代数式的变形竞赛题

代数式的变形（整式与分式）

在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.

1．配方

在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.

例1?设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.

解mn=(a2+b2)(c2+d2)

=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

=(ac-bd)2+(ad+bc)2,

所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.

例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.

求的值.

解? 将条件化简成

2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0

∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0

∴x=y=z,∴原式=1.

2.因式分解

前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.

例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.

解? ∵a为x2-3x+1=0的根,

∴ a2-3a+1=0,,且=1.

原式

说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.

3.换元

换元使复杂的问题变得简洁明了.

例4 设a+b+c=3m,求证:

(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.

证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则

p+q+r=0.

P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0

∴p3+q3+r3-3pqr=0

即? (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

例5 若,试比较A、B的大小.

解设则

.

∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,

可知? ∴A＞B.

4.设参

当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.

例6 若求x+y+z的值.

解令

则有?? x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,

∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,

,求a+b+c的值.

解? 设 a+b+c=k

则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

由条件知

即???

∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,

∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.

∵a2+b2+c2=1,

∴k=a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc

=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),

∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),

∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,

∴k(-ab-bc-ac)=0.

若K=0, 就是a+b+c=0.

若-ab-bc-ac=0,

即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,

∴(a+b+c)2=1,

∴a+b+c=±1

综上知a+b+c=0或a+b+c=±1

5.“拆”、“并”和通分

下面重点介绍分式的变形：

（1）分离分式? 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.

例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.

证明? 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.

而????

显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.

（2）表示成部分分式? 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.

(3)通分? 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.

例9 已知

求证:.

证明??

6.其他变形

例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.

解?? x2=x(x+1)-x

或? x2=x(x-1)+x

例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.

解? 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故

19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)

?? 解得? x=3.? y=10.?? ∴?? d-b=y3-x5=757

强化练习

1.选择题

（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（? ）（A）2???????? （B）3????????? （C）6??????????? （D）7?????? （E）8

（2）已知则的值是（? ）.

(A)1????? (B)0???? (C)-1???? (D)3

（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（? ）.

（A）p%???? (B)%??????? (C)%????????? (D)%?? (E)% 2.填空题

（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,? b+c+d+e=_______.

(2)若=_____.

(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______

3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.

4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.

5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.

6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证

7.已知a2+c2=2b2,求证

8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:

如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.

9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.

参考答案

2.(1)-32,210??? (2)??? (3)2

3.略.

4.

5.???

6.略,???

7.略.

8.∵p2-4q-4(m+1)=0,?? ∴4q=p2-4(m+1)=0,

∴f(x)

=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2

=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x

=[2x2-px-(m+1)]2.

9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为

pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),

展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,

即(cp-bq)(dp-aq)=0.

于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.

代数式恒等变形及答案

代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

初中奥数恒等变形知识点及习题2019

初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立

设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出

第1讲：整式的恒等变形

第一讲 整式的恒等变形 【专题知识点概述】 把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。 通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。 整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。 整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个： （1）3 2 2 3 3 33)(b ab b a a b a ±+±=± （2）))((32 22333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ （3）))((1 2 2 1 ----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a 下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧： 一、运用运算性质和法则 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。

例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。 二、灵活应用乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。

初中奥数恒等变形知识点归纳整理.pdf

初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6

再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.

整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

整式的恒等变形上海教育版-初中一年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料- 初中数学试卷-试卷下载 初一（下）数学练习卷（六） 班级：_____________姓名：_______________学号：_____________得分：_____ 一、填空题： 1、计算：=____________________________。 2、计算：=______________________。 3、计算：=_______________________。 4、计算：= __________________________。 5、，，中的公因式为_________________________。 6、若，则=____________________。 7、要使=1成立的条件是___________________________。 8、。 9、若正方形的面积为，（0<x<6），则它的周长为_________________。 10、因式分解：=________________________________。 11、因式分解：=________________________________。 12、若定义a*b = a + 2b，= 2a – b，计算（3*x）@2 = _____________________。 13、若在整数范围内能分解成两个一次因式的乘积， 则m = ____________。 14、已知：a + b = 9，a2

+ b2 = 5，则ab = ______________________。 15、简便计算：=_____________________________。 16、如果，那么=________________________________。 17、如果，那么a + b = _____________________。 18、=___________________________。 二、选择题： 1、若二次三项式x2 – ax – 1可分解为（x – 2）（x + b），则a + b的值为（）（A）– 1；（B）1；（C）– 2；（D）2. 2、已知是完全平方式，则m的值为 （ ） （A）2；（B）；（C）4； （D）. 3、下列多项式分解因式正确的是（ ） （A）（；（B）； （C）；（D）. 4、已知多项式f（x）与g（x），它们的积是一个八次多项式，它们的商是一个二次多项式，则它们的和的次数为（） （A）三次；（B）四次；（C）五次；（D）六次. 5、若（x2 + ax + 3）·（x2 + bx – 2）的展开式中没有二次项和三次项，则a，b的值为 （） （A） a = 1， b = 1；

三角函数恒等变换练习题与答案详解

两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

初中数学竞赛——整式的恒等变形(二)

第5讲 整式的恒等变形（二） 典型例题 一. 基础训练 【例1】 当341x y z -+=，222x y z +-=时，化简：222232108x xy y xz yz z --++-的结果是（ ） (A ) 1 (B ) 0 (C ) 2x - (D ) 2x - 【例2】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c . 【例3】 设a 、b 、c 为有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=.求证：对任意正奇数n ，都有 0n n n a b c ++=. 【例4】 已知x y z a ++=，xy yz zx b ++=，xyz c =，用a 、b 、c 表示22222xy x y yz y z z x ++++2x z +.

【例5】 设32x mx nx r +++是x 的一次式的完全立方式，求证：23mr n =. 【例6】 求证：222-121(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a a a ++++ +-=++++++++. 【例7】 求证：44422222[()()()][()()()]y z z x x y y z z x x y -+-+-=-+-+-. 【例8】 已知：0a b c ++=，求证：555333222 532 a b c a b c a b c ++++++=?.

【例9】 设 a b b c =，求证：2222()2()()a b c a b c a b c a c +++++=+++ 【例10】 已知实数a b 、满足0ab ≠，且22333233()()8a b a b a b +=++，求 b a a b +的值. 【例11】 设有多项式43224442(1)(1)A x p x q x p m x m =-+++++，求证：如果A 的系数满足244(1)0p q m --+=，那么A 恰好是一个二次三项式的平方.

2代数式恒等变形

代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．

分式的恒等变形(一)

分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =

整式的运算恒等变形竞赛课程

整式恒等变形 【专题简介】 把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显． 基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘 常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法 高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称 【学习目标】 学习换元法、因式定理、待定系数 题型一消元与降次 强化挑战 【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2 【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1) 的值． () z2＋1 x2＋1() y2＋1() 【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值 【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值 【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝. 【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值． 题型二因式分解 基础夯实 【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝. (2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

代数式的恒等变换

代数式的恒等变换方法与技巧 例：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤????≥??+-≤≥??? 222(4)8(2)44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件 24(4)44048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤ 。 这时，原方程有惟一实根x =。 一、分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立： （a =； （b 1=； （c 2=。 解： (0)m m =≥ 记方程左边为f(x)， 则()f x =

1 |1|1|1 1 2 x x ≥ == ≤≤ 由此可知， 当m=时，原方程的解集为 1 [,1] 2 ； 当m∈时，解集为?； 当) m∈+∞ m =，解得2 1 (2) 4 x m =+。 即当) m∈+∞时，原方程的解集为2 1 {(2)} 4 m+。 例2：在复数范围内解方程组222 555 3, 3, 3. x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解：考虑数列* , n n n n a x y z n =++∈N。不难证明此数列满足递推式321 ()() n n n n a x y z a xy yz zx a xyza +++ =++-+++，其中 125 3,3 a a a ===。 利用基本恒等式，得2 12 1 ()3 2 xy yz zx a a ++=-=， 3123 11 [()] 33 xyz a a a xy yz zx a =--++=， ∴{} n a的递推式化为* 3213 1 33, 3 n n n n a a a a a n +++ =-+?∈N 由此得 432313543323 11 3349,331027 33 a a a a a a a a a a a a =-+?=---+?=- 由 5 3 a=，得 3 10273 a-=，∴ 3 3 a=。∴ 3 1 1 3 xyz a ==。 综上所述知，原方程组等价于 3, 3, 1. x y z xy yz zx xyz ++= ? ? ++= ? ?= ? 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33 3310 t t t -+-=的三根， 此三次方程即3 123 (1)0,1 t t t t -=∴===， 这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根 1 2 ω=-+的性质来解。 二、利用对称性 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换 式，但不是对称式。由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x 1最大（或最小）。

分式的恒等变形精讲精练

一、化分式为部分分式的和 【例1】 （4级）(第10届华罗庚金杯决赛) 下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【例2】 （4级）若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1， 且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【例3】 （5级）若213111 a M N a a a -=+ --+，求M 、N 的值. 【例4】 （3级）(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244 x x -，求a ，b . 【例5】 （4级）(2004年第15届培训题)已知正整数,a b 满足111 4 a b +=，则a b +的最大值是 ． 【例6】 （4级）若对于3±以外的一切数，2 8339 m n x x x x -=+--均成立，求mn . 【例7】 （5级）若关于x 的恒等式 222Mx N c x x x a x b +=- +-++中，22 Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N . 【例8】 （4级）将2 6 9 x -化为部分分式. 分式恒等变形（竞赛部分）

【例9】 （4级）化21 (1)(2) x x x ---为部分分式． 【例10】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：234 2 x x x +--. 【例11】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361 (1)(3) x x x x x -++++. 【例12】 （5级）将下列分式写成部分分式的和的形式：322 41338 (1)(2)(1)x x x x x x -+++--. 【例13】 （4级）计算：2132x x x -++262x x ---2 10 4 x x ---． 【例14】 （4级）将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231 (1)(1) x x x x x ++-+-. 二、分式的恒等证明 【例15】 （4级）（1994广东潮州市初中数学竞赛） 求证：()()3322222222 22a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ????++--+-=++-+ ???-+? ??? 【例16】 （5级）已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111 x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.

整式恒等变形一览

初中数学中的整式恒等式一览表 草根雾岩 @初中理科班数学 学完乘法公式和因式分解后，对比较常见的整式恒等式进行总结，以方便学生们 进行查阅. 比较重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者发现者的名字命名；另外一些虽然在“中考中不能使用，但却是广大劳动人民智慧的结晶，所谓的‘民间定理’”！ 【1】 在恒等式的群山之巅闪耀着不朽的光辉！本文试着按照不同 难度要求对恒等式进行分类. 【课内涉及的恒等式】 （1）平方差公式 ()()22a b a b a b +-=- ()()22a b a b b a ---=- （2）完全平方和、差公式 222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a ab b -=-+ （3）平方和与完全平方和差的关系 ()2 222a b a b ab +=+- ()2 222a b a b ab +=-+ （4）完全平方和差的关系 () ()2 2 4a b a b ab +--= ()() ()22 222a b a b a b ++-=+ （5）三项和完全平方公式 () 2 222222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ （6）两项轮换差的完全平方和 ()()()222 22212a b c ab bc ca a b b c c a ??++---= -+-+-? ? （7）十字相乘法 ()()()2x p x q x p q x pq ++=+++ （8）分组分解法 ()()ax by ay bx a b x y +++=++

【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+ 2233()()a b a ab b a b -++=- （2）完全立方和、差公式 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- （3）立方和差与完全立方和差的关系 ()()3 333a b a b ab a b +=+-+ ()()3 333a b a b ab a b -=-+- （4）杨辉三角 () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ () 5 54322345510105a b a a b a b a b ab b -=-+-+- （5）四项和完全平方公式 () 2 2222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++

初高中衔接第四讲 《代数式的恒等变形》

第四讲 代数式的恒等变形 姓名 基础知识呈现 1、 恒等式与条件等式： 如果一个等式中字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式就叫做恒等式。如：()a b b a a a b ab a b a +=+-=+-=-,,2222 等都是恒等式。而12=x 不是恒等式， 因为只有当2 1 = x 时，等式才成立。因此称为条件等式。 2、 恒等变形 把一个式子变形为与原式恒等的另外不同形式的式子，这种变形叫恒等变形，例如y z z x y x -+-=-就是恒等变形。 两个多项式恒等的充要条件是它们的对应项系数相等，即： ?++++=++++----01110111b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n 001111,,,b a b a b a b a n n n n ====--。 实际上，待定系数法的依据就是多项式的恒等的性质。 3、 代数式恒等变形是解决初等数学乃至高等数学问题的一种重要方法，是研究函数和方程的重要 工具。代数式的恒等变形包括：代数式化简，求代数式的值，证明恒等式或条件等式等等。 例题讲解 例1、 证明恒等式()()()() 22222 2 y x b a ay bx by ax ++=++-。 例2、 证明恒等式()() bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2 2 2 3 3 3 3。 例3、 证明恒等式() () ()2 2 2 2 111 1 1 1 ?? ? ??-+-+-=-+ -+ -a c c b b a a c c b b a 例4、 证明恒等式()()()()()a c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+ -+-=---+---+---2 22)( 例5、 已知11 ,11=+=+ z y y x ，求证：11=+x z 。

初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形

初一数学竞赛系列讲座(6) 整式的恒等变形 一、知识要点 1、整式的恒等变形 把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形 2、整式的四则运算 整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础．3、乘法公式 乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ①(a+b) (a-b)＝a2-b2 ②(a±b)2＝a2±2ab+b2 ③(a+b) (a2-ab+b2)＝a3+b3 ④(a-b) (a2+ab+b2)＝a3-b3 ⑤(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)＝a3+b3+c3-3abc ⑦(a±b)3＝a3±3a2b+3a b2±b3 4、整式的整除 如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式． 5、余数定理 多项式()x f除以(x-a) 所得的余数等于()a f． 特别地()a f＝0时，多项式()x f能被(x-a) 整除 二、例题精讲 例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0” 解因1+2+3+ (1998) () 1999 999 2 1998 1 1998 ? = + ? 是一个奇数，

又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1． 先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小． 很明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)＝0 所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)＝ -1+2＝1 故所求最小的非负数是1． 例2 计算(2x3-x+6)?(3x2+5x-2) 分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列． 解法1 原式＝6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 ＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上． 解法2 2+0-1+6 ?) 3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30 -4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 例3求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数 解x8的系数＝2?2+(-3) ? (-1)+(-7) ?3＝-14 评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开． 例4计算(3x4-5x3+x2+2)÷(x2+3) 分析整式除法可用竖式进行 解 3 x2– 5x - 8 x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 2 3x4+9 x2 - 5x3 -8 x2+ 0x