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宝安区2013—2014高二数学理科试题(含答案及评分标准)

高二理科数学第1页（共4页）

2013-2014学年第一学期宝安区期末调研测试卷

高二理科数学

2014.1

命题人：吕正军、张松柏审核：郑传林

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的． 1．命题“对任意x R ∈,都有2

0x ≥”的否定为 A ．对任意x R ∈,都有2

0x < B ．不存在x R ∈,都有2

0x < C ．存在0x R ∈,使得2

00x ≥

D ．存在0x R ∈,使得2

00x <

2．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若2,,4

b B A π

===

，则a 的值是

．

．3．方程10)2()2(2

222=++++-y x y x 化简结果是（）

A ．

116252

2=+y x B ．

121252

2=+y x C ．

14252

2=+y x D ．

121

252

2=+x y 4．命题“若2>a ，则1≥a ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．点)1,1,2(-A 关于x 轴对称的点的坐标为 A ．)1,1,2(--

B ．)1,1,2(

C ．)1,1,2(--

D ．)1,1,2(-

6．若椭圆13

2=+y m x 的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则m = A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

7．如果函数sin π02πf x x θθ=+<<()()()的最小正周期为T ，且当2x =时取得最大值，那么 A ．π

T θ==

， B ．1πT θ==， C ．2πT θ==， D ．π

T θ==

， 8．下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是

A ．3

y x =

B ．y cos x =

C ．y ln |x |=

D ．y 2x

9．实数,x y 满足??

??≤+-≤≥b y x x y y 121

如果目标函数y x z -=的最小值为2-，则实数b 的值为( )

A ．0

B ．6

C ．7

D ．8

10．若规定

bc ad d

b a -=，不等式

1-≥-+x m

x x 对一切(0,1]x ∈恒成立，则实数m 的

最大值为

高二理科数学第2页（共4页）

A ．0

B ．2

C ．

D ．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 11．已知数列}{n a 的前n 项和2

n S n n =+，那么它的通项公式为n a =

12．已知向量()()()()

1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-

若则

13．已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，则1l 和2l 的交点M 的

轨迹方程为 (化为标准形式)

14．海事救护船A 在基地的北偏东0

，与基地相距B 被困海面，已知B 距

离基地20海里，而且在救护船A 正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12）已知}{n a 是等差数列,其中50,302010==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若20-=n n

a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值.

16．（本小题满分12分）

已知命题2

:,2(1)02

p x R x k x ?∈+-+<使；命题22:191x y q k k -=--方程表示双曲线。若

p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围.

17．（本小题满分14分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，A C 2=, 10=+c a , 4

cos =

A .

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（1）求

的值；（2）求b 的值. 18．（本小题满分14分）

如图所示，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，E 是棱CC 1上的点，且1=CE .

（1）求证1BE B C ⊥；

（2）求直线1A B 与直线C B 1所成角的正弦值.

19．（本小题满分14分）某工厂生产某种产品,每日的成本C (单位:万元)与日产量x (单位:吨)

满足函数关系式3C x =+,每日的销售额S (单位:万元)与日产量x 的函数关系式

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35, (06)8

14, (6)

k x x S x x ?

（1）求k 的值;

（2）当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

20．（本小题满分14分）已知椭圆C 的焦点为)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F ，点)2

, 1(-P 在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；

（2）若抛物线E ：px y 22

=（0>p ）与椭圆C 相交于点M 、N ，当OMN ?（O 是坐标原

点）的面积取得最大值时，求p 的值．（3）在（2）的条件下，过点2F 作任意直线l 与抛物线E 相交于点A 、B 两点，则直线1

AF 与直线1BF 的斜率之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

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宝安区2012-2013学年高二年级期末测试题

理科数学答案及评分标准

11、 2n 12、 -3 13、 22(1)(1)13x y +++= 14、 20或40海里三、解答题（共计80分） 15.解法一：（12分）解：（1）由,50,302010==a a

得：???=+=+.5019,3091

1d a d a ...2分,解得.2,121==d a 4分,所以 .102+=n a n (6)

分解法二：

102010

n a a a a n --=

--，解得.102+=n a n ：（2）由20-=n n a b 得：102-=n b n ， …7分

所以，当5n 时，0>n b ；当5=n 时，0=n b ，…9分由此可知：数列}{n b 的前4或5项的和最小． …11分又2054-==T T ，数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值为20-．……12分

解法二：22*1()981

9(),224

n n b b n T n n n n N +=

=-=--∈当45n =或时，n T 有最小值为20-。

16.（12分）解：若p 为真，不等式2

2(1)02

x k x +-+

<有解，则2(k 1)40?=-->，解得3k >或k<-1；………4分，若q 为真，则(9k)(k 1)0-->解得1

因为 p q ∧为真命题，故p ，q 为真，由{

319k k ><<或k<-1

解得39k <<

所以，k 的取值范围为(3,9) ………12分 17. （14分）解：(1)由正弦定理得A

a c sin sin =

…2分 2

cos 2sin cos sin 2sin 2sin ====

A A A A A A . …6分

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（2）解法1：由?????=+=

23c a a c …7分得：

??==46

a c . ………8分,又由余弦定理得A bc c

b a cos 2222?-+= …9分所以4

31236162?

-+=b b ，整理得 02092

=+-b b ， …11分

解得4=b 或5=b . …………12分

当4=b 时，由A C 2=, 4=a 可知：?=45B ,这与4

cos =A 矛盾，应舍去. …13分所以5=b .……14分

解法2：由 ??

???=+=

1023

c a a c ………6分得 ???==46a c . ……7分因为,43cos =A

所以4

7)4

(1cos 1sin 2

-=-=A A . 81

1)43(21cos 22cos cos 22=-?=-==A A C ，

3cos 1sin 2=

-=C C ，从而)cos(cos C A B +-

=319cos cos sin sin 484816

A C A C =-+=-?+=， 10分所以2

462462516

=+-???

= 所以5=b . ……14 18、【改编】（1）解如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D —xyz. ………2分

∴D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），

A 1（2，0，4），

B 1（2，2，4），

C 1（0，2，4），

D 1（0，0，4）.

设E 点坐标为（0，2，1），则BE =（-2，0，1），

B 1=（-2，0，-4）.

BE ·C B 1=4+0-4t=0

∴BE ⊥B 1C ，（10分）

（2）)4,0,2(),4,2,0(11-=-=C B B A ,则5

2016,cos 111111==

?>=

B B A

C B B A C B B A

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所以二直线成角的正弦值为5

（14分）

19、解析：（Ⅰ）由题意可得：22,068

11,6

k x x L x x x ?

=?+

+-. ---4分解得18k =. -------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18

228

L x x =+

+-，所以

18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-+

+--++-=--≤（）．------------8分当

且

仅当

2(8)8x x

-，即

x =时取得等

号． -----------------10分当

x ≥时

，

1L x =-≤． -----------------12分所以当5x =时，L 取得最大值6．

所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万

元． -----------------14分

20、19.⑴方法一：依题意，设椭圆C 的方程为122

22=+b

y a x ……1分，

||||221PF PF a +=……2分，22=，所以2=a ……3分，

1=c ，所以12

=-=c a b ……4分，椭圆C 的方程为12

=+y x ……4分 ⑴ 方法二：依题意，设椭圆C 的方程为122

22=+b

y a x ，c=1

2211

1(1)2P a b

∴+= 点在椭圆上，

又222

1(2)c a b =-=

联立（1）（2）得2212

a b ?=?

?=??，所以椭圆C 的方程为1222=+y x ⑵ 根据椭圆和抛物线的对称性，设) , (00y x M 、) , (00y x N -（0 , 00>y x ）……5分，

OMN ?的面积0000)2(2

y x y x S =?=

……6 分，法1、) , (00y x M 在椭圆上，122020=+y x ，所以2222

00001122

x x y y +=?=-

高二理科数学第8页（共4页）

那么22

220000011

)(1)222

x S x y x x ==-=--+

当201x =时，2

max 12

S =，即当001(

0)x x =>max 2S =。将01x =代入220012x y =-得

???=

=22

00y x ……8分， ) , (

00y x M 即)22 , 1(M 在抛物线px y 22

=上，所以12)2

?=p ，解得41

=p 。……9分，

法2、) , (00y x M 在椭圆上，12

0=+y x ，所以00202

0202

022221y x y x y x =?≥+=，

等号当且仅当002

y x

=时成立

解?????

??==+002

0202

x y x （0 , 00>y x ）得?????==22

100y x ) , (00y x M 即)22

, 1(M 在抛物线px y 22=上，所以12)22(2?=p 法3、) , (00y x M 在椭圆上，

122

0=+y x ，令00((0,2sin x y θπθθ?=?∈?=??那么00001(2)cos 22S x y x y θθθ=?===

当sin 21θ=时，max S =2,24ππθθ==，则001

2x y =??

) , (00y x M 即)22

, 1(M 在抛物线px y 22=上，所以12)22(2?=p ，解得4

=p （3）（A ）当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性，有1212AF F BF F ∠=∠则110AF BF k k +=；……10分，

（B ）当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，

1122(,),(,)A x y B x y ，则A ，B 两点的坐标满足方程组2(1)1(0)2y k x y x x =-??

?=>??……11分，

化简得2222

2(41)20k x k x k -++=，依韦达定理得212212

41(*)21k x x k x x ?++=???=? ……12分，

高二理科数学第9页（共4页）

又11112112(1)(1),111

AF BF y k x k x k y x x x --=

+++，则111212(1)(1)

,11AF BF k x k x k y x x --==++ 所以111212211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)

11(1)(1)

AF BF k x k x k x x k x x k k x x x x ---++-++=+=

++++ 12122(1)

(1)(1)

k x x x x -=++，将(*)代入得110AF BF k k +=

综上，直线1AF 与直线1BF 的斜率之和为定值0. ……14分，

高二数学期末试卷(理科)

高二数学期末考试卷（理科）一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-r 平行的一个向量的坐标是（） A ．（ 3 1 ，1，1） B ．（－1，－3，2） C ．（－21，2 3 ，－1） D ．（2，－3，－22） 2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ?”、“q ?”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2 2 2b a +”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14 2 2=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8 5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ． 21 3221+- B ．21 2132++- C ．2 1 2121-+ D ．2 13232-+ 6、抛物线2 y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（） A ． 1716 B ．1516 C ．7 8 D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（） A.5或 54 或 C. D.5或5 3 8、若不等式|x －1|