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复旦大学.《高等数学》(上)第一章 习题部分答案

复旦大学.《高等数学》(上)第一章 习题部分答案
复旦大学.《高等数学》(上)第一章 习题部分答案

《高等数学》第一章 习题一部分答案

例17 证明方程ln(1)2x e x +=至少有一个小于1的正根,

25.通过恒等变形求下列极限: (1) 2123(1)

lim n n n →∞++++- .

解:原式222(1)

11

1

lim lim lim()22222n n n n n n n n n n →∞→∞→∞--===-=. (2) 1

1

lim(1)22n n →∞+++ .

解:原式1

1

1

112lim 2lim(1)21212

n n n n ++→∞→∞-==-=-. (3) 22121

lim 1x x x x →-+-.

解:原式11

lim 01x x x →-==+. (4) 2

2468

lim 54x x x x x →-+-+.

解:原式42

2

lim 13x x x →-==-.

(5) 3

2

lim x x →+∞;

解:

原式3

332lim x x →+∞=

3

2

lim x x =

lim x = 4

22==。

(6) 2

0x →

解:原式0x →=

0lim(1x →=-+ 2=-;

(7)5x →

解:原式x →=

x →=

x →=

=

121

23622

5533--==?=?。 (8)3341cot lim 2cot cot x x x x π

→---。

解:原式234(1cot )(1cot cot )

lim (1cot )(1cot )x x x x x x π

→-++=-+-

224(1cot )(1cot cot )

lim (1cot )(1cot )(1cot cot )x x x x x x x x π

→-++=-+-++

2

241cot cot lim 11cot cot x x x

x x π

→++=+++

3

4=。

(9)22lim(1)(1)(1)n

n x x x →∞+++ (||1)x < 解:原式22(1)(1)(1)(1)

lim 1n

n x x x x x →∞-+++=-

222(1)(1)(1)

lim 1n

n x x x x →∞-++=-

42(1)(1)

lim 1n

n x x x →∞-+=-

............................

22(1)(1)

lim 1n n

n x x x →∞-+=-

22

1lim (||1)1n

n x x x →∞-=<-

1

1x =-。

(10)1x →。

解:原式1111lim 111x x x x →-=??---

1x →= 11

1

23n =???

1

!n =。 (11)311

3

lim(11)x x x →---。 解:原式22113

lim (1)(1)x x x x x x →++-=-++

2212

lim (1)(1)x x x x x x →+-=-++

21(2)(1)

lim (1)(1)x x x x x x →+-=-++

212

lim 11x x x x →+=-=-++。 (12)2211

lim (1)x x x x →-+- 解:由于2

21(1)lim 01x x x x →-=-+,从而

原式=∞。 (13) 0log (1)lim

a x x x

→+. 解:原式00ln(1)

111ln lim lim ln(1)ln ln x x x a x x a x a →→+==+=. (14) 01lim x x a x

→-. 解:设1x t a =-,当0x →时,0t →,且ln(1)ln t x a +=

,从而知 原式00lim ln lim ln ln(1)

ln(1)ln t t t t a a t t a

→→===++. (15) 3

sin 0lim(12)x x x →+.

解:原式1662sin 0lim[(12)]

x

x x x x e →=+=. (16) 0sin lim ln

x x x

→ 解:原式0sin ln lim ln10x x x →===. 26.当0x →时,22x x -与23

x x -相比,哪个是高阶无穷小量? 解:由于232

200lim lim 022x x x x x x x x x

→→--==--,从而知当0x →时, 23x x -是22x x -的高阶无穷小.

27.当1x →时,无穷小量1x -与(1)31x -;(2)21(1)2

x -是否同阶?是否等价? 解: 3

211

1lim lim(1)31x x x x x x →→-=++=-, 2111(1)12lim lim (1)112x x x x x

→→-=+=-, ∴当1x →时,无穷小量1x -与31x -是同阶无穷小,而1x -与21(1)2

x -是等价无穷小. 28.利用0sin lim 1x x x

→=或等价无穷小求下列极限: (1) 0sin lim sin x mx nx

→.

解:原式0lim x mx m

nx n →==.

(2) 0lim cot x x x →.

解:原式000cos cos lim lim lim cos 1sin x x x x x

x x

x x x →→→====. (3) 01cos 2lim sin x x

x x →-.

解:原式2

00(2)2lim 2lim 2sin sin x x x x

x x x →→===. (4) tan sin 601

lim 1x

x x e e →--.

解:原式00tan 1

lim lim sin 666x x x

x

x x →→==-=--. (5) 0arctan 3lim x x

x →.

解:原式03lim 3x x

x →==. (6) lim 2sin 2n n n x →∞.

解:原式lim 22n n n x

x →∞=?=. (7) 21

241

lim arcsin(12)x x x →--.

解:原式21

1

22

41lim lim(21)212x x x x x →→-==-+=--. (8) 2

0arctan lim sin arcsin 2x x x

x

→. 解:原式2

0lim 22x x x x

→==?. (9) 30tan sin lim sin x x x

x →-.

解:原式30sin (1cos )

lim sin cos x x x x x →-=?

30sin (1cos )

lim sin x x x x →-=

2

3011

2lim 2x x x x →?==. (10) 20cos cos lim x x x

x αβ→-.

解:原式202sin()sin()

22

lim x x x x αβαβ→+--=

20222

lim x x x

x αβαβ→+--??=

22

2βα-=.

(11) 0x →.

解:

原式0x →=

0lim(1x →==-. (12) 2201cos 4lim 2sin tan x x

x x x →-+.

解:原式22202sin 2lim 2sin tan x x

x x x →=+

2220228sin cos lim sin 2sin cos x x x

x

x x x

→=+? 2

028cos lim 41

2cos x x

x x

→==+?. (13) 0ln cos lim ln cos x ax

bx →;

解:原式0ln cos cos 1

cos 1

lim()cos 1cos 1ln cos x ax

ax bx ax bx bx →--=??--

000ln cos cos 1

cos 1

lim lim lim cos 1cos 1ln cos x x x ax

ax bx ax bx bx →→→--=??--

0cos 1

lim cos 1x ax bx →-=-

2022sin 2

lim 2sin 2

x ax

bx

→= 2

2

202()2lim ()

2x ax a bx b →==

. (14) 2220ln(sin )lim ln()2x x x x e x

x e x →+-+-.

解:原式22220ln(sin )ln lim ln()ln x x

x x x x e e x e e →+-=+-

22202sin ln lim ln x

x

x x x

x e e x e e →+=+

2

202sin ln(1)

lim ln(1)

x x x x

e x

e →+=+

2202sin lim x

x x

x

e x e →=

220sin lim 1x x x

e x →=?=.

29.利用重要极限1

0lim(1)x

x x e →+=求下列极限: (1)21lim(1)x

x x →∞+ 解:原式11

221lim[(1)]x x e x →∞=+=。 (2)213

lim()2x x x x +→∞+- 解:原式21

5lim(1)2x x x +→∞=+-

25(21)

521lim[(1)]25

x x x x x -+-→∞=+-

15(2)

22

15

1lim[(1)]25

x

x x x x +--→∞=+-

10e =。

(3)22cot 0lim(13tan )x

x x →+ 解:原式1

23

3tan 0lim[(13tan )]x x x →=+

3e =。 (4) 3

0lim(cos 2)x x x →。 解:原式22216sin 22sin 0lim{[1(2sin )]}x

x

x x x --→=+-

6e -=。

(5)lim (ln(2)ln )x x x x →∞+- 解:原式2lim ln x x

x x →∞+=

1limln(1)2

x x x →∞=+

2

21lim ln[(1)]2

x

x x →∞=+

2ln 2e ==。 (6)11lim ln x x

x →-。

解:设1t x =-,即1x t =+,当1x →时,0t →,从而知

原式0lim ln(1)t t

t →=+

01l i m 1l n (1)t t t

→=+ 101l i m l n (1)

t t t →=+ 11ln e

==/ 31.求下列函数在指定点处的左、右极限,并说明在该点处函数的极限是否存在?

(1)||,0,()1,

0,x x f x x x ?≠?=??=?在0x =处;

解: 00lim ()lim 1x x x f x x

--

→→-==-, 00lim ()lim 1x x x f x x ++→→==, ∴||,0,()1,

0,x x f x x x ?≠?=??=?在0x =处的左右极限均存在,但不相等,从而知它在0x =处的极限不存.

(2)2,2,()1,2,2

x x f x x x +≤??=?>?-?在2x =处。 解: 22lim ()lim (2)4x x f x x -

-→→=+=, 221lim ()lim 2

x x f x x ++→→==+∞-, ∴函数在2x =处的左极限存在,而右极限不存在,极限不存在!

32.研究下列函数的的连续性,并画出图形:

(1)2,01,()2,12;

x x f x x x ?≤≤=?-<

(2),

||1,()1,||1;

x x f x x ≤?=?>? (3)()lim x x

x x

n n n f x n n --→∞-=+; (4)221()lim 1n

n

n x f x x x →∞-=-.

解:(1)显然,()f x 在[0,1)(1,2) 上连续,故只需研究函数()f x 在1x =处的连续性.

而11

lim ()lim(2)1x x f x x ++→→=-=, 2

11lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===, 从而知函数()f x 在1x =处的连续,综合知函数在[0,2]上连续.

(2)显然, ()f x 在(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ 上连续,从而只需研究函数()f x 在1x =±处的连续性.

而11

lim ()lim 1x x f x x --→→==, 11

lim ()lim11(1)x x f x f +-→→===, 11

lim ()lim 11(1)x x f x f --→-→-===, 11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-,

从而知函数()f x 在1x =处的连续,但在1x =-处的间断.

综合知函数在其定义域内除了1x =-处的间断处其他处均连续.

(3)显然,函数的定义域为R ,

221,01()lim lim 0,011,0x x x

x x x n n x n n

n f x x n n n x --→∞→∞>?--?====?++?-

(4)显然, 函数的定义域为R ,且有

,||1()0,||1,||1x x f x x x x ?

,

显然,它在1x =±处间断,在其他处均连续.

33.下列函数在指定点处间断,说明它们它们属于哪一类断点。如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义,使它连续;

(1)221,1,232

x y x x x x -===-+ (2),,,0,1,2,;tan 2

x y x k x k k x πππ=

==+=±± (3)21cos ,0y x x ==;

(4)1,1,13,1

x x y x x x -≤?==?

->?。 解: (1) 34.当0x =时,下列函数无定义,试定义(0)f 的值,使其在0x =处连续;

(1

)()f x =

; (2)tan 2()x f x x

=; (3)1()sin sin ;f x x x

= (4)1/()(1)x f x x =+

35.怎样选取a 、b 的值,使()f x 在(,)-∞+∞上连续?

(1),0,(),0;x e x f x a x x ?<=?+≥?

(2)1,,2()sin ,.2

ax x f x x b x ππ?+

0lim ()lim 1x x x f x e --→→==, 00

lim ()lim ()(0)x x f x x a a f ++→→=+==, 从而知只要1a =,则()f x 在(,)-∞+∞上连续.

(2)显然, ()f x 在(,)(,)22ππ-∞+∞ 上连续,故只需确定函数在2x π

=处的连续性,而 22

lim ()lim (1)12x x f x ax a π

ππ--→→=+=

+,

22lim ()lim (sin )1()2x x f x x b b f πππ

++→→=+=+=, 从而知只要

112a b π+=+即2b a π=时, ()f x 在(,)-∞+∞上连续.

36.试证:方程21x

x ?=至少有一个小于1的正根。

证明:设()21x f x x =?-,显然,()f x 在R 上连续,且有 (1)10f e =->,(0)1f =-,

故在()21x f x x =?-在(0,1)内至少存在一点ξ,使

()210

f ξξξ=?-=, 即方程21x x ?=至少有一个小于1的正根。

37.试证:方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根,其中0,0a b >>。 证明:设()sin f x x a x b =--,显然,()f x 在R 上连续,且有

(0)0f b =-<,()sin()[1sin()]0f a b a a a b a a b +=-+=-+≥,

即在(0,]a b +上至少存在一点ξ,使()0f ξ=,即

sin 0a b ξξ--=,

从而知方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根,其中0,0a b >>。

38.设()f x 在[0,2]a 上连续,且(0)(2)f f a =。证明方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少存在一根。

证明:设()()()g x f x f x a =-+,显然,()g x 在[0,]a 内连续,且有

(0)(0)()g f f a =-,

()()(2)()(0)g a f a f a f a f =-=-。

分别讨论如下:

(1)当(0)()f f a =时,有

(0)()f f a =,

即(0)(0)f f a =+,从而知这时方程()()f x f x a =+在[0,]a 内存在一根为0x =。

(2)当(0)()f f a

≠时,知(0)()0g g a <,从而知()()()g x f x f x a =-+在[0,]a 内存在一点[0,]a ξ∈,使得

()0g ξ=,

即()()0f f a ξξ-+=,

从而知方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少存在一根。

39.设()f x 在[0,1]上连续,且0()1f x ≤≤,证明:至少存在一点[0,1]ξ∈,使()f ξξ=. 证明:构造函数()()y g x f x x ==-,从而知()g x 在[0,1]上连续,从而知

0()1

10f x x ≤≤??-≤-≤?

故知1()1f x x -≤-≤,

从而知至少存在一点[0,1]ξ∈,使

()()0g f ξξξ=-=,

即()f ξξ=.

40.设()f x 在[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< .证明在1[,]n x x 中必有ξ,使 12()()()

()n f x f x f x f n ξ+++= .

证明:设123(),(),,()f x f x f x 中的最小值为m 、最大值为M ,且()i f x m =, ()j f x M =,从而知

12()()()

n f x f x f x m M n +++≤≤ ,

由介值定理知,在1[,]n x x 中必有ξ,使

12()()()

()n f x f x f x f n ξ+++= 。

高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案

1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案 【篇一:数学分析目录】 合1.1集合1.2数集及其确界第二章数列极限2.1数列极限 2.2数列极限(续)2.3单调数列的极限2.4子列第三章映射和实函数 3.1映射3.2一元实函数3.3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4.1函数极限4.2函数极限的性质4.3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5.1区间上的连续函数5.2区间上连续函数的基本性质5.3单调函数的性质第六章导数和微分6.1导数概念6.2求导法则6.3高阶导数和其他求导法则6.4微分第七章微分学基本定理及使用7.1微分中值定理7.2taylor展开式及使用7.3lhospital法则及使用第八章导数的使用8.1判别函数的单调性8.2寻求极值和最值8.3函数的凸性8.4函数作图8.5向量值函数第九章积分9.1不定积分9.2不定积分的换元法和分部积分法9.3定积分9.4可积函数类r[a,b] 9.5定积分性质9.6广义积分9.7定积分和广义积分的计算9.8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10.1平面图形的面积10.2曲线的弧长10.3旋转体的体积和侧面积10.4物理使用10.5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11.1cauchy收敛准则及迭代法11.2上极限和下极限11.3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12.1级数的敛散性12.2绝对收敛的判别法12.3收敛级数的性质12.4abel-dirichlet判别法12.5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13.1广又积分的绝对收敛性判别法13.2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14.1一致收敛性14.2一致收敛性的判别14.3一致收敛级数的性质14.4幂级数14.5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15.1fourier级数15.2fourier级数的收敛性15.3fourier级数的

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

206 习题十 1. 根据二重积分性质,比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小,其中: (1)D 表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形; (2)D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解:(1)区域D 如图10-1所示,由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间,显然有 图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? (2)区域D 如图10-2所示.显然,当(,)x y D ∈时,有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质,估计下列积分的值: (1 ),{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; (2)2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; (3)2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解:(1)因为当(, )x y D ∈时,有02x ≤≤, 02y ≤≤

207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? (σ为区域D 的面积),由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤,从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? (3)因为当(,)x y D ∈时,2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: (1 ) 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? (2 ) 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解:(1 ) (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底,以z 轴为轴,以(0,0,a )为顶点的圆锥的体积,所以

高等数学习题11答案(复旦大学出版社)

261 习题十一 3.计算下列对坐标的曲线积分: (1)() 22d -?L x y x ,其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧; (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?,其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线; 解:(1)L :y =x 2,x 从0变到2, ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示,L =L 1+L 2.其中L 1的参数方程为 图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0.

262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7.应用格林公式计算下列积分: (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ , 其中L 为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)的三角形正向边界; 解:(1)L 所围区域D 如图11-4所示,P =2x -y +4, Q =3x +5y -6,3Q x ?=?,1P y ?=-?,由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积: (1)星形线x = a cos 3t ,y = a sin 3t ; 解:(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9.证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ; (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径;

高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章 多元函数积分学(Ⅰ) 一元函数积分学中,曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分,并且已经建立了定积分理论,本章我们将推广到多元函数,建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的: 1、熟悉二重积分的概念; 2、了解二重积分的性质和几何意义,知道二重积分的中值定理; 3、掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法; 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点: 1、二重积分的性质和几何意义; 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点: 1、二重积分的计算; 2、二重积分计算中的定限问题 教学容: 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

高等数学复旦大学出版社习题答案七

习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4); (3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3). 解:(1)s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=

即所求点为M (0,0, 149 ). 7. 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明:因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明:利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解: 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =c ,BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解:1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4,它与投影轴的夹角是60°,求这向量在该轴上的投影. 解:设M 的投影为M ',则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次是4,-4和7,求这向量的起点A 的坐标. 解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

复旦高等数学B期终试卷Word版

复旦大学数学科学学院 2008~2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷 课程名称:__高等数学B _________ 课程代码: MATH120004.02.03__ 开课院系:__数学科学学院 _____________ 考试形式:闭卷 姓 名: 学 号: 专 业: 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 (以下为试卷正文) ( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

注意:答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、简单计算(每题4分,共40分) 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数,() xy y x y x f u 2,,2 222-+=,求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数,且F 具有连续的一阶偏导数,求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。

6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。 ( 装 订 线 内 不 要 答 题 )

二、 设 ()333,y x y x f +=,判断()y x f ,在()0,0处是否可微,为什么?(6分) 三、 计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ,其中D 是由1=y ,2 x y =及0=x 所围成的 有界闭区域。(6分)

高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学(Ⅰ) f x在区间[a,b]上的定积分,并且已经建立 一元函数积分学中,曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论,本章我们将推广到多元函数,建立多元函数积分学理论。 第一节二重积分 教学目的: 1、熟悉二重积分的概念; 2、了解二重积分的性质和几何意义,知道二重积分的中值定理; 3、掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法; 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点: 1、二重积分的性质和几何意义; 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点: 1、二重积分的计算; 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容: 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为

f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地 看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在 闭区域D 上的二重积分 记作 σ d y x f D ??),( 即

数学分析上

数 学 分 析(I ) (周课时5加习题课时2)(共80课时) (1)集合与函数 (6课时) 实数概述,绝对值不等式,区间与邻域,有界集,确界原理,函数概念。 (2)数列极限 (12课时) 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件;单调有限定理、柯西收敛原理。 ????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 (3)函数极限 (10课时) 函数极限概念(x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义)函数极限的性质:唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件:归结原则、柯西准则。 两个重要极限:1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 (4)函数的连续性 (14课时) 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质:有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质:有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 (5)极限与连续性(续)(15课时) 实数完备性的基本定理:区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 (6)导数与微分 (8课时) 引入问题(切线问题与瞬时速度问题)。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

高等数学复旦大学出版社习题答案十三

习题十三 1. 求下列函数在所示点的导数: (1)()sin cos t f t t ??= ???,在点π4t =; 解:( )π4f ?? ?'= - ? (2)()22,x y g x y x y +??= ? ?+?? ,在点()(),1,2x y =; 解:()111,224g ??= ??? (3)sin cos u v u T u v v v ???? ?= ? ??? ??? ,在点π1u v ????= ? ?????; 解:1010101T -???? ?'=- ? ?π?? ??? (4)2222232u x y v x x y w x y y ?=-?=-??=-? 在点()3,2-. 解:6 26 6362-?? ?- ? ?--?? 2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===,求,,w w w x y z ??????. 解:,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????, 3. 若r =()()21,,,,3n r r f r r n r ?????≥. 解: ()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r -'?=?=?=?=?=

4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点,,,1,1,1,1,1,1(000)()()O A B ---的梯度,并求梯度为零的点. 解:()()()() 54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明:略 6. 计算下列向量场A 的散度与旋度: (1)()222222,,y z z x x y =+++A ; 解:()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x y z x y z x y z =A ; 解:()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ?? = ???A . 解:111yz zx xy ++,2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ??--- ??? 7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解:略。 8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)(可应用算符?推导) 解:略。 9. 证明:场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场,并求其势函数. 解:略。 10. 若流体流速()222,,x y z =A ,求单位时间内穿过18球面,22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解:38 π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数),求环流量: (1)沿圆周221,0x y z +==; 解:2π (2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解:2π

高等数学下 复旦大学出版 习题九

194 习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向角为πππ ,,343 αβγ===的方向导数。 解: (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343 xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点(5,1,2)处沿从点A (5,1,2)到B (9,4,14)的方向导数。 解:{4,3,12},13.AB AB == AB 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313 αβγ= == (5,1,2) (5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) 2105 u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故 4312982105.13131313 u l ?=?+?+?=? 3. 求函数222 21x y z a b ?? =-+ ??? 在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。 解:设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ,它是第三象限的角,因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为 2.b y a a ' ==-

195 法线斜率为cos a b ?=. 于是tan sin ??== ∵ 2222,,z z x y x a y b ??=-=-?? ∴ 2222z l a b ??=- -= ?? 4.研究下列函数的极值: (1)z =x 3+y 3-3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x -x 2)(4y -y 2); (4)z =(x 2+y 2)2 2() e x y -+; (5)z =xy (a -x -y ),a ≠0. 解:(1)解方程组2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(0,2),(2,0),(2,2). z xx =6x -6, z xy =0, z yy =6y -6 在点(0,0)处,A =-6,B =0,C =-6,B 2-AC =-36<0,且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点(0,2)处,A =-6,B =0,C =6,B 2-AC =36>0,所以(0,2)点不是极值点. 在点(2,0)处,A =6,B =0,C =-6,B 2-AC =36>0,所以(2,0)点不是极值点. 在点(2,2)处,A =6,B =0,C =6,B 2-AC =-36<0,且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8. (2)解方程组22 2e (2241)0 2e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ??? . 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++=+= 在点1 ,12??- ??? 处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ?? =-- ??? . (3) 解方程组2 2 (62)(4)0 (6)(42)0x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为(3,2),(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =-2(4y -y 2), Z xy =4(3-x )(2-y )

复旦版数学分析答案全解ex14-4

习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分: (1)1-形式; dy x xydx 22+=ω(2)1-形式xdy ydx sin cos ?=ω; (3)2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解(1)0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 (2)dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 (3)=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2.设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式,求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3.设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式,求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω,由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx , 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地,设 133122),(dx dx x x a ∧=ω,212133),(dx dx x x a ∧=ω,则 032==ωωd d , 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数,,,试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω,使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意,可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′, 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设(∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=,n j i ,,2,1,"=)是n R 上的2-形式,证 明

高等数学(复旦大学版)第九章 多元函数微分学的应用

第九章 多元函数微分法的应用 在高数上册中,我们讨论的函数都只有一个自变量,这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中,我们往往要考虑多个变量之间的关系,反映到数学上,就是要考虑一个变量(因变量)与另外多个变量(自变量)的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上,进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象,这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释,便于理解,而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 第一节 空间曲线的切线与法平面 教学目的: 1、理解空间曲线的切线与法平面的概念; 2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点:空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点:空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容: 设曲线Γ的参数方程为 )(),(),(t z z t y y t x x === 其中[,]t a b ?,(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 .) ()()(00 0000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量. 过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量,因此法平面的方程为 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 如果曲线Γ的方程为 ? ??==0),,(0 ),,(z y x G z y x F 的情形; 曲线Γ在点0P 处的切线方程为 00 00 (,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---= =抖?抖?

数学分析复旦大学第四版大一期末考试

数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题(每空1分,共9分) 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-

复旦大学第三版数学分析答案

一﹑细心填一填,你一定能行(每空2分,共20分) 1.当 = 时,分式的值为零. 2.某种感冒病毒的直径为0.0000000031米,用科学记数法表示为. 3.请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数. 4.随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度,计算平均数和方差 的结果为:,,,,则小麦长势比较整齐的试验 田是(填“甲”或“乙”). 5.如图,□ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线,请添加一个条件使四边形AECF为菱形. 6.计算. 7.若点()、、都在反比例函数的图象上,则的大小关系是. 8.已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=60°,BD=2 ,AE为梯形的高,且BE=1, ?则AD=______. 9.如图,中,,,,分别以为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为(平方单位).10.如图,矩形ABCD的对角线BD过O点,BC∥x轴, 且A(2,-1),则经过C点的反比例函数的解析式为. 二﹑精心选一选,你一定很棒(每题3分,共30分) 11.下列运算中,正确的是 A. B. C. D. 12.下列说法中,不正确的是 A.为了解一种灯泡的使用寿命,宜采用普查的方法 B.众数在一组数据中若存在,可以不唯一 C.方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D.对于简单随机样本,可以用样本的方差去估计总体的方差 13.能判定四边形是平行四边形的条件是 A.一组对边平行,另一组对边相等 B.一组对边相等,一组邻角相等 C.一组对边平行,一组邻角相等 D.一组对边平行,一组对角相等 14.反比例函数在第一象限的图象如图所示,则k的值可能是 A.1 B.2 C.3 D.4

高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

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习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C 在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F 在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4); (3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4) 173

(4,-2,3),(-2,1,3). 解:(1 )s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 -++-=++-- z z (4)1(7)35(2) 解得14 z= 9 ). 即所求点为M(0,0,14 9 7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 174

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习题七 1、在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0)、 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、 2、xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢?答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0、 3、x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0、 4、求下列各对点之间的距离: (1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4); (3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3)、 解:(1)s= (2) s== (3) s== (4) s== 5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间的距离、 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、 故 s== x s== y s== 5 z s==、 6、在z轴上,求与两点A(-4,1,7)与B(3,5,-2)等距离的点、 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z= 即所求点为M(0,0,14 9 )、

7、 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形就是等腰直角三角形、 证明:因为|AB |=|AC |=7、且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2、 故△ABC 为等腰直角三角形、 8、 验证:()()++=++a b c a b c 、 证明:利用三角形法则得证、见图 7-1 图7-1 9、 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解: 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10、 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =u u u r c ,BC =u u u r a 表示向量1D A u u u u r ,2D A u u u u r ,3D A u u u u r 与4D A u u u u r 、 解:1115D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 2225D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 3335D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 444.5D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 11、 设向量OM u u u u r 的模就是4,它与投影轴的夹角就是60°,求这向量在该轴上的投影、 解:设M 的投影为M ',则 1Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?=u u u u r u u u u r 12、 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次就是4,-4与7,求这向量的起点A 的坐标、 解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----u u u r 解得x =-2, y =3, z =0 故A 的坐标为A (-2, 3, 0)、 13、 一向量的起点就是P 1(4,0,5),终点就是P 2(7,1,3),试求:

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