高二极坐标系

年级 高二 学科

数学

内容标题 极坐标系 编稿老师

胡居化

一、 教学目标：

1. 理解极坐标的定义，极径、极角等基本概念以及极坐标系与直角坐标系的区别.

2. 掌握极坐标与直角坐标的互化公式，能进行简单的极坐标与直角坐标的互化并掌握一些常见的曲线的极坐标方程.

3. 体会等价转化的数学思想、数形结合的数学思想、方程的数学思想的应用.

二、 知识要点分析：

1. 极坐标的有关概念

（1）极坐标的定义：在平面内取一定点O ，叫极点，过O 引一条射线Ox ，叫极轴.再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），由此建立了极坐标系.

（2）点的极坐标：在极坐标平面内，|OM|=θρ=∠MOx ,，则点M 的坐标是),(θρ

注：（i ）极坐标系与直角坐标系的最大区别是：建立直角坐标系以后，平面内任意一点P 与有序实数对（x ，y ）之间是一一对应的，而建立极坐标系以后，仅当π<θ≤>ρ20,0时，平面内的任意一点P （除极点外）与有序实数对（),θρ才是一一对应的.

（ii ）对称点的坐标

点M(),θρ关于极轴对称的点的坐标是),('

θρ-M 点M(),θρ关于极点对称的点的坐标是),(M '

θρ-

点M(),θρ关于过极点且与极轴垂直的直线（极垂线）对称的点是),('θρ--M （iii ）极坐标系内两点之间的距离公式，设),(P ),,(P 222111θρθρ 则)cos(2||12212

22121θθρρρρ--+=

P P

2. 极坐标与直角坐标互化

（1）互化的条件：极点与原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合、两坐标单位一致.

（2）互化公式：??

?

??≠=+=???==)

0(,tan sin cos 2

22x x y

y x y x θρθρθρ或 3. 常见曲线的极坐标方程

（1）经过极点且倾斜角是α的直线的极坐标方程是παθαθ+==或

（2）与极轴平行且距离为a 的直线的极坐标方程是)0(,sin >±=a a θρ

（3）与极轴垂直（含极轴所在的直线）与极点的距离为b （b>0）的直线的极坐标方程是b ±=θρcos

（4）圆心在极点、半径为r 的圆的极坐标方程是ρ＝r

（5）圆心在),(00θρ、半径为r 的圆的极坐标方程是0r )cos(222

0002=-+-ρθθρρρ－

【典型例题】

知识点一：极坐标的基本概念

例1. 在极坐标系中，下列各点与点M()3

2

,1π为同一点的是（ ） A . )3

,1(.D )34,1(.C )

3

,1(.B )

3,1(π

--π-

-π-π-

题意分析：考查极坐标的定义

思路分析：在一般情况下，点M(),θρ与点Z n ),)1n 2(,(),n 2,(∈π-+θρ-π+θρ都是同一点.

解题过程：由极坐标定义知：在极坐标平面内所有与M(),θρ点相同的点的坐标是（),)1(πθρn n +-，故M()3

2

,1π可以表示为（)3

2,1)1(ππn n

+?-，当n=－1时，M(－1，

)3

π

-

.本题正确答案是（D ） 解题后的思考：解决这类问题关键是掌握：在极坐标平面内所有与M(),θρ点相同的点的坐标是（),)

1(πθρn n

+-.易错点：对极坐标的定义的理解有误.

例2. 在极坐标系中：求射线0=θ，3

π

=

θ和圆4=ρ围成的图形面积. 题意分析：考查极坐标系的概念及极坐标方程的知识.

思路分析：两条射线将圆分割成两个扇形，根据扇形面积公式求解. 解题过程：由4=ρ知圆的圆心在原点，半径是4，射线3

,0π

θθ==把圆分成两个扇形，

两个扇形的圆心角分别是

3

5,3π

π（如图），由扇形面积公式所求的区域面积是：

ππ38342121=??=

S ，ππ3

40

3542122=??=S

解题后的思考：解此类问题应先根据题意画出图形，再根据图形的形状求面积.本例体现了数形结合的数学思想的应用.易错点：认为只有一个扇形.

例3. 在极坐标系中，已知：A()3,3π，)6

7,4(π

-B ，求： (1)|AB|；

(2)AOB S ?（O 为极点）

题意分析：本题考查极坐标系中两点间距离公式的应用.

思路分析：求AOB S ?时可利用AOB S ?＝

AOB OB OA ∠sin ||||21

来求解. 解题过程：（1）B 点坐标转化为)6,4(πB ，∠AOB=6

63π

=π-π，

故|AB|31225cos 22

22-=∠-+=AOB B A B A ρρρρ，

31225||-=∴AB .

（2）AOB S ?=

3)6

3sin(4321sin 21=-??=∠π

πρρAOB B A . 解题后的思考：本题在解题过程中，要把B 点坐标转化为)6

,4(π

B ，以便于求AOB ∠，体

现了转化的数学思想的应用.易错点：求AOB ∠时出现错误.

小结：本知识点主要考查极坐标的基本概念，要体会、理解这一概念.对极坐标平面内两点间的距离公式要掌握好.

知识点二：极坐标与直角坐标的互化

例4. 极坐标方程1cos 22cos 2

=θρ-θρ表示的曲线是（ ） A . 圆

B . 椭圆

C . 抛物线

D . 双曲线

题意分析：本题考查把极坐标化为直角坐标的方法 思路分析：首先把曲线方程

,1co s 22co s 2=-θρθρ利用θθθ22

sin co s

2co s -=及??

?

??≠=+=???==)

0(,tan sin cos 2

22x x y

y x y x θρθρθρ或把极坐标转化为直角坐标.

解题过程：把θθθ2

2sin cos 2cos -=代入极坐标方程

得,1cos 2sin cos 2222=--θρθρθρ由θρθρsin ,cos ==y x 得01x 2y x 22=---，即2y )1x (22=--，所以曲线为双曲线 故选D

解题后的思考：:对极坐标与直角坐标互化的问题，首先要对已知的极坐标方程进行变形（即

转化），为使用公式??

?

??≠=+=???==)

0(,tan sin cos 2

22x x y x y x θρθρθρ或创造条件.

例5. 把下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程 (1)0sin cos =-+p y x αα (2)1)2

1

()23(22=-++

y x 题意分析：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法.

思路分析：将公式?

??==θρθ

ρsin cos y x 代入直角坐标方程中.

解题过程：(1)把??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x 代入0sin cos =-+p y x αα得

极坐标方程是p =-)cos(αθρ (2)把??

?==θ

ρθρsin cos y x 代入1)21

()23(22=-++y x 得：

1)2

1

sin ()23cos (22=-++

θρθρ，化简得极坐标方程是:θθρcos 3sin -= 解题后的思考：:对直角坐标化为极坐标的问题，将公式?

??==θρθ

ρsin cos y x 代入直角坐标方程中，

然后化简.

例6. 已知椭圆)0b a (1b y a x 22

22>>=+上有A ，B 两点，若满足OB OA ⊥(O 为坐标

原点)，求证：2

2OB

1

OA 1+为定值. 题意分析：本题考查利用极坐标知识解决圆锥曲线问题.

思路分析：首先建立极坐标系(极点在原点，极轴为x 轴的正半轴)，再把椭圆的直角坐标方程转化为极坐标方程.设A(),θρA ，则B()2

,π

θρ+B ，再将其代入椭圆的极坐标方程中.

则|OA|=,A ρ|OB|=B ρ.

解题过程：以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立极坐标系.

把??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x 代入椭圆方程得：

θ

θρ2

2222

22

cos sin b a b a +=，设A(),θρA ，则B()2,πθρ+B

2222222B 2222

2

2

2

2A 2b

a )

2(cos b )2(sin a 1|OB |1,b a cos b sin a 1|OA |1π

+θ+π+θ=ρ=θ+θ=ρ=∴ )sin b cos a cos b sin a (b a 1|OB |1|OA |1222222222222θ+θ+θ+θ=+∴=2

22

2b a b a +为定值. 解题后的思考：:对于与圆锥曲线有关的证明问题，利用极坐标解决较为简洁，但要注意的是，首先要建立恰当的极坐标系.

小结：在这个知识点中，主要是极坐标与直角坐标互化的问题，主要利用极直互化公式

??

?

??≠=+=???==)

0(,tan sin cos 222x x y

y x y x θρθρθρ或解决.为恰当地使用此公式，必要时需对直角坐标方程或极坐标方程进行变形.

［本讲涉及的数学思想方法］

本讲主要讲述极坐标的基本概念及极坐标与直角坐标的互化等有关知识，在利用这些知识解决问题的过程中体现等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用.

【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分60分）

一、选择题（每题5分，计30分）

1. 点()

3,1-P 的极坐标是（ ） A . ???

?

?

3,

2π B . ??

?

??34,2π C . ??

?

?

?

-

3,2π D . ??

? ?

?-

34,2π 2. 极坐标方程??

?

??-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A . 双曲线 B . 椭圆 C . 抛物线 D . 圆

3. )0(4

≤=

ρπ

θ表示的图形是（ ）

A . 一条射线

B . 一条直线

C . 一条线段

D . 圆

4. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为（ ） A . 4)2(2

2

=++y x B . 4)2(2

2

=-+y x C . 4)2(2

2

=+-y x

D . 4)2(2

2

=++y x

5. 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ??

?

??

??? ?

?--ππ则ABO ?为（ ） A . 正三角形

B . 直角三角形

C . 等腰锐角三角形

D . 等腰直角三角形

6. 设点P 对应的复数为－3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则

点P 的极坐标为（ ）

A . (23，π4

3

) B . (23-，π45

) C . (3，π4

5

)

D . (－3，π4

3

)

二、填空题（每题5分 计30分）

7. 极点到直线()ρθθcos sin +=3的距离是________ _____. 8. 极坐标方程ρθθsin cos 220-?=表示的曲线是_______ _____. 9. 在极坐标系中，点P 16sin 6112=??? ?

?-??? ??πθρπ到直线，的距离等于__________. 10. 圆心为??

?

??6,

3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为__________. 11. 极坐标方程52

sin 42=θρ化为直角坐标方程是__________. 12. 在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B

两点，则|AB|= .

【试题答案】

一、选择题

1. （C ）（解析：由公式x

y

tan ,y x 222=

+=θρ（0x ≠），得：,2)3(122=-+=ρ3t a n -=θ且点P 在第四象限.故选C .）

2. （D ）(解析：展开化简及利用极值互化公式)

3. （A ）(解析：注意)0≤ρ

4. （B ）(解析：由θρsin 4=两边同乘以ρ得θρ=ρsin 42，故：y 4y x 22=+)

5. （D ）(解析：利用极坐标平面内两点间的距离公式计算|OA|，|OB|，|AB|)

6. （A ）（解析：由复数的几何意义知：P(－3，3)，,23=∴ρ由P 点在第二象限知：

)4

3πθ=

二、填空题

7.

,2

6

（解析：把()ρθθcos sin +=3化成直角坐标方程得：3=+y x ，所求的距离是原点O(0，0)到直线3=

+y x 的距离，由点到直线的距离公式可求得答案）

8. ,x 2y 2

=（解析：由

ρθθsin cos 220-?=?0cos 2)sin (2=-θρθρx y 22=?）

9.

,13+

（解析：P 点1x 21y 2316sin ),1,3(P =-=??? ?

?

π-θρ-化为：直线的直角坐标是

，

由点到直线的距离公式可求得答案）

10. )6

cos(6π

θρ-

=

11. 252042

+=x y 解析：由5)cos 1(252

cos 1452

sin

42

=-?=-?

?=θρθ

ρθ

ρ x y x y x 20254252222+=?+=+?

12. 32

解析：由θρcos 4=得：4)2(42

222=+-?=+y x x y x ，过点（3，0）且与极轴

垂直的直线的方程是x=3，32||)3,3(),3,3(43

2

2=?-????=+=∴AB B A x

y x x .

人教新课标版数学高二A版选修4-4课后训练 1.2极坐标系

课后训练 1．下列各点中与极坐标π57?? ?? ? ，表示同一个点的是( )． A ．6π57?? ??? ， B ．15π57?? ???， C ．6π57??- ???， D ．π57??- ?? ?， 2．在极坐标系内，点π32?? ??? ，关于直线π6θ＝(ρ∈R )的对称点的坐标为( )． A ．(3,0) B ．π32?? ??? ， C ．2π33??- ???， D ．11π36?? ??? ， 3．已知点M 的极坐标为π53??- ???，，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是( )． A ．π53??- ???， B ．4π53?? ??? ， C ．2π53??- ???， D ．5π53??-- ?? ?， 4．已知A ，B 的极坐标分别是π33?? ???，和? ???3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )． A ．2 B ．2 C D 5．写出与直角坐标系中的点(－表示同一个点的所有点的极坐标__________． 6．直线l 过点π33A ?? ???，，π36B ?? ??? ，，则直线l 与极轴的夹角等于________． 7．已知A ，B 的极坐标分别为2π83?? ???，，π63?? ??? ，，求线段AB 的中点的极坐标． 8．在极轴上求与点π4A ?? ???，的距离为5的点M 的坐标． 9．(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标： ①π4???；②π6,3??- ??? ；③(5，π)． (2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)： ①；②(－1，－1)；③(－3,0)． 10．△ABC 的顶点的极坐标为4π43A ?? ???，，5π6 6B ?? ???，7π86C ?? ??? ，.

苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系

极坐标系练习 1．点M的极坐标为 2 5,π 3 ?? ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 2．点A的极坐标为 π 2, 3 ?? -- ? ?? ，化成直角坐标形式是__________． 3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________． 4．已知两点的极坐标 π 3, 2 A ?? ? ?? ， π 3, 6 B ?? ? ?? ，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为 ________． 5．直线l过点 π 7, 3 A ?? ? ?? ， π 7, 6 B ?? ? ?? ，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________． 6．在极坐标系中，若 π 3, 3 A ?? ? ?? ， 7π 4, 6 B ?? ? ?? ，则△ABO的面积为__________． 7．点 π 5, 3 A ?? ? ?? 在条件： (1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________． 8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐 标为 π 4, 6 ?? ? ?? ，求点M在直角坐标系中的坐标． 9．在极坐标系中，(1)求 7π 5, 36 A ?? ? ?? ， 43π 12, 36 B ?? ? ?? 两点间的距离； (2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标． (1)π 4 ? ? ? ；(2) π 6, 3 ?? - ? ?? ；(3)(5，π)．

高中数学1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构顺序结构、条件结构知识点分析 新人教A版必修3

〔文字资料〕 1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构文字资料 —————顺序结构、条件结构 算法是高中数学课程中的新内容，其思想是非常重要的，但并不神秘.算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系，形象化地表示算法，为了有条理、清楚地表示算法，往往需要将解决问题的过程用一些通用图形符号构成一张来表示算法的图，这就是程序框图.程序框图是表示算法的方法之一. 用框图表达算法的优点是直观、形象、容易理解，因此正确理解算法的概念、框图符号及其作用，掌握画框图的基本规则是学好算法的根本. 一、学好框图需注意以下几个要点： 要点一、掌握常用框图符号的画法及意义 起、止框表示框图的开始与结束；输入、输出框表示数据的输入或者结果的输出；处理框表示赋值、执行计算语句、结果的传送；判断框表示根据条件判断；循环框表示程序做重复运算；连接点表示连接另一页或另一部分的框图. 要点二、熟练掌握画框图的规则 使用标准的框图的符号. 框图一般按从上到下、从左到右的方向画. 除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框是具有超过一个退出点的惟一符号. 一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，有且只有两个结果；

另一种是多分支判断，有几种不同的结果. 在图形符号内描述的语言要非常简练清楚. 要点三、熟悉框图的三种结构 顺序结构：顺序结构是一种最简单、最基本的结构，它描述的是可以按照步骤依次执行的一个算法.这个结构的各步只能按顺序执行. 条件分支结构：根据指定的条件进行判断，由判断的结果选取执行不同的分支路径中的一条.框图设计用选择结构，它包含一个判断框，当条件P成立时，执行A，否则执行B. 循环结构：循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构，即从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步骤，反复执行处理的步骤称为循环体. 算法的三种结构的共同特点： 只有一个入口；1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构文字资料（1）只有一个出口；（请注意：一个判断框有两个出口，而一个条件结构只有一个出口，不要将判断框的出口和条件结构的出口混为一谈.）结构内每一部分都有机会被执行到，也就是说每一个框都应该有从入口到出口的路径通过它； 结构内的循环都不是死循环，即都不是无终止的循环. 框图的问题主要出现在三种结构中，因此掌握三种结构的特点是画好框图的根本，这也是检查一个框图或算法是否正确、合理的基本方法. 二、算法的三种逻辑结构： 1、顺序结构：顺序结构由若干个依次执行的处理步骤组成。这是任

高二程序框图练习测试题及参考答案

程序框图练习题及答案 一、选择题 1．执行右边的程序框图，若输入的x的值为–2，则输出y的值是（） A．5B．3-C．3D．5- 2．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 3．根据右边框图，对大于2的整数N，得出数列的通项公式是（） ）7．执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（）

否

A．5 B．7 C．9 D．11 8．执行如图所示的程序框图,输出的M值是（）

A ．2 B ．1- C ． 1 2 D ．2- 9．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） （A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）11 12 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．23 C ．1321 D ．610 987 11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______． 12．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ． 51113 A ．014A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 15的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ A. B. C. D. 16A.A+B 为a 1 B. 为a 1,a 2,……,a n 的算术平均数 C.A 和B 分别是a 1,a 2,……,a n 中最大的数和最小的数 D.A 和B 分别是a 1,a 2,……,a n 中最小的数和最大的数 17．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于(?? ) A. B. C.

D. 18．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据： 12345652,70,68,55,85,90x x x x x x ======，执行如图所示的程序框图，那么输出的S 是() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 19．已知数列{}n a 的各项均为正数,执行程序框图(如右图)，当4k =时,3 1 = S ，则2014a =( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 20．右图是计算11111 246810 ++++值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条 件是 A ．5k > C ．5k ≥21．21A. 78C. 31322223A ．2425A ．26A ．B ．C ．D ．27A ．28．执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ ） （A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4- 29．在数列{}n a 中，111,,2n n a a a n n -==+≥.为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是 ( ) A. 8i ≥ B. 9i ≥ C. 10i ≥ D. 11i ≥ 30．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．2- B ．1 2 C ．1- D ．2 31．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是( ) A ．2 B ．6 C ．24 D ．120

高中数学极坐标系

【作业表单：单元学习目标与活动设计及检验提示单】

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM= 。 M （，）也可以表示为 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A（4，0）B（2 ）C（） D（）E（）F（） G（） ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ③不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A（3，0）B（6，2 ）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中， （1）已知两点P（5，），Q ，求线段PQ的长度； （2）已知M的极坐标为（，）且，，说明满足上述条件的点M 的位置。 变式训练 1、若的的三个顶点为 2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点） 例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1）P是点Q关于极点O的对称点； （2）P是点Q关于直线的对称点； （3）P是点Q关于极轴的对称点。 变式训练 1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是( ) 2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。 三、巩固与练习 四、小结：本节课学习了以下内容： 1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位 3．极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业：教材P14-15页5，8，9，10，11

北师版数学高二数学选修4—4极坐标系2教案

课题：极坐标系 教学目的： 知识目标：理解极坐标的概念 能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别. 德育目标： 教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置惟 一确 定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的 坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下 用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基 础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。 （其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M ，用 ρ 表示线段OM 的长度，用 θ 表示从OX 到OM 的角度，ρ 叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是 [0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一 对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任 意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线 上，且OM= ρ。 M （ρ，θ）也可以表示 为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页） A （4，0） B （2 ） C （ ） D （ ） E （ ） F （ ）

高二数学必修三极坐标系知识点

高二数学必修三极坐标系知识点 极坐标系的定义： 在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长 度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样，平面上任 一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对ρ，θ就称为P点的极坐标，记为Pρ，θ;ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。 点的极坐标： 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对ρ，θ叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素： 极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向.极坐标系的四要素，缺一不可. 极坐标系的特别注意： ①关于θ和ρ的正负：极角θ的始边是极轴，取逆时针方向为正，顺时针方向为负，θ的值一般以弧度为单位。 极坐标和直角坐标的互化: 1互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. 2互化公式 特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取 所在的象限取最小正角; ②当 ③直角坐标方程及极坐标方程互化时，要切实注意互化前后方程的等价性. ④若极点与坐标原点不是同一个点.如图，设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐 标为x，y，在以 为原点也是极点的时候的直角坐标为x′,y′，极坐标为ρ,θ，则有 第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标.

数轴直线坐标系: 在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 平面直角坐标系： 在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。 如图： 平面上的伸缩变换： 设点Px,y是平面直角坐标系中任意一点，在变换 对应到 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 建立坐标系必须满足的条件: 任意一点都有确定的坐标与它对应;反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置. 坐标系的作用： ①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物; ②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹或范围; ③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。 曲线的极坐标方程的定义： 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程fρ，θ=0，并且坐标适合方程fρ，θ=0的点都在曲线上，那么方程fρ，θ=0叫做曲线C的极坐标方程。 求曲线的极坐标方程的常用方法： 直译法、待定系数法、相关点法等。 圆心为α，βa>0，半径为a的圆的极坐标方程为 此圆过极点O。

极坐标系的的概念

极坐标系的的概念 教学目的： 知识与技能：理解极坐标的概念 过程与方法：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点：理解极坐标的意义 教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习引入： 情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将 它们引爆？ 情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 （1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位 置惟一确 定吗？ （2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描 述？ 问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础． 二、讲解新课： 从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立： 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中O称为极点，射线OX称为极轴。） 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度， 用θ表示从OX到OM 的角度，ρ叫做点M的极径，θ 叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M的极坐标。 特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范 围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建 立一一对应的关系.们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角 当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。

高中数学极坐标及参数方程大题详解

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值． 考点：参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l 的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值． 解答： 解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．

当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 点评：本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可； （2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：， ∴ρ（sinθ﹣cosθ）=， ∴， ∴x﹣y+1=0． （2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）． 得 （x﹣2）2+y2=4， 它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆， 圆心到直线的距离为： d=， ∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．