13-21题代数部分整理
一、实数运算：
1.（昌平）13
．计算：0
4sin 30(3.14)--?+-π
2.（平谷）13．计算：?+??
?
??----30tan 6213220111
．
3. （密云）13.
计算：
4cos30°．
4. （怀柔）13
计算：02sin 302011?-
5. （延庆）13．计算：计算
: 0
2
1( 3.14)2cos30()3
π---?+
6. （顺义）13．计算
: 0
2
1
4sin 60(1()2
-?-+
7. （大兴）13． 计算：2
1)2011(60tan 3201-+-+--π
.
8. （房山）13
．计算：
(2
13tan303π-??
++ ?
?? ．
9. （燕山）13．计算：| 1－3|－(3.14－π) 0 +（2
1）-1
－4sin60 °
.
10.（石景山）13．1
03
130tan 12)2011(-??--+-）
（． 11.（通州）13
2
1
(1cos 30)()
tan 4512
---+-??
12.（门头沟）13
1
12sin 4520113-??
?-+ ?
??
13.（丰台）13.
2011）+
1)2
－1
（+30
tan 60．
14．（西城）13．计算：
1024sin 60(-?- ．
二、解不等式（或不等式组）
1.（昌平）14．解不等式：512x -≤2(43)x -，并把它的解集在
数轴上表示出来．
2. （平谷）14．求不等式组???
??-≤--x x x x 22
1
58)2(3＞的整数解.
3. （密云）14．解不等式
13
1
5>--x x ，并将解集在数轴上表示出来．
4. （延庆）14
．解不等式组： )
1(421
21
+<-≤-x x x 并写出不等
式组的整数解.
5. （顺义）14.
解不等式 2151
132
x x -+-≥,
并把它的解集在数轴上表示出来.
6. （大兴）14．解不等式组1
(4)223(1) 5.
x x x ?+?，
7. （燕山）14．解不等式
23
2x 4125x ->-，并把它的解集在数轴上表示出来.
8. （石景山）14．解不等式组???
??
?
-≥++->-②)
1(517,①4
113x x x x 并把解集
在数轴上表示出来．
11．（西城）14．解不等式组 302(1)33,x x x +>??-+?
，
≥ 并判断3=
x 是
否为该不等式组的解．
12．（丰台）16.解不等式4-5x ≥3(2x+5),并把它的解集在数轴上表示出来．
三、解方程：
1.（昌平）15．解分式方程：21
11x x x =-+-．
2. （房山）14．解方程： x x x --
=--31
13
2．
3.（通州）14．解方程：5423
32x x x
+
=--.
4.（门头沟）.14．解分式方程 6133
x
x x +=+-．
四、化简求值：
1.（昌平）17．当22310x x ++=时 ，求2
(2)(5)28x xx x -+++-
的值.
2. （平谷）16．已知
0342=--x x ，求
4)1)(1()1(22--+--x x x 的值．
3. （密云）15.已知2
22a a -=，求22
21
()42
a a a a -+?-+的值.
4. （怀柔）16．（本题满分5分）已知 230a a --=，求代数式
111
a a -
-的值．
5. （延庆）16．已知02=++b a ，求
b a b
a a ---1
22
2的值.
6. （顺义）15. 已知a 是一元二次方程2
320x x +-=的实数根，求代数式
2352362a a a a a -?
?÷+- ?--??
的值.
7. （房山）16．（本小题满分5分）已知2
28x x -=，求代数式
2(2)2(1)5x x x -+--的值．
8. （燕山）16．当x ＝2011时，求代数式1
x 2x 1x 12--+的值.
9. （石景山）16．已知：04622
=-+x x ，求代数式
)225
(4232
---÷--x x x
x x 的值．
10.(丰台) 14．已知x-2y=0， 求22
y 1
x y x y
÷-- 的值．
11.（通州）15．先化简再求值：2
291
393
m m m m +÷--+，其中1=m
12.（门头沟）16．已知2
6x x +=，求代数式
22
2
(2)(1)37x x x x x +-+
+
-的值．
13.（西城）17. 已知关于
x 的一元二次方程
)0(02
1
2≠=+
+a bx ax 有两个相等的实数根，求()()()
1112
2
-++-b b a ab 的值．
14．（通州）15．先化简再求值：2
291393
m m m m +÷--+，其中1=m .
五、列方程（或方程组）解应用题：
1.（昌平）18．列方程或方程组解应用题：
国家的“家电下乡”政策激活了农民购买能力，提高了农民的生活水平。“家电下乡”的补贴标准是：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户．李大叔购买了一台彩电和一台洗衣机，从乡政府领到了390元补贴款． 若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，求彩电和洗衣机的售价各是多少元．
2.（平谷）17．列方程或方程组解应用题：
服装厂为红五月歌咏比赛加工300套演出服．在加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用9天完成任务．求该厂原来每天加工多少套演出服．
3. （密云）17.列方程和方程组解应用题：
某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，求购买了甲、乙两种票各多少张？
4. （怀柔）20．（本题满分5分）某校九年级两个班各为红十字会捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．
5. （延庆）18．列方程或方程组解应用题：
2011年4月10日，以“休闲延庆踏青赏花”为主题的第十届延庆杏花节开幕，
（1）2000年“杏花节”期间旅游收入为1.01万元,2005年“杏
花节”期间旅游收入为35.2万元,求“杏花节”期间，2005年的旅游收入比2000年增加了几倍? (结果精确到整数) （2）“杏花节”期间，2009年旅游收入与2010年的旅游收入
的总和是153.99万元,且2010年的旅游收入是2009年的3倍少0.25万元，问2010年“杏花节”期间的旅游收入是否突破了百万元大关?
6.（顺义）1
7. 列方程或方程组解应用题:
我区教委要求各学校师生开展“彩虹读书活动”. 某校九年级一班和九年级二班的学生向学校图书馆借课外读物共196本，一班为每位学生借3本，二班为每位学生借2本，一班借的课外读物数量比二班借的课外读物数量多44本，求九年级一班和二班各有学生多少人？
7. （大兴）17．列方程或方程组解应用题：
根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路. 铺设600 m 后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？
8. （房山）17．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：某学校组织九年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位，求该校九年级学生参加社会实践活动的人数．
9. （燕山）17．本学期我区中小学组织“社会大课堂”活动，某
校安排初三年级学生去周口店“北京人遗址博物馆”参观学习．已知该校距离博物馆约10千米，由于事先租用的汽车少来了一辆，一部分学生只好骑自行车先走，过了20分钟，其余学生再乘汽车出发．汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，结果他们正好同时到达，求骑自行车学生的速度．
10.（石景山）18．为继续进行旅游景区公共服务改造，某市今年
预算用资金41万元在200余家A级景区配备两种轮椅1100台，其中普通轮椅每台360元，轻便型轮椅每台500元．
(1) 若恰好全部用完预算资金，能购买两种轮椅各多少台？
(2) 由于获得了不超过4万元的社会捐助，问轻便型轮椅最多
可以买多少台?
11.（门头沟）17．“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提
出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个
星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可
为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中
国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活
动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别
有多少个城市参加了此项活动．
12.（丰台）17.“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产
帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周
内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和
“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5
倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”
帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？。
13．（通州）18．某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的
进价和售价如下表所示：
（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13℅的政
府补贴。农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享
受多少元的补贴？
（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩
电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的
5
6
. 若使商场获利最
大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是
多少？
14.（西城）19．在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾
害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供
电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电
局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他
们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，
求这两种车每小时分别行驶多少千米．
六、函数
1.（平谷）18．在平面直角坐标系中，A 点坐标为(04)，，C 点坐标为(100)，．
（1）如图①，若直线AB OC ∥，AB 上有一动点P ，当P 点
的坐标为 时，有PO PC =；
（2）如图②，若直线AB 与OC 不平行，在过点A 的直线
4y x =-+上是否存在点P ，使90OPC ∠=?，若有这样的
点P ，求出它的坐标．若没有，请简要说明理由.
2.（密云）18.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （-2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2,n)，连接BO ,若S △AOB =4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式； （2）若直线AB 与y 轴的交点为C,求△OCB 的面积．
3.（密云）19. 已知如图，A(3,0),B(0,4),C 为x 轴上一点.
(1)画出等腰三角形ABC; (2) 求出C 点的坐标.
4. （怀柔）17. （本题满分5分）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图（1）．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点O 与水面的距离为2.4 m ．ED 离水面的高FC=1.5 m,求涵洞ED 宽是多少？是否会超过1 m ？（提示：设涵洞所成抛物线为)0(2
<=a ax y ） 解：
5.（怀柔）21. （本题满分6分）
如图,已知二次函数y = x 2
－4x + 3的图象交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）抛物线y = x 2
－4x + 3交y 轴于点C ，（1）求线段BC 所在直线的解析式. （2）又已知反比例函数k
y x
=与BC 有两个交点且k 为正整数，求k 的值. 解：（1）
（2）
6.（延庆）1
7. 如图，M 点是正比例函数kx y =和反比例函数
x
m
y =
的图象的一个交点. （1）求这两个函数的解析式；
（2）在反比例函数x
m
y =
的图象上取一点P ,过点P 做A P 垂直 于x 轴，垂足为A ，点Q 是直线MO 上一点，QB 垂直于
y 轴，垂足为B ，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得
OBQ ?的面积是OPA ?的面积的2倍？如果存在，请求出
点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由；
7.（顺义）18． 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-+的图象分别与x y 、轴交于点A 、 B ，点P 在x 轴上，若6ABP S ?=,求直线PB 的函数解析式．
（1）
8.（大兴）16．已知直线b x k y 1+=与双曲线x
k y 2
=
相交于点A （2，4），且与x 轴、y 轴分别交于B
、C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线和双曲线的解析式。
9.（大兴）18．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（0，6），点
B 在一次函数y ＝－x ＋m 的图象上，且AB ＝OB ＝5．求一次函数的解析式．
10.（房山）18．（本小题满分5分）已知直线3y kx =-经过点M （2，1），且与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）求k 的值；
（2）求A 、B 两点的坐标；
（3）过点M 作直线MP 与y 轴交于点P ，且△MPB 的面积为2求点P 的坐标．
11.（燕山）18．如图，某一次函数y=kx+b 的图象与一个反比例函数的图象交于A 、B 两点，点A 和 点B 关于直线y=x 对称.
（1）求出这个反比例函数的解析式； （2）直接写出点B 的坐标； （3）求k 和b 的值.
12.（石景山）17．已知：如图，一次函数3+=kx y 的图象与反比
例函数x
m
y =（0>x ）的图象交于点P ．x PA ⊥轴于点A ，
y PB ⊥轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、
点D ，且27=DBP S △,
2
1
=CA OC ． （1）求点D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函
数的值? 13.（西城）15. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x
轴相交于点A ，
与y 轴相交于点(0,2)B ，与正比例函数 y ＝mx (m ≠0)的图象 相交于点(1,1)P ．
（1）求直线l 的解析式；（2）求△AOP 的面积．
14.（门头沟）18．正比例函数y mx =和反比例函数n y x
=
的图象都过点A （1，a ），点B （2，1）在反比例函数的图象上．
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）过A 点作直线AD 与x 轴交于点D ，且△AOD 的
面积为3，求点D 的坐标．
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
(完整版)自考本科线性代数(经管类)知识汇总
自考高数线性代数笔记 第一章行列式 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为： 所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减 次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆
方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如
例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0 行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5 线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 - 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1 (1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式 ： A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C = =-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11 ** ()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若 12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? O ，则： Ⅰ、1 2s A A A A =L ； 1 线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 线性代数知识点总结 1行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数 k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这 个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为 0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵），则 7、n 阶（ n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★ 8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值 （2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1） |kA|=k n|A| （2） |AB|=|A| ·|B| （3） |A T|=|A| （4） |A -1|=|A| -1 （5） |A*|=|A| n-1 （6）若 A 的特征值λ1、λ2、λn，则 （7）若 A 与 B 相似，则 |A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 一 例1确定五阶行列式中项的符号. 解由于项的行下标和列下标均不是按自然顺序排列，因此它的符号由它的行下标和列 下标的逆序数之和来确定，而行下标的逆序数，列下标的逆序数，故 的符号为正. 当然此题也可也先将调换顺序，使其行下标或列下标成自然顺序，如变为 ，则其符号由列下标的逆序数确定，由于，故的符号也即的符号为正. 例2写出5阶行列式中所有带负号且含有因子的项. 解使项的行下标保持自然顺序，由于因子的元素的列下标分别为1,3，还剩下三个列下标2,4,5来排，故5阶行列式中含有因子的项只能为 或 或或 或或 经验证可知：列下标排列的逆序数为奇数的为：，，，故符合条件的项为，及. 例3证明：若在一个n阶行列式中等于零的元素的个数大于，则该行列式为零. 证由于n阶行列式中共有个元素，若等于零的元素的个数大于,则不等于零的元素的个数小于n，而n阶行列式中的每一项都是n个不同元素的乘积，所以必为零，从而该行列式的值也为零. 例4计算下列n阶行列式 ⑴；⑵ 解⑴由定义，n阶行列式等于其所有不在同一行不在同一列的n个元素的乘积的代数和，共有n!项，而D1中由于零元较多，不为零的项显然只有一项：，又，故 ⑵由定义，D1中不为零的项也只有一项：而，故 . 例5已知 ， 求f (x)中x3的系数. 解由行列式的定义，f (x)是一个三次多项式，显然含x3的项共有两项，即主对角线上四个元素的乘积x3和对应于的项，故f (x)中x3的系数为（－2）+1=－1. 例6计算下列行列式： ⑴⑵ 解⑴此行列式刚好只有n个非零元素，故D1中不等于零的项只有一项 ，又，故 ⑵由行列式的定义，此行列式的非零项只有两项和，故 习题 1、填空题： ⑴排列2 1 7 9 8 6 3 5 4的逆序数为________（答案：18） ⑵若排列3 9 7 2 i1 5 j 4为偶排列，则i=________，j=_________.（答案：6，8） 线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 121212111212122212121= = -∑ L L L L L M M O M L n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 111211222211221122010 0n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-=L L L L L M M O M L 1 2 12n n λλλλλλ=L O ， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=-L N 3.行列式的性质 定义 记 1112121 22 212 n n n n nn a a a a a a D a a a = L L M M O M ，11211 12 22 212n n T n n nn a a a a a a D a a a =L L M M O M L ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+= '+L L L L M M M M L L 线性代数复习总结大全 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的 n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=) 1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 322212 31211133 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 线性代数必背公式(完全整理版) 2010.4 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 线性代数汇总汇总+经典例题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解线性代数总结归纳
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