《导数及其应用》
一、选择题:
1.某质点的运动方程是2)12(-
-=t t S ,则在t=1s 时的瞬时速度为( )
A .-1
B .-3
C .7
D .13 2.设f(x)=
,11
3
2
x
x x
-
则f ′(1)=( )
A 0 B
21 C 65 D 6
5- 3.设()ln f x x x =,若0()2f x '=,则0x =( )
A .2
e B .e C .
ln 2
2
D .ln 2 4.设曲线2
ax y =在点(1,a )处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ()
A .1
B .
1
2
C .12
-
D .1-
5.已知函数1)6()(2
3
++++=x a ax x x f 有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )
A .21<<-a
B .63<<-a
C .3-a
D .1-a 6.由直线12x =
,x =2,曲线1
y x =及x 轴所围图形的面积为( ) A .154 B .174 C .1ln 22
D .2ln 2
7.函数3
2
)1()2()(-+=x x x f 的极大值点是( )
A .x =2
B .x =1
C .x =-1
D .x =-2
8.已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数),下面四个图象中()y f x =的图象大致
是( )
9.函数x x x f cos 3sin )(3
+=的值域为( )
A .[-4,4]
B .[-3,3]
C .)4,4[-
D .(-3,3) 10.若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -
++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取
值范围是( )
A.[-1,+∞]
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,
-1) 11.已知函数
)0,0,0)(sin()(π?ω?ω<<>>+=A x A x f ,其导函数)(x f '的部分图象如图所示,则函数)(x f 的解析式
为( )
A .)42
1sin(2)(π
+
=x x f B .)421sin(4)(π
+=x x f C .)4sin(2)(π+=x x f D , )4
321sin(4)(π
+
=x x f 12.关于x 的方程0323=--a x x 有三个不同的实数解,则a 的取值范围是( )
A.(-4,0)
B.(-∞,0)
C.(1,+∞)
D.(0,1) 二、填空题
13.函数y=x x ln 232
-的单调增区间是 ________ ,减区间是 _______ .
14.函数f (x )=x +2cos x 在区间??
?
???π2,0上的最大值为______;在区间[0,2π]上最大值为________.
15.两个和为48的正整数,第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为__________. 16.函数2()x f x e x =的单调递减区间为 ________ . 三、解答题
17.已知)(),(12)(2
x f R x x
x
x f 求函数∈+=
的的单调区间和极值,并画出其草图. 18. 已知函数3()3f x x x =-.(1)求函数()f x 在3
[3,]2
-上的最大值和最小值.
(2)过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线,求此切线的方程.
9.在曲线)0(2≥=x x y 上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为12
1. 试求:切点A 的坐标以及过切点A 的切线方程.
20. 设函数)12ln()(2
++=x b x x f ,其中0≠b .
(1)若己知函数)(x f 是增函数,求b 的范围;
(2)若己知1=b ,求证:对任意的正整数n ,不等式)(n f n <恒成立。
21.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:313
8(0120).12800080
y x x x =
-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。
(I )当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 22.设函数.0),1ln()1()(>++-=a x a ax x f 其中 (1))(x f 的单调区间;
(2)当x>0时,证明不等式x x x x
<+<+)1ln(1
; (3)设)(x f 的最小值为0)(1
:),(<<-a g a
a g 证明不等式.
参考答案B*BAC DDCBC BA13. ????
??+∞,33,???
?
??33,0; 14. ()12,36+π+π; 15. 5与43; 16. (20)-,
18. 解:(I )'()3(1)(1)f x x x =+-,
当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时,'()0f x >,3
[3,1],[1,]2
∴--为函数()f x 的单调增区间
当(1,1)x ∈-时,'()0f x <, [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间
又因为39
(3)18,(1)2,(1)2,()28
f f f f -=--==-=-,
所以当3x =-时,min ()18f x =- 当1x =-时,max ()2f x =
(II )设切点为3(,3)Q x x x -,则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--
由于切线过点(2,6)P -,326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--, 解得0x =或3x =所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即
30x y +=或24540x y --=
19. 解:设切点为),(00y x A ,由x y 2='得切线方程为)(2000x x x y y -=- 又由2
00x y =可得切线方程为2
002x xx y -= 令0=y 得20x x =
即得C 点坐标为)0,2
(0x
则所围梯形面积为12
11214131)2(21303
0302
00020==-=--=???x x x x x x dx x S S S x OAB
OAB =-曲边所以10=x 则切点为A (1,1),切线为y=2x-1
20. 解:(Ⅰ)由题意知,)(x f 的定义域为)2
1
(∞+-, 对函数)(x f 求导,得1
22241222)(2+++=++='x b
x x x b x x f ∵函数)(x f 是增函数,∴0)(≥'x f 在)21
(∞+-,
上恒成立 ∵012>+x ,∴02242
≥++b x x 在)2
1(∞+-,上恒成立 也即x x b --≥2
2在)21(∞+-,上恒成立 又由81)41(2222++-=--x x x 且)2
1(∞+-∈,x 可知8122≤--x x ,并且当41-=x 时,等号成立 ∴x x --22在)21(∞+-,上的最大值为81
∴81
≥b 为所求范围。
(Ⅱ)∵1=b ,∴)12ln()(2++=x x x f 设函数)12ln()()(2
++-=-=x x x x x f x g
则)(x g 的定义域也是)21
(∞+-,,并且 01
21412212)(2>++=++-='x x x x x g
∴)(x g 在整个定义域)2
1(∞+-,
上是增函数。 ∴对任意的正整数n ,有)0()(g n g >恒成立 即对任意的正整数n ,0)(>-n n f 也即不等式)(n f n <恒成立。 21. 解:(I )当40x =时,汽车从甲地到乙地行驶了100
2.540
=小时, 要耗没313
(
40408) 2.517.512800080
?-?+?=(升)。
答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II )当速度为x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了
100
x
小时,设耗油量为()h x 升, 依题意得3213100180015
()(
8).(0120),1280008012804
h x x x x x x x =-+=+-<≤ 33
22
80080'()(0120).640640x x h x x x x -=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =
当(0,80)x ∈时,'()0,()h x h x <是减函数;当(80,120)x ∈时,'()0,()h x h x >是增函数。
∴当80x =时,()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值,所以它是最小值。
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升。
22. 解:(1)由已知得函数),1()(+∞-的定义域为
x f ,且).0(1
1
)(>+-='a x ax x f 当,011,0)(>+->'x ax x f 即
时 又∵;1
,01a
x x >>+解得 当,1
1,0)(a
x x f <<-<'解得时
∴函数)(),1,1()(x f a x f 函数的单调递减区间是-的单调递增区间是),1
(+∞a
(2)设),0[,1
)1ln()(+∞∈+-
+=x x x
x x ?, 则2
2)
1(1
)1(111)(x x x x +=+-+=
'? 当,0)(,0>'>x x ?时 又),0[)(+∞在x ? 上连续,),0[)(+∞∴在x ?内是增函数。
,01)1ln(,0)0()(>+-+=>∴x x x x 即?? ,)1l n ().1ln(1
x x x x x <++<+∴同理可证 .)1ln(1
x x x x
<+<+∴
(3)方法一由(1)知,设),11
ln(
)1(1)1
()()(++-==a
a a f a g x f 的最小值为 将,1)11ln(11,)1ln(11a
a a x x x x a x <+<+<+<+=
得代入……12分 即.1
1)11ln()1(1a
a a +<++<
.0)(1
,0)11ln()1(11<<-<++-<-∴a g a
a a a 即 (14分)
),0()(+∞∴在x ?内是增函数。
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( )
3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题: 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ,若 f '(-1) = 4 ,则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点(1,3),则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y (x + 2a )(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3,则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ,若 k = g ( x ) ,则函数 k = g ( x ) 的图
导数基础练习题 一 选择题 1.函数()22)(x x f π=的导数是( C ) (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是( A ) (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( B ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, 4.若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值,则(A ) (A ) 10<b (D ) 2 1,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则 (1) '(0) f f 的最小值为( C ) A .3 B .5 2 C .2 D .32 9.设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件