次计算标准差：公式－－（悲观时间-乐观时间）/ 6 ； (15-9)/6=1天 再计算偏离平均工期：方法－－[给出的天数计算（14）－计算出来的平均工期(12)]/标准差(1) (14-12)/1=2 备注：此时得出来的为几,之后就是使用几西格玛 (Sigma)(1σ=68,37%)(2σ=95.46%)(3σ=99.73%)(6σ=99.99966%百万分之三点四) 计算每一项活动在14天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+95.46%/2=97.73% 备注：50%参考正态分布图，95.46参考2西格玛值； 计算全部活动在14天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 97.73%*97.73%*97.73%＝93.34% 下图为简要正态分布图：

备注：正态分布有50%成功，有50%不成功 如计算将上面的14天，修改为13天； 偏离平均工期就是1天，计算方法：(13-12)/1=1天，则应该使用1西格玛； 计算每一项活动在13天内完工的概率是：方法－－正态分布概率+西格玛/偏离平均工期数 50%+68.37%/2=84.19% 备注：50%参考正态分布图，68.37参考1西格玛值； 计算全部活动在13天内完工概率是：方法－－每一项活动的概率相乘 84.19%*84.19%*84.19%＝59.67% 如果计算为11－15天的概率：最小值的概率+最大值的概率 68.37/2+99.75/2=84.06%

正态分布推导72927

正态分布的推导 斯特林(Stirling)公式的推导 斯特林（Stirling）公式： 这个公式的推导过程大体来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。Stirling太强了。 1，Wallis公式 证明过程很简单，分部积分就可以了。 由x的取值可得如下结论： 即 化简得 当k无限大时，取极限可知中间式子为1。所以

第一部分到此结束，k!被引入一个等式之中。 2，Stirling公式的求解 继续兜圈。 关于lnX的图像的面积，可以有三种求法，分别是积分，内接梯形分隔，外切梯形分隔。分别是： 显然， 代入第一部分最后公式得

（注：上式中第一个beta为平方） 所以得公式： 正态分布推导 在一本俄国的概率教材上看到以下一段精彩的推导，才知道原来所谓正态分布并不是哪位数学家一拍脑门想起来的。记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就服从正态分布，至于正态分布是怎么来的一点都不提。大学之前，我始终坚信数学是世界上最精致的艺术。但是上了大学之后，发现很多数学上很多问题教材中都是语焉不详，而且很多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。这时候数学就像数学老师一样蛮横，让我对数学极其反感，足足有四年之久。只到前些日子，在CSDN上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才重新对数学发生兴趣。最近又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道原来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。 前几天在网上遇到老文，小小的探讨了一下这个问题，顺便问起他斯特林公式的证明过程。他说碰巧最近很是在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者瞻仰吧。于是就有了这篇文章： 斯特林(Stirling)公式的推导 如果哪位在读本篇之前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。 本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编辑器让我费了两个晚上才搞定。于是直至今日，方才有这篇小文字。 本篇是斯特林公式的一个应用。本篇的推导全部抄自施利亚耶夫著《概率》，本文的证明完成了棣莫弗——拉普拉斯定理推导的前半部分，后半部分以及其与伯努利大数定律的关系在以后再往上贴吧。其实也不是很难，自己动动手也是能推出来的。 这次推导可以说是“连续性随机变量”第一次出现在该书中，作为理解连续性随机变量的基础，正态分布是十分重要的。 斯特林公式： 根据斯特林公式,

利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表1

利用Excel的NORMSDIST函数建立正态 分布表 董大钧，乔莉 沈阳理工大学应用技术学院、信息与控制分院，辽宁抚顺113122 摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。 关键词：Excel；正态分布；函数；统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的张力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找，非常麻烦。若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。 1 正态分布及其应用 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为N(μ，σ2 )。则其概率密度

正态分布概率公式(部分)

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图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。

正态分布概率公式(部分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。

2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900

附表标准正态分布累积概率函数表

附表：标准正态分布累积概率函数表 当)(0x N x 时≤表 这个表表示了当)(0x N x 时≤的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]13.0()12.0([34.0)12.0()1234.0(-----=-N N N N 4509 .0)4483.04522.0(34.04522.0=-?-= x .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 -0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0.5000 0.4602 0.4207 0.3821 0.3446 0.4960 0.4562 0.4168 0.3783 0.3409 0.4920 0.4522 0.4129 0.3745 0.3372 0.4880 0.4483 0.4090 0.3707 0.3336 0.4840 0.4443 0.4052 0.3669 0.3300 0.4801 0.4404 0.4013 0.3632 0.3264 0.4761 0.4364 0.3974 0.3594 0.3228 0.4621 0.4325 0.3936 0.3557 0.3192 0.4681 0.4286 0.3897 0.3520 0.3156 0.4641 0.4247 0.3859 0.3483 0.3121 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 0.3085 0.2743 0.2420 0.2119 0.1841 0.3050 0.2709 0.2389 0.2090 0.1814 0.3015 0.2676 0.2358 0.2061 0.1788 0.2981 0.2643 0.2327 0.2033 0.1762 0.2946 0.2611 0.2296 0.2005 0.1736 0.2912 0.2578 0.2266 0.1977 0.1711 0.2877 0.2546 0.2236 0.1949 0.1685 0.2843 0.2514 0.2206 0.1922 0.1660 0.2810 0.2483 0.2177 0.1894 0.1635 0.2776 0.2451 0.2148 0.1867 0.1611 -1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4 0.1587 0.1357 0.1151 0.0968 0.0808 0.1562 0.1335 0.1131 0.0951 0.0793 0.1539 0.1314 0.1112 0.0934 0.0778 0.1515 0.1292 0.1093 0.0918 0.0764 0.1492 0.1271 0.1075 0.0901 0.0749 0.1469 0.1251 0.1056 0.0885 0.0735 0.1446 0.1230 0.1038 0.0869 0.0721 0.1423 0.1210 0.1020 0.0853 0.0708 0.1401 0.1190 0.1003 0.0838 0.0694 0.1379 0.1170 0.0985 0.0823 0.0681 -1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9 0.0668 0.0548 0.0446 0.0359 0.0287 0.0655 0.0537 0.0436 0.0351 0.0281 0.0643 0.0526 0.0427 0.0344 0.0274 0.0630 0.0516 0.0418 0.0336 0.0268 0.0618 0.0505 0.0409 0.0329 0.0262 0.0606 0.0495 0.0401 0.0322 0.0256 0.0594 0.0485 0.0392 0.0314 0.0250 0.0582 0.0475 0.0384 0.0307 0.0244 0.0571 0.0465 0.0375 0.0301 0.0239 0.0559 0.0455 0.0367 0.0294 0.0233 -2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4 0.0228 0.0179 0.0139 0.0107 0.0082 0.0222 0.0174 0.0136 0.0104 0.0080 0.0217 0.0170 0.0132 0.0102 0.0078 0.0212 0.0166 0.0129 0.0099 0.0075 0.0207 0.0162 0.0125 0.0096 0.0073 0.0202 0.0158 0.0122 0.0094 0.0071 0.0197 0.0154 0.0119 0.0091 0.0069 0.0192 0.0150 0.0116 0.0089 0.0068 0.0188 0.0146 0.0113 0.0087 0.0066 0.0183 0.0143 0.0110 0.0084 0.0064 -2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 0.0062 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0060 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0059 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0057 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0055 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0054 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0052 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0051 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0049 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0048 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 -3.0 -3.1 -3.2 -3.3 -3.4 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0012 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 -3.5 -3.6 -3.7 -3.8 -3.9 -4.0 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 附表：当0≥x 时)(x N 表 这个表表示了当0≥x 时)(x N 的值。使用这张表时可与内插法结合起来使用。例如： )]62.0()63.0([78.0)62.0()6278.0(N N N N -+= 7350 .0)7324.07357.0(78.07324.0=-?+=

利用Excel的NORMSDIST计算正态分布函数表

利用Excel的NORMSDIST 函数建立正态 分布表 董大钧，乔莉 理工大学应用技术学院、信息与控制分院，113122 摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值，极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外，更增加了动态功能，极大提高了工作效率及准确性。 关键词：Excel;正态分布；函数；统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都 可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的力、抗压强度、 口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个 量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。 在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表 去查找，非常麻烦。若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDISTX )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。 1正态分布及其应用 正态分布(normal distribution )又名高斯分布(Gaussian distribution)，是一个在数学、 物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为卩、标准方差为 /的高斯分布，记为N(卩，/ )。则其概率密度函数为正态分布的期望值□决定了其位置，其标准差b决定了分布的幅度。因其曲线呈钟

正态分布概率公式(部分)知识讲解

正态分布概率公式(部 分)

图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于3.14159 ……； e —常数，等于2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。

上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。 2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f (x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ 和δ 两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ 确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ 和δ 不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条