离散混沌系统的参量自适应同步

Ξ离散混沌系统的参量自适应同步

刘　鹏1,2,　常　虹2,　刘　德2,　陈彦军2,　史　严3,　杨世平2

(1.邢台学院物理系,河北邢台　054001;2.河北师范大学物理学院,河北石家庄　050016;

3.石家庄铁道学院数理系,河北石家庄　050043)

摘要:利用参量自适应方法研究了离散混沌系统Logistic 映像与H énon 映像的同步.给出了Logistic 映

像、H énon 映像在该方法下实现同步的充分条件,其结果与数值模拟结果相一致.

关键词:参量自适应法;离散混沌系统;混沌同步;李雅普诺夫指数

中图分类号:O 545 文献标识码:A 文章编号:100025854(2005)0120047205

自Pecora 和Carroll [1]首次提出混沌同步以来,人们相继提出了多种混沌同步方案.其中包括主动被动拆分法(简称APD 法)、连续变量反馈微扰同步法、基于相互耦合的同步法、脉冲法、神经网络同步法、观测器同步法等多种同步法[2～8].绝大多数方案是采用变量之间相互耦合的形式实现的,相比之下,通过调整系统参数来达到同步的情况则研究较少.以混沌系统内部变量的输出作为控制信号,在一定条件下驱动系统参量,并结合对响应系统的变量控制,实现混沌系统的同步.此法又被称为参量自适应法.文献[9]通过逐步调整参量的途径,使2系统参量达到一个预定值,最后实现对系统的同步控制,从根本上讲其目的仍是寻求匹配的参量.文献[10]介绍了参量不相同情况下用该法实现同步的过程,但未进行数值模拟,且讨论模型过于单一.本文中,笔者从离散的一维Logistic 映像、二维H énon 映像入手,在参量不匹配的情况下研究该法实现同步的可能性,并给出数值模拟的结果.同时通过数学推导给出了Logistic 映像、H énon 映像在该法下实现同步的充分条件,并且该条件与数值模拟的结果相一致.1　参量自适应下Logistic 映像的同步

Logistic 映像是一维离散系统具有混沌输出的经典模型,其形式为

x n +1=μx n (1-x n ).

(1)已知该映像由周期、倍周期态过渡到混沌态的极限值μ=3.57,即当μ<3.57时,系统处于周期区、倍周期区,当μ>3.57时,系统由倍周期分岔过渡到混沌.

设2个需要同步的Logistic 映像为

x n +1=μc x n (1-x n ),y n +1=μ0y n (1-y n ).(2)

其中μc ≠μ0(μc ,μ0>3.57).对任意给定的初始条件,上述2系统的混沌轨道显然无关.若取e =|y n -x n |,则lim n →∞

e =0是最终要实现的目标,即实现系统(2)的同步.为实现这一目标,采用如下方案:

x n +1=μc x n (1-x n );

(4) y n +1=μn y n (1-x n );

(5) μn +1=μn +kg (y n +1,x n +1).(6)其中:系统(4)称为驱动系统;系统(5)称为响应系统.(5)以(4)的输出作为输入进行变量控制,g (y n +1,x n +1)为控制函数,这里取g (y n +1,x n +1)=y n +1-x n +1,k 为控制刚度.

Ξ收稿日期:20040914

基金项目:河北省自然科学基金资助项目(102137);邢台学院科学研究基金资助项目作者简介:刘　鹏(1975),男,河北省邢台市人,邢台学院讲师,硕士,研究方向为非线性物理.

第29卷第1期

2005年　1月河北师范大学学报(自然科学版)Journal of Hebei Normal University (Natural Science Edition )Vol.29No.1Jan.2005

1.1　响应系统的参量自适应控制对任意的x 0,μ0(μ0为μn 的初值)有

lim n →∞|y n -x n |lim n →∞e =0.(7)

Logistic 映像混沌态下x n 的取值范围为0

0

14

,即0<μc <4,(8)若同时考虑μc >3.57的条件,则有μc ∈(3.57,4),同理有μ0∈(3.57,4).记Δμn =μn -μc ,e n =y n -x n ,则

e n +1=Δ

μn x n (1-x n ).(9)

将(9)代入(6)得到

μn +1=μn +k Δμn x n (1-x n ).两端同减去μc ,可得到

Δμn +1=Δμn +k Δμn x n (1-x n )=[1+kx n (1-x n )]Δμn ,经变换得

Δμn +1=Δμ0∏n i =0[1-kx i (1-x i )].

(10)

当-8

n →∞∏n i =0[1+kx i (1-x i )]=0,即lim n →∞

Δμn =0.由(9)知lim n →∞e n =0,即当k ∈(-8,0)时,系统是同步的.在同步的数值模拟计算中,取μc =3.7,μ0=3.9,k =-5,初值x 0=0.1.图1a 为在该条件下的e -n 图(取e =|y n -x n |),可见同步是相当迅速的.图1b 给出了同步态下系统的首归映像,从图1中可以看出同步时系统的输出仍是混沌的.这里需要指出的是,经过推导所得出的同步条件是充分条件,而不是必要条件.如改换k =-10,其他条件不变,系统仍能实现同步(见图1c )

.

图1　Logistic 映像在单参量自适应下的同步1.2　驱动系统的参量自适应控制

x n +1=μn x n (1-x n ),

y n +1=μ′n x n (1-x n ).(11)

取μ0=3.7,μ′0=3.9,k 1=-1,k ′1=-5,初值x 0=0.1进

行计算.图2a 为在该条件下e -n 关系曲线,可知在双参量

自适应控制下系统依然可以实现同步,且由图2b 同步态下

的首归映像可看出,系统达到同步后输出是混沌的.由以上

推导及验证过程可知,参量自适应法在选择控制参量上具有

较大的灵活性.

8

4河北师范大学学报(自然科学版)第29卷

图2　Logistic 映像在双参量自适应下的同步2　参量自适应下H énon 映像的同步

H énon 映像是二维离散混沌系统的经典例子,其系统为

x (n +1)=a -x (n )2

+by (n ),

y (n +1)=x (n ).

(12)下面考察2H énon 系统的同步,具体方案为

x n +1=1+y n -a c x 2n ,y n +1=by n ;

x ′n +1=1+y n -a n x 2n ,y ′n +1=by n .

(13)

参量a 为被驱动参量,且满足关系

a n +1=a n +k (x ′n +1-x n +1),

(14)其中k 为控制刚度.令e n =

(x ′n -x n )2+(y ′n -y n )2,取Δa n =a n -a c ,则 e n +1=-Δa n x 2n ,

(15)

由(14)得a n +1=a n +ke n +1=a n -k Δa n x 2n ,方程两边减去a c ,有

Δa n +1=Δa n -k Δa n x 2n =Δa n (1-kx 2n ),则

Δa n +1=Δa 0∏n i =0(1-kx 2i ).(16)

若使lim n →∞e n =0,则由(15)知,必有lim n →∞

Δa n =0.又由(16)知,必有|1-kx 2i |<1,即0

i <1.69.所以,当0

e n =0,系统达到同步.取a c =1.4,b =0.3,a 0=1.41,(a 0为a n 初值),k =0.7,初值取(0.1,0.2),(0.3,0.4).

图3a 为在该条件下的e -n 关系曲线,这里取e =(x ′n -x n )2+(y ′n -y n )2,可见随着时间演

化,系统很快实现了同步,这一点与上述结论也是一致的.图3b 为同步下系统在相空间的图形,由图形可看出此时系统的输出是混沌的.

同样,这里得出的k 值范围也是充分条件,而非必要条件.例如取k =2,而其他条件保持不变,此时系统仍能实现同步(见图3c ).

9

4第1期刘鹏等:离散混沌系统的参量自适应同步

　图3　Ηénon 系统在参量自适应下的同步

3　结　论

综上分析可见,参量自适应法是一种较优异的同

步方法.利用该法实现混沌同步的选择范围很大,可

以选择控制系统中的某一个参量,也可以选择控制系

统中的某几个参量,同时控制函数的选择面也是较宽

的.另外,由于在实际系统中,系统参量总存在一定的

摄动或外界干扰的影响,最终导致在实际同步过程中

很难实现精确匹配的参量关系,而又因为参量的微小

变化会导致系统行为的巨大改变,所以如何对存在参

量摄动或外界干扰下的混沌系统进行有效的同步控

制,对混沌同步的应用至关重要.笔者讨论的参量自

适应法是在参量不匹配的情况下实现同步的,其潜在的实用价值很大.当然,参量自适应法也有其难点,例如选择何种形式的控制函数就是一个比较复杂的问题,笔者选取的控制函数较为简单,而对某些混沌系统,必须选择相对复杂的控制函数才能实现有效同步,而如何构造这类函数是比较棘手的.建立较理想而且可以实现的参量自适应控制函数的方法,需要进一步的分析研究.

参考文献:

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[2]　KOCAREV L ,PARL ITZ U.G eneral spproach ofr chaotic synchronization with applications to communication [J ].Phys

Rev Lett ,1995,74:502825031.

[3]　PYRA G AS K.Predictable chaos in slightly perturbed unpredictable chaotic systems [J ].Phys Lett (A ),1993,181:2032

210.

[4]　JOHN J K ,AMRIT K AR R E.Synchronization of unstable orbits using adaptive control [J ].Phys Rev (E ),1984,49:

484324848.

[5]　LAI Y C ,GREBO GI C.Synchronization of chaotic trajectories using control [J ].Phys Rev (E ),1993,47:235722360.

[6]　MARITAN A ,BANAVAR J R.Chaos ,noise and synchronization [J ].Phys Rev Lett ,1994,72:145121454.

[7]　关新平,范正平,彭海朋,等.扰动情况下基于RBF 网络的混沌系统同步[J ].物理学报,2001,50:167021674.

[8]　L IU F.Synchronization for a class of chaotic systems based upon observer theory [J ].Chin Phys ,2001,10:6062610.

[9]　VASSIL IADIS D.Parametric adaptive control and parameter identification of low 2dimensional chaotic systems [J ].Physi 2

ca D ,1994,71:3192341.

[10]　贺明峰,穆云明.基于参数自适应控制的混沌同步[J ].物理学报,2000,49:8302832.

05河北师范大学学报(自然科学版)第29卷

Synchronization of Discrete Chaotic Systems B ased on

Parametric Adaptive Control Algorithm

L IU Peng 1,2,　CHAN G Hong 2,　L IU De 2,　CHEN Yan 2jun 2,　SHI Yan 3,　YAN G Shi 2ping 2

(1.Department of Physics ,Xingtai College ,Hebei Xingtai 054001,China ;

2.College of Physics ,Hebei Normal University ,Hebei Shijiazhuang 050016,China ;

3.Department of Mathematics and Physics ,Shijiazhuang Railway Institute ,Hebei Shijiazhuang 050043,China )

Abstract :The discrete chaotic systems Logistic map and H énon map are synchronized completely via using parametric adaptive control algorithm.After a rigorous mathematical deriving ,a sufficient condition of this method can be drawn for the synchronization of Logistic map and H énon map ,and it accords with the numerical simulation results.

K ey w ords :parametric adaptive control algorithm ;discrete chaotic system ;chaos synchronization ;

Lyapunov characteristic exponent

(责任编辑　刘新喜)(上接第40页)

Controlled Q uantum T eleportation and

Communication via EPR Pairs

ZHAN G Ping 1,　YAN Feng 2li 2

(1.Department of Basic Medicine ,Chengde Medical College ,Hebei Chengde 067000,China ;

2.College of Physics ,Hebei Normal University ,Hebei Shijiazhuang 050016,China )

Abstract :A theoretical scheme for controlled teleportation via EPR pairs is proposed ,in which the third side is included so that the quantum teleportation can be controlled by it.Then a controlled quantum secure direct communication scheme is presented based on the teleportation.

K ey w ords :controlled quantum teleportation ;EPR pairs ;quantum secure direct communication

(责任编辑　刘新喜)

(上接第42页)

参考文献:

[1]　SHI Bao 2sen ,L I Jian ,L IU Jin 2ming ,et al.Quantum key distribution and quantum authentication based on entangled state

[J ].Physics Letter (A ),2001,281:83287.

[2]　ZHAN G Y ong 2sheng ,L I Chuan 2feng ,GUO Guang 2can.Quantum key distribution via quantum encryption [J ].Physical

Review (A ),2001,64:024302.

[3]　WAN G Xiang 2bin.Quantum key distribution with 22bit quantum code [OL ].http ://https://www.wendangku.net/doc/e88160515.html,.2003212212.

[4]　L I Chong ,SON G He 2shan ,ZHOU Ling ,et al.Certain quantum key distribution achieved by using Bell states [OL ].

http ://https://www.wendangku.net/doc/e88160515.html,.2003212212.

Q uantum K ey Distribution B ased on the N et work

WAN G Lei ,　YAN Feng 2li

(College of Physics ,Hebei Normal University ,Hebei Shijiazhuang 050016,China )

Abstract :A quantum key distribution network scheme using EPR pairs is presented.Alice and Bob do not use the classical communication in the process of the key distribution.At the same time ,this scheme can detect the Eve effectively.

K ey w ords :quantum cryptography ;entanglement ;Bell state ;entanglement swapping

(责任编辑　刘新喜)

1

5第1期刘鹏等:离散混沌系统的参量自适应同步

Logistic映射是一维离散混沌系统

1基于混沌的序列密码加密方法 1.1混沌系统的特点 混沌现象是在非线性动力学系统中出现的确定性的、类随机的过程，这种过程非周期、不收敛但有界，并且对初始状态具有极其敏感的依赖性，即初始状态只有微小差别的两个同构混沌系统在较短的时间后就会产生两组完全不同的、互不相关的混沌序列值。混沌信号具有天然的随机性，特别是经过一定处理后的混沌信号具有非常大的周期和优良的随机性，完全可以用来产生符合安全性要求的序列密码。更重要的是，通过混沌系统对初始状态和参数的敏感依赖性，可以提供数量众多的密钥。根据混沌系统的上述特点，可以用其产生序列密码。经过合理设计的混沌序列密码加密算法不会随着对符合要求的密钥流数量的提高而复杂化。 1.2 基于Logistic映射的混沌序列密码加密算法 Logistic映射是一维离散混沌系统，运算速度快，方程反复迭代可以产生较好的混沌序列。产生的混沌序列对初始状态和系统参数极其敏感。Logistic映射的定义为： X(n) = F[x(n-1)] = u*x(n-1)*(1-x(n-1)) 其中，控制参数u介于（0，4），x（n）在（0，1）之间，Logistic映射的大量研究已经表明，当u达到极限值，即u=3.5699456时，系统的稳态解周期为∞。当3.5699456

1.3 混沌序列产生 定义XML字符串长度记为|X|，系统交互次数为N。S为|X|及N变为小数后得乘积。例如|X|=352，N=8，则S=0.352*0.8 u=3.569946+S/2 (保证u<4); X0=S 多次迭代F[x(n-1)]式,就得到一个序列值X i(i=0,1,2,3,4…n)，取X i小数点后第j到j+k 位，就可以得到一个n*(k+1)位的加密密钥。

典型的混沌系统

典型的混沌系统 (1) 1.1 一维混沌系统 (1) §1.1.1 Logistic 映射 (1) §1.1.2 Chebyshev 映射 (2) §1.1.3 Logistic 映射与Chebyshev 映射 (3) §1.1.4 概率密度函数PDF 的作用 (3) 1.2二维混沌系统(≠超混沌系统) (3) §1.2.1 Henon 映射 (4) 典型的混沌系统 混沌现象是在非线性动力系统中表现的确定性、类随机的过程，这种过程既非周期又不收敛，并且对于初始值具有敏感的依赖性。 按照动力学系统的性质，混沌可以分成四种类型： ? 时间混沌； ? 空间混沌； ? 时空混沌； ? 功能混沌； 1.1 一维混沌系统 一个一维离散时间非线性动力学系统定义如下： )(1k k x x τ=+ 其中，x k ∈V ， k=0,1,2,3…，我们称之为状态。 而τ: V →V 是一个映射，将当前状态xk 映射到下一个状态xk+1。如果我们从一个初始值x0 开始，反复应用 τ ， 就得到一个序列{ xk ; k=0,1,2,3…..}。这一序列称为该离散时间动力系统的一条轨迹。 原始的虫口模型方程是（37文）： k k ax x =+1 体现了两代虫子的数量关系。 将此方程推导一下，可以得到如下方程： 0x a x k k = 可以得到第n 代虫子和第0代虫子的数量关系。 但是，从中不能表现自然的虫子变换关系，因为虫子的增长变化不是恒定的（考虑到很多负面影响，如虫子太多时，由于食物有限和生存空间有限，还由于疾病等多种原因，使得虫口数量减少），所以这个线性模型完全不能反映虫口的变化规律。 §1.1.1 Logistic 映射 一类非常简单却被广泛研究的动力系统是logistic 映射，它起源于虫口模型。其定义有

混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真

混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真 文章来源：伟智论文服务中心 [打印] 【摘要】混沌作为一种复杂的非线性运动行为,在物理学、化学、信息技术以及工程学等领域得到了广泛的研究。由于混沌对初值的极端敏感性、内在的随机性、连续宽谱等特点,使其特别适用于保密通信、信号处理、图象加密等领域,因此,混沌同步成为混沌应用的关键技术。在参阅大量文献的基础上,本文利用理论证明,数值模拟以及电路仿真相结合的方法,对混沌系统同步、分数阶超混沌系统同步、以及非自治超混沌系统进行了研究。本文的主要研究内容如下:1.基于Lyapunov稳定性理论,利用自适应控制方法,以不确定单模激光Lorenz系统作为驱动系统,将不确定单涡旋混沌系统作为响应系统,设计了非线性反馈控制器及参数识别器,使响应系统的所有状态变量严格地按函数比例跟踪驱动系统的混沌轨迹,并辨识出包括非线性项在内的驱动系统和响应系统的不确定参数,利用四阶龙格库塔仿真模拟,结果表明了该方法的有效性。2.应用驱动-响应方法、反馈线性化方法以及基于Lyapunov方程的Backstepping 控制方法,研究了分数阶超混沌L(u|¨)系统同步问题。其次,针对上述分数阶混沌系统同步方法中存在的不足,基于分数阶系统的稳定性理论,提出了分数 阶超混沌系...更多统的自适应同步方法,用两个控制器与两个驱动变量实现 了不确定分数阶超混沌L(u|¨)系统的自适应同步,给出了自适应同步控制器和参数自适应率,辨识出系统的不确定参数。最后,结合Active控制技术,实现了异结构分数阶超混沌系统的同步。理论证明、数值模拟以及电路仿真证实了上述同步方法的有效性和可行性。3.采用调节连续信号频率的方法,将外界控制信号引入到超混沌系统中,设计了一个新四维非自治超混沌系统。通过精确地调节模拟输入信号的频率,观察和验证新系统的非线性动力学特性,具体为 周期轨、二维环面、混沌和超混沌现象。通过Lyapunov指数图,分岔图来解释系统的动力学特性,并且给出了设计的实验电路及其观测的结果,进一步从物 理实现上验证仿真结果的准确性。最后利用单变量耦合反馈控制方法,通过电路实验实现了非自治超混沌系统的同步。还原 【Abstract】 Chaotic systems are well known for their complex nonlinear systems, and have been intensively studied in various fields such as physics, chemistry, information technology and engineering. In virtue of its characteristics of chaos such as hyper sensitivity to initial conditions, high randomicity and board spectra for its Fourier transform, chaos can be especially applied to secure communications, signal processing and image encryption and so on. Thus chaos synchronization has become the key process in the application of chaos. The research has studied the relative problems of chaos synchronization, synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems and analysis of a new four-dimensional non-autonomous hyper-chaotic system, using

实验报告：混沌同步控制与图像加密

混沌同步控制与图像加密 ――― 《混沌实验教学平台的设计与实现》中期期报告 （华南师范大学物理与电信工程学院指导老师：李军学生：王龙杰、张丹伟、杨土炎）摘要：基于混沌系统的某些独特性质，如初值敏感性，本文讨论了混沌理论的两个重要运用，即基于Lorenz 混沌系统的同步控制和基于Logistic 混沌映射的图像加密。在讨论与分析的基础上，利用MA TLAB 软件进行数值计算与模拟，得到较好的效果。 关键词：Lorenz 混沌系统；同步控制；Logistic 混沌映射；图像加密；MATLAB 基于Lorenz 混沌系统的同步控制 一．引言 混沌是自然界及人类社会中的一种普遍现象,至今为止,在学术界对“混沌”还没有统一的被普遍接受的定义。混沌运动是确定性和随机性的对立统一, 即它具有确定性和随机性, 所谓确定性是指混沌运动是在确定性系统中发生的,可以用动力学方程形式表述, 这与完全随机运动有着本质的区别; 所谓运动具有随机性, 是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以预言以后任何时刻的运动状态, 混沌运动倒是像其他随机运动或噪声那样, 其运动状态是不可预言的, 换言之, 混沌运动在相空间中没有确定的轨道。混沌运动对初始状态（条件）具有敏感的依赖性, 只要对系统施加非常微小的扰动,就可能把系统从一个不稳定的周期运动转变到另一个不稳定的周期运动上去,也可能转变到另一稳定的运动状态上, 通 过这个特性, 我们可以利用混沌有意义的一面, 而避其有害的一面。Lorenz 系统作为第一个混沌模型,是混沌发展史上的一个里程碑, 具有举足轻重的地位。对Lorenz 系统的深入研究无疑已经极大地推动了混沌学的发展。 人们发现混沌控制在众多领域中有着广阔的应用前景, 尤其在电子学、电力系统、保密 通信和振荡发生器设计等领域有着巨大的应用前景, 因此引起了广泛的重视。由于混沌行为对初始状态的敏感依赖性, 受到噪声、干扰以及系统不稳定的影响, 特别是在混沌同步中, 实 际系统中很难观测到混沌同步。自从1990 年, Pecora 和Carroll 提出了混沌同步的概念和 方法以后,随着混沌同步研究的不断深入, 混沌控制与同步的研究工作得到了长足的发展, 并 逐渐成为混沌与控制领域研究的热点。对于相近的混沌轨道, 通过相同的非线性系统控制, 最终可能导致完全不相关的状态。但在实际应用中, 往往要求控制得到相关的状态或所需要的同步结果, 本文采用了加入反馈控制量的方法使其耦合, 最终达到所要求的同步。在计算机上的仿真结果显示, 能在短时间内实现耦合同步控制。

非线性系统中混沌的控制及同步及其应用前景_一_

第1 6 卷第1 期物理学进展o l.16, N o. 1 V 1996 年 3 月PRO GR E S S I N PH Y S I C S M ac r ch , 1996 非线性系统中混沌的控制与同步 Ξ 及其应用前景(一) 方锦清 ( 中国原子能科学研究院, 北京102413) 提要 全文系统地综述了非线性科学中一个富有挑战性及具有巨大应用前景的重大课题——非线性系统中混沌的控制与同步及其应用的主要进展, 包括了作者关于超混沌同步及其控制等方面的研究成果。我们对现有的各种混沌的控制方法和混沌的同步原理提出了分类和评述。概述了实验与应用的现状, 指出了发展前景, 全文分为( 一) ( 二) 两篇, 第( 一) 篇以混沌控制的机理和方法为主要论题展开广泛的讨论; 第(二) 篇以混沌的同步、超混沌的同步及其控制为论题, 同时包括众多的实验应用的研究, 进行较详尽的综述和分析评论, 比较完整地概括了迄今国内外该课题的发展现状和主要趋势。 总论 混沌, 当今举世瞩目的前沿课题及学术热点, 它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性, 有序与无序的统一, 确定性与随机性的统一, 大大拓广了人们的视野, 加深了对客观世界的认识。它在自然科学及社会科学等领域中, 覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强, 发展前景及影响之深远都是空前的。国际上誉称混沌的发现, 乃是继本世纪相对论与量子力学问世以来的第三次物理学大革命, 这场革命正在冲击和改变着几乎所有科学和技术领域, 向我们提出了巨大的挑战ΞΞ。 混沌的发现已过而立之年。首要的问题是, 混沌究竟有什么应用和发展前景? 这是摆在人们面前的一个重大课题及普遍关注的问题。特别是, 在我国改革开放和振兴经济的大潮面前, 这类提问和呼声更为强烈, 这确实也是深入开展混沌研究的巨大推动力。由于混沌的奇异特性, 特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳定性, 所 谓“差之毫厘失之千里”的缘故, 长期以来有些人总觉得混沌是不可控的、不可靠的, 因而 Ξ 本课题是国家留学回国人员重大科技资助项目、国家核科学工业基金资助项目及I A EA 科研合同课题。 ΞΞ 混沌发现的重要性论述请参阅: 詹姆斯·格莱克著,“混沌开创新科学”( 张淑誉译, 郝柏林校) , 1990, 上海译文出版社。

典型混沌系统和混沌同步的简介

2典型混沌系统和混沌同步的简介 2.1典型混沌系统的介绍 混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。 2.1.1 Lorenz 系统 混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz 方程组： () ??? ????----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。。 。 (2-1) 这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。在参数范围为)1/()3(--++?>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。 在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。 图2.1 Lorenz 系统的吸引子

Matlab实现混沌系统的控制

基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。 1.混沌的基本概念 1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。 2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该点有唯一的一条积分曲线。 3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行为会显示出某种混乱性。 4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点0x , 若满足当 t →∞时, 轨迹0()x t x →, 则称0x 为不动点。 6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对s 邻域的几乎任意一点, 当t →∞时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统1()n n x f x += , 当n →∞时,若存在n i n x x ξ+== , 则称该系统有周期i 解ξ 。不动点可以看作是周期为1的解, 因为它满足1n n x x +=。 10. 初值敏感性：对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也有人用它来定义混沌：混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。敏感依赖性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。

混沌控制及OGY方法

1.3混沌控制 混沌控制一般分为：消除，抑制混沌现象的发生。即就是使系统稳定到期望的平衡点或周期轨道；另一个是使原混沌系统产生新的混沌现象或使原本稳定的系统产生混沌现象，这也就是所谓的“混沌反控制”问题，它的目的是诱导出有用的混沌现象。因为还没有建立系统的混沌理论，对混沌发生的机制理解的不够全面，混沌反控制问题是一个很有挑战的领域，我们在这里所将的混沌控制仅指对混沌的抑制。 因为混沌所呈现的运动是剧烈震荡的，它的出现常使系统处于不稳定的状态，这在工程中往往是有害的，因而快速地抑制混沌就是我们控制的一个目标。在混沌吸引子上镶嵌着无数的不稳定周期轨道，而这些周期轨道往往和系统的一些良好的性能相关，这也就成为混沌控制的另一目标。我们将周期1的轨道成为平衡点，对平衡点的镇定我们可以看做是一般非线性系统的的镇定。大于周期1的轨道我们常常称为不稳定周期轨道UPOs(Unstable Periodic Orbits)，对于一个混沌系统，如果我们能知道描述系统的动力学方程，其平衡点往往是能被求解出来的，并进行分析的；但是，我们却无法知道它的无稳定周期轨道的动力学特性，将混沌系统控制到自身所包含的一条不稳定周期轨道上，这也就成了混沌控制于其他控制的一个重要区别。 自从OGY法开辟了混沌控制的先河，已经发展了很多方法来进行混沌控制，如偶然正比反馈技术OPF (Occasional Proportional Feedback)[15]，变量反馈控制(V ariable Feedback Control)[16-18]，周期脉冲控制法,参数周期扰动法等[19-21]，但这些方法很多都是在一定条件下才有效的。现在很多学者开始将控制理论中的一些方法应用到对混沌的控制上面取得了非常好的效果，比如PID控制[22-24]，神经网络法[25-28]，模糊控制[29-31]，各种自适应控制[32-40]等，但是由于混沌系统的复杂性，并没有形成一种统一理论，大多数是对某一确定的混沌系统的控制，在这方面还需要大量深入的研究。对于将混沌系统稳定到平衡点或某一固定的点，也就是所谓的混沌抑制，已经发现能够应用于非线性系统的控制方法都能用于混沌抑制。而对于不稳定周期轨道的镇定，因为很难得到不稳定周期轨道的方程，所以一般要求知道控制目标动力学特性的控制方法难以达到目的，但是德国学者Pyragas.K 于1992提出的延迟反馈法，仅需要知道不稳定轨道的周期，就可以对其进行稳定，这有很大的实际应用价值[41-42]。 OGY方法是美国学着E.Ott,C.Grebogi和J.A.Y orke于1990年提出的混沌控制方法，成功地对混沌进行了控制，开辟了混沌控制的先河[9,43-44]。混沌吸引子上镶嵌无穷多个不稳定周期轨道（UPOs），混沌遍历性保证轨线可以到达期望不稳

保守系统的混沌控制

第22卷第4期物理学进展Vol.22,No.4 2002年12月PROGRESS IN PHYSICS Dec.,2002文章编号:1000O0542(2002)04O0383O23 保守系统的混沌控制 许海波1,陈绍英2,3,王光瑞1,陈式刚1 (1.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088; 2.中国工程物理研究院北京研究生部,北京100088; 3.呼伦贝尔学院物理系,呼伦贝尔021008) 摘要:保守系统的混沌控制是一个重要而富有挑战性的研究课题。由于L iouv ille定理 的限制和初始条件的特殊作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系 统。本文通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特征进行分析和比较,阐述了保守系统混沌 运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混 沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的 应用和发展方向进行了展望。 关键词:混沌控制;保守系统;标准映象;KAM环 中图分类号:O415.5文献标识码:A 0引言 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性,表现为对初值的敏感依赖性,或对小扰动的极端敏感性。因此,混沌控制就成为混沌研究和应用的重要方向。混沌控制注重于分析混沌系统对外加驱动信号的响应,研究这种非线性响应规律,并考虑如何利用这种响应规律来影响和改造混沌运动将其引向人们所期望的目标。1989年,Hubler和L scher 发表了控制混沌的第一篇文章[1]。1990年,Ott,Grebogi和Yorke基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实,通过对系统参数作小扰动并反馈给系统,实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。这就是著名的OGY 混沌控制方法(或称参数微扰法)[2]。之后,混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展,人们提出了一系列控制混沌的方法[3~37]。混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定;控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统,乃至于无穷维系统(时空混沌)[38~41]。混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系。 收稿日期:2002O09O23 基金项目:国家重点基础研究专项经费资助,国家自然科学基金(Nos.19835020,19920003);国家自然科学基金理论物理专款(No.10147201);中国工程物理研究院基金资助项目(N o.20000440)

混沌系统的自适应控制综述

混沌系统的自适应控制综述 摘要：本文主要介绍了混沌系统的自适应控制方法，并通过对具体系统进行理论分析和数值仿真，验证自适应控制方法对混沌系统的有效性。最后，对混沌系统的自适应控制方法进行了展望。 关键词：混沌，自适应控制，稳定性 1、 引言 混沌系统的控制问题一直是混沌理论研究中的一个重要课题。在很多实际问题中，混沌运动是有害的，例如等离子体混沌会导致等离子体失控；强流离子加速器中的束晕——混沌导致严重的放射性剂量超标；半导体激光阵列中混沌运动会减弱输出光的相干性；电路系统中的混沌行为导致高幅度噪声和不稳定行为等。显然，对于这些有害的混沌运动，对其进行必要的控制是非常重要的。 控制混沌的含义非常广泛。一般来说，混沌系统的控制是指改变系统的混沌性态使之呈现和接近周期性动力学行为。具体而言，控制混沌有三方面的含义：其一是混沌的抑制，即消除系统的混沌运动，而无需考虑所产生运动的具体形式；其二是混沌轨道的引导，即在相空间中将混沌轨线引入事先指定的点和周期性轨道的小领域内；其三是跟踪问题，即通过施加控制使混沌系统呈现事先要求的周期性动力学行为。 自从1990年Ott ，Grebogi 和Yorke 提出OGY 混沌控制方法以来，混沌控制研究得到了蓬勃发展，大量的混沌控制方法被提出，如时滞反馈控制方法、脉冲控制方法、参数共振微扰法、线性反馈法、神经网络法，以及自适应控制方法等。在这些控制方法中，自适应控制方法作为一种重要的先进运动控制方法，在有干扰和模型不精确的情况下，仍然能有效的实现控制混沌的目的。自适应控制混沌运动是由B.A.Huberman 等人提出的，后来S.Sinha 等人进一步发展了这种方法。它是通过参量的调整来控制系统，使其达到所需要的运动状态，而这种调节是依靠目标输出与实际输出之间的差信号来实现，通常是将差信号与系统的某个控制参量联系起来进行调节，逐步使实际输出量与预定的目标输出量的差值趋近于零。 2、混沌系统的自适应控制 2.1、混沌系统的参数自适应控制方法 混沌系统的参数自适应控制方法是由Huberman 最先提出的，Huberman 设计了一个简单的参数自适应控制算法，并将其应用到具有复杂振荡状态的混沌系统，它是通过目标输出与实际输出之间的关系来控制参数，使系统从混沌运动转变到规则的运动。Huberman 采用了误差 n e 和对应n k 导数的复合函数关系