12数学

2012年临沂市初中学生学业考试试题 数 学

一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2012临沂）16

-

的倒数是（ ）

A ．6

B ．﹣6

C ．16

D ．16

-

2．（2012临沂）太阳的半径大约是696000千米，用科学记数法可表示为（ ） A ．696×103千米 B ．696×104千米 C ．696×105千米 D ．696×106千米 3．（2012临沂）下列计算正确的是（ ） A ． 224246a a a += B ． ()2

2

11a a +=+

C ． ()3

25a a = D ． 752x x x ÷=

4．（2012临沂）如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．140° 5．（2012临沂）化简4

122a a a ?

?

+

÷ ?

--??的结果是（ ） A ．

2a a

+ B ． 2

a a + C ．

2a a

- D ．

2

a a -

6．（2012临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ） A ．

14

B ． 12

C ． 34

D ． 1

7．（2012临沂）用配方法解一元二次方程2

45x x -=时，此方程可变形为（ ） A ．

()

2

21x += B ． ()2

21x -=

C ． ()2

29x +=

D ． ()2

29x -=

8．（2012临沂）不等式组215,

3112

x x x -

?-+≥?

?的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A

． B

．

C ．

D ．

9．（2012临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（ ）

A ．18cm 2

B ．20cm 2

C ．（18+2）cm 2

D ．（18+4

）cm 2

10．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3,x y m x m y n

-=??

+=?的解是1,1,

x y =??

=? 则m n -的值是（ ）

A ．5

B ．3

C ．2

D ．1 11．（2012临沂）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ．BD 相交于点O ，下列结论不一定正确的是（ ）

A ．AC=BD

B ．OB=O

C C ．∠BCD=∠BDC

D ．∠ABD=∠ACD

12．（2012临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x

=

>和

2(0)k y x x

=

>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）

A ．∠POQ 不可能等于90°

B ．

12

k P M Q M

k =

C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称

D ．△POQ 的面积是

()1

2

12

k

k +

13．（2012临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）

C D．

A．1B．

2

14．（2012临沂）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C 和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x （0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．

15．（2012临沂）分解因式：2

-+= ．

a a

b ab

69

16．（2012临沂）计算：= ．

17．（2012临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．

18．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC 交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

19．（2012临沂）读一读：式子“1+2+3+4+···+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书

写不方便，为了简便起见，我们将其表示为100

1

n n =∑，这里“∑”是求和符号通过对以上材料的阅读，计算

()

2012

1

11n n n =+∑

=__________．

三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，6+7+7=20分） 20．（2012临沂）“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款，我市某中学九年级一班全体同学参加了捐款活动，该班同学捐款情况的部分统计图如图所示： （1）求该班的总人数；

（2）将条形图补充完整，并写出捐款总额的众数； （3）该班平均每人捐款多少元？

21．（2012临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．

22．（2012临沂）如图，点A ．F 、C ．D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A=∠D ，AF=DC ．

（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形，

（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF 为何值时，四边形BCEF 是菱形．

四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，9+10=19分）

23．（2012临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．

（1）求证：AP是⊙O的切线；

（2）求PD的长．

24．（2012临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．

（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；

（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；

（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？

五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，11+13=24分）

25．（2012临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

26．（2012临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

浅谈数学教育中的德育功能

浅谈数学教育中的德育功能 多年来，由于应试教育思想的影响，教师往往只注重知识传授，而忽略人的培养，在素质教育的今天，数学教师有责任去探讨数学教育的德育功能以及数学教育中德育渗透的特点、规律及其渗透的途径和方法，力求在素质教育的实施中尽到一个数学教师应尽的责任。以下我谈谈我的一些看法和认识。一、中学数学教育的德育功能。 1.激发民族自豪感，培养爱国主义精神。中学数学课本登载了我国古代数学研究的累累硕果，像《九章算术》、刘徽的“割圆术”，秦九昭的“正负开方术”（高次方程数值解法），杨辉三角阵等等，均领先于世界先进水平，比欧美要早出几百年到上千年。特别是近现代数学家华罗庚、苏步青、陈省身等等放弃国外优越条件，甘愿回国参加建设而安贫乐道，取得了辉煌成就。利用这些材料可以激发学生的民族自豪感，培养爱国主义精神。 2.重视情感教育，培养学生良好的个性品质。《数学教学大纲》指出：“良好的个性品质指：正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力，事实求是的科学态度，独立思考，勇于创新的精神和良好的学习习惯。”根据数学学科的特点有机地渗透思想教育，促进学生个性品质的健康发展是数学教学的重要目的之一，从某种意义看，它比具有数学知识，技能和能力具有更一般的重要性，对于培养“四有”社会主义公民是不可缺少的素质，也是学生数学学习内在动力的巨

大源泉，对于促进学习发展能力有着不可低估的作用。因此，培养良好的个性品质是素质教育的需要，是中学数学教育的重要任务。在当今社会，数学知识为每一个公民适应日常生活、参加生产和进一步学习所必需，他的内容、思想、方法、语言已经渗透到社会生活的各个领域，不学好数学，就影响着人的生存。有关这些内容例子，教材中随处都有，教师要教育学生懂得这些道理，树立远大理想，为参加现代化建设打下坚实的基础。学生树立正确的学习目的，就能在数学学习中具有次持久的动力。数学是一门既美又真的科学。他既有数学的抽象美、理论体系的结构美、数学结论的和谐美等等，又是“言必有据，理必缜密”最讲究真实的一门科学，来不得半点虚假。在教学中，我们要引导学生去感受、欣赏、鉴别这种美，使学生获得对数学美的审美能力，诱发学生审美情趣，陶冶学生思想情操、提高学生思想品德修养。长期严格的数学训练，能使学生养成诚实正直的优秀品质；同样，数学严缜规范，对于形成严肃认真，踏实细致，团结协作，遵纪守法的良好作风，同样起着潜移默化的作用。二、中学数学教育中德育渗透的方法与途径1.为人师表教师的举止言行，学生都在细心观察，甚至加以仿效。因此教师要用严谨的工作作风，实事求是的工作态度，良好的道德情操、渊博的知识，大胆创新、勇于开拓的精神去影响学生，以教师的成就熏陶、感染学生，使学生产生对教师的崇敬之情，以促进学生良好品质的形成。 2.挖掘教材，着眼课内中学数学教材为思想品德教育提

六年级下册数学-利率

《利率》教学设计 【教学内容】 人教版小学数学第十一册第五单元《百分数》第99页《利率》。 【教材分析】 这部分内容是与日常生活中的储蓄相关，里面的“利率”这个概念涉及到百分数的学习内容。课本里提到了很多有关储蓄的概念、知识，学生需要认识、掌握的概念比较，还有一些相关知识是需要教师讲解给学生知道的。课本里通过一个例题将求“利息”、“利息税”、“税后利息”、“实际取回”等相关知识都罗列了出来，因为教材所给的信息量比较少，所以需要教师的多讲解。 【教学目标】 1、通过学生课前对利息相关知识的了解结合教师的补充讲解，理解有关利率、本金、利率的概念； 2、并能结合实际解决关于利息的问题，把握求利息几个关键条件，建立并掌握求利息的基本数量关系式，进一步提高学生分析和解决实际问题的能力。 【教学重、难点】 教学重点：掌握储蓄相关概念，能解决储蓄的实际问题； 教学难点：掌握“税后利息”的计算，解决“实际取回”的实际问题。 【教学策略】 1、通过学生的调查身边的有关利息的事件，建立利息的大致意义； 2、结合学生对教材实例中的数学信息的互动交流和老师的讲解，理解本金、利率、利息的概念。 【教学课型】 新授。 【教学过程】 一、复习准备。

1、教师讲话：在日常生活中，我们会收到一些领用钱，同学们说一下，你们暂时不用的零用钱，会怎么处理呢？（学生回答，引出“储蓄” ） 2、继续发问：讲钱放进银行有什么好处呢？ （学生回答，引出“有利息”这样一个好处。） 3、让学生在四人小组里交流一下，某次到银行储蓄的情况。 4、教师讲话：这节课我们就来研究相关储蓄方面的知识，我们到银行存钱有什么好处呢，这个好处和利息、利率有关。（板书课题：利率） 【设计意图：通过问学生日常生活中相关储蓄的问题，引起本课的课题，以及引起学生的学习兴趣。】 二、教学新知。 1、知识传授，让学生学习本节课的相关内容： （1）存款有哪几种方式？ （2）本金。 （3）利息。利息 （4）利率。（板书出利率的公式：利率= ——— × 100% ） 本金 （5）学习年利率和月利率的概念。 【设计意图：让学生学习储蓄相关概念，为后面的学习作铺垫。】 2、教学例6。 （1）出示例6。 （2）让学生进行思考，一年后可以取回多少钱，需要知道什么条件？ （3）引导学生进行思考： A、利息的多少和什么有关系？（引导学生知道是与本金、利率、时间有关） B、实际取回的钱数=本金+利息；

人教版八年级数学上册同步教案：第十四章 数学活动

数学活动 一、内容和内容解析 1．内容 十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律． 2．内容解析 本节课共有两个数学活动．这两个活动都是围绕两个两位数相乘的积的规律的探究．活动1是探究十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律，其规律是原十位数加上1再与自己相乘，结果后面接25；活动2是探究十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘的积的规律，其规律是十位数乘十位数加1作为结果的百位和千位，两个个位数相乘作为结果的个位和十位．这两个活动都是由非常简单的数学计算入手，让学生探究这些结果中所蕴涵的可以用符号表示的数学规律，需要学生观察、思考、分析、归纳出结果所存在的规律，并运用所学的整式乘法公式和因式分解知识进行推导证明．本章的数学活动是对所学的整式乘法公式和因式分解的实际应用和深化，通过数学活动进一步引导学生感受从特殊到一般，从具体到抽象的归纳过程，使学生在探究、讨论、思考和相互交流中获得知识，培养能力，提高数学思维水平． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：用符号表示并推导十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，体会从特殊到一般的数学思想方法． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)发现十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的规律及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的规律，并会用这个规律进行相应的计算． (2)经历探索数量关系、运用符号表示规律，验证规律的过程，培养学生观察、分析、推理的能力，体会化归思想和从特殊到一般的数学思想在运算中的价值．2．目标解析 达成目标(1)的标志：学生通过十位数字相同，个位数字为5的两位数相乘的积的结果及十位数字相同，个位数字之和等于10的两位数相乘的积的结果，发现其结果与十位数字及个位数字之间的关系，能总结出规律，会用符号表示并推导规律，并能运用规律进行相关

数学教育中的美育及作用(1)

浅谈数学教育中的美育及作用 08春季本科小学教育王伟 摘要:数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它具有高度的抽象性、精确性及应用的广泛性。从数学的理论和实践的具体应用中感受它的美之所在，对于理解数学知识的来龙去脉，提高数学学习的兴趣，掌握学习规律，发挥数学学科在学生德育、智育、美育中的教育作用，促进学生思维的全面发展，提高学生素质，都有重要的现实意义。 关键词：数学美育作用 一、数学美的客观性 1、数学的特点与作用 数学是一门逻辑性极强的学科，它直接源出一套公理体系，然后进行精确计算、严谨推理。从某种意义上说数学是人类精神的种体现，已成为我们后人可以去认识和把握、甚至欣赏的一种伟大的作品。法国大数学家H.庞加莱就曾说过：“感觉数学的美，感觉数与形的调和，感觉几何学的优雅，这是真正的数学家都知道的真正的美感”。 数学能给人以哲理的启示。恩格斯在他的《自然辨证法》中更以哲人的高视点高视点剖析了数学中的量与质的辨证关系。第二，数学学习兴趣得之于感受成功的欢愉。数学史证明，人的认识是无限的，人的力量有可能借助于抽象表达出作为单个物体基础的共性。人是自然界的生灵，而且是最伟大的部分。人们可以“按照美的规律”，遵循一定尺度改造客观世界。他们在“尺度”的掌握中一旦有些自主权，便会感到驾驭自然的快乐。而且每解决一道难题，也便是一次人格的胜利。他从解决的问题中看到了自身的价值，这使他心情愉悦，产生强烈的审美意识。 2、数学美的产生及客观性 数学美的产生，需要具备两方面的条件：一是审美对象的存在。即数学本身存在着美的因素；二是审美者的存在。数学教学过程则为数学审美能力的培养——数学美育提供了条件。数学审美能力是在数学审美活动中逐渐培养起来的，它主要包括数学审美感知力、审美想象力、审美情感活动能力和审美评价能力。数学学习的兴趣来源于两种体验。一是欣赏数学本身美的形式——比例、对称均衡、简洁、和谐、抽象、完整、严密、逻辑性等等。在日常生活中，到处可见具有确

最新六年级数学利率问题

利率问题 一、考点、热点回顾 利率问题也属于百分数问题；居民在银行存款或企业在银行贷款的时候；都涉及到利率问题；利率问题有两种；单利计算问题和复利计算问题。 单利计算问题：在利率不变的条件下；只按本金计利；而利息不计利的计利方式。 复利计算问题：在利率不变的条件下；不仅按本金计利；而且还按利息计利的计利方式。另外；国务院决定；从年10月9日起；对储蓄存款利息所得暂免征收个人所得税。 二、典型例题 例1、银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；张华有1000元；想在银行连续存两年；怎样存款获得的利息最多？是多少元？ 例2、李红的妈妈准备在银行存入20xx0元；存期三年；银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；三年期存款的年利率是3.33%；有哪几种存款方式可供李红的妈妈选择；哪种方式获得的利息最多？是多少元？ 例3、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元；每年需付利息5万元；甲种贷款年利率为12%；乙种贷款年利率为14%；该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 例4、李老师利用业余时间写了一本小说；出版后；从出版社一次性取得稿酬收入1500元；按照个人所得税法的规定；稿酬收入超过800元但不超过4000元的部分；按照14%的税率征收个人所得税。李老师应缴纳的个人所得税是多少元？

三、课堂练习 1、红红的妈妈准备将10000圆存入银行；存期两年；银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；她采用哪种方式存款获得的利息最多？是多少元？ 2、王老师有5000元；准备在银行存入两年。银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；她采用哪种方式存款获得的利息最多？是多少元？ 3、张师傅和王师傅分别领到了20xx元工资；张师傅采用一年期存款的方式在银行连续存了两年；李师傅采用两年期存款的方式在银行存了两年；到期后王师傅比李师傅少获得多少元的利息？（银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%） 4、张平准备在银行存入10000元；存期三年；银行一年期存款的年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；三年期存款的年利率是3.33%；有哪几种存款方式可供张平选择；哪种方式获得的利息最多？是多少元？ 5、王阿姨准备在银行存入5000元；存期三年；银行一年期的存款年利率是2.25%；两年期存款的年利率是2.79%；三年期存款的年利率是3.33%；有哪几种存款方式可供王阿姨选择；哪种方式获得的利息最多？是多少元？

大学数学教案第14章

第十四章 级数 无穷级数是大学数学的重要组成部分，它是由于进行实际计算的需要，随着极限概念的完善而同时形成的。无穷级数是表示函数、研究函数性质及进行数值计算的重要工具之一。本章首先讨论常数项级数，然后讨论幂级数和富里叶级数。 第一节 无穷级数的概念与性质 一、教学目标 1、理解无穷级数收敛和发散的概念。 2、理解无穷级数的基本性质； 3、熟悉级数收敛的必要条件。 二、教学重点 1、无穷级数收敛和发散的概念； 2、无穷级数的基本性质。 三、教学内容 1、无穷级数的概念 (1)设已给数列123,,,,,n u u u u L L ，则式子 123n u u u u +++++L L 或简记为 1 n n u ∞ =∑，称为无穷级数，其中 第n 项n u 叫做级数的通项或一般项。 （2）各项都是常数的级数称为常数项级数。 （3）定义 当n →∞时，若级数 1 n n u ∞ =∑的部 分和所成的数列{}n S 有极限S ，即 lim n n S S →∞ =，则称级数收敛，并称S 为级数 的和，记为 1231 n n n S u u u u u ∞ ===+++++∑L L ，这时也称级数收敛于和S 。若{}n S 没有极限，则称级数发散。 例1 判定级数 111111 (1) 122334(1)n n n n n ∞ ==+++++++∑L L g g g 的敛散性. 例2 判定级数 1 111ln(1)ln(11)ln(1)ln(1)2n n n ∞ =+=+++++++∑L L 的敛散性. 例3 讨论等比级数（也称几何级数） 1 211 n n n ar a ar ar ar ∞ --==+++++∑L L 的敛散性. 例 4 试利用无穷级数说明循环小数 10.33 ? =.

小学三年级数学教学计划

小学三年级数学教学计划 导读：本文是关于小学三年级数学教学计划的文章，如果觉得很不错，欢迎点评和分享！ 【范文一：小学三年级数学教学计划】 一、学生基本情况分析： 三年级两个班共有学生114人，他们的年龄大多数在10岁左右，是一群活泼、天真、烂漫的少年儿童。虽然村籍不同，但是他们却关系融洽，团结一致，有强烈的集体荣誉感。 思想方面：这些同学天真伶俐，品德良好，乐于助人，能团结友爱，互帮互助，多数学生有强烈的进取心。他们通过学习，受到了一定的教育：如奋发向上，关心他人，做事一丝不苟，待人真诚，做事认真负责等。多数同学认识到学习的重要性，不学习就落后，就没有本领。但个别同学认识不够，纯粹是做一天和尚撞一天钟——得过且过。这样的学生应该给予正面引导。 纪律方面：大部分同学能够遵守学校纪律和学校的规章制度，按时到校上课，不迟到，不早退，遵守《教室规则》和《小学生守则》，同学之间不打架，不骂人，尊敬师长，文明守纪。 学习方面：经过三年多的学习，大部分同学掌握了一定的独立学习的方法，数学水平有了较大的提高，计算、理解能力也具备了一定的水平，上课时，思维敏捷，迅速，回答问题积极踊跃，能按时完成教师布置的作业，并自觉的预习功课。大部分学生，上课时能比较积

极的回答问题，但思考问题较慢。当然，也有一部分同学，头脑灵活，思维敏捷，但缺乏稳定性，自立意识不强，懒于动脑；还有一部分学生，头脑思维较慢，反映不灵活，基础知识掌握特不好，虽然干劲比较大，但成绩总是提不高。 总体上，从上学期成绩分析看，成绩较理想但还需继续努力，本学期要因材施教，分别对待。对于自己认为聪明得很，平时懒读、懒写、懒做题，成绩也不会好到哪儿去的学生，可以引导多自学，自己悟出道理，小组展开讨论，比教师苦口婆心的说教会更有效。对于基础很差、干劲更差，上课不遵守纪律，作业叮嘱再三都不能完成的同学，更要认真对待，发现他们思想、学习中的闪光点，鼓励他们的点滴进步，与家长联系沟通，与优生结对子，力争使他们成为砌墙的砖头——后来居上。 在小学阶段的最后一个学期，要继续发挥学生的主体作用，培养学生的自学能力，提高学生的思维能力和实践能力。 二、教材分析 （一）本册教材内容包括下面一些内容：除数是一位数的除法，两位数乘两位数，小数的初步认识，位置与方向，面积，年、月、日，简单的数据分析和平均数，用数学解决问题，数学广角和数学活动等等。 （二）本册教学的主要目的要求 1、会笔算一位数除多位数的除法、两位数乘两位数的乘法，会进行相应的乘、除法估算和验算。

2013年高考数学全国课标卷选择第12题解法的思考

高考数学选择第12题解法的思考 宁县二中 徐长恩 高考结束后研究今年高考数学考题成为我们这几天主要讨论话题，其中选择题中的最后一个题目引起了我们几位老师的兴趣。就这道题的解法我的思考如下，有不当之处敬请各位指正。 原题是：已知A （-1,0）、B （1,0）、C （0,1），直线y=ax+b （a>0）将?ABC 分割为面积相等的两部分，则的b 取值范围是 A （0,1） B （1- 12 ） C (1-,13) D （12，13 ） 分析：如图所示直线y=ax+b 分割三角形ABC 为面积相等的两部分,由a>0可以知道，直线将三角形ABC 分割成了一个三角形和一个四边形，直线y=ax+b 与x 轴交点位置为分类标准会有如下三种情形： 直线y=ax+b 与x 轴交点位置在OA 之间时，刚好经过A 点时，以及产生在A 点左侧三种情形。（容易判断直线与x 轴的交点不会产生在OB 段落上） 第一种情形可知：如图1所示，直线y=ax+b 与x 轴交点位置在OA 之间的D 点时，即-1

综上整理得：。由①、②可以转化为：2 012b a b a b <? ?-???>--?，整理得 22 2410 34 10 b b b b ?-+? 1122113b b b ?-<<+???? ?<>?? 或 ， 解得：112 3 b - << .

1-2 数学教育的功能

第二节数学教育的功能 教学内容：数学的科学价值、应用价值、人文价值、教育价值；数学教学中如何体现数学的价值。 教学目标： 1．了解数学的科学价值、应用价值、人文价值、教育价值，树立数学文化观。 2．理解如何在数学教学中体现和揭示数学的价值。 教学重点：如何在数学教学中体现和揭示数学的价值 教学难点：数学文化观。 教法与学法：讲解法讨论法 教学程序： 每个人在学校所受的教育中，数学是一个重要的部分，这是公认的事实。数学教育对于每个人的一生有着重大影响，在整个科学文化教育中占有无可比拟的地位，归根结底是由数学本身巨大的价值作用所确定的。因此要明确数学教育的功能就得首先明确数学的价值。 一、数学的教育功能 高中数学课程标准指出：通过高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体现数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹。 （一）数学的基础性、工具性和应用性价值 “数学是科学的女王和仆人”。“女王”指的是结构的严谨和内容的优美，以及它对其它学科所起的权威性的作用。“仆人”意味着服务者，它为一切科学服务，成为一切科学的有效工具。数学是物理学、力学、化学、天文学、生物学等自然科学的基础。数学为它们提供了描述大自然的语言和探索大自然的工具。正如伽利略所说：“自然界这部伟大的书是用数学写成的”。从历史上看，众多的天文的、物理的重大发展无不与数学的进步有关。如牛顿的万有引力定律的发现是依赖于微积分，爱因斯坦的相对论则与黎曼几何及其它数学的发展有关。杨振宁的规范场理论体现在数学上，其实质就是数学家陈省身的纤维丛理论。DNA是

一种双螺旋结构，它是数学中纽结理论的研究对象。 微积分的发展，开创了科学的新纪元。在此之前，人类还基本上处于农耕文明时期。“有了微积分。人类才有能力把握运动和过程，有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接结果”。 数学是一切重大技术革命的基础。在现代社会中，数学不仅对科学技术的进步仍然发挥着基础理论和基础应用的作用，而且已成为一种普遍适用的技术。与现代社会有密切联系的数学分支，如离散数学、概率论与数理统计、计算数学等正在飞速发展，在一些重大的工农业生产的问题解决中，如齿轮的设计、冷轧钢板的焊接、海堤安全高度的计算等方面，数学方法是非常有效且便宜的方法。20世纪最伟大的成就是电子计算机的发明与应用，使人类进入了信息时代。然而无论是它的发明还是应用都是以数学为其基础的。1985年，美国国家研究委员会在一份报告中指出：“数学是推动计算机技术发展和促进这种技术在其它领域应用的基础科学”。美国总统科学顾问艾德华.大卫甚至说：“很少人认识到当今如此被广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术”。事实上，从医疗上的CT技术到中文印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油勘探的数据处理到信息安全技术，无不是数学在其中起着十分重要的作用。如今随着科技的进步，几乎所有的信息都数字化了，出现了诸如数字化照相机、数字化电视机等高科技产品，还出现了“数字地球”这样的说法。如果说整个人类文明可分为三个层次：以锄头为代表的农耕文明；以大机器流水线为代表工业文明；以计算机为代表的信息文明，那么数学在这三个文明中都是深层次的动力，起作用一次比一次明显。 数学在经济理论研究以及经济、财政和金融活动中也有重要的作用。市场经济需要人们掌握成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场、预测、风险评估等。一系列经济词汇的频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券……几乎每天都会碰到，对这些概念的理解，都离不开数学这一强有力的工具。用数学模型研究宏观经济和微观经济，用数学手段进行市场调查与预测、进行风险分析、指导金融投资等，已是世界各国的广泛行为。近年来，获得诺贝尔经济学奖的学者中，很多是因为借助了先进的数学理论和方法而作用出重大贡献的。如

教案：利率(六年级数学)

利率 教学目标： 通过教学使学生知道储蓄的意义；明确本金、利息、税后利息和利率的含义；掌握计算利息的方法，会进行简单计算。 教学重难点： 重点：掌握利息的计算方法。 难点：正确地计算利息，解决利息计算的实际问题。 学情分析： 知识基础：1、学生刚学过百分数知识，总体上掌握得较好，所以学生较容易接受。2、学生对储蓄、保险、纳税知识有了一定的了解。 解决问题的能力：学生有一定互质疑、解疑的能力，但分析信息、处理信息的能力较弱，从数学的角度提出问题、理解问题和解决问题的能力不强。 教学过程： 一、揭题示标 1、出示学习目标 2、情景引入。随着改革开放，社会经济不断发展，人民收入增加，人们可以把暂时不用的钱存入银行，储蓄起来。这样一是支援国家建设，二是对个人也有好处，既安全和有计划，同时又得到利息，增加收入。了解银行的有关知识。 二、引导自学 1、介绍存款的种类、形式。 存款分为活期、整存整取和零存整取等方式。 2、阅读P99页的内容，自学讨论例题，理解本金、利息、税后利息和利率和含义。（例如：小丽2001年月1月1日把100元钱存入银行，整存整取一年，到2002年1月1日，小丽不仅可以取回存入的100元，还可以得到银行多付给的确1.8元,共101.8元。） 本金:存入银行的钱叫做本金.小丽存入的100元就是本金。 利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。 税后利息：国家规定，存款的利息要按20%的税率纳税。小丽实际得到的1.8元是税后利息。国债的利息不纳税。

利率：利息和本金的比值叫做利率。 （1）利率由银行规定，根据国家的经济发展情况，利率有时会有所调整，利率有按月计算的，也有按年计算的。 （2）阅读P99页表格，了解同一时期各银行的利率是一定的。 3、学会填写存款凭条。 把存款凭条画在黑板上，请学生尝试填写。然后评讲。（要填写的项目：户名、存期、存入金额，、存种、密码、地址等，最后填上日期。 4、利息的计算。 （1）出示利息的计算公式：利息=本金×利率×时间 （2）计算方法： 按照以上的利率，如果小丽的100元钱存整取三年，到期的利息是多少？学生计算后交流，教师板书：100×2.70%×3=8.10(元) （3）三年后取款,小丽能得到8.10元利息吗?为什么? 学生发表意见后,教师指出:1999国家规定存款时,要按利息的确20%缴纳利息税,你能再算一算如果你存入100元,3年后实际能得多少利息吗? （4）学生计算后回答,教师板书: 利息税金:8.10×20%=1.62元税后利息:8.10-1.62=6.48元 加上她存入本金100元,到期时她可以实际得到本金和税后利息一共是106.48元。 三．巩固拓展 1、小华把得到的200元压岁钱存入银行，整存整取一年。她准备到期后将钱全部取出捐给“希望工程”。如果按年利率2.25％计算，到期后小华可以捐给“希望工程”多少元钱？ 2、李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率是3.60%，利息税率为20%。到期后，李老师的本金和利息共有多少元？李老师交了多少利息税？ 3、小明的爸爸打算把5000元钱存入银行（三年后用）。他如何存取才能得到最多的利息？ 四、本节小结。 通过这节课，你都学到了什么？ 五、布置作业。

三年级数学教学计划

三年级数学教学计划 组织课堂教学是一门艺术，能否吸引先生是上好一堂课的先决条件，教员只要在教学中不时提高自己的教育教学素养，不时实际总结，才干更好地驾驭课堂，到达最优最正确的教学效果。查字典数学网编辑了三年级数学教学方案，欢迎阅读! 一、状况剖析 (一)班级状况剖析： 在经过了两年的数学学习后，先生在数学基本知识、技艺方面基本上曾经到达一定的水准，对学习数学有着一定的兴味，乐于参与学习活动中去。特别是一些入手操作、需求协作完成的学习内容都比拟感兴味。但是一局部学困生在遇到思索深度较难的效果时，有畏缩心情。只要课堂和数学学习的活动中，才干充沛的表达一个孩子学习的真实状况。因此对这些先生，我应该关注的更多的是使曾经基本构成的兴味再接再厉的坚持，并逐渐引导的思想的乐趣、成功体验所取得的乐趣中。再加之有一些厚爱生的基础比拟差，计算才干、思想才干还需求进一步提高，一些数学学习中的良好习气还有待于增强，关于这些先生要在本学期的教育教学中培育孩子的良好学习习气，增强孩子的自决计，探寻良好的学习方法，采用各种鼓舞机制，让孩子迎头赶上。 (二)教材剖析

本学期教材内容包括下面一些内容：万以内的加法和减法笔算，缺乏数的除法，多位数乘一位数，分数的初步看法，四边形，千米和吨的看法，时、分、秒，能够性，数学广角和数学实际活动等。 二、本学期教学的指点思想 1、改良笔算教学的编排，表达计算教学革新的理念，注重培育先生的数感。 2、量与计量的教学联络生活实践，注重先生的感受和体验 3、空间与图形的教学，强调实践操作与自主探求，增强估测看法和才干的培育。 4、提供丰厚的理想学习素材，表达知识的构成进程。 5、逐渐开展先生综合运用知识的才干，注重情感、态度、价值观的培育。 三、本学期教学的主要目的要求 (一)、知识和技艺方面 1、会笔算.会笔算三位数的加、减法，会停止相应的预算和验算。 2.会口算一位数乘整十、整百数;会笔算一位数乘二、三位数，并会停止预算;能熟练地计算除数和商是一位数的缺乏数的除法。 3.初步看法复杂的分数(分母小于10)，会读、写分数并知道各局部的称号，初步看法分数的大小，会计算复杂的同分母

高考数学选择题12题蒙题技巧

高考数学选择题12题蒙题技巧 很多同学来问我高考数学复习技巧，往往一开口就是大题要怎么做。每每反问他们： 你们的选择、填空都十拿九稳了吗？怎么一来就直冲大题？他们总会不好意思地挠挠头， 说选择、填空分少，选择题还有答案，但大题只要不会就是无从下笔，感觉自己会非常心慌。 代入法 这列方法往往是给定了一些条件，比如a大于等于0，小于等于1。b大于等于1，小 于等于2.这些给定了一些特殊的条件，然后让你求一个ab组合在一起的一些式子，可能 会很复杂。但是如果是选择题，你可以取a=0.5，b=1.5试一试。还有就是可以把选项里 的答案带到题目中的式子来计算。倒推法! 区间法 这类方法也称为排除法，在答高考考数学选择题是，靠着大概计算出的数据或者猜一 些数据。比如一个题目里给了几个角度，30°，90°。很明显，答案里就肯定是90±30度，120加减30度。或者一些与30，60，90度有关的答案。 坐标法 如果做的一些高考数学图形题完全找不到思路，第一可以用比例法，第二可以用坐标法，不用管什么三角函数，直接找到两点坐标，直接带入高中函数求角度cos公式求垂直，求长度，相切相离公式。直接直捣黄龙，不用一点点找角度做什么麻烦的事。 比例法 高考数学选择题用比例法这个方法很简单也很无赖。如果遇到一个图形题，首先把已 知的标上去，未知的用量角器量也要量出来，之后就是见证奇迹的时刻!尺子量出两条实 线的比例关系，然后通过已知的一边，通过比例大概估算求得那个边长。 蒙题技巧就是让你通过对比选项间的差异，将整体的构思聚焦于局部的分析，而分析 局部往往是比构思整体更为简单的。 1、圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致算不出，这时你可以取特殊值法强行 算出过程就是先联立，后算代尔塔，用下韦达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了。 2、高考数学必考题型之空间几何，证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直 接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题 可以直接用!用常规法的考生建议先随便建立个空间坐标系，如果做错了，至少还可以得 几分，这是一个投机取巧的技巧，但好过一分不得!

新人教版初中数学八年级上册《第十四章整式的乘法与因式分解：数学活动》公开课教案_0

十字相乘法教学设计 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质； 【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？ (1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x－3) (3) (x－2)(x+3) (4) (x －2)(x－3)

= = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++ )2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . 例2： 将下列各式用十字相乘法进行因式分解： (1) x 2 －7x + 12； (2) x 2－4x －12； (3) x 2 + 8x + 12；

(完整版)最新人教版三年级数学下册教学计划和课时安排

2019年春箍湖小学三年级数学下册教学计划 袁双林 新的一学期又开始了，为了切实提高课堂教学质量，让学生在相对轻松的氛围中理解、探究、掌握知识，培养学生独立思考的习惯，提高学生分析解决问题的能力，特拟定如下教学工作计划： 一、学情分析 从上学期考试成绩分析，本班学生的基础知识、概念、定义掌握比较好，口算、笔算验算及脱式计算比较扎实；但一些学生粗心大意，灵活性不够，解决实际问题的能力不强。大部分学生对数学比较感兴趣，接受能力较强，学习态度较端正；但也有少数同学学习习惯极差，学习能力极差，如罗志等同学，所以在新的学期里，要在端正他们学习态度的同时注重与家长的沟通，加强各种数学能力的培养，尽快提高他们的数学成绩。 二、教材分析 本册实验教材的教学内容主要有：除数是一位数的除法，两位数乘两位数，小数的初步认识，位置与方向，面积，年、月、日，复式统计表，用数学解决问题，数学广角—搭配（二）和数学实践活动等。 （一）数与代数 1、数的认识 第七单元，小数的初步认识。 （能认、读、写小数） 2．数的运算 ⑴第二单元，除数是一位数的除法。 变化：根据课标的要求删去了用一位数除，商四位数；改变口算除法的编排；增加了估算的内容。 ⑵第四单元，两位数乘两位数。 变化：改变⑴口算乘法的编排；将“三位数乘两位数”后移至四年级上册；加强估算。 3．常见的量 第六单元：年、月、日及24时计时法。 增加联系学生生活实际和有意义的情境。 （二）图形与几何 1．测量。 第五单元：面积。 认识面积单位，掌握长方形、正方形的面积公式，进一步促进空间观念的发展。 2．图形与位置。 第一单元：位置与方向。 让学生初步形成辨认方向、表达与交流物体所在的方向的能力等。 （三）统计与概率 第三单元，统计。 初步认识简单的复式统计表，能根据表中的数据提出并回答简单的问题，并能够进行简单的分析。（四）综合与实践 1．第八单元，数学广角---搭配（二） 2．实践活动（“制作活动年历”和“我们的校园”）。 三、教学目标 1、认识东、南、西、北、东北、西北、东南和西南八个方向，能够用给定的一个方向（东、南、西或北）辨认其余的七个方向，并能用这些词语描述物体所在的方向；会看简单的路线图，能描述行走的路线。 2、会笔算一位数除多位数的除法、两位数乘两位数的乘法，会进行相应的乘、除法估算和验算。 3、会口算一位数除商是整十、整百、整千的数，整十、整百数乘整十数，两位数乘整十、整百数（每

高考数学12题蒙题技巧

高考数学12题蒙题技巧 很多同学来问我高考数学复习技巧，往往一开口就是大题要怎么做。下面给大家分享关于高考数学12题蒙题技巧_数学高考该怎么写蒙对.欢迎阅读! 1、数学蒙题技巧守则 1、答案有根号的，不选 2、答案有1的，选 3、三个答案是正的时候，在正的中选 4、有一个是正x，一个是负x的时候，在这两个中选 5、题目看起来数字简单，那么答案选复杂的，反之亦然 6、上一题选什么，这一题选什么，连续有三个相同的则不适合本条 7、答题答得好，全靠眼睛瞟 8、以上都不实用的时候选b 2、字母算式求结果，极值大法直接代入

举例：等差数列{an｝前n项和为sn，且a1大于0，若存在自然数m≥3，使sm=am，当n大于m时，sn与an的大小关系为： a、snand、sn≥an 极值代入： 假设m=3，n=4，a1+a2+a3=s3=a3，那么就有a1+a2=0，也就是互为相反数，并且a10，这个再来一个特殊值，a1=1，那么公差就等于-1，那么这个数列就是1，-1，-3…… 3、逻辑分析，有些题不用算 举例说明：此处省略一大堆文字介绍，k的值是? a.-33 b.33 c.15 d.71 九成概率选b，想知道为什么? 以下是3秒中脑海中闪过的：有33正负两种，那出题者肯定考察这方面的运算错误，所以cd选项就是充数的，若是-33是正确答案，那至少要同时正负出现错误、数值出错才可能选d。一般情况下，出题人会给每个错误一个“错下去的理由”，如果多于一个，肯定不是。所以选b。 4、平面几何求长度，用尺子量

有些出卷老师相当认真，出的几何题就怕不准，电脑算过了，定成试卷还要用尺子量。 对，想必你已经知道了：某些长度目测与实际一致的高考题，可以直接用尺子量出答案。想一下，如果你量的2.42cm，结果就可能是2√2 5、数形结合，一不做二不休 选择题与填空题绝对有三到四个是非常难，但绝对不应该浪费太多时间算的;这时候最简单的办法就是用图象表达，有些题目一画就出来了。 6、量原则 理想状态：15道题，每题5个选项，a、b、c、d、e平均每个选项共出现3次。答案排列：3、3、3、3、3 实际状态：每个选项在2——4的范围内。 选项排列：3、3、3、2、4(此种状态略多呈现)或3、2、4、2、4。即某一个选项为2个，某一个选项为4个 7、三不相同原则 即连续三个问题不会连续出现相同答案，答案排列不会出现abcde的英文字母排列顺序

数学文化的教育功能

数学文化的教育功能 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数学文化的教育功能 段灿松曲靖 2013/5/25 任何一门学科都有它的教育功能，数学文化观下数学的教育功能除了教会学生掌握这门工具之外，还通过数学文化对学生进行非智力因素的培养，这不同于理论的灌输，更不是对知识贴标签，而是挖掘数学知识的思想内涵，将教育的内容渗透到知识的学习过程中，让学生受到数学文化的熏陶，从而提高学生的数学素养。实践证明数学文化是培养学生数学素养的重要途径，数学文化有着丰富而巨大的教育价值。 1有利于理性思维素质的提升与改善 理性思维是学生数学素养中不可缺少的组成部分。理性思维是一种历史的、科学的、富有哲理的思考，是批判的思维，是求异或创造性的思维，是一种在更高层次上进行的道德推理。在教育中，数学是培养人们理性思维素质最有效的学科。 数学的许多具体知识尤其是高等数学知识，对普通人而言在很多时候都用不到，但是通过数学学习，数学文化蕴含的思想方法可以使学生的思维得到很好的训练，思维的条理性、逻辑性、严谨性对他们将来从事任何一种职业都是需要的，且终生受益。[11]数学是思维的体操，这说明学习数学对培养人们的逻辑思维能力有非常重要的作用，学生在数学教学过程中教师应注重培养和发展学生的数学思维能力。 2培养学生的应用意识 随着现代科学技术的快速发展，数学在各行各业中的应用也日益广泛。中国传统数学是非常注重实用性的，《周髀算经》、《九章算术》等书中记载的数学问题基本上都是与人们的生产、生活实际相关的，实用性是中国传统数学的典型特征。数学与人类的生产、生活紧密相关，生活中许多问题都涉及数学，在这“数学化”日益加重的当代社会，要提高国

人教版三年级数学上册教学计划

2014-2015年人教版小学三年级数学上册教学工作计划 一、情况分析 （一）班级情况分析： 1、本班共有学生39人，其中男生21 人，女生18人，从上学年考试成绩分析，学生的基础的知识、概念掌握还算牢固，口算及乘法口诀掌握还好。但粗心大意的还比较多，灵活性不够，应用能力较差。但总的来说大部分学生对数学比较感兴趣，但接受能力不强，学习态度较端正；也有部分学生自觉性不够，不能及时完成作业等，对于学习数学有一定困难。所以在新的学期里，在端正学生学习态度的同时，应加强培养他们的各种学习数学的能力，以提高成绩。 2、本班级有些同学自觉性不够，缺乏刻苦钻研的精神，总想偷懒，不做作业或者抄别人的作业。今后首先还是加强学习习惯培养，如学前的预习、课后的复习等。在书写上还要继续提高要求，只有让学生在认真书写的基础上才有可能认真思考。因此要在本学期的教育教学中培养孩子的良好学习习惯，增强孩子的自信心，探寻良好的学习方法，采用各种激励机制，让孩子迎头赶上。 （二）教材分析 本学期教材内容包括下面一些内容：万以内的加法和减法笔算，倍的认识，多位数乘一位数，分数的初步认识，长方形和正方形，毫米、分米、千米和吨的认识，时、分、秒，，数学广角—集合（重叠问题）和数学实践活动（数字编码）等。 这学期本册教材的重点教学内容是万以内的加法和减法笔算、多位数乘一位数以及四边形，所以培养他们的计算能力及空间思维能力是关键。在教学中加强数学数量关系的分析，让学生学会分析，学会审题，提高解题能力。最后在激发学生学习兴趣方面多寻找方法，使他们乐学，愿学。 二、本学期教学的指导思想 1、改进笔算教学的编排，体现计算教学改革的理念，重视培养学生的数感。 2、量与计量的教学联系生活实际，重视学生的感受和体验 3、空间与图形的教学，强调实际操作与自主探索，加强估测意识和能力的培养 4、提供丰富的现实学习素材，体现知识的形成过程。

最新高考数学全国1卷第12题出处及变式

精品文档 1 1. 2018 全国 1 卷理科第 12 题 ——对正方体结构的认知和运 用+截面面积计算 1.（2018 全国 1 卷理科第 12 题）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的 角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 4 D ． 2 【解析】注意到正方体 12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即 可，注意到正方体的结构，则平面应为图 1 中所示，所以只需由图中平面平移即可。 最大面积截面如图 2 所示， ，故本题正确答案为 A 。 变式 1：（1994 全国联赛填空题第 5 题）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于α， 则 sin α= 【解析】如上图 1，顶点到平面 ABC 的距离为体对角线的 1 ，则 sin α = 3 a 3 = 3 . a 3 变式 2：（2004 湖南数学竞赛第 8 题）过正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的对角线 BD 1 的截面面 积为 S ，则 S max 的值为（ ） S min 3 6 2 3 2 6 A. B. C. D. 2 2 3 3 【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面 BED 1 F 为平行四边形，则 1 S = 2S ?BED = 2 ? 2

精品文档 BD 1 h ，此时 E 到 BD 1 的最小值为 CC 1 与 BD 1 的距离，即当 E 为中点

精品文档 时，h=2 a（a 为正方体棱长），S=2? 1 ? 3a? 2 a = 6 a2 ，又因为S 为 min 2 min 2 2 2 max 四边形BC1D1F 的面积，选C. 变式3：（2005全国高中数学联赛第4题）在正方体ABCD -A'B'C'D' 中，任作平面α与对角线AC' 垂直，使得α与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（） A. S 为定值，l 不为定值 B. S 不为定值，l 为定值 C. S 与l 均为定值 D. S 与l 均不为定值 【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥A-A'BD 与C'-D'B'C 后,得到一个以平行平面A'BD 与D'B'C 为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W 的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱A'B'剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形A'B'B1 A1 ,如图 而多边形W的周界展开后便成为一条与A' A1 平行的线段(如图中E'E1 ),显然E'E1 =A' A,故l为定值. 当E'位于A'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A'处时,W为正三角形,易知周长为 定值l的正六边形与正三角形面积分别为 3 l2 与 24 3 l2 ,故S不为定值. 36 变式4：在长方体ABCD -A1B1C1 D1 中，AB =AD = 4, AA1 = 2 ，过点A1 作平面α与