2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(一)理科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（一）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}ln 0P x x =>，{}

12Q x x =-<<，则P Q =（ ）

A ．()1,2-

B ．()0,1

C ．()0,2

D ．()1,2

2．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ） A ．1i --

B ．1i -

C ．1i -+

D ．1i +

3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为

6

π

，则()(2)+?-=a b a b （ ） A ．

12

B ．32

-

C ．12-

D ．

32

4．为了得到函数πsin 23y x ??

=-

??

?

的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移

5π

12个单位 B ．向右平移

5π

12个单位 C ．向右平移6

π

个单位 D ．向左平移

6

π

个单位 5．命题“任意0x >，1

1x x

+

≥”的否定是（ ） A ．存在00x ≤，001

1x x +

≥ B ．存在00x >，00

1

1x x +

< C ．任意0x >，11x x

+

< D ．任意0x ≤，11x x

+

≥ 6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积

分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈）

A ．3.05

B ．3.10

C ．3.11

D ．3.14

7．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2

BCD ∠=， 若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（ ）

A ．43π

B ．3π

C ．9π

D ．4π

8．函数()()ln x

x

f x e e x -=+的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一

点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

10．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）

A ．44

B ．68

C ．100

D ．140

11．等腰直角OAB △内接于抛物线，其中O 为抛物线()2

:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，

OAB △的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则

OM

MF

的最大值为（ ） A ．

33

B ．

63

C ．

3

3

D ．

26

3

12．已知()()e e cos 2

x

x

f x x x -+=

+∈R ，[]1,4x ?∈，()()ln 222f mx x f --≤-

()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．12112,22n n +??

????

B ．1

12,1e 2n ??

+

????

C ．12

12,122n n ??+?

???

D ．11ln 2,

e 2+??

????

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．()6

2221x x x ??-- ??

?展开式中4x 的系数为________．

14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤??

-+≥??+-≥?

则2z x y =-的最小值为________．

15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=，

2a =，则ABC △的面积的最大值是_______．

16．对于函数()[]

()()sin π,0,212,2,2

x x f x f x x ?∈?

=?-∈+∞??，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有

()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k =+∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函

数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()2

f x x

≤恒成立．则其中所有真命题的序号是______．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12a <，设1

1

n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求二面角P EC D --的正切值．

19．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22?列联表如下：

对优惠活动好评

对优惠活动不满意

合计

对车辆状况好评

100 30 130

对车辆状况不满意

40

30

合计

140

60

200

（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？ （2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率

分别是

12，1

5

，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：

2()P K k ≥ 0.150

0.100

0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k

2.072

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

20．（12分）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且4AB =，离心

率为

1

2

． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设点()4,0Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M ．判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数()3

2

4x a x f x x =-++．

（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；

（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围；

（3）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α

α

=??

=?（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；

（2）设点A 的极坐标为π

(4,)3

，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数()|21|2|1|f x x x =-++．

（1）若存在0x ∈R ，使得()2

05f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；

（2）若m 是（1）中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤．

答案与解析

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】

{}{}ln 01P x x x x =>=>，{}12Q x x =-<<，

{}()121,2P Q x x ∴=<<=，故选D ．

2．【答案】C

【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-?-=--，1i z ∴=-+， 故选C ．

3．【答案】A

【

解析】221

()(2)22312

+?-=-+?=-+=a b a b a b a b ，故选A ． 4．【答案】B

【解析】因为πsin26y x ?

?=-

?

?

?，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ???

?==+=+ ? ????

?， 所以由 4π6πx x ?++

=-，知ππ5π

6412

?=--=-， 即只需将cos2y x =的图像向右平移5π

12

个单位，故选B ． 5．【答案】B

【解析】因为全称命题的否定是特称命题，

所以命题“任意0x >11x

≥”的否定是：存在00x >011x <，故选B ． 6．【答案】C

【解析】设圆的半径为r ，

以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为

3601524

?

=?， 所以正二十四边形的面积为21

24sin1512sin152

r r r ?

????=?，

所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ?=?=?≈，故选C ． 7．【答案】C

【解析】因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，

HB 、HC 、HD ?平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥， AHB AHC AHD ∴??Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，

即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上， 由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =， 设球O 的半径为R ，则()2

212R R =-+，所以32

R =． 所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ． 8．【答案】D

【解析】根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，

因为()()ln x x

f x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，

当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ． 9．【答案】B

【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示：

设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-，可得(0,2)N h -，

由AFM AON △∽△，得

2m c a

h a

-=（1）

由BOH BFM △∽△，得

h a m c a

=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a

-=+，即3c a =，所以离心率3c

e a ==，故选B ．

10．【答案】C

【解析】第1次运行，21

1,0,0002n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第2次运行，2

2,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第3次运行，21

3,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第4次运行，2

4,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第5次运行，21

5,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第6次运行，2

6,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第7次运行，21

7,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；

第8次运行，2

8,32,68321002

n n a S ====+=，符合n m ≥，推出运行，输出100S =，

故选C ． 11．【答案】C

【解析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，

则2112y px =，2

222y px =，

由OA OB =，得2222

1122x y x y +=+，

221212220x x px px ∴-=-=，即()()1212++20x x x x p -=，

10x >，20x >，20p >，12x x ∴=，即A ，B 关于x 轴对称，

∴直线OA 的方程为tan45y x x =?=，

与抛物线联立，解得00x y =??

=?或22x p

y p

=??=?，故4AB p =，

21

2442

OAB S p p p ∴=??=△，

AOB △的面积为16，2P ∴=，焦点()1,0F ，

设(),M m n ，则24n m =，0m >， 设M 到准线1x =-的距离等于d ，则

()

22

41OM MO m m

MF

d

m +=

=

+，

令1m t +=，1t >，则2

11423

333

3OM

MF t ??=--+≤

???（当且仅当3t =时，等号成立）． 故OM MF 的最大值为23

3

，故选C ．

12．【答案】B

【解析】函数()e e cos 2

x x f x x -+=+的定义域为R ，

()()()()e e e e cos cos 22x x x x

f x x x f x x --++-=+-=+=∈R ，

()e e cos 2x x

f x x -+∴=+为R 上的偶函数，

又()e e sin 2

x x

f x x --'=-，

()e e 1

cos cos 1cos 022x x f x x x x -+''=-≥?=-≥，

()e e sin 2

x x

f x x --'∴=-在R 上单调递增，

又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，

()e e cos 2

x x

f x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．

不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，

由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤， 由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，

[]1,4x ∴?∈，

141nx nx

m x x

+≤≤恒成立， 令()11nx

g x x =

，则()12

1ln x g x x -'=， 当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增； 当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，

()()()1111

最大值极大值g x g x g e e

∴===，

令()24ln x g x x +=

，()()222

14ln 3ln x x

g x x x

-++'==-， []1,4x ∈，ln 30x ∴+>，故()22

3ln 0x

g x x +'=-<，

()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴===

=+，112

12

n m e ∴≤≤+，故选B ．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】132

【解析】因为6

2

()

x

x

-的展开式的通项公式为62

16

C(2)

r r r

r

T x-

+

=-，

令624

r

-=，得1

r=；令622

r

-=，得2

r，

所以()

6

2

2

21

x x

x

??

--

?

??

展开式中4x的系数为2211

66

2C(2)(1)C(2)132

-+--=，

故答案为132．

14．【答案】1-

【解析】作出不等式组

2

10

220

x

x y

x y

≤

?

?

-+≥

?

?+-≥

?

所表示的可行域如下图所示：

联立

10

220

x y

x y

-+=

?

?

+-=

?

，得

1

x

y

=

?

?

=

?

，得点A的坐标为()

0,1，

平移直线2

z x y

=-，当该直线经过可行域的顶点A时，直线在x轴上的截距最小，此时，目标函数2

z x y

=-取到最小值，且最小值为

min

2011

z=?-=-，

故答案为1

-．

15．【答案3

【解析】由2

(2cos cos)sin sin

A C b c

B C

-=及正弦定理，

得22

(2cos cos)sin sin sin

A C

B B C

-=，

显然sin0

B≠，所以22

2cos cos sin

A C C

-=，

即22

2cos sin cos1

A C C

=+=，得

1

cos

2

A=，

又(0,π)

A∈，所以3

sin

2

A=．

由余弦定理222

cos 2b c a A bc

+-=，得2222b c bc +-=，

则2242bc b c bc +=+≥，

所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积1133sin 322S bc A bc bc =

=?=≤， 故ABC △的面积的最大值是3，故答案为3． 16．【答案】①③④ 【解析】对于①，如图：

任取[)12,0,x x ∈+∞，

当[]12,0,2x x ∈，()()1212sin πsin π2f x f x x x -=-≤，

当()2,x ∈+∞，11()(2)sin π22n

f x f x n ??=-= ???

，()*

n ∈N ，

[)12,0,x x ∴∈+∞，()()122f x f x -≤，恒成立，故①正确；

对于②，

1()(2)2f x f x =-，1(2)()2k

f x k f x ??

∴+= ???

， ()

*()2(2)k f x f x k k ∴=+∈N ，故②错误；

对于③，()()ln 1f x x =-的零点的个数问题， 分别画出()y f x =和()ln 1y x =-的图像，如图：

()y f x =和()ln 1y x =-图像由三个交点，()()ln 1f x x =∴-的零点的个数为3，

故③正确；

对于④，设(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ，

()[]()()sin π,0,212,2,2

x x f x f x x ?∈?=?-∈+∞??，max 1()2k f x ∴=，()k ∈N ，

令()2

g x x

=

在(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ， 可得()min 11

g x k =

+， 当0k =时，[]

0,2x ∈，max ()1f x =，()min 1g x =，()max min ()f x g x ∴≤，

若任意2x >，不等式()2

f x x ≤

恒成立， 即()max min ()f x g x ≤，可得

1112

k k ≥+， 求证：当1k ，

11

12

k k ≥+，化简可得21k k ≥+， 设函数()21k

T k k =--，则()2ln 210k

T k '=-≥，

∴当1k 时，()T k 单调递增，可得()(1)0T k T ≥=，

()210k T k k ∴=--≥，

21k

k ∴≥+，即

1112

k k ≥+， 综上所述，对任意0x >，不等式()2

f x x

≤恒成立，故④正确， 故答案为①③④．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）21n a n =-或11n a =；（2）21

n n

S n =+． 【解析】（1）∵611a =，∴1511a d +=①

∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴2

5214a a a =，

∴()()()2

111413a d a d a d +=++，化简得2

163a d d =，

若0d =，11n a =； 若0d ≠，12a d =②， 由①②可得11a =，2d =，

所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a =． （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ??

=

=- ?-+-+??

，

∴1211111111112335

212122121

n n n

S b b b n n n n ????=++

+=-+-+

+

-=-= ? ?

-+++????． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）

15

． 【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、，

GF 为PDC △的中位线，GF CD ∴∥且1

2

GF CD =，

又AE CD ∥且1

2

AE CD =，GF AE ∴∥且GF AE =，

∴EFGA 是平行四边形，则EF AG ∥，

又EF ?面PAD ，AG ?面PAD ，EF ∴∥面PAD ．

（2）取AD 中点O ，连结PO ，

∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，

PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =

连OB 交CE 于M ，可得EBC OAB Rt Rt △≌△，

MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=?，即OM EC ⊥．

连接PM ，

又PO EC ⊥，可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，

在EBC Rt △中，5BE BC BM CE ?=

=，5

OM OB BM =-=，

∴tan PO PMO OM ∠=

=

P EC D --． 19．【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）分布列见解析，EX =1.8（元）． 【解析】（1）由22?列联表的数据，

有()

()()()()

()

2

2

2

2

20030001200200181406070130146713n ad bc K a b c d a c b d --?===

++++?????? 5400

8.4810.828637

=

≈<， 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系． （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为

3

10

．X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．

∵()2

39010100P X ??=== ???，()1

21331C 21010P X ==?

=?， ()2

12131372C 5102100P X ??==?+= ????，()1

21113C 255P X ?==?=， ()2

114525P X ??===

???

， ∴X 的分布列为：

X 的数学期望为1210100EX =?

+?34 1.8525

+?+?=（元）． 20．【答案】（1）22

143

x y +=；（2）存在，()4,3P ±．

【解析】（1）由4AB =，得2a =， 又因为1

2

c e a =

=，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=． （2）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形， 由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以AP MQ ∥，

所以

BQ BM AB

BP

=

，所以

1

2

BM BP

=

． 设点()11,M x y ，()4,P t ， 过点M 作MH AB ⊥于H ，则有

12

BH BM BQ

BP

=

=

， 所以1BH =，所以()1,0H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得13

2

y =±

，所以()4,3P ±． 21．【答案】（1）40x y -+=；（2）1,e ∞??-- ??

?

；（3）证明见解析．

【解析】（1）

()324x a f x x x =-++，()2321f x x ax '∴=-+，

∴切线的斜率()10f '=，

()04f =，∴切线的方程为40y x -=-，即40x y -+=．

（2）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln 0ax x +≤恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，2

2ln x

a x

-≤恒成立． 令()22ln ,0x

h x x x -=

>，则()()3

22ln 1x h x x

-'=．

由()0h x '>，得x >

()0h x '<，得0x <<．

()h x ∴

在(

上单调递减，在

)

+∞上单调递增，

(

)

min 1

h x h

e

∴===-

，1a e ∴≤-， 故a 的取值范围为1,e

∞??-- ??

?

．

（3）证明：当3a =时，()()3

2

314x x x g x k =-+-+，

1k <，10k ∴->，

当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x ∴在(],0-∞上单调递增． 又()04g =，()110g k -=-<，()()100g g ∴-<， 由零点存在定理可得函数()g x 在()1,0-上至少有一个零点，

又()g x 在(],0-∞上单调递增，()g x ∴在(],0-∞上有且只有一个零点． 当0x >时，令()3

2

34m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->．

()()23632m x x x x x '∴=-=-，

令()0m x '>，得2x >；令()0m x '<，得02x <<，

()m x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()()()min 20,0m x m m x ∴==∴≥在()0,∞+上恒成立， ()0g x ∴>恒成立，即()g x 在()0,∞+上没有零点．

综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．

22．【答案】（1

）12? ??

，1,2? ??

；（2

）2． 【解析】（1）221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴22

2x y x +=．

联立方程组得2222

12x y x y x ?+=?+=?

，解得1112x y ?=????=??

，2212x y ?

=??

??=??

，

∴所求交点的坐标为1,22?? ? ???，1,22??- ? ???

． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=， ∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ????=

???∠=?-=- ? ?????

2cos 26πθ?

?=++ ??

?，

∴当23π

12

θ=

时，max 2S = 23．【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析． 【解析】（1）

()()212121213f x x x x x =-++≥--+=，

存在0x ∈R ，使得()2

05f x m m +≤+，

235m m ∴+≤+，220m m ∴--≤，12m ∴-≤≤．

（2）由（1）知max |2m =，332a b ∴+=，

()()()2

3322

232024b a b a b a ab b a b a b ????∴=+=+-+=+-+>?? ???????，

而2

23024b a b ??

??-+>?? ???????

，0a b

∴<+①

()()

33222a b a b a ab b ∴=+=+-+

()()()()()()222331344

a b a b ab a b a b a b a b ?

???=++-≥++-+=+??????，

()3

8a b ∴+≤，2

a b ∴+≤②

由①②可得，02a b ∴<+≤．