中考数学复习专题精品导学案：第14讲二次函数的图象和性质

2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质

【基础知识回顾】

一、 二次函数的定义：

一、 一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数 【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x 的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】

二、二次函数的同象和性质：

1、二次函数y=kx 2

+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式

2、在抛物y=kx 2

+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y 口向 ，当x<-2b

a

时，y 随x 的增大而 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，2、当a<0时，开口

向 当x<-2b

a

时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小 【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点 1、y=ax 2 ,对称轴 定点坐标

2、y= ax 2 +k ，对称轴 定点坐标

3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标

4、y=a(x-h) 2 +k 对称轴 定点坐标 】 三、二次函数同象的平移

【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】

四、二次函数y= ax 2+bx+c 的同象与字母系数之间的关系：

a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a ｜越大，开口越 b:对称轴位置，与a 联系一起，用 判断b=0时，对称轴是

c:与y 轴的交点：交点在y 轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点

【名师提醒：在抛物线y = ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c 和a-b+c 的符号】 【重点考点例析】

考点一：二次函数图象上点的坐标特点

例1 （2012?常州）已知二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），当自变量x

、3、0时，对应的函数值分别：y 1，y 2，y 3，，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 3＜y 2＜y 1 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＜y 1＜y 3 D ．y 3＜y 1＜y 2

思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x 取0时所对应的点离对称轴最远，x

时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．

解：∵二次函数y=a （x-2）2+c （a ＞0），

∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．

∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，

∵x 取0时所对应的点离对称轴最远，x

∴y 3＞y 2＞y 1． 故选B ．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 对应训练

1．（2012?衢州）已知二次函数y=12-

x 2-7x+15

2

，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）

A ．y 1＞y 2＞y 3

B ．y 1＜y 2＜y 3

C ．y 2＞y 3＞y 1

D ．y 2＜y 3＜y 1

2．A

2．解：∵二次函数y=12-

x 2-7x+152， ∴此函数的对称轴为：x=2b a

-=7712()

2

--=-?-，

∵0＜x 1＜x 2＜x 3，三点都在对称轴右侧，a ＜0， ∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小， ∴y 1＞y 2＞y 3． 故选：A ．

考点二：二次函数的图象和性质

例2 （2012?咸宁）对于二次函数y=x 2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x 轴有两个公共点；

②如果当x≤1时y 随x 的增大而减小，则m=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x 轴的交点． 思路分析：①根据函数与方程的关系解答；

②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；

③将m=-1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标，即可判断；

④根据坐标的对称性，求出m 的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可． 解：①∵△=4m 2-4×（-3）=4m 2+12＞0，∴它的图象与x 轴有两个公共点，故本选项正确； ②∵当x≤1时y 随x 的增大而减小，∴函数的对称轴x=-22

m

--≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则22

m

--

≥1，即m≥1，故本选项错误； ③将m=-1代入解析式，得y=x 2+2x-3，当y=0时，得x 2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x 1=1，x 2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；

④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x=

42008

2

+=1006，则22

m

--

=1006，m=1006，原函数可化为y=x 2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．

故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）．

点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．

对应训练

2．（2012?河北）如图，抛物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=

1

2

（x-3）2+1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：

①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2-y 1=4；④2AB=3AC ； 其中正确结论是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

1．解：①∵抛物线y 2=

1

2

（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x 轴的上方，∴无论x 取何值，y 2的值总是正数，故本小题正确；

②把A （1，3）代入，抛物线y 1=a （x+2）2-3得，3=a （1+2）2-3，解得a=2

3

，故本小题错误；

③由两函数图象可知，抛物线y 1=a （x+2）2-3过原点，当x=0时，y 2=12（0-3）2+1=112

，故y 2-y 1=

11

2

，故本小题错误； ④∵物线y 1=a （x+2）2-3与y 2=

1

2

（x-3）2+1交于点A （1，3）， ∴y 1的对称轴为x=-2，y 2的对称轴为x=3， ∴B （-5，3），C （5，3） ∴AB=6，AC=4，

∴2AB=3AC ，故本小题正确． 故选D ．

考点三：抛物线的特征与a 、b 、c 的关系

例3 （2012?玉林）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：

①c ＜1；②2a+b=0；③b 2＜4ac ；④若方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2， 则正确的结论是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

思路分析：由抛物线与y 轴的交点在1的上方，得到c 大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a 与b 的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x 轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a 与b 的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项． 解：由抛物线与y 轴的交点位置得到：c ＞1，选项①错误； ∵抛物线的对称轴为x=2b

a

-

=1，∴2a+b=0，选项②正确； 由抛物线与x 轴有两个交点，得到b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，选项③错误； 令抛物线解析式中y=0，得到ax 2+bx+c=0， ∵方程的两根为x 1，x 2，且2b a -=1，及b

a

-=2， ∴x 1+x 2=b

a

-

=2，选项④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选C 点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．

对应训练

3．（2012?重庆）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示对称轴为x=1

2

-．下列结论中，正确的是（ ）

A ．abc ＞0

B ．a+b=0

C ．2b+c ＞0

D ．4a+c ＜2b

3．D

3．解：A 、∵开口向上， ∴a ＞0，

∵与y 轴交与负半轴， ∴c ＜0，

∵对称轴在y 轴左侧， ∴2b

a

-

＜0， ∴b ＞0， ∴abc ＜0，

故本选项错误； B 、∵对称轴：x=2b a -

=12

-， ∴a=b ，

故本选项错误；

C 、当x=1时，a+b+c=2b+c ＜0， 故本选项错误；

D 、∵对称轴为x=1

2

-

，与x 轴的一个交点的取值范围为x1＞1， ∴与x 轴的另一个交点的取值范围为x 2＜-2， ∴当x=-2时，4a-2b+c ＜0， 即4a+c ＜2b ， 故本选项正确． 故选D ．

考点四：抛物线的平移

例4 （2012?桂林）如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）

A ．y=（x+1）2-1

B ．y=（x+1）2+1

C ．y=（x-1）2+1

D ．y=（x-1）2-1

思路分析：首先根据A 点所在位置设出A 点坐标为（m ，m ）再根据，利用勾股

定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．

解：∵A在直线y=x上，

∴设A（m，m），

∵OA=

∴m2+m2=2，

解得：m=±1（m=-1舍去），

m=1，

∴A（1，1），

∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，

故选：C．

点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．

对应训练

4．（2012?南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．

4．①③

4．解：原式可化为：y=（x+1）2-4，

由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；

函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；

将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．

故答案为：①③．

【聚焦山东中考】

1．（2012?泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限

1．C

1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，

∴-m＞0，n＜0，

∴m＜0，

∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，

故选C．

2．（2012?济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）

A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1

C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于0

2．D

2．解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；

B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；

C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；

D、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．故选D．

3．（2012?菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c

和反比例函数

a

y

x

在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．C

3．解：∵二次函数图象开口向下， ∴a ＜0， ∵对称轴x=2b

a

-

＜0， ∴b ＜0，

∵二次函数图象经过坐标原点， ∴c=0，

∴一次函数y=bx+c 过第二四象限且经过原点，反比例函数a

y x

=

位于第二四象限， 纵观各选项，只有C 选项符合． 故选C ． 4．（2012?泰安）设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）

A ．y 1＞y 2＞y 3

B ．y 1＞y 3＞y 2

C ．y 3＞y 2＞y 1

D ．y 3＞y 1＞y 2 4．A

4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ，如右图，

∴对称轴是x=-1，

∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y 1），

那么点A′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，

于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ． 5．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5．A

5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误； ②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误； ③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误； ④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，正确； 综上所述，说法正确的有④共1个． 故选A ． 6．（2012?日照）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b 2-4ac ＞0；②2a+b ＜0；③4a-2b+c=0；④a ：b ：c=-1：2：3．其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④

6．D

6．解：由二次函数图象与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac ＞0，选项①正确； 又对称轴为直线x=1，即2b

a

=1， 可得2a+b=0（i ），选项②错误； ∵-2对应的函数值为负数，

∴当x=-2时，y=4a-2b+c ＜0，选项③错误； ∵-1对应的函数值为0，

∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii ）， 联立（i ）（ii ）可得：b=-2a ，c=-3a ， ∴a ：b ：c=a ：（-2a ）：（-3a ）=-1：2：3，选项④正确， 则正确的选项有：①④． 故选D ． 7．（2012?泰安）将抛物线y=3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）

A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3 7．A

8．（2012?潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是

115

（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；

（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？

（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．

8．解：（1）若设y=kx+b（k≠0），

由

7320

6750

k b

k b

=+

?

?

=+

?

，

解得

1

5

77

k

b

?

=-

?

?

?=

?

，

所以y=

1

5

-x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；

若设

k

y

x

=（k≠0），由73=

20

k

，解得k=1460，

所以y=

1460

x

，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；

若设y=ax2+bx+c，

则由

7340020 67250050 83490070

a b c

a b c

a b c

=++

?

?

=++

?

?=++

?

，

解得

1

50

8

5

97

a

b

c

?

=

?

?

?

=-

?

?

=

?

?

?

，

所以y=1

50

x2-

8

5

x+97（18≤x≤90），

把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．

所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；

（2）由（1）得：y=1

50

x2-

8

5

x+97=

1

50

（x-40）2+65，

所以当x=40时，y取得最小值65．

即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；

（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）

设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：

50

115

a=10，

解得a=23（立方米），

即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012?白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）

A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞

3

1．C

2．（2012?兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3

2．D

2．解：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：

所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，

则k＞3，

故选D．

3．（2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）

A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3

3．B

3．解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，

∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，

∵当1≤x≤3时，总有y≤0，

∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，

①②联立解得：c≥3，

故选B．

4．（2012?北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（）

A．（-2，-1）B．（2，1）C．（2，-1）D．（-2，1）

4．B

5．（2012?广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）

A．1 B C．D．-2

5．C

1．（2012?西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）

：由图可知，当x

6．（2012?巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-1

6．C

6．解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，

A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；

B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x 的增大而增大，故本选项错误；

C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x 的增大而减小，故本选项正确；

D 、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误． 故选C ． 7．（2012?天门）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc ＜0；③a-2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有（ ）

A ．3个

B ．2个

C ．1个

D ．0个

7．B

7．解：根据图象可得：a ＞0，c ＜0， 对称轴：2b

x a

=-

＞0， ①∵它与x 轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）， ∴对称轴是x=1， ∴2b

a

-

=1， ∴b+2a=0， 故①错误； ②∵a ＞0， ∴b ＜0， ∵c ＜0，

∴abc ＞0，故②错误； ③∵a-b+c=0， ∴c=b-a ，

∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a ）=2b-3a ， 又由①得b=-2a ， ∴a-2b+4c=-7a ＜0， 故此选项正确；

④根据图示知，当x=4时，y ＞0， ∴16a+4b+c ＞0， 由①知，b=-2a ， ∴8a+c ＞0； 故④正确；

故正确为：③④两个． 故选：B ．

8．（2012?乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）

A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1

8．B

8．解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，

且经过点（-1，0），

∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，

由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，

由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，

∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，

得到0＜a+b+1＜2，

∴0＜t＜2．

故选：B．

9．（2012?扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）

A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2 9．B

10．（2012?宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A．（-2，3）B．（-1，4）C．（1，4）D．（4，3）

10．D

11．（2012?陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）

A．1 B．2 C．3 D．6

11．B

11．解：当x=0时，y=-6，故函数与y轴交于C（0，-6），

当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，

解得x=-2或x=3，

即A（-2，0），B（3，0）；

由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，

故|m|的最小值为2．

故选B．

二、填空题

12．（2012?玉林）二次函数y=-（x-2）2+9

4

的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），

横、纵坐标都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．

12．7

12．解：∵二次项系数为-1，

∴函数图象开口向下，

顶点坐标为（2，9

4），

当y=0时，-（x-2）2+9

4

=0，

解得x1=1

2

，得x2=

7

2

．

可画出草图为：（右图）

图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．

13．（2012?长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．

13．18

13．解：∵抛物线y=a（x-3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，

∴AB=2×3=6，

∴等边△ABC 的周长=3×6=18． 故答案为：18． 14．（2012?孝感）二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：

①abc ＜0； ②a-b+c ＜0； ③3a+c ＜0； ④当-1＜x ＜3时，y ＞0． 其中正确的是 （把正确的序号都填上）．

14．①②③

14．解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0， 对称轴：x=2b

a

=1， 2b

a

=-1， b=-2a ， ∵a ＜0， ∴b ＞0，

∴abc ＜0，故①正确；

把x=-1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a-b+c ， 由图象可以看出当x=-1时，y ＜0， ∴a-b+c ＜0，故②正确； ∵b=-2a ，

∴a-（-2a ）+c ＜0，

即：3a+c ＜0，故③正确； 由图形可以直接看出④错误． 故答案为：①②③． 15．（2012?苏州）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则 （填“＞”、“＜”或“=”）． 15．y 1＞y 2

15．解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1， ∵x1＞x2＞1，

∴两点均在对称轴的右侧， ∵此函数图象开口向上，

∴在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大， ∵x1＞x2＞1， ∴y1＞y2．

故答案为：＞．

16．（2012?成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．

16．3 7

16．解：∵x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，

∴[-2（a-1）]2-4a（a-3）＞0，

∴a＞-1，

将（1，0）代入y=x2-（a2+1）x-a+2得，a2+a-2=0，

解得（a-1）（a+2）=0，

a1=1，a2=-2．

可见，符合要求的点为0，2，3．

∴P=3 7 ．

故答案为3

7

．

17．（2012?上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．17．y=x2+x-2

18．（2012?宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．

18．y=-（x+1）2-2

18．解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），

绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），

所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．

故答案为：y=-（x+1）2-2．

2．（2012?贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是0＜m＜2．

y=

19．（2012?广安）如图，把抛物线y=1

2

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）

和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=1

2

x2交于点Q，则图中阴影部分

的面积为．

19．27 2

19．解：如图，过点P作PM⊥y轴于点M，

∵抛物线平移后经过原点O和点A（-6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，

得出二次函数解析式为：y=1

2

（x+3）2+h，

将（-6，0）代入得出：

0=1

2

（-6+3）2+h，

解得：h=

9

2 -，

∴点P的坐标是（-3，

9

2 -），

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，

∴S=|-3|×|

9

2

-|=

27

2

．

故答案为：27

2

．

三、解答题

20．（2012?柳州）已知：抛物线y=3

4

（x-1）2-3．

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．

20．解：（1）抛物线y=3

4

（x-1）2-3，

∵a=3

4

＞0，

∴抛物线的开口向上，对称轴为x=1；

（2）∵a=3

4

＞0，

∴函数y有最小值，最小值为-3；

（3）令x=0，则y=3

4

（0-1）2-3=

9

4

-，

所以，点P的坐标为（0，

9

4 -），

令y=0，则3

4

（x-1）2-3=0，

解得x1=-1，x2=3，

所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），

当点P（0，

9

4

-），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，

5.7.1二次函数的应用(一)学案

课题：5.7.1二次函数的应用（一）学历案 学习目标： 1.通过分析面积问题中的数量关系，能把实际问题中的等量关系抽象为二次函数； 2.认识二次函数模型的重要性，体会二次函数是刻画现实世界中数量关系的有效的数学模型； 3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，提高分析问题、解决问题的意识和能力. 学习重点：会列出二次函数解决最大（小）值实际问题 学习难点：把实际问题中的等量关系抽象为二次函数 课前、课中任务单 一、前置检测 1.二次函数y= -3(x+4)2-1的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最值，是 . 2.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_____ 值，是 . 二、新知探究 1.最大值问题： 【课本例1】用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知 篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大面 积是多少？ 2.最小值问题 【课本例2】如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边 AB上取一点M，分别以AM，MB为边截取两块相邻的正方形板材， 当AM的长为多少时，截取的板材面积最小？ 归纳总结：解决用二次函数求最大(小)值的问题，基本思路.

三、变式练习 1.用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，墙长25m，已 知篱笆的长度为60m.应怎样设计才使菜园面积最大？最大 面积是多少？ 2.菱形的两条对角线的和为40cm. （1）如果菱形的面积为s(cm2)，一条对角线的长为x(cm2)，写出s与x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围； （2）当这两条对角线的长分别为多少时，菱形的面积最大？最大面积是多少？ 【挑战自我】 如图，用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m)、中间隔着一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为x(m)，面积为y(m2). (1)写出y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围； (2)围成的菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？ 四、课堂小结 五、反馈评价

中考二次函数图象信息题

2017中考数学分类试题汇编 ?二次函数图像信息题 1.（2017?黄?石市）如图是?二次函数 的图象，对下列列结论：① ；② ；③ ，其中错误的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2.（2017年年烟台市）?二次函数的图象如图所示，对称轴是直线， 下列列结论：① ；② ；③；④ . 其中正确的是（）A ．①④ B ．②④ C.①②③ D ．①②③④ 3．（2017?甘肃省天?水市）如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的?一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的?一个交点是B （4，0），直线y 2=mx+n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列列结论： ①abc ＞0；②?方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另?一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确的结论是．（只填写序 号） 4.（2017乐?山市）已知?二次函数y=x 2-2 mx （m 为常数），当-1 ≤x ≤2时，函数值y 的最?小值为-2，则m 的值是 或 或 第1题图第2题图第3题图

5．（2017黔东南州）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．（2017年年贵州省安顺市）?二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2017年年四川省?广安）如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b 2﹣4ac=0；②a+b+c ＞0；③2a ﹣b=0；④c ﹣a=3其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．（2017年年?甘肃省天?水市）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm ，∠B=30°，点P 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BC ?方向运动到点C 停?止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速 度沿BA ﹣AC ?方向运动到点C 停?止，若△BPQ 的?面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ） A ． B ． C ． 第5 题图 第6 题图 第7 题图 D ．

九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版

2.4.2二次函数的应用 预习案 一、预习目标及范围： 1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 预习范围：P48-49 二、预习要点 二次函数的最值问题和增减性： 增减性 三、预习检测 1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元 2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人. 3.（兰州·中考）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)，顶点坐标为（h,k）,则 （1）a>0时，y有最小值（）；

（2）当a<0时，y有最大值（） 【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多? 【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么 销售量可以表示为 : 件; 每件T恤衫的利润为: 元; 所获总利润可以表示为: 元; 即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5 ∴当销售单价为元时,可以获得最大利润, 最大利润是元. 活动2：探究归纳 先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. 活动内容2：典例精析 例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围. (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式. (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【解析】 例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.

二次函数导学案

二次函数 第1课时 审核人：雷昌秀 编写人：王利 时间：2014年7月3日 一、自选目标 1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系； 2．知道什么是二次函数； 3．能根据实际问题确定自变量的取值范围． 二、自主预习（28-29页） 1.一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 2. 如果不考虑实际问题中的特殊情况，二次函数自变量的取值范围是__________. 3. 下列函数中哪些是二次函数，并指出其中的a ,b ,c 的值？ （1）v=10r 2 (2)s=3-2t 2 （3） y=(x+3)2-x 2 （4） y=(x-1)2-2 4.二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 5.一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 三、自由探究 例题： 1．函数y ＝(m+2)x 2＋(m －2)x －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 2．一块长工100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路， 这时草地面积为y(m 2 )，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 四、自我展示 1.谈谈你本节课的收获 2.完成教材29页练习1-2题，41页习题22.1第1-2题，并展示。 五、自我测评 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-⑤31 2+- =x x y ；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。 （只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

(一)二次函数图象信息题常见的四种类型

专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()

图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9

山东省济南市槐荫区九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版

山东省济南市槐荫区九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用导学案新版北师大版 2.4.1二次函数的应用 预习案 一、预习目标及范围： 1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题． 预习范围：P46-47 二、预习要点 根据二次函数的一般形式求出最大值、最小值： 几何图形的几个面积公式是怎么样的？ 三、预习检测 1.（2015六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（） A. 60 m2 B. 63 m2 C. 64 m2 D. 66 m2

2. 用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（） A. 2 3 m2 B. 1 m2 C. 3 2 m2 D. 3 m2 3. （2014绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物 线解析式是y=-1 9 (x-6)2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 __________________________. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

二次函数全章导学案(不分版本,通用)

26.1二次函数 §26.1.1《二次函数》导学案 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念. 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 【活动一】知识链接（5分钟） 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________ y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________. 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④ 32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-.这六个式子中二次函 数有 。（只填序号） 2.2 (1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________. 3.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式 为 . 【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1.二次函数2 ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）. （1）求a 、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小. 2. 已知二次函数22y x =. （1）当1x =-时，求y 的值； （2）当8y =时，求x 的值. （3）若点C 的坐标为（0,8），过C 作x 轴的平行线，交二次函数的图象于A ，B 两点（A 在B 的左边），求AB 的长，并求出△ABC 的面积S △ABC .

6.4二次函数的应用(2)导学案

二次函数的应用(2）(学案) 学习目标: 1、能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题 2、能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。 学习过程： 一、情景创设 如图所示的是某防空部队进行射击时导弹的轨迹的平面直角坐标系中的示意图。位于地面Ｏ处正上方35km 的Ａ处直升机向目标C 发射防空导弹,已知点C 的高度为4 9k ｍ，距离OA 的水平距离为7km. 导弹到达最高点时距地面高度为３ｋm 。相应的水平距离为４k ｍ(即图中点Ｄ),如果导弹的运行轨迹为抛物线,那么按轨迹运行的导弹能否击中目标C?你能说出理由吗？ 二、探索活动 问题1 如图所示，某喷灌设备的喷头B 高出地面1.４ｍ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m ）之间的关系为二次函数y=a(ｘ-4）2+3.求水流落地点D 与喷头底部A 的距离（精确到0.1m ）. 问题2 如图所示，在一次足球训练中，球员小王从球门正前方10ｍ处起脚射门，球的运行路线恰是一条抛物线。当球飞行的水平距离是6m 时,球到达最高点,此时球高约3m 。已知球门高2.44m 。问此球能否射进球门？

B A y O 三、典型例题 例1 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池．在水池中央垂直于水面处安装一个柱子O Ａ,Ｏ恰在水面中心,OA=1.25m ．由柱子顶端Ａ处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离O Ａ距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？ (2）若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为３．5m ，要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)? 例2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮如图所示，已知球出手时离地面 9 20m ，与篮筐中心的水平距离是７m,当球运行的水平距离是4ｍ时，达到最大高度4ｍ。设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。 ⑴问此球能否投中？ ⑵此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功? 四、课堂小结 五、巩固练习 1、如图是某公园一圆形喷水池,水流在各方向沿形 状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷 头所在处A(0,1.２５),水流路线最高处B （１，２.25)， 则该抛物线的表达式为 。如果不考虑 其他因素，那么水池的半径至少要__＿_米，才能使喷 出的水流不致落到池外。 A

二次函数导学案(全章)

第1课时二次函数的概念 【学习目标:] 1 ?经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描 述变量之间的数量关系； 2?探索并归纳二次函数的定义； 3 ?能够表示简单变量之间的二次函数关系 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 、学习准备 1 .函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量 x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们 称 ________是_________ 的函数，其中 __________ 是自变量， _________ 是因变量。 2 ?一次函数的关系式为 y= （ 其中k 、b 是常数，且kN ）；正比例函数的关系式为 y = （ 其中 k 是 _________________ 的常数）；反比例函数的关系式为 y= （k 是 ________________________________________ 的常数）。 二、解读教材一一数学知识源于生活 3 ?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结 600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树， 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么y= _________________________________ 。 4?如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是 x , —年到期后，银行将本金和利息自动按一年定 期储蓄转存。那么你能写岀两年后的本息和 y （元）的表达式（不考虑利息税）吗？ ________________________________________ 5 ?能否根据刚才推导出的式子 y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如 y = ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数, 理解并熟记几遍。 例1下列函数中，哪些是二次函数？ 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ 2 1 2 （1） y x （2） y x 2 子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子, 1 2 1 (1) y — 3x (2) y 2 2 x ⑶ y 22 2x (4) s 1 t (5) y (x 3)2 x 2 (6) s 10 r ⑷ y 3( x 1)2 1 (5) 2 y ax c (6)

专训 二次函数图象信息题的四种常见类型

专训二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键． 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号 1．【2015·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论： ①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a .其中正确结论的个数是() A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(第1题) (第2题) 利用二次函数的图象比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1

(第4题) 4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________． 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是() (第5题) 6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图象上． (1)求m的值和二次函数的解析式． (2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积． (第6题)

北师大版九年级数学下册二次函数的应用1导学案

神木市第五中学导学案年级九班级学科数学课题 2.8二次函数的应 用1 第课时 总课时 编制人审核人使用时间第周 星期 使用者 教学内容 学习目标:1. 经历探究图形的最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验。 2.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养分 析判断能力。 学习重难点:会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题 . 学导过程: 一、自主学习 1.二次函数能有几种表达式表示？各需要哪些条件确定相应的函数表达式？ 2.求下列函数的最大值或最小值. （1）y=2x2-3x-5； （2）y=-x2-3x+4 二、合作探究 3、做一做：（小组讨论，可利用相似三角形的相关知识） 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 三、互动展示 4、议一议： 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边

上,BC在斜边上. (1)设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少? 四、达标测试 5、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? x x y 五、课堂小结与反思 你通过本节课的探索解决了哪些问题？还有那些困惑？有哪些新的发现、想法？ 六、布置作业与预习 1、必做题：课本P47习题2.8第1、 2、3题。 2、选做题：4 教后 反思

九年级数学上册 第22章 二次函数小结 精品导学案 新人教版

二次函数 课题： 22、二次函数小结与复习 序号： 学习目标： 知识和技能： 1.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系及性质； 2.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 2、过程和方法： 1.通过对生活中实际问题的探究,体会数学建模思想. 2.通过观察，思考，交流，进一步提高分析问题、解决问题能力. 3、情感、态度、价值观：继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用。 学习重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，由图象概括二次函数的性质。 学习难点：二次函数图象的平移。 导学方法： 课 时： 导学过程 一、课前预习： 阅读课本小结与复习解决<<导学案>>自主测评内容。 二、课堂导学： 1、情境导入：本节课我们共同小结二次函数这一章。 2、出示任务、自主学习： 1.理解抛物线2ax y =、k ax y +=2、2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)（之间的位置关系及性质； 2.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题. 3、合作探究： 1、二次函数的一般形式是什么？ 2、二次函数的图像是什么？ 3、二次函数图像的平移步骤和规律是什么？ 4、如何求二次函数的解析式？ 5、二次函数与一 元二次方程的关系是什么？ 6、通过本章的学习体会到那些数学思想方法？ 三、展示与反馈： 例1：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。 (3)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－3/2x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。 例2：如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点A(－1，0)，且经过直线y ＝x －3与坐标轴的两个交点B 、C 。 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标， (3)若点M 在第四象限内的抛物线上，且OM ⊥BC ，垂足为D ，求点M 的坐标。 学习小结： 同组同学相互说说二次函数有哪些性质 归纳二次函数三种解析式的实际应用。

中考二次函数图象信息题赏析

中考二次函数图象信息题赏析 二次函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的有价值的信息,用好这些信息有助于培养和提高同学们分析问题,解决问题的能力.为考查同学们的“数形结合思想”和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题便成了近年来各地中考的热点,解答这类题的关键是准确分析解析式中的有关量与函数图象的位置关系,正确地 进行“数”和“形”的转换.现精选两例08年中考题,归类浅析如下,供同学们鉴赏： 一、由系数的符号确定其图象的位置 例1（2008年山东省泰安市中考题）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 解析:本例将二次函数与一次函数的图象 放在同一直角坐标系中,加大了知识的考查力 度,解决这类问题的基本方法是排除法,数学思 想方法是数形结合和分类讨论. (1)如果m ＞0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象上升,且与y 轴的交点在x 轴上方,很明显,只有(C)满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＞0时,其开口方向应向下,显然不合,所以(C)不可能. （2）如果m ＜0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象下降,且与y 轴的交点在x 轴下方,这(A)、(B)和 (D)都满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＜0时,其开口方向应向上 ,所以(A)不可能. 对称轴m m a b x 1)(222=-?-=-=＜0,应在y 轴的左侧,故(B)也不可能. 只有(D)满足条件,故应选(D). 二、由抛物线的位置确定系数及其代数式的符号 例3（2008年四川省乐山市中考题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则 A..M>0 B. M<0 C. M=0 D. M 的符号不能确定 解析：解决本例的基本思想仍然是数形结合.由抛物线在坐标 系中的位置,确定其系数及其代数式的符号. (1)由图象可知,当2-=x 时，其对应点在x 轴的上方，即y ＞0，则c b a +-24＞0； (2)由图象可知,当1=x 时，其对应点在x 轴的下方，即y ＜0，从而c b a ++＜0； (3)抛物线开口向下,a ＜0，对称轴在y 轴的左侧，则a b 2-＜0，由a ＜0，得到 b ＜0，所以b a +2＜0；

北师大9年级下第二章二次函数应用导学案(无答案)

二次函数应用 【教学重难点】 1、抛物线y=a （x-h ）2+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为 . 2、总销售利润=单件销售利润×销售总量 =（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】 针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。 【随堂练习】 1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求 与之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求 与之间的函数关系式，并写 出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时， 的值最大？最大值是多少？ 3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调 查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1 ,而其 每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定 的值； 400 300 y (件)

二次函数 学案

30.1 二次函数 【学习目标】 了解二次函数的有关概念；会确定二次函数关系式中各项的系数；确定实际问题中二次函数的关系式。 【学习重点】二次函数的表达式. 【学习难点】二次函数的判断. 【读书思考】阅读课本第内容，思考:1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不为0. 2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式. 【学习过程】（类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。） 一、知识链接: 1、若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2、形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。 二、自主学习： 1、如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 的函数关系式为 。 2、二次函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数关系式有什么不同？ 3、归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 4、思考：二次函数y= ， （1）二次项系数a 为什么不等于 0？ 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 三、典题解析 例１.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x 例２．已知y=(m －4)x m2-3m-2+2x －３是二次函数，求m 的值 四、巩固练习 1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤ 213y x x =-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。 4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

湘教版_二次函数导学案

二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值．

二次函数导学案(全章)

第1课时 二次函数的概念 【学习目标】 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。 【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备 1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。 2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活 3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。 4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？ 一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。 例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y (3) x y 222+= (4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π= 即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y (4) 1132--=）（x y (5)c ax y -=2 三、挖掘教材 6．对二次函数定义的深刻理解及运用

九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc

九年级上册《二次函数的应用》导学案 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100—150亩稻田．预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为元．试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？ 二、例题讲评例1 将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 例2 室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积．如果计划用一段长m的铝合金型材，制作一个上部是半圆、下部是矩形的窗框（如图），那么当矩形的长、宽分别为多少时，才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）？ 例3 如图，在矩形abcd中，ab=6cm，bc=cm，点p从点a出发，沿ab 边向点b以1cm/s的速度移动，同时点q从点b出发沿bc边向点c以2cm/s 的速度移动，如果p、q两点同时出发，分别到达b、c两点后停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形apqcd的面积为s，写出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，s最小？最小值是多少？ 巩固练习：1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适

当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。问：每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？ 2．如图，已知△abc，矩形gdef的de边在bc边上．g、f分别在ab、ac边上，bc=5cm，s△ab c为30cm2，ah为△abc在bc边上的高，求△abc 的内接长方形的最大面积。 智者加速：1．有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）。⑴设x天后每千克活蟹市场价为p元，写出p关于x的函数关系式.⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为q元，写出q关于x的函数关系式。⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？ 2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x(元)152030…y(件)252010…若日销售量y是销售价x的一次函数。（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 三、我的心得 第 49 课时 6.4二次函数的应用（1）一、自主尝试预习课本p25—26页，尝试解决下列问题：问题1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，