2011考研数学二真题[精品文档]

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-．

(2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()

233

2lim

x x f x f x x →-=( )

(A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( )

(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2

(0)x

x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( )

(A) ()x

x a e

e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x

x x ae

be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+．

(5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''><

(6) 设4

ln sin I x dx π

=

?

，40

ln cot J x dx π

=?，40

ln cos K x dx π

=?，则,,I J K 的大

小关系是( )

(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3

行得单位矩阵，记11001

10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ?

= ? ???

，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1

21P

P -． (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T

是方程组

0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )

(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．

指定位置上．) (9) 1

012lim(

)2

x x x →+= ． (10) 微分方程'cos x

y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 ．

(11) 曲线0

tan (0)4

x

y tdt x π

=

≤≤

?

的弧长s = ．

(12) 设函数,0,

()0,0,0,

x e x f x x λλλ-?>=>?

≤?则()xf x dx +∞-∞=? ． (13) 设平面区域D 由直线,y x =圆22

2x y y +=及y 轴围成，则二重积分

D

xyd σ=?? ．

(14) 二次型222

123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数

为 ．

三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) (15) (本题满分10分)

已知函数20

ln(1)()x

a

t dt F x x

+=

?

，设0

lim ()lim ()0,x x F x F x +

→+∞

→==试求a 的取值范围． (16) (本题满分11分)

设函数()y y x =由参数方程3311,33

11,33x t t y t t ?=++????=-+??确定，求()y y x =的极值和曲线

()y y x =的凹凸区间及拐点．

(17) (本题满分9分)

设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1

x =处取得极值(1)1g =，求

211

x y z

x y

==???．

(18) (本题满分10分)

x

设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若

,d dy

dx dx

α=求()y x 的表达式． (19) (本题满分10分)

(I)证明：对任意的正整数n ，都有111

ln(11n n n

<+<+ 成立． (II)设1

1

1ln (1,2,)2

n a n n n

=+

++

-=，证明数列{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)

一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

2212(2x y y y +=≥与221

1()2

x y y +=≤连接而成的．

(I) 求容器的容积；

(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2

/gm s ，水的密度为3

3

10/kg m )．

图１

(21) (本题满分11分)

已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)D

f x y dxdy a =??

，

其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy

D

I xy f x y dxdy ''=

??．

(22) (本题满分11分)

设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)T

T

T αα

α===

，不能由向量组1(1,1,1)T

β=，

2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．

(I) 求a 的值；

(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (23) (本题满分11分)

A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -????

? ?= ? ? ? ?-????

．

(I) 求A的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵A．

需要完整答案及试卷解析的同学请添加

微信公众号：考研365天微信号：ky365t

关注后聊天窗口回复“答案”

（听说关注我们的同学都能顺利上研哦）1994-2016 年政治考研真题+答案解析

1986-2016 年英语一/二考研真题+答案解析1987-2016 年数学一/二/三考研真题+答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案