线性代数习题解答第一二三章.
β
（图1）
总习题一 一、问答题
1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.
解 在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为
><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而|
|||,cos βαβαβα?>=< ，
故
|-1|2
><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||
||2
1
211221b b a a b a b a =-=
这就是说，二阶行列式
2
1
21b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平
行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量
β而得到时面积取负值．
空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα??的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即
=平行六面体V |||)(3
2
1
321
321
c c c b b b a a a |=??γβα 三阶行列式3
2
1321
3
21
c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．
类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n
,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．
- 2 - 习 题 解 答
2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？ 解 由定义知，在行列式ij
n n
D a ?=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持
相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余
子式．例如：在行列式1D =12
3
451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123
111789，
那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组
合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即
???≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk n
k ik ， ???≠==∑=)(,0)
(,1t j t j D A a kt n
k kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.
解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解
有了几何意义．设三元一次线性方程组
???
??=++=++=++)
()()(33333
2222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组
有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样
以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利
地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。如果我们利用几何直观来理解线性代数课程，就能为抽象思维提供形象模型，提高应用线性代数理论去解决实际问题的能力．
4. 范德蒙（Van der monde ）行列式的结构特点及结论是什么？请运用范德蒙行列式
证明：2
22123122331133
33
12
3
1
1
1
()()j i i j D x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤==++-∏.
解 范德蒙行列式
线 性 代 数 - 3 -
1
2
3
2
2221
2
3
1
1
111231111n
n n n n n n n
x x x x V x x x x x x x x ----=
它的结构特点是：每一列都构成等比数列，首项是1，公比分别是12,,,n x x x ，末
项分别是12,,
,n x x x 的1n -次幂．若将此行列式转置，则各行元素具有此特点.解题
时若发现某行列式有此特点，则可以利用范德蒙行列式的结果写出答案．
根据待求行列式的特点，构造四阶范德蒙行列式：
12
3
422221233
333
12
3
1111x x x y V x x x y x x x y =
一方面，利用范德蒙行列式结论有412313
()()()
()j i i j V y x y x y x x x ≤<≤=----∏
，另
一方面，按第四列展开有23414243444V A A y A y A y =++++，比较y 的系数得结论成立．
二、单项选择题
1．n 级行列式=0
1
0010
1001
（ ）．
（A ）1- （B ）2
)1()1(--n n （C ）2
)1()
1(+-n n （D ）1
解 应选（B ），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式的定义，该行列式只有一项不为零，(1)((1)21)
2
(1)
111=(1)n n n n n
τ---??
?-．
2．设()2
131
234
10231722
x f x =
------，那么()x f 的一次项系数为（ ）．
（A ） 1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2
解 应选（C ），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式展开定理，()f x 的一次项
- 4 - 习 题 解 答
系数为代数余子式12134134134
11230110111122012001
1+2
()A =----=-=-=----，故选（C ）． 3．如果行列式111213111213
2122
233132
333132
3321
22
23
222,333a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==---那么（ ）
． （A ） 2d （B ）3d （C ）6d （D ）-6d 解 应选（C ），本题直接计算．利用行列式的性质
22
111213
11
1213
31323331323321
22
2321
22
23
22233366r r a a a a a a a a a a a a d a a a a a a ?=-=---，故选（C ）．
4．如果(2)n n ≥级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为( )． （A ）偶数 （B ）奇数 （C ）1 （D ）-1 解 应选（A ）．因为行列式中每个元素都是1或-1,将行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不变，此时行列式第一行元素只可能是220,-或,即2是第一行元素的公因数，也是行列式的一个因数，从而行列式的值一定是偶数．
说明：读者可以考虑所有满足该题条件的三阶行列式的最大取值是多少？它是一个很有趣的问题．
5．行列式n 000
20001的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为
( ) ．
（A ）!n （B ）(1)2n n + （C ） !n n ? （D ） 2(1)
2
n n +
解 应选（C ），本题思路是根据行列式的特点，将“主对角线上每个元素与其代数
余子式乘积之和”转化为“每行元素与其代数余子式乘积之和”，再利用行列式展开定理解题．由于行列式每行只有一个元素不为零，故
11111212221222121100202000n n nn n n nn A A A A D n!A A A A D n!n A A A n A D n!
?=?+?++?==?=?+?++?==?=?+?+
+?=
=
从而112212nn A A n A n n!?+?+
+?=?．
线 性 代 数 - 5 -
6．四阶行列式
11
223344
00000
00a b a b b a b a 的值等于（ ）．
(A) 12341234a a a a b b b b - (B) 12341234a a a a b b b b +
(C) 12123434()()a a bb a a b b -- (D) 23231414()()a a b b a a bb -- 解 应选 (D)，本题可以直接计算，采用直选法．计算过程可以用行列式的定义，
行列式按行展开定理，也可以用拉普拉斯定理解答．使用拉普拉斯定理更快捷．本题更好的方法是采用排除法，令40b =，可得此时行列式的值为142323(-)a a a a b b ，经比较，可知 (A)、(B)和(C)都不对，故本题应选 (D)． 7．行列式n D 为零的充分条件是（ ）．
(A) 零元素的个数大于n 个 (B) n D 中各行元素的和为零 (C) 次对角线上元素全为零 (D) 主对角线上元素全为零
解 应选(B)．因为n D 中各行元素的和为零，根据行列式的倍加不变性质，将其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化为零，故(B)是n D 为零的充分条件． 说明：建议初学者分别举例说明其它三种情况都不是充分条件．
8．方程
0881441221
1111
3
2
=--x x x
的根为（ ）． (A) 1，2，2- (B) 1，2，3 (C) 1，1-，2 (D) 0，1，2 解 应选（A ）．可以将行列式视为关于122,,,x -的四阶范德蒙行列式，立刻得到结论．也可以将x 分别取值1,2,1-后，第4列分别与1,2，3列对比观察，得到结论．
9．当≠a （ ）时，方程组02020ax
z x ay z ax y z +=??
++=??-+=?
只有零解．
(A)1- (B) 0 (C)2- (D) 2 解 应选 (D)，本题直接计算方程组的系数行列式．
- 6 - 习 题 解 答
01
212(2)21
a D a a a ==--
由克莱姆法则知，当2a ≠时，齐次线性方程组只有零解．
10．设1
12
3
2
102
3
3
λλλ--=-，则λ的值可能为（ ）． (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D)2- 解 应选(D)，本题直接计算行列式：
3221
12
()32
1634(2)(817)2
3
3
f λλλλλλλλλλ-=
-=-++=+-+- 则()0f λ=有三个根24,i -±，故选(D)．
三、解答题
1. 计算行列式1122310000000000
0001
1
1
1
1n n n a a a a a a a
a ----- ．
解 该行列式的阶为1n +，从第1n +列开始，逐列乘以1加到前一列，
112231000000000000011111n n n a a a a
a
a a a -----121
0000000000000
00001121n n a
a a
a n
n n -=+-
按第一列展开得
原式122
10000
00
(1)(1)00
n n n
a a n a a +-=+-=12
(1)(1)n n n a a a -+．
2. 计算下列行列式
线 性 代 数 - 7 -
（1）
x y x y y x y x x y
x
y
+++； （2）1100
010001
x y z x y z ；
（3）520003520003520003520
0035； （4）12000
25000
981237645654789
．
解 （1）
1213
112()12()2()12()1c c c c x
y x y x y y x y y x y y x y x x y x y x x y x y
x x y x y x y x
y
x
y
+?+?+++++=++=++++
21
31
111
2()02()
0r r r r y
x y
x
y x y x
y x y x y
x
x y x
-?-?+-=+-=+=----)(233y x +-；
（2）
121314222
2221
11000100101000100010
001
c x c c y c c z c x
y z
x y z x y z
x x y z y z -?-?-?---==---=)(1222z y x ++-；
（3）由习题 1.4第5题结论，b a b a D n n n --=++1
1，当235a ,b ,n ===，
66
52366523
D -==-；或直接用展开定理：
原式5300230
30
2
5300530
5
355302530253
25
00250025
5302305[5253-3053]-620250250=-= 5565338665665[]=??-?-?=；
（4）由拉普拉斯定理可得：
121212000
12312325000
12
(1)456133309812325
78933376456
54789
+++=
?-=?= ．
- 8 - 习 题 解 答
3. 用加边法计算行列式
1111222
212
(0)n n
n
n n
x y x x x x y x y y y x x x y ++≠+．
解 利用行列式展开定理，构造一个等值的1n +行列式，其中第一列元素根据行列式的特点确定，即
原式1
1111111(1)2
2222222,3,,1
1
0001111000000
j c c j n n n n
n n n
n
x x y x x x y x x x y x x y x x x x y x y +-?=+---+=+=+ 1
11
1
1
1122,3,,1
122100000(1)000
i y i n
i
i i
r c n
i
n i n i i
n
n
x y x
y
x y y y x y y x y -=+?=+=+=
=+∑
∑
．
4. 证明：2100012100012001000210
1
2
n D n =
=+．
证明 用数学归纳法证明． 因为12D =，221
312
D =
=，所以当
12n ,=时命题成立． 现在假设行列式阶小于n 时，结论成立，下证对n 阶行列式结论成立．将n 阶行列式按第1行展开后再展开，有
11211000210
2122110121
00
1
2
()n n n n D D D D n n -n ---=-?=-=-=+
故结论成立．
5. 设z y x ,,是互异的实数，证明：01
11
3
3
3
=z y x z y x
的充要条件是0=++z y x ．
线 性 代 数 - 9 -
证明 行列式33
3
111
x
y z x y z 中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，构造四阶范德蒙行列式：
42
222
3333
1111x y z t
V x y z t x y z t = 一方面，利用范德蒙行列式结论有4()()()()()()V t x t y t z z x z y y x =------，另一方面，按第四列展开有23414243444V A A t A t A t =+++，比较2t 的系数得：
343
3
3111
()()()()x y z A x y z z -x z y y x x y z -==-++-- 又z y x ,,是互异的实数，故01
11
3
3
3
=z y x z y x
的充要条件是0=++z y x ． 6. 证明：33()ax by
ay bz
az bx
x
y z ay bz az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz z x
y
++++++=++++． 证明
左边ax ay bz
az bx
by ay bz
az bx
ay az bx ax by bz az bx ax by az ax by ay bz bx ax by ay bz
++++=+++++++++ 22x ay bz
az
y bz
az bx
x ay bz
z
y
z az bx
a y az bx ax
b z bx ax by a y az bx
x b z x ax by z ax by ay x by ay bz z ax by
y x
y ay bz
++++=+++=+++++++
22[][]x ay z
x bz
z
y
z az
y
z bx
a y az x y bx x
b z x ax z
x by z ax
y z by y x
y ay x y bz
=+++ 33()x
y z a b y
z x z
x
y
=+
- 10 - 习 题 解 答
7. 当λ为何值时，方程组1231232
12
3(1)1(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ+++=??
+++=??+++=?有唯一解？并用克莱姆法则求解．
解 因为方程组的系数行列式21111
11(3)1
1
1D λ
λ
λλλ
+=
+=++，
所以当03λλ≠≠-且时，方程组有唯一解．又
31222243232
111112;
1111
1
112;1
1111
1121
1
1D D D λλλλλλ
λλλλλλ
λλ
λλλλλλ=+=-+++=
=-++=+=+--+
所以232312123221
21;;(3)(3)(3)
D D D x x x D D D λλλλλλλλλλλ-+-+--========
+++． 8.设4阶行列式的第1行元素依次为2,,,3m k ，第1行元素的余子式为全为1，第3行元素的代数余子式依次为3,1,4,2，且行列式的值为1，求,m k 的值. 解 由题设
111213142,,,3a a m a k a ====； 111213141,1,1,1M M M M ====； 313233343,1,4,2A A A A ====，
则有111213141,1,1,1A A A A ==-==-．据行列式展开定理及其推论有
11111212131314141131123213331434
1
0a A a A a A a A a A a A a A a A +++=??
+++=?， 即
21(1)13(1)1
2314320
m k m k ?+?-+?+?-=??
?+?+?+?=?． 解得 42m k =-??=-?
．
线 性 代 数 - 11 -
9．设4
32232114
31
13151-=
A ，计算44434241A A A A +++的值，其中)4,3,2,1(4=i A i 是对应元素的代数余子式．
解 由行列式按行展开定理41424344414243441111A A A A A A A A +++=?+?+?+?
15131513
621621
1134062111
610011661123061023
602023
11110602
----=
=
==--==------ 10. 设行列式,||(,)ij ij n D a a i j i j ==-?，求D 的值． 解 由题设
01221
1
01322
1
4323401123
10
ij n
n n n n n n D a n n n n n n ------==
-----
-
依次将第i 行的（-1）倍加到第1i -行23()i ,,,
n =，得
11111111111111
1
1
1
1
1
1123
1
D n n n ------=
-------
再将第一列分别加到其余各列，得
1000012000122001
2
2
20123
24
1
D n n n n
n ------=
=--------12(1)(1)2n n n ----．
注：用同样的方法，可以求得行列式
- 12 - 习 题 解 答
1212312122
1
3
2
1
32(1)(1)21231212
2
1
n n n n n n n n n D n n n n n
n n +------=
=-+-----
11．设,,a b c 为三角形的三边边长，证明：0000a b c a
c b
D b c a c
b a =
0<． 证明 将2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得
01010()01001
a b c a b c a c b c b D a b c b c a c a c
b a
b
a
=
=++ 将第1行的1()-倍，加到利用2，3，4行，按第一列展开，得
10()()00a b c
a c
b b c
a c
b b c
D a b c a b c c a b a c c a b a c
b a a b c
b a a b c
------=++=++------------
继续计算
12
11()()()100c c c a b c b b c c b b c
D a b c c a b b a c a b c c a b b a c a b c a b c
+?------=++----=++--------
21
11()()0()()0r r c b b c
c a b
a b c c a b c a b a b c c a b a b c
a b c -?----=++----=++------
()()()()a b c c a b a b c b c a =++------
由三角形的性质，上式四个因式中有三项小于零，故0D <．
12．设多项式2
012()n n f x a a x a x a x =+++
+，用克莱姆法则证明：如果()f x 存在1
n +个互不相同的根，则()0f x ≡． 解 设121,,
,,n n x x x x +为互不相同的根，则()0(1,2,,1)i f x i n ==+，于是有
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 习题3 1.11101134032αβγαβαβγ ===-+-设（，，），（，，），（，，），求和 1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，） （，，）（，，）（，，）（，，） 1231232.32525131015104111αααααααααα -++=+===-设（）（）（），其中（，，，） （，，，），（，，，），求1231233251 32561 [32513210151054111] 6 1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（）， 所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，）， （，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。 123412341234123412341234 1211 5111 ,,,; 4444 5111 4444 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=??+--=? ?-+-=??--+=?===-=-=+--解：因为线性方程组的解为 所以得： 1234.111112313) t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性 （）（，，），（，，），（，， 111 1235, 1355t t t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。 . 323232.5213132321321的线性相关性， ，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++ . 0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设 第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T + 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ； 线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩 阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是 （ ） 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 线性代数练习题答案三 一、温习巩固 ?x1?2x2?x3?x4?0? 1. 求解齐次线性方程组?3x1?6x2?x3?3x4?0 ?5x?10x?x?5x?0 234?1 解：化系数矩阵为行最简式 ?121?1??120-1? ??行变换??A??36?1?3??????0010? ?5101?5??0000????? 因此原方程同解于? ?x1??2x2?x4 令x2?k1,x4?k2，可求得原方程的解为 x3?0? ??2??1?????1???0? x?k1???k2??，其中k1,k2为任意常数。 00?????0??1????? ?4x1?2x2?x3?2 ? 2. 求解非齐次线性方程组?3x1?x2?2x3?10 ?11x?3x?8 12? 解：把增广矩阵化为阶梯形 ?42?12??13?3?8??13-3-8? ??r1?r2??行变换?? ??3?1210??????3?1210??????0-101134? ?113?113?0008?08?0-6??????? 因此R?2?R?3，所以原方程组无解。 3. 设??,??。求向量?，使2??3???。 解：?? 151?? ???3,,0,??33?? 4. 求向量组 ?1?T,?2?T,?3?T,?4?T,?5?T的 秩和一个极大线性无关组。 解：将?1,??5作为列向量构成矩阵，做初等行变换 ?1???1A?? 2??4? 二、练习提高⒈ 判断题 03130?11722140 2??1??1??0???50?? ?6???0 312 312??1 303??0 ???1010?? ?2?4?2???0 100 312? ? 101? ?000? 0?4?4?? 所以向量组的秩为3，?1,?2,?4是一个极大线性无关组。 ⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。⑵ 设A为m?n矩阵，Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b的导出组，则 若Ax?0仅有零解，则Ax?b有唯一解。若Ax?0有非零解，则Ax?b有无穷多解。若Ax?b有无穷多解，则Ax?0有非零解。 ?A ⑶ 设A为n阶矩阵，?是n维列向量，若R???T ? ?A???T? 线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（ ） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（ ） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 （B ）A 是满秩矩阵。 （C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( ) 线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13 (2) 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 312 1 23 122x x x D x x x = 的展开式中包含3 x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234() 4 1234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ， 其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 0010 30000004 ； (2) 1230 002030450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1．下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4． 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6．在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1 7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ，则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ，则 12 8．若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9．已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1 ·107· 第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 12?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ???A 与12?? ??? B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使 BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(,,)n D μμ==Q B Q L T 11,,. n μμ=B M BM L 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型211 1 ()m i in n i f a x a x == ++∑L ，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式： 2111 ()m i ij j in n i f a x a x a x ==++++∑L L 设A i = 1(,,,,)i ij in a a a L L ),,1(m i Λ= 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）线性代数习题3答案(高等教育出版社)
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