应用随机过程讲义(习题5)
应用随机过程试卷-湖南科技学院
湖南科技学院二○一 年 学期期末考试 数学与应用数学 专业 年级 应用随机过程试题 考试类型：闭卷 试卷类型：C 卷 考试时量： 120分钟 一 、填空题（每空4分共24分） 1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥，其中1Z ，2Z 独立同分布，其共同分布为2(0,)N σ， a 为常数，则均值函数(())E X t = ，方差函数(())Var X t = ，协方差函数 (,)s t γ= ． 2、计数过程 {} (),0N t t ≥为参数为2的泊松过程，则 {}(20)(18)2P N N -== ，((3))=E N ． 3、()1 ()N t i i S t Y == ∑ 是复合Poisson 过程，其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程，1Y 服 从正态分布(1,4)N ，则[(5)]E S = ． 二 、判断题（小题2分，共16分） 1、 设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间， 则 {}{}()n N t n T t ． （ ） 2、{}(),0N t t ≥是更新过程，则对0t ≤<+∞，有()EN t <+∞． （ ） 3、Poisson 过程具有独立增量性． （ ） 4、{}n Z 是马尔可夫链，则2 02(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======．
（ ） 5、Brown 运动的样本路径()B t ，0t T ≤≤具有连续性． （ ） 6、{}n Z 是有限状态的马尔可夫链，其一步转移矩阵为P ，则其n 步转移矩阵() n n P P =． （ ） 7、Brown 运动不是平稳增量过程． （ ） 8、{}(),0N t t ≥是Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则当t →+∞时， ()1()N t r t T t +=-与()()N t s t t T =-有相同的极限分布． （ ） 三 、计算题（共46分） 1、（12分）设{}(),0N t t ≥是强度为3的Poisson 过程， 求（1）{}(1)2,(3)4,(5)6P N N N ===； （2）{}(5)6(3)4P N N ==； （3）求协方差函数(),s t γ，写出推导过程． 2、（10分）设{}(),0N t t ≥是更新过程，第k 次更新与第1k -次更新的时间间隔k X 服
(完整版)答案应用随机过程a
山东财政学院 2009—2010学年第 1 学期期末考试《应用随机过程》试卷(A ) （考试时间为120分钟） 参考答案及评分标准 考试方式： 闭卷 开课学院 统计与数理学院 使用年级 07级 出题教师 张辉 一． 判断题（每小题2分，共10分，正确划√，错误划ⅹ） 1. 严平稳过程一定是宽平稳过程。（ⅹ ） 2. 非周期的正常返态是遍历态。（√ ） 3. 若马氏链的一步转移概率阵有零元，则可断定该马氏链不是遍历的。（ⅹ ） 4. 有限马尔科夫链没有零常返态。（√ ） 5．若状态i 有周期d, 则对任意1≥n , 一定有：0)(?nd ii p 。（ⅹ ） 二． 填空题（每小题5分，共10分） 1. 在保险公司的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司，若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，一年中保险公司的平均赔付金额是＿＿240000元＿＿＿。 2．若一个矩阵是随机阵，则其元素满足的条件是：（1）任意元素非负（2）每行元素之和为1。 三． 简答题（每小题5分，共10分） 1． 简述马氏链的遍历性。 答：设) (n ij p 是齐次马氏链{}1,≥n X n 的n 步转移概率，，如果对任意 I j i ∈,存在不依赖于i 的极限0)(?=j n ij p p ，则称齐次马氏链{}1,≥n X n 具有遍历性。 2． 非齐次泊松过程与齐次泊松过程有何不同？
答：非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同在于：强度λ不再是常数，而是与t 有关，也就是说，不再具有平稳增量性。它反映了其变化与时间相关的过程。如设备的故障率与使用年限有关，放射物质的衰变速度与衰败时间有关，等等。 四． 计算、证明题（共70分） 1. 请写出C —K 方程，并证明之. （10分） 解： 2. 写出复合泊松过程的定义并推算其均值公式. （15分） 解：若{}0),(≥t t N 是一个泊松过程，是Λ,2,1,=i Y i 一族独立同分布的随机变量，并且与{}0),(≥t t X 也是独立的， )(t X =∑=t N i i Y 1，那么{}0),(≥t t X 复合泊松过程
应用随机过程教学大纲
遵义师范学院课程教学大纲 应用随机过程教学大纲 （试行） 课程编号：280020 适用专业：统计学 学时数：48 学分数：____________ 2.5_______ 执笔人：黄建文审核人：_____________________ 系别：数学教研室：统计学教研室
编印日期：二?一五年七月 课程名称：应用随机过程 课程编码： 学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学） 一、课程的性质与目标： （一）该课程的性质 《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学进程安排
三、教学内容与要求 第一章预备知识 【教学目标】 通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。 【教学内容和要求】 随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机 变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。 【课外阅读资料】 《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。 【作业】 0, x W0 1. 已知连续型随机变量X的分布函数为F（x） = *Aarcsinx, 0 应用随机过程试题及答案 一．概念简答题（每题5 分，共40 分） 1. 写出卡尔曼滤波的算法公式 2. 写出ARMA（p,q）模型的定义 3. 简述Poisson 过程的随机分流定理 4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念 5. 简述Markov 状态分解定理 6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分） 1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ? 1 ( 1) ( 1) , 2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1 2 , , ... X X 是相互独立的。试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。 2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页 3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为 1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故 ()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-= 2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-= 2 2 22(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1) X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+ (,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-= ()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==- 2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布， {,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T 是独立同 分布的均值为1λ的指数分布 Proof:注意到1{}T t >发生当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发生，因而1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利用泊松过程的独立、 平稳增量性质，有 21{|}{()()0}{()(0)0}t P T t T s P X t s X s P X t X e λ->==+-==-== 即222(){}1{}1t T F t P T t P T t e λ-=≤=->=- 对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有 21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-== 即(){}1n t T n F t P T t e λ-=≤=- 所以对任一n T 其分布是均值为1 λ的指数分布. 所以1,0 (){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-?-≥=≤=? 习题 1. 设随机过程{(,),}X t t ω-∞<<+∞只有两条样本函数 12(,)2cos ,(,)2cos ,X t t X t t x ωω==--∞<<+∞ 且1221 (),()33P P ωω==，分别求： （1）一维分布函数(0,)F x 和(,)4F x π ； （2）二维分布函数(0,;,)4F x y π ； （3）均值函数()X m t ； （4）协方差函数(,)X C s t . 2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程 1 2 cos ()2t X t πωω?=??出现正面出现反面 且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1 2 ，求 1）画出{()}X t 的样本函数 2）{()}X t 的一维概率分布，1 (;)2F x 和(1;)F x 3）{()}X t 的二维概率分布121 (,1;,)2 F x x 3. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{()}X t cos ()2 t t X t t π?=? ?在时刻抛掷硬币出现正面 在时刻抛掷硬币出现反面 求：（1）1(,),(1,)2F x F x ； （2）121 (,1;,)2 F x x 4. 考虑正弦波过程{(),0}X t t ≥，()cos X t t ξω=，其中ω为正常数，~(0,1)U ξ. （1）分别求3,,,424t ππππωωωω = 时()X t 的概率密度(,)f t x . （2）求均值函数()m t ，方差函数()D t ，相关函数(,)R s t ，协方差函数(,)C s t . 5. 给定随机过程： ()X t t ξη=+ ()t -∞<<+∞ 其中r. v. (,)ξη的协方差矩阵为1334C ?? = ??? ， 求随机过程{(),}X t t -∞<<+∞的协方差函数. 6. 考虑随机游动{(),0,1,2,}Y n n = 4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？ 对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是 k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=) (0)()(t N k k t t t S 使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E == 对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下， n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以 2))((2)2)(())((2 2)())(|)((2 0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n k k λ= ===- =-==∑=从而有 4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下) (1) ()(t F t f t -= λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程 )(t N 如下}),,..,max(:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=- 这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。 应用随机过程学习汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。 H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：综述 院系：电子与信息工程学院 班级： 09硕通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009-11至2009-12 哈尔滨工业大学 哈尔滨工业大学课程设计任务书 特征函数在随机过程研究中的作用与意义 1.特征函数的定义 在介绍特征函数在随机过程研究中的作用和意义之前，首先介绍一下特征函数的定义。 特征函数是一个统计平均值，它是由随机变量X 组成的新的随机变量j X e ω的数学期望，记为： ()()j X E e ωωΦ= （1） 当X 为连续随机变量时，则X 的特征函数可表示成 ()()i X i x Ee f x e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （2） 其中()f x 为X 的概率密度函数。 对于随机过程的特征函数的定义与随机变量的特征函数的定义一致。 对任意时刻t ,随机过程的一维特征函数为： () (,)[](,)i X t i x X t E e f x t e dx ωωω∞ -∞ Φ== ? （3） 2.特征函数的性质 以下本文不加证明的给出特征函数的几个性质： (1) |()|(0)1ωΦ≤Φ=； (2) 共轭对称性()()ωωΦ-=Φ； (3) 特征函数()ωΦ在区间(,)-∞∞上一致连续； (4) 设随机变量Y aX b =+，其中,a b 是常数，则()()ib Y X e a ω ωωΦ=Φ； 其中(),()X Y ωωΦΦ分别表示随机变量,X Y 的特征函数。上式对于随机过程同样适用。 (5) 设随机变量,X Y 相互独立，又Z X Y =+，则()()()Z X Y ωωωΦ=ΦΦ； 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积。 3.特征函数在随机过程研究中的作用与意义 由于特征函数在随机过程中和随机变量中的定义是一致的，仅是将X 变为X (t ),将概率密度函数也做相应的变化即可。故本文为方便起见，将随机过程和随机变量的特征函数的作用与意义做统一的讨论。 利用特征函数求随机过程的概率密度 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ·，记为{X n ，n=1,2, ·}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ·}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ·}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{ -- 例4：E 都为), 0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随 机 过 程 的 二 维 分 布 ： T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布： T t t t x t X x t X x t X P x x x F n n n n t t t n ∈≤≤≤= ,,},)(,)(,)({),,(21221121,,21 1、有限维分布族：随机过程的所有一维分布，二维分布，…n 维分布等的全体 }1,,,),,,({2121,,21≥∈n T t t t x x x F n n t t t n 称为{X(t), t ∈T}的有限维分布族。 2、有限维分布族的性质： （1）对称性：对（1,2，…n ）的任一排列),,(21n j j j ，有 ),,(),,(21,,,,21212 1 n t t t j j j t t t x x x F x x x F n n n j j j = （2）相容性：对于m 应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1 ）是齐次马氏链。经过 次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 《随机过程》课程教学大纲 适用专业：数学与应用数学 执笔人：肖丽华 审定人：王宏勇 系负责人：张从军 南京财经大学应用数学系 《随机过程》课程教学大纲 课程代码：300069 英文名：Stochastic Processes 课程类别：专业选修课 适用专业：数学与应用数学 前置课：数学分析、线性代数、概率论、数理统计 后置课： 学分：2学分 课时：54课时 主讲教师：孙春燕等 选定教材：刘次华,随机过程（第二版）[M]，武汉：华中科技大学出版社，2001. 课程概述： 随机过程是数学与应用数学专业继数学分析、线性代数、概率论、数理统计后的一门专业课程。随机过程是研究客观世界中随机演变过程的规律性，是以概率论为基础且是概率论的深入与发展的一门学科。它在控制、经济、金融和管理等方面应用极为广泛。 教学目的： 通过随机过程理论知识的学习，达到培养学生解决实际问题，特别是解决具体随机规律现象的问题能力，学生学习这门课程应该达到三个目标。（1）建立随机过程的思维方法。（2）掌握随机问题的统计特性及数学模型。（3）通过经济、金融及管理等专业相关例题的讨论，初步掌握应用随机过程理论来分析问题和解决问题的能力。 教学方法： 本课程采用“引出问题，建立模型，理论分析，课堂讨论，实际应用，总结提高”的教学方式，使学生在掌握随机过程基本理论、思想和方法的基础上，力求活跃思考，理论结合实际地进行学习、 分析、归纳、提炼和解决问题，提高他们的数学素质和数学修养，提升他们开展科技活动和社会实践的能力以及开展科研工作的能力。 各章教学要求及教学要点 第一章预备知识 学时分配：6学时 教学要求： 补充和加强概率论知识。理解母函数的概念，掌握母函数的方法；掌握特征函数的定义及性质，了解特征函数与分布函数一一对应的关系。 教学内容： 第一节概率空间 一、随机试验。 二、样本空间。 三、事件及概率空间的定义。 第二节随机变量及其分布 一、分布函数。 二、联合分布函数及其性质。 第三节随机变量的数字特征 一、随机变量的数学期望及其性质。 二、随机变量的方差及其性质。 第四节特征函数、母函数和拉氏变换 一、特征函数的定义及其性质。 二、母函数的定义及其性质。 第五节n维正态分布 华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷） （闭卷时间 120 分钟） 院/系年级 __专业姓名学号 1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且 EX 存在， C 是 F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ； （2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为 λ 的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、 _____增量，且?t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )? N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )? N (t ) =1})＝_____________； 3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则?t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。 二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有 指数分布，即：P({X ≤ a}) =1?e?λa ，a >0，其中λ是正常数。设λ是 另一个正常数，定义：Z = λλe?(λ?λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，?A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函 数：P({X ≤ a})，a>0； 2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1?X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足： F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ?∏ k n=1 1 X?k X ?1 k ，n ≥1， 试证：{Y n ,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！ 三、计算证明题（共60 分） 1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中 红球，每隔单位时间从 袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量 一个确定的t ?? ? ? ? = 时取得白球 如果对 时取得红球 如果对 t e t t t X t 3 )( . 维分布函数族 试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 西安电子科技大学 研究生课程考试试题 考试科目：随机过程课程编号：X00MS0033 X/Z00MS1033 考试日期：2015 年7 月日考试时间：150 分考试方式：（闭卷）任课教师：班号： 学生姓名：学号： (说明：学术型、博士生做一二三四五六七题，专业型做一二三’四’五六七’题) 一、（10分）设随机过程X={X t,t∈[?2,2]}，其中X t=U+t，U为随机变量，服从(0，π)上的均匀分布。（1）试求任意两个样本函数，并绘出草图。（2）计算随机过程X特征函数。（3）计算随机过程X的均值函数与自协方差函数。 二、（15分）设W={W t,t≥0}是标准布朗运动，令B t=W t?tW1,t∈[0,1]。 （1）证明随机过程B={B t,0≤t≤1}是正态过程。（2）求B={B t,0≤t≤1}的一维分布函数F(t;x)=P(B t≤x)。（3）计算B={B t,0≤t≤1}的方差函数。 三、（学术型）（20分）设高速公路上每天到达某加油站的卡车数和小汽车数分别为N1(t)和N2(t)，t≥0。如果设N1={N1(t),t≥0}和N2={N2(t),t≥0}分别是参数为λ1和λ2的泊松过程，且过程N1与N2独立。（1）试分析随机过程N={N t=N1(t)+N2(t),t≥0 }是什么过程。（2）试计算某一天到达加油站的车流中，卡车首先到达加油站的概率。三’、（专业型）（20分）学生要去A报告厅听讲座，现有两个入口B和C可以进入A报告厅。设在时刻t≥0，从B口进入A报告厅的人数为N t B，从C口进入A报告厅的人数为N t C，假设N B={N t B,t≥0}和N C={N t C,t≥0}是两个分别服从参数为λB=0.5和λC=1.5的独立的泊松过程。（1）计算在一个固定的4分钟内没有学生进入A报告厅的概率；进一步，若已知一个学生进入了A报告厅，那么他从C口进入的概率是多少？（2）计算学生到达A报告厅的时间间隔的均值。 四、（学术型）（20分）（1）设平稳序列X={X n,n=0,±1,±2,?}的相关函数为 ρ|τ|, τ=0,±1,?,|ρ|<1，求X的谱密度。（2）若（1）中R(τ)为平稳过程R(τ)=1 2π X={X t,?∞ 第一章 随机过程的基本概念 一、随机过程的定义 例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。 例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。 例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。 例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。 定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。 E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。 例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10] 例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为),0[∞+ 注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。 （2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。 （3）例1为离散状态离散参数的随机过程，例2为连续状态离散参数的随机过程，例3为离散状态连续参数的随机过程，例4为连续状态连续参数的随机过程。 二、有限维分布与Kolmogorov 定理 随机过程的一维分布：})({),(x t X P x t F ≤= 随机过程的二维分布：T t t x t X x t X P x x F t t ∈≤≤=21221121,,},)(,)({),(21 随机过程的n 维分布： 《应用随机过程A》课程教学大纲 课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业 学分数：3学分学时数： 48学时 应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数 一、本课程的地位和作用 应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的教学目标 使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。） 第一章预备知识 1．教学基本要求 （1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。 （2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。 （3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容 （1）概率空间 （2）▽随机变量和分布函数 （3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数 （4）▽*条件概率、条件期望和独立性 （5）收敛性 第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求 （1）掌握随机过程的定义。 （2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。 （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容 （1）基本概念 （2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理 （3）▽随机过程的基本类型 第三章 Poisson过程 1．教学基本要求 （1）了解计数过程的概念。 （2）掌握泊松过程两种定义的等价性。 （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容 （1）▽ Poisson过程 （2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布 （3）* Poisson过程推广 第四章更新过程 1．教学基本要求 （1）掌握更新过程的定义和基本性质。 （2）掌握更新函数、更新方程。 （3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。 （4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容应用随机过程试题及答案
应用随机过程复习资料
应用随机过程习题课二
随机过程及其应用-清华大学
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应用随机过程-综述
应用随机过程 期末复习资料
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《应用随机过程》课程教学大纲 - 南京财经大学教务处
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