2004西部数学奥林匹克

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

第38届全俄数学奥林匹克竞赛

第38届全俄数学奥林匹克竞赛 九年级 9.1 a1,a2,?,a11是不小于2的互异正整数，满足：a1+a2+?+ a11=407。是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,?,a11,4a1,4a2,?,4a11这22个数时所得到的余数的和等于2012？ 9.2 已知：在正2012边形的顶点中，存在k个顶点，使得以这k个顶点为顶点的凸k多边形的任意两条边不平行。求k的最大值。 9.3 ABCD是一个平行四边形，∠A为钝角。H是点A向直线BC的垂直投影。△ABC过顶点C的中线的延长线交其外接圆于K。求证：K,H,C,D四点共圆。 9.4 正实数a1,a2,?,a n,k满足：a1+a2+?+a11=3k,a12+a22+?+a n2=3k2,a13+a23+?+a n3>3k3+k。求证：在a1,a2,?,a n中存在两个数使得它们的差的绝对值大于1。 9.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。 9.6 A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足AA1?AA1=AA1?AA1=AA1?AA1。I A,I B和I C分别是△AB1C1，

A1BC1和A1B1C的内心。求证△I A I B I C的外心和△ABC的内心重合。9.7 开始时黑板上写着10个连续正整数。对黑板上的数进行如下操作：任取黑板上的两个数a和b，将他们用数a2?2011b2和ab替换。经过若干次上述操作后，黑板上开始时的10个数已全部被替换掉，问此时在黑板上是否可能还是10个连续的正整数？ 9.8 城市里有若干路公共汽车线。已知任两路公共汽车线恰有一个公共的车站；任一路公共汽车线至少有4站。求证：可以将所有的车站分成不交的两组，使得任意一路公共汽车线含每组中至少一站。

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2020最新小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(五年级)

2020最新第二届华博士小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案 （五年级） (红色为正确答案) 选择正确的答案： (1)在下列算式中加一对括号后，算式的最大值是（）。 7 ×9 + 12 ÷ 3 - 2 A 75 B 147 C 89 D 90 (2)已知三角形的内角和是180度.一个五边形的内角和应是( )度. A 500 B 540 C 360 D 480 (3)甲乙两个数的和是15.95,甲数的小数点向右移动一位就等于乙数,那么 甲数是( ). A 1.75 B 1.47 C 1.45 D 1.95 (4)一个顾客买了6瓶酒,每瓶付1.3元,退空瓶时,售货员说,每只空瓶钱比酒钱 少1.1元,顾客应退回的瓶钱是( )元. A 0.8 B 0.4 C 0.6 D 1.2 (5)两数相除得3余10,被除数,除数,商与余数之和是143,这两个数分别是( ) 和( ). A 30和100 B 110和30 C 100和34 D 95和40 (6) 今年爸爸和女儿的年龄和是44岁,10年后,爸爸的年龄是女儿的3倍,今年女儿是多少岁? A16 B11 C9 D10 (7)一个两位数除250,余数是37,这样的两位数是( ). A 17 B38 C 71 D 91 (8)把一条细绳先对折,再把它所折成相等的三折,接着再对折,然后用剪刀在折过三次的绳中间剪一刀,那么这条绳被剪成( )段. A 13 B 12 C 14 D 15 (9) 把两个表面积都是6平方厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积( ). A 12 B 18 C10D11

(10)一昼夜钟面上的时针和分针重叠( )次. A 23 B 12 C 20 D13 (11)某车间四月份实际生产机器76台,其中原计划生产的台数比超产台数多60台, 求四月份比原计划超产多少台机器? A 16 B 8 C 10 D 12 (12)一块红砖长25厘米,宽15厘米,用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块? A 15 B 12 C 75 D 8 (13)图中ABCD 是长方形,已知AB=4厘米,BC=6厘米,三角形EFD 的面积 比三角形ABF 的面积大6平方厘米,求ED=? A 9 B 7 C 8 D 6 (14)一天,甲乙丙三人去郊外钓鱼已知甲比乙多钓6条,丙钓的是甲的2 倍,比乙多钓22条,问他们三人一共钓了多少条? A 48 B 50 C 52 D 58 (15)张师傅以1元钱4个苹果的价格买进苹果若干个,又以2元钱5个苹果有价格把这些苹果卖出,如果他要赚得15元钱的利润,那么他必须卖出苹果多少个? A 10 B 100 C 20 D 160 E D C B

第40届俄罗斯数学奥林匹克九年级试题(无答案)

第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级） 1. 放置了99个正整数. 已知任意两个相邻的数相差1或相差2或一个为另一个的2倍. 证明：这99个数中，有3的倍数. 2. 已知a b ，为两个不同的正整数. 问： ()()()()()()222222a a ab a b a b a b b b ++++++，，，，， 这六个数中，至多有多少个完全平方数？ 3. 令A 是由一个凸n 边形的若干对角线组成的集合. 若集合A 中的一条对角线恰有另外一条对角线与其相交在凸n 边形内部，则称该对角线为“好的”. 求好对角线条数的最大可能值. 4. 在锐角ABC △中，已知AB BC >，M 为边AC 的中点，圆Γ为ABC △的外接圆，圆Γ在点A C ，处的切线交于点P ，线段BP 与AC 交于点S ，AD 为ABP △的高，CSD △的外接圆与圆Γ交于点K （异于点C ）. 证明：90CKM ∠=?. 5. 设正整数1N >，m 表示N 的小于N 的最大因数. 若N m +为10的幂，求N .

6. 已知内接于圆Γ的梯形ABCD 两底分别为AB CD ，，过点C D ，的一个圆1Γ与线段 CA CB ，分别交于点1A （异于点C ），1B （异于点D ）. 若22A B ，为11A B ，分别关于CA CB ，中点的对称点，证明：22A B A B ，，，四点共圆. 7. 麦斯国中央银行决定发行面值为()01k k α=，，的硬币. 央行行长希望能够找到一个正 实数α，使得对任意1k k α， ≥为大于2的无理数，且对于任意正整数n ，理论上均存在若干枚面值之和等于n 的硬币，其中每种面值的硬币均不超过六枚. 问：行长的愿望能够实现吗？ 8. 某国有n 座城市，任意两座城市之间有双向直达航班. 已知对任意两座城市，它们之间 的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机票价格互不相同. 证明：存在由1n -段依次相连的航班，使得各段航班机票的价格依次严格单调下降.

小学数学奥林匹克竞赛三年级“奥林匹克”数学指导(含答案)

三年级“奥林匹克”数学指导 时刻、时间与钟表 同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。 什么叫“时间”它有两层意思： 1. 表示某一种特定时候。 如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2. 表示两个不同时刻的间隔。 如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。 我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。 时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。 同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。 如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。 例1 根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。

3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分 例2 按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻

分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分 发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。 例3 见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？ 分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了变化。左边的在镜子反射后成为右边，右边的在镜子反射后变为左边了，因此，要从镜面上反射出来的钟面时刻推出原钟面的时刻，只要将镜面上的钟面左右翻转半圈，这两只钟面表示的时刻分别为6点40分和8点15分

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2013小学数学奥林匹克竞赛试题及答案

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （三年级） (红色为正确答案) 1、根据下列数中的规律在括号里填入合适的数： 17、2、14、2、11、2、（ ）、（ ）。 A 2、8 B 8、2 C 5、4 D 2、2 2、甲乙丙三个数平均数是150，甲数48，乙数与丙数相同，那么乙数是（ ）。 A 201 B 402 C 51 D 102 3、同学们做操,排成一个正方形的队伍,从前,后,左右数,小红都是第5 个,问一共有( )人. A 81 B25 C 32 D120 4、在“A ÷9=B …..C ”算式里,其中B 、C 都是一位数，那么A 最大是多少？ A 90 B 91 C 89 D 87 5、妈妈从蛋糕店买来一块方形蛋糕，（如图），让小红动手分成8块，最小要切（ ）刀。 A 2 B 4 C 3 D 5 6、在所有四位数中，各位数字之和等于35的数共有（ ）个。 A 4 B 5 C 3 D 6 7、如图，在小方格里最多放入一个?,要想使得同一行、同一列或对角连线上的三个小方格最多不出现三个?，那么在这九个小方格里最多能放入（ ）个?。（） A 4 B7 C 6 D 5 8、甲乙二人买同一种杂志，甲买一本差2角8分，乙买一本差2角6分，而他俩的钱合起来买一本还剩2角6分，那么这种杂志每本价钱是（ ）。 A 1元 B 7角 C 8角 D 9角 9、从1—9中选出6个数填在算式： ÷??（ + ）?（ - ），使结果最大。那么这个结果是（ ）。 A 190 B 702 C 630 D 890 10、夏令营基地小买部规定：每三个空汽水瓶可一瓶汽水。李明如果买6瓶汽水，那么他最多可以让（ ）位小伙伴喝到汽水。 A 11 B 8 C 10 D 9个 11、图中阴影部分是一个正方形，那么最大长方形的周长是（ A 26 B 28 C 24 D 25

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

2001年小学数学奥林匹克竞赛试卷汇总

太原康大培训学校教材·六年级·总结册 2001年小学数学奥林匹克竞赛试卷 考生注意：本试卷共12道题，每题10分，满分120分，前10道题为填空题，只写答案；最后两道题为解答题，必须写出解题过程，只写答案不得分。 1．计算： 1?3?5+2?6?10+3?9?15+4?12?20+5?15?251?2?3+2?4?6+3?6?9+4?8?12 +5?10?15＝ 2．有一个分数约成最简分数是5，约分前分子分母的11 和等于48，约分前的分数是（） 200120013．76＋25的末两位数字是（） 4．甲、乙、丙、丁四人去买电视，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三人所带钱总数的11，丙带的钱是另外三人所带钱总数的，丁带了910元，34 四人所带的总钱数是（）元。 5．若2836，4582，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，那么除数与余数的和为（） 6．两人从甲地到乙地，同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一个用匀速4小时走完全程，经过（）小时，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。 康大教材第１页 太原康大培训学校教材·六年级·总结册 7．设A＝29293031，B＝，比较大小：A（＜）B。 62626160 8．今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有23是坏的，其它是好的；乙班分到的桃有是坏的，916 其它是好的，甲、乙两班分到的好桃共有（）个。 9．如下图示：ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝10cm， 0∠DAB＝30，高CH＝4cm1，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN 分别以AD、CB为半径，那么阴影部分的面积为（）平方厘米（取π＝3）。10．假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3点18分时，时针和分针所形成的锐角是（）度。

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2000小学数学奥林匹克试题 预赛(A)卷 1.计算: 12-22+32-42+52-62+…-1002+1012=________。 2.一个两位数等于其个位数字的平方与十位数字之和，这个两位数是________。 3.五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是________。 4.有红、白球若干个。若每次拿出一个红球和一个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走一个红球和 3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个。那么这堆红球、白球共有________个。 5.一个年轻人今年（2000年）的岁数正好等于出生年份数字之和，那么这位年轻人今年的岁数是 ________。 6.如右图, ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E，F分别为AB，BC的中 点，则图中阴影部分的面积为_____平 方厘米。 7.a是由2000个9组成的2000位整数，b是由2000个8组成的2000位整数，则a×b的各位数字之和为________。 8.四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是____。 9.某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费。某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费________元（用电都按整度数收费）。 10.一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行。已知小汽车的速度是大卡车的速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的；小汽车需倒车的路程是大卡车需 倒车的路程的4倍。如果小汽车的速度是50千米/时，那么要通过这段狭路最少用________小时。 11.某学校五年级共有110人，参加语文、数学、英语三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有________人。 12.有8级台阶，小明从下向上走，若每次只能跨过一级或两级，他走上去可能有________种不同方法。 预赛(B)卷 1.计算：=________。 2.1到2000之间被3，4，5除余1的数共有________个。 3.已知从1开始连续n个自然数相乘，1×2×3×…×n，乘积的尾部恰有25 个连续的0，那么n的最大值是____ 。 4.若今天是星期六，从今日起102000天后的那一天是星期________。

小学数学奥林匹克竞赛试题 及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(四年级)(奥数试题精选)

小学数学奥林匹克网上竞赛试题及答案 （四年级） 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 13 差数之和的最小值是( ). A 28 B 30 C 31 D 29 32 41 13

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(五年级)

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （五年级） (红色为正确答案) （1）下图中,任意相邻的三个小方块内的三个数的和是20."?"代表的数是（ ） 9 ? 7 A 5 B 6 C4 D3 （2）李林喝了一杯牛奶的16 ，然后加满水，又喝了一杯的13 ，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了，那么李林喝的牛奶多，还是水多？ A 一样多 B 水多 C 奶多 D 无法确定 （3）下面的算式是按一定的规律排列的: 4+2 , 5+8 , 6+14 , 7+20 , … , 那么和为83的算式是（ ）+（ ）。 A 16+67 B 15+68 C 14+69 D 17+66 （4）把16 、124 、18 、14 、724 、112 、524 、13 、38 九个分数填在右面的九个空格内，使横 竖对角线上的三个分数之和都相等，那么这个相等的值是（ ）。 A 320 B 58 C 720 D 57 （5）按下列规律把下面的数进行分类如下: a b c d e 1 3 5 11 9 7 13 15 17 23 21 19 25 27 29 35 33 31 37 39 41 47 45 43 49 … … 那么301在（ ）字母下面。 A c B e C d D b (6)一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国A 与B 两位居民，B 对我们说：“A 和我不同，一个是骑士，一个是无赖。”请问A 是骑士还是无赖？ A 无赖 B 骑士 C 不清楚 D 既是骑士又是无赖

（7）一个都是红色的正方体,最少要切几刀,才能得到100个各面 都不是红色的正方体? A 14 B 17 C 18 D 15 （8）甲乙丙三人在圆形的跑道上跑步，甲跑完一周要用时3分，乙跑完一周要用时4分，丙跑完一周要用时6分。如果他们同时从同一地点同向起跑，那么他们第二次相遇要经过多少分钟？ A 7 B 10 C 12 D 15 （9）在下图中，AC=3EC 、BC=4FC ，三角形AEF 的 面积是2，三角形ABF 的面积是（ ）。 A 10 B 11 C 8 D 9 （10）用两个质数之和来表示100有许多种方法，在所有这些方法中，两个质数中大数减小数的差最小是（ ）。 A 3 B 5 C 6 D 4 （11）有一些糖,每人分5块多10块;如果现有的人数增加到原来的1.5倍,那么每人4块就少2块.这些糖在( )块到（ ）块之间. A 80-90 B 68-73 C 56-62 D 95-102 （12）有八个球编号是①至⑧,其中有六个球一样重,另外两个球都轻1克,为了找出这两个轻球,用天平称了三次,结果如下:第一次:①＋② 比③＋④重;第二次:⑤＋⑥比⑦＋⑧轻,第三次: ①＋③＋⑤与②＋④＋⑧一样重.那么,两个轻球的编号是( )和( ). A ③和④ B ⑤和⑥ C ④和⑤ D ①和③ A C F E B

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

解析1997小学数学奥林匹克试题决赛

1997小学数学奥林匹克试题决赛（A）卷 1．计算：19961997×19971996-19961996×19971997=_________。 2．=_________。 3．下式中的“香港”、“中国”均代表一个两位自然数，那么香港=_________，中国=_________。 4．在下式的方框里分别填上2、4、6、8四个数字，使等式成立。最多可写出_________个不同的算式。 5．下面的除法算式中，只知道一个数字“3”，且商是一个循环小数，则被除数是______。 6．有34个偶数的平均数，如果保留一位小数，得数是15.9，如果保留二位小数，得数最小是_________。 7．如左下图，四边形ABCD的周长是60厘米，点M到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形的面积是_____平方厘米。 8．如右下图，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段，把圆分成A、B、C、D四块。圆心O落在C中，O到M的距离为1厘米，M点到N点的距离为2厘米，那么A+C和B+D 相比较，_________面积大，大_________平方厘米。 9．1997的数字之和是1+9+9+7=26，请你写出小于2000的四位数中，数字之和为26的除1997以外的所有数_____。 10．已知两个不同的单位分数之和是，则这两个单位分数之差（较大分数为被减数）的最

小值是_____。 11．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。那么这些小朋友最多有_______人。12．从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分15秒遇上迎面开来的一辆电车。则电车总站每隔____分钟开出一辆电车。 1、10000 2、32/37 3、“香港”=11，“中国”=13 4、6个 5、16 6、15.88 7、135 8、A+C大，大8平方厘米 9、除1997外，还有1799、1979、1889、1988、 1898 10、11、158人12、11分 1. 【解】原式＝(19961996＋1)×19971996－19961996×(19971996＋1) ＝19971996－19961996 ＝10000 2. 【解】原式＝2.4××4.125－5＋0.42 ＝2.4×0.075×31－5＋0.42 ＝0.18×31＋0.42－5 ＝5.4＋(0.18＋0.42)－5 ＝6－5 ＝ 3. 【解】由上式知，(中国)－(香港)＝48 即(中国＋香港)(中国－香港)＝48 中国＋香港与中国－香港的奇偶性相同，积是偶数48，因而中国＋香港与中国－香港都是偶数。又 48＝2×24＝4×12＝6×8 所以 中国＋香港＝24，12，8 中国－香港＝2，4，6 其中只有24与2这一组，使