高等数学下复习题补充

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第8章

1 基本关系:

(1)多元函数一阶偏导数连续,一阶偏导存在,可导(这两个同义),连续,可微,方向导数存在之间的关系?

(2)多元函数二阶偏导数连续与二阶混合偏导相等关系? 例如:P72—1 2下列各极限都存在,则(0,0)x f 定义为( B )

A 0(,)(,0)lim

x f x y f x x ?→??-?? B 0(,0)(0,0)

lim x f x f x

?→?-?

C 0(,)(0,0)lim x f x y f x ?→??-?

D 0(0,)(0,0)

lim x f y f x

?→?-?

3下列各极限都存在,则(1,0)x f 定义为( B )

A 0(1,0)(1,0)lim

x f x y f x x ?→+?+?-+?? B 0(1,0)(1,0)

lim x f x f x

?→+?-?

C 0(1,0)(1,0)lim x f x y f x ?→+?+?-?

D 0(1,0)(1,0)

lim x f y f x

?→+?-?

4 函数2

3z x y =在(0,0)点( A )

A 无极值

B 有极小值

C 不是驻点

D 有极大值

5 函数z =

在(0,0)点( A )

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A 有极小值

B 有极大值

C 无极值

D 是驻点 6 函数3

3

z x y =+在(0,0)点( C )

A 有极小值

B 有极大值

C 无极值

D 不是驻点

7 函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大,方向导数最大值等于梯度的模。 例:单元测试(二)第四大题

第9章 1 设22:1D x y +≤, 则3cos D

x yd σ=?? 0 . 2 设22:1D x y +≤, 则22sin()D

x x y d σ+=??

0 .

3设2

2:4D x y +≤, 则

2D

dxdy =??

8π .(对比第10章题1)

4 设一薄板在平面内占有有界区域D ,面密度为连续函数(,)x y μ, 则此薄板的质量用二重积分表示为 。

(,)D

x y d μσ??

5面密度为2

23x y z μ=++的球壳∑的质量的积分表达式为 。2

(23)x

y z dS ∑

++??

6求面密度为μ= 2

2

(01)z x y z =+≤≤的质量。

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解:

3π=??

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7 设一物体占有有界空间闭区域 01,01,01x y z Ω≤≤≤≤≤≤:,密度x y z μ=++,求物体质量。 解:

()x y z dxdydz

Ω++???3zdxdydz Ω

=???11

3

332

z

D zdz dxdy zdz ===

???? 8 书P89——例题5,注意与P131——3(4)差别

第10章

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1 设L 为圆周221x y +=的下半圆周, y =22()L

x y ds +=?

π 。

2设L:221x y +=,取逆时针,则2

1(sin )cos 2

L

y x y dx x ydy ++

=?

π 。 (注意1与2计算过程中差别) 3 设L 为平面曲线03

(0)2x x y =≤≤

, 则4L

ds =? 6 。

4 设L 为圆周22(1)(1)3x y -+-=, 则

L

ds =?

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5设S 表示上半球面2224(0)x y z z ++=≥,则

S

dS ??= 8π 。

6.设?-=L

x yx y xy I d d 22,其中L 为圆周222a y x =+沿逆时针方向,以下计算该线积分的方

法是否正确?为什么? 由Green 公式得

.d d )(4222πσσσ==+=????D

D

a x y I

解:不正确

7.设dy dx zx dx dz yz dz dy xy I ∧+∧+∧=??∑

222.其中∑为球面2222a z y x =++外侧,以下计算该

面积分的方法是否正确?为什么?

由Gauss 公式得

523)

(222)(234

34)(a a a dV a dV x z y I V V ππ=?==++=??????

其中)(V 为球体2222a z y x ≤++。 解:不正确

注意:从6,7两题体会什么时候可以代,什么时候不能代

第11章

(一) 傅里叶级数

1()S x 是()(01)f x x x =≤<展成以2为周期的余弦级数的和函数,则1()3S -=

1

3

。 2()f x 是以2π为周期的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为2

0()0x x f x x x πππ

π

+-≤

=?≤

傅里叶级数在x π=-是( A ) A

2

π

B π

C 0

D 发散 3()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2

1

()10x f x x

x ππ

--<≤?=?

+<≤?,则()f x 的

傅里叶级数在x π=处收敛于 2

2

π 。

4()f x 是以2π为周期的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为0

()0x e x f x x x ππ?-≤<=?-≤

,则()f x 的傅

里叶级数在2x π=处收敛于 1

2

(二) 幂级数

1()f x 的麦克劳林级数为0

n

n n a x ∞

=∑, 则n a = ()(0)

!n f n 。

2()f x 的泰勒级数为0

(1)n

n n a x ∞

=-∑, 则n a = ()(1)

!n f n 。

3 幂级数

(1)

n

n n a x ∞

=-∑在x=4发散 ,则以下确定的是( B )

A 1x =-处发散

B 3x =-处发散

C 收敛半径3R >

D 收敛半径3R = 4 求

(21)n

n n x

=+∑的和函数

(三) 数项级数

1 下列级数发散的是( B )

A 1

1

(1)ln(1)n

n n ∞

=-+∑ B

131

n n

n ∞

=-∑ C 1

1

(1)3n

n n ∞

=-∑ D 11

(2)

n n n ∞

=+∑ 2设

1

n

n a

=∑是正项级数,则下列结论正确的是( B )

A 若lim 0n n na →∞

=, 则

1

n

n a

=∑收敛 B 若存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞

=,则

1

n

n a

=∑发散

C 若级数

1

n

n a

=∑收敛 ,则2

lim 0n n n a →∞

= D 若级数

1

n

n a

=∑发散,则存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞

=

3 级数2

1

1sin n n n π∞

=∑ ( B )

A 条件收敛

B 绝对收敛

C 发散

D 收敛性不能确定 4 设常数0k >, 则

3

1

sin

n k

n n ∞

=∑ ( A ) A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性不能确定 5 设常数0k >, 则

21(1)n

n k n

n

=+-∑ ( B ) A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性不能确定 6设常数0k >, 则

1

(1)n

n k

n

=-∑ ( B ) A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性不能确定 7如果

1

n

n u

=∑收敛,以下错误的是( B )

A

1

n

n ku

=∑收敛(k 是常数) B

1

n

n u

=∑收敛

C 11

n n

u ∞

=∑发散 D

()21

21n n n u

u ∞

-=+∑收敛

8判断对错 (1) 若

2

1n

n u

=∑收敛,

21

n

n v

=∑收敛,则

21()n

n n u

v ∞

=-∑收敛

(2) 若

1()n

n n u

v ∞

=-∑收敛, 则1

n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑都收敛

(3) 若

1

n

n u

=∑收敛,则lim 0n n u →∞

=

(4) 若0n u ≥且lim (0)n n nu l l →∞

=<<+∞,则

1

n

n u

=∑收敛

解:(1)(3)正确;(2)(4)错误

9

证明级数

1(1)100

n

n n ∞

=-+∑条件收敛。

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10

判断级数

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11

(1)(1n n ∞

-=--∑的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 解:条件收敛

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11 设数列{}n b 满足0,1,2...n b n >=,且级数21

n

n a ∞

=∑

收敛,证明:

1

1

(1)n n ∞

-=-∑

第12章

1 关于微分方程的阶, 例 P263-1

2解方程2

2

()()0xy x dy x y y dx ++-= 提示:因式分解,可知是可分离方程

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