建模论文-血样的分组检验
数学建模课程论文题目：血样的分组检验
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血样的分组检验
摘要
本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健康人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n, 将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函
数()
E X ,求解得
1
()1(1)k
E X p
k
=--+;通过计算,当0.307
p>时不应分组;将
第1次检验的每个阳性组再次分m组,建立一个关于k,m的二元函数,再通过求导得稳定点函数。
关键字：化验次数非线性规划数学期望最佳分组人数
1问题提出
在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病，假定血液为阳性的先验概率为p（通常p很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组混合血样呈阴性时，既可不检验判定该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样呈阳性时，即可判定该组至少有一人血样为阳性，于是需要对这组的每个人再做检验。
（1）当p固定时（如0.01%，…，0.1%，…，1%，…）如何分组，即多少人一组，可使平均检验次数最少。
（2）当p多大时不应分组检验。
（3）当p固定时如何进行二次分组（即把混合血样为阳性的组在分成小组检验，重复一次分组时的程序）。
（4）讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组一分为二，继续下去），三分法等。
2基本假设
结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设：
1.人群数量总数为n人,是确定的；
2.假设在血样检验之前，确定的已知先验阳性的概率P是确定的常数；
3.每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响；
4.每次分组时都能达到平均分配，能分成m组，即
n
m
p
=，m为正整数。
3符号说明n：检验人群总数
p：阳性的先验概率
m：被分成的组数
k：每组人数
m'：第二次分组的组数
k'：第二次分组每组人数
X：第一次分组每人的化验次数
X'：第二次分组每人的化验次数
1p :在二次分组检验模型中，第一次分组时，小组为阳性的概率
2p: 在二次分组检验模型中，第二次分组时，小组为阳性的概率
()
E X：第一次分组的平均每个人化验次数X的数学期望
()
E x
'：第二次分组平均每个人化验次数X'的数学期望
4问题分析
4.1问题一分析
人群总数为n，分m组，每组人数k。阳性的先验概率为p，则阴性的先验概率为1p
-。如果不分组，则每个人需要化验1次。如果分组，当某组化验结
果是阴性，则不需要再进行化验，该组平均每个人的化验次数为1
k
，概率为
(1)k
p
-；当某组化验结果是阳性时，则需要对该组每个人进行化验，该组平均
每个人的化验次数为
1
k
k
+
，概率为1(1)k
p
--，因此，需要分组的条件是第一次
分组化验次数的数学期望小于1。要求化验次数的数学期望的最小值，就是要求在满足数学期望小于1的情况下的每组人数k。
4.2问题二分析
不应分组的条件就是要求阳性的先验概率p多大时，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。
4.3问题三分析
问题三是在第一次分组化验的基础上再次分组化验的问题。对于第一次分组化验为阳性的组，重新分为m'组，每组k'人。以二次分组时每个人的平均检验次数为目标，建立非线性规划模型，取不同的p，求出第一次分组的最佳分组人数k 和第二次分组的最佳分组人数k'。
4.4问题四分析
我们可以多次应用一次分组法对问题进行分析，找到了多次分组的求解方法。通
过上述问题分析，我们得出：当p 值比较小得情况下，一次分分组比二次分组法效果好；多次分组法比二次分组法效果好。
5模型的建立与求解
利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。 在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。 5.1问题一模型建立与求解 5.1.1模型的建立
由问题一的分析得出一次分组每人的化验次数X 的分布规律为：
X 1k 1k
k
+ P
(1)k p - 1(1)k p --
则一次分组每人的化验次数的数学期望为：
11()(1)[1(1)]1
1(1)k k k k E X p p k k
p k +=
-+--=--+
如何分组才能使每人化验次数最小，也就是求当阳性的先验概率p 固定时的每组人数k 为多少时，上式数学期望达到最小值，且必须小于1，其数学模型表达式为：
min 1
()1(1)k E X p k
=--+
(01,1)p k <<≥
5.1.2模型求解
求解时，我们采用线性规划法求解。
当阳性的先验概率p 固定时，我们把k 看作自变量，那么数学期望就是一个
关于k 的函数，记作：
1()1(1)k f k p k
=--+
由于()f k 在其定义区间(01,1)p k <<≥上连续且可导，现在我们来求()f k 的最值，当()f k 的一阶导数等于0时，()f k 才可能取得最值。记()f k 的一阶导数为
()f k '，()f k '的表达式为：
21()(1)ln(1)k f k p p k
'=----
现令()f k '=0，2
1
(1)ln(1)0k p p k ----
=。设0k 是方程()0f k '=的一个解，现在，只要给出一个概率p 值，算出与p 对应的0k 值，在这里，最佳分组人数k 是正整数，所以当0k 是整数时，最佳分组人数为0k k =，当0k 不为整数时，取0[]k k =或者0[]1k k =+，比较()E X ，选取()f k 较小的为k 的最优值，运用lingo 软件编程（见附件1），来求最佳分组人数k 。
我们选择在区间[0.00001,0.40]p ∈有代表性的选择p 值，得出p 、
k 、()E X ，结果见表1：
表1 不同p 值下的最佳分组人数k 和平均每个人的检验次数()E X
p
0.00001 0.00003 0.00005 0.00008 0.0001 0.0005 0.001 k
317 183 142 112 101 45 32 ()E X
0.0063 0.0109 0.0141 0.0178 0.0200 0.0448 0.0628 p
0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 k
15 11 8 6 6 5 4 ()E X
0.1391 0.1956 0.2742 0.3337 0.3839 0.4262 0.5336 p
0.10 0.20 0.30 0.306 0.307 0.308 0.4 k
4 3 3 3 3 3 3 ()E X
0.5939
0.8213
0.9903
0.9990
1.0005
1.0020
1.1173
从表1可以看出，当()1E X <，应当分组。 5.2问题二模型建立与求解 5.2.1模型的建立
利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验
次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。 在众多组合的分组中，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。 5.2.2模型求解
不应分组的条件即要求阳性的先验概率p 多大时，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。而随着p 的增加，E(X)变大。
所以当()1E X >时，不应分组检验。即1
()1(1)1k
E X p k
=--+>，得1
1k p k ->-。
令1-
()1k
f k k =-， 则'''
11()(1)()k k f k k k
=-
=- 设1k y k
=
则'
''
1()(
)k f k y k
=-=- 对1
k y k
=
两边求对数有: 1
ln ln
k y k
= ， 对1
ln ln
k y k
=两边求导有： 1'
'''1111
(ln )(ln )(ln())(ln )k k y k k k k
===
即 '22221111111ln ()ln y k y k k k k k k k
=-+-=--
1
'
22222211111111111(ln )(ln )(ln )()k k y y k k k k k k k k k k k
=--=--=--
所以11'
''
2221111111()()(ln )()()(1ln )k k k f k y k k k k k k k k
=-=-=---=??-
即 1'
211
()()(1ln )k f k k k k
=??-
由此可以看出，当k e >时，'()0f k <，函数1
()1k f k k
=-
单调递减，而2k e ≤<时（分组时每组至少要有2人，故有2k ≥），'()0f k >，函数1
()1k f k k
=-
单调递增，在x e =时（自然对数 2.71828e ≈），'()0f k =，函数1
()1k f k k
=-
取得最大值，此时最大值1
11()11()0.3078e e f e e e
=-=-=,
由于实际检验分组时每组的人数k 只能取整数，不可能取自然对数e ，故算出接近最大值()f e 的两个实际值：
(2)0.292893f =； (3)0.306639f =；
所以， 1
()1k f k k
=-
的最大值为0.307， 即只有当0.307p <时，通过调整k 可以满足分组检验的约束条件11k p k <-
而当0.307p ≥时，无论怎么调整k 都不能满足分组检验的约束条件11k p k
<- 所以，当0.307p ≥时，就不需要分组。 5.3问题三模型建立与求解 5.3.1模型的建立
第一次分组化验：第一次分组组数为m ，所以第一次分组化验需要的化验次数为1y m =次 ，这m 组中，化验出阳性的组数应为：1[1(1)]k x m p =--组。
下面，再给阳性组进行第二次分组化验：
为了避免混淆，我们将第一次分组化验出阳性的组归为一类，以前每组的k 个人分为m '组，每组k '人，所以有k m k ''=。
第二次化验：通过以上的分组方法，可以得到的总小组数为：21x x m '=组，故第二次化验需要的次数为：221y x x m '==次。
若第二次分组化验时，若检验出某组为阴性，表明该组全体成员全为阴性，不需要重新化验，如为阳性，需要对该组的每个人进行化验，以确定谁是病毒感染者。第二次化验后得到的阳性组数的期望值为：32[1(1)]k x x p '=--组，每组的人数为
k '人。所以再需要的化验次数为：32[1(1)]k y x p k ''=--次。
所以要进行两次分组，总共需要的化验次数为：
123[1(1)][1(1)][1(1)]k k k y y y y m m p m m p m p k ''''=++=+--+----
又由于总人数n mk mm k ''==，所以可得平均每人需要的化验次数数学模型为：
min 11
()[1(1)][1(1)]k k E X p p k k ''=
+--+--'
1
:(k st m m k '≥≥???
=?'???k k 为正整数）
0 5.3.2模型求解 用LINGO 编程（具体程序见附件2）求出当p 在（0.00001，0.40）之间变化满足以上条件的最优解,下面给出几组有代表性p 、k 、k '、()E X '： 表3 不同p 值下的最佳分组人数k 、k '和平均每个人的检验次数()E X ' p 0.00001 0.00003 0.00005 0.00008 0.0001 0.0005 0.001 k 4082 1810 1242 88 721 225 145 k ' 314 181 138 110 103 45 29 ()E X ' 0.4978 0.0011 0.0017 0.0024 0.0028 0.0092 0.0154 p 0.005 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.08 k 42 24 14 12 10 10 5 k ' 14 12 7 6 5 5 5 ()E X ' 0.0502 0.0839 0.1391 0.1855 0.2289 0.2710 0.3844 p 0.10 0.20 0.30 0.306 0.307 0.308 0.4 k 6 3 3 3 3 3 3 k ' 3 3 3 3 3 3 3 ()E X ' 0.4498 0.7341 0.9840 0.9985 1.0009 1.0033 1.2093 根据上面的表3分析，当0.307p <即()1E X '<可以进行二次分组，比一次分组的效果好，能够减小平均每个人的化验次数，减小化验费用，而当0.307p >即 ()1E X '>，分组反而增加了平均每个人的化验次数，化验费用，不建议分组。 5.4问题四模型建立与求解 5.4.1模型建立 对于多次分组的应用，由以上问题，我们可以看出：当预先给定的阳性概率p 较大时，不适合分组检验，或者说不适合多次分组检验，因此，我们在预先给定阳性概率p 值很小的情形下讨论。 该问题主要是应用一次分组法，对其反复应用，进而确定进行几次分组。 由于在实际的血样检验中，由于多次分组的存在，每次分组前都会检验出部分阴性的血样来，所以，除了第一次分组以外，所有的分组前的阳性概率p 均会发生改变（会不断地增大），我们可以根据这个来分析多次分组的情况。 5.4.2模型求解 在第一次分组中： 由于阳性概率p 的值很小，所以需要分组，具体的分组情况还是根据使 11 ()1(1)k E x p k = +--的值最小，找到合适的k 值，进而确定第一次分组的情况。 在第二次分组中： 由于在一次分组中检验出部分阴性的血样，所以改变了剩余血样中阳性血样的概率。第一次分组检验中被检验出得阴性血样的平均值为：(1)k mk p -，在整个血样检验中阳性的血样总数平均值为：mpk ，在第一次血样检验后还剩余的血样总数：(1)k mk mk p --。 所以我们可以得到： 1(1) k m p k p m k m k p = -- 这样，我们需要对1p 的值进行讨论，当1p 接近或者超过0.306639时，我 们不需要分组，只需要挨个检验。当010.37p <时，我们需要分组，分组原则是：使11 ()1(1)k E x p k = +--取得最小值时，找到对应的1k k =值，进而确定第二次分组的具体情况。 在第三次分组中： 由于在二次分组中检验出部分阴性的血样，所以改变了剩余血样中阳性血样的概率。第二次分组检验中被检验出得阴性血样的平均值为： 1 (1)(11)k k mk mk p p ??---?? ，在整个血样检验中阳性的血样总数平均值为：mpk ，在第一次血样检验后还剩余的血样总数： 1 (1)(1)(11)k k k mk mk p mk mk p p ??------?? 。 所以我们可以得到： 1 2(1)(1)(11) k k k mpk p mk mk p mk mk p p = ??------?? 这样，我们需要对2p 的值进行讨论，当2p 接近或者超过0.306639时，我们不需要分组，只需要挨个检验。当20.307p < 时，我们需要分组，分组原则是：使1 ()1(12)k E x p k = +--取得最小值时，找到对应的2k k =值，进而确定第二次分组的具体情况。 6结果分析 6.1问题一结果分析： 要知道检验次数的多少，需要分析平均每个人的检验次数与()E X 阳性先验概率p 的关系。选取上面表1的()E X 、p 值，用曲线拟合的方法画出平均每个人的检验次数随p 变化的函数曲线图： 图1 平均每个人的检验次数()E X 随阳性先验概率p 变化的曲线图 根据() E X——p曲线可看出：平均每个人的检验次数随p的增大而增大。 选取上面表1的p、k值，用曲线拟合的方法画出最佳分组人数随阳性先验概率变化的函数曲线图： 图2 最佳分组人数k随阳性先验概率p变化的曲线图 注：横坐标表示阳性先验概率p，纵坐标表示与p对应的分组人数k。 根据k——p曲线图可看出：整体上，最佳分组人数随p的增大而呈现先急剧减小，后趋于水平的趋势，当00.05 <<时，最佳分组人数随着阳性先验概率的 p 增大而急剧减小，当0.050.40 <<，最佳分组人数几乎不变，结合图1，当p增 p 大到一定程度而继续增大时，()1 E X>，不需要分组，分组会增加检验次数。 6.2问题二结果分析： 在满足模型假设的前提下，当所给定的阳性先验概率0.307p ≥时，不分组每个人都检验一次可以使总检验次数最少；当所给定的阳性先验概率00.307p <<时，可使总检验次数比不分组时总检验次数少，需要分组检验。 6.3问题三结果分析： 血样分组检验的方式不同，检验次数也会不同。一次分组检验与二次分组检验平均检验次数与p 的关系如下： 图4 一次分组与两次分组平均检验次数与阳性先验概率关系对照图 0.050.1 0.150.20.250.30.350.4 00.20.40.60.81 1.21.4阳性先验概率 平均化验次数 一次分组两次分组 根据上面的曲线看出：一次分组与两次分组血样检验的平均检验次数都随着阳性先验概率的增大而增大。当0.307p <时，()()E X E X '>，即一次分组血样化验的平均检验次数大于两次分组血样化验的平均化验次数，应该选择两次分组化验；当0.307p >时，()()1E X E X '>>，不管是一次分组化验还是两次分组化验，平均化验次数都大于不分组时平均化验次数，因此不需要分组化验。 6.4问题四结果分析： 根据问题四得出的类推得：直到使得剩余血样中阳性血样的概率p 接近或者大于0.307时，结束分组，否则据据模型一循环分组。如果需要分组的话，每组的分组都能使()E x 变得更小。可得出结论：在p 值计较小的前提下，即：有必要多次分组的情况下，二次分组法比一次分组法效果；多次分组法比二次分组法效果好。 7模型推广 本数学模型在实际生活中有非常广泛的应用，可以给社会实践以指导作用，在我们的社会生产中，当我们不能确切地知道事物的内在属性时，可以在提出合理的假设下对事物的属性进行初步的概率描述，建立概率模型。比如，我们在对工厂生产出来的零件进行试验时，可以采取建立概率模型的办法对零件的合格率进行评估；在对事物进行可行性分析时，可以借助于该事物的先验概率建立模型来进行评价和判断；在对生产过程中意外事故的发生率上也可以建立概率模型来预测。当然建立模型的过程中先验概率和合理假设具有非常重要的影响，比如，如果先验概率是一个特定群体的概率，而在建立模型的时候把这个特定群体的概率用到大众群体上来，就必然会导致模型预测的重大偏差。又如，如果在建立模型的时候假设不合理，把相互有影响的事件假设成独立事件，忽略了事物的内在影响，也会导致模型预测的失效，一个合理的模型，一定要建立在合理的假设前提下。 参考文献 [1]李裕奇编，概率论与数理统计，北京：国防工业出版社，2004 [2]徐明民、邵均利，分组验血法的数学证明及计算最佳分组人数的一个新公式，数学的实践与认识，西南工学院，2007.9.3 [3]姜启源,谢金星,叶俊,数学模型(第四版),高等教育出版社．2011.1 [4]谢金星,薛毅编著,优化建模LINDO/LINGO软件,北京:清华大学出版社,2005 [5]薛毅，常金钢，程维虎，杨士林数学建模基础北京：北京工业大学出版社 附录 9.1第一次分组不同p值下的最佳分组人数k和平均每个人的检验次数() E X的LINGO程序 data: p=0.08; enddata min=1-(1-p)^k+1/k; @gin(k); （注：只需要按表1改变p值就可以得到表1的结果） 的 9.2第二次分组不同p值下的最佳分组人数k和平均每个人的检验次数() E X LINGO程序 data: p=0.0001; enddata min=1/k+(1-(1-p)^k)*(1/m+1-(1-p)^m); @gin(k); @gin(m); z=k/m; @gin(z); 交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配 嘉兴学院2012-2013年度第2学期 数学建模课程论文题目 要求：按照数学建模论文格式撰写论文，以A4纸打印，务必于2013年5月31日前纸质交到8号楼214室，电子版发邮箱：pzh@https://www.wendangku.net/doc/ea10671209.html,。并且每组至少推荐1人在课堂上做20分钟讲解。 题目1、产销问题 某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。 班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案； （2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规 题目2、汽车保险 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客户属于0类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。 现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。 保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 基本保险费：775元 类别没有索赔时补贴 比例（%） 续保人数新投保人数注销人数总投保人数 0 0 384620 18264 1 25 1 28240 2 40 0 13857 3 50 0 324114 总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元； 支出：149百万元；索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。 表1 本年度发放的保险单数 类别索赔人数死亡司机人数平均修理费 （元） 平均医疗费 （元） 平均赔偿费 （元） 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 82 3 2941 3 700872 7013 805 81 4 2321 总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）； 总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费6093（百万元）。 题目3、工件的安装和排序问题 某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量和相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的 血样分组检验的数学模型 摘要：本文为了解决减少血样检验次数这个实际问题，通过把人群分为若干组，每组若干 人，易得到混合血样检验次数、阳性组的概率，进而引入阳性组数的平均值，从而得到平均总检验次数，最后通过一个人的平均检验次数的一元函数，把问题归结为一个关于每组人数k 的一元函数E(k) ,求解得kp k k E += 1 )(;通过计算，得当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m 组，通过建立一个关于k ，m 的二元函数E(k,m)，通过求导得稳定点函数，解方程组得:2/14/3,2 1--== p m p k 。 关键词：先验概率 平均总检验次数 血样的阴阳性 组的基数 1 问题的提出 在一个很大的人群中通过血样检验普查某种疾病,假定血样为阳性的先验概率为p(通常p 很小)。为减少检验次数,将人群分组,一组人的血样混合在一起化验。当某组的混合血样呈阴性时,即可不经检验就判定该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样呈阳性时,则可判定该组至少有一人血样为阳性,于是需要对这组的每个人再作检验。 (1)、当p 固定时(如0.01%,…,0.1%,…,1%)如何分组,即多少人一组,可使平均总检验次数最少,与不分组的情况比较。 (2)、当p 多大时不应分组检验。 (3)、当p 固定时如何进行二次分组(即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验,重复一次分组时的程序)。 (4)、讨论其它分组方式,如二分法(人群一分为二,阳性组再一分为二,继续下去)、三分法等。 2 模型假设与符号约定 2.1 血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常。 2.2 血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检 验血样的药剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响。 2.3 阳性血样与阳性血样混合也为阳性。 全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国评奖时，每个 组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规 范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字， 左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重 要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程序（若 有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方 式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加 其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。 ●[注] 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各 赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。 全国大学生数学建模竞赛组委会 2017年修订 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全 名）：参赛队员（打印并签名）：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 眼科病床的合理安排 摘要 病床是医院的重要卫生资源，其使用情况是反映医院工作效率的重要指标，合理分配床位、提高病床使用率对于充分利用医疗资源、提高医院的两个效益有着十分重要的意义。 本题针对某医院眼科病床分配中存在的不合理现象，让我们建立一个合理的病床安排模型，以解决病床的最优分配问题，从而提高对医院资源的有效利用。 针对问题一，本文制定的指标评价体系包括门诊相关指标集（病人平均等待时间、门诊等待平均队长、病人平均满意度）和病床相关指标集（出院者平均住院日数、病床平均工作日、病床平均周转率、实际病床利用率）。为了能够全面地评价出模型的优劣，本文采用目前普遍使用的密切值法、TOPSIS法和RSR法等综合评价方法，并对应建立了三个评价模型，以得出更为科学合理的结论。 针对问题二，本文建立了以病床需求数为状态转移变量、以各类病人的病床安排数为决策变量的动态规划模型。模型中，充分考虑了观测期内病人平均等待时间、病床平均周转率、病床利用率和潜在流失率等指标，且在制定寻优策略时，引入了病人满意度量化函数和优先级函数，使得模型更加合理。通过Matlab 对该模型求解，得出了次日病床安排方案（结果见表4）。 综合评价模型时，以该医院目前的病床安排方案和我国医院通用的病床安排方法为比较对象，借助上述三种评价方法和模型，进行了综合评价比较，从综合评价结果来看，本文的模型相对较优（评价结果见表9）。 针对问题三，本文既充分考虑了如何缩短病人平均等待时间和提高病床利用率，又兼顾了公平原则，根据病症的不同和就诊病人到院的顺序制订了优先服务策略，给出了每个病人相应的入住时间区间（见P18）。 针对问题四，由于住院部周六和周日不安排手术，对某些类型病人的病床安排产生了一定的影响，因此我们对问题二中模型的优先级函数进行了相应的调整，并利用Matlab进行了求解（结果见表10）。 为了判断手术安排时间是否改变，本文根据问题一的评价方法和模型对修改后的模型进行了综合评价，从评价结果得知，手术安排时间应该做相应的调整。 针对问题五，为了使所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短，本文建立了以其为目标函数且带约束条件的非线性规划模型，并利用了Lingo 软件对其进行求解，得出的结论是：分配给外伤、白内障（双眼）、白内障（单眼）、青光眼、视网膜疾病等各类型病人的床位数依次为：8、16、12、21、22，分别占总床数的比例为：10.13%、20.25%、15.19%、26.58%、27.85%。 最后，本文对所建模型的优点和缺点进行了客观的评价，认为本文研究的结果在实际医院病床安排中有一定的参考价值。 关键词：病人平均等待时间；实际病床利用率；RSR 法；满意度量化函数；动态规划模型；非线性规划 1.问题重述 医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如， ２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3． 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）: ２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）： 血样分组检验的数学模型 摘 要 本文为了解决减少血样检验次数这个实际问题,通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数、阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验次数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k 的一元函数E(k) ,求解得kp k k E += 1 )(;通过计算,得当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m 组,通过建立一个关于k,m 的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:2/14/3,2 1--== p m p k . 关键词：先验概率； 平均总检验次数； 血样的阴阳性； 组的基数 1问题的提出 在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p , 为减少检验次数将人群分组。 若 k 人一组，当 k 份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。 1) 当 p 固定时(0.1%, 1%, …)，k 多大可使检验次数最小 2) p 多大就不应再分组 3) 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。 4) 讨论其它分组方案，如半分法、三分法。 1 模型假设与符号约定 2.1 血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常 2.2 血样检验时仅会出现阴性、阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药 剂灵敏度很高，不会因为血样组数的增大而受影响. 2.3 阳性血样与阳性血样混合也为阳性 2.4 阳性血样与阴性血样混合也为阳性 2.5 阴性血样与阴性血样混合为阴性 n 人群总数 p 先验概率 血样阴性的概率q=1-p 血样检验为阳性（患有某种疾病）的人数为:z=np 发生概率:x i P i ,,2,1, = 检查次数:x i R i ,,2,1, = 2011-2012年度第二学期数学模型考查试题 要求： 在第19周的星期一下午将数学建模论文和实验报告交上来，论文大体包括：中文摘要，问题重述，模型假设，模型建立，模型求解，结果分析，模型改进，模型评价，参考文献，附录等。 引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查阅的资料）必须按照规定的参考文献的标示方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号表示参考文献的编号，如（[1]、[3]）等；引用书籍还必须指出页码。附录里有一篇作为示范的论文。 题目： 在如下8道题目中任选一题作为考试内容，或者历年来的高教社杯数学建模竞赛的A或B题中任选一题作为考试内容。 1、如何更合理的利用学生打分评价教师的教学效果 在中学，学校常拿学生的考试成绩评价教师的教学水平，虽存在一定的合理性，但这与素质教育相悖。在高校不存在以学生考试乘积评价教师教学水平的条件。很多高校让每一位学生给每一位授课教师教学效果打一个分，来评价教师的教学效果，这样能全面体现教师教学效果。现某高校要从甲、乙、丙三位教师中选一位优秀教师，他们在A、B、C、D班的得分如下： 方案一：取每位教师的最高得分作为最后得分，则应选丙。 方案二：取每位教师的最低得分作为最后得分，则应选乙。 方案三：取每位教师的平均得分作为最后得分，则应选乙。 但大家都会感觉甲应该当选，显然上述三种方案都有不合理的地方。 如何利用全校同学的打分给每一位教师整体教学效果一个更合理、更公平的评价，对提高教师和同学的积极性，提高学校的教学氛围有促进作应。问： 1)、请根据你们班的具体情况进行分析，对某位教师的得分统计建立一个合理 的教学效果评价模型。 2)、已知数学学院的所有同学给信息系教师的打分，建立一个模型给出各位教 师更合理、更公平的教学效果得分，并根据你的模型给出后面某高校（其中数据认定为根据你在问题1中方法得出）各位教师一个得分，见附件一。 3)若学校采用了你的模型，请给全校同学写一封信给教师打分应注意哪些事 项，让你的模型更合理、更公平。 附件一： 在洪水肆虐时，从全局出发有必要采取破堤泄洪，但从何处破堤分洪要考虑破堤的最小损失。现在选定在河岸一边完全封闭的某一区域破堤泄洪，根据区域内地形以及当前地面财产总数的不同，可将该区域分成17个小区域，各个相邻小区之间有相对高度为1.2米的小堤互相间隔。如下图所示： ----------------河----------------------------流---------------------------- 2017-2018学年第二学期数学建模课程论文题目 请大家在三个题目中选择二个来完成，完成的二个题目装订为一个文档。打印从封面开始，页码从摘要开始编。 交论文时间：12周三下午3：30-5：50；至善楼217 A题食品加工 一项食品加工，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示： 月份油V1 V2 O1 O2 O3 一1100 1200 1300 1100 1150 二1300 1300 1100 900 1150 三1100 1400 1300 1000 950 四1200 1100 1200 1200 1250 五1000 1200 1500 1100 1050 六900 1000 1400 800 1350 成品油售价1500元/吨。植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植物油200吨，非植物油250吨。假设精炼过程中没有重量损失。精炼费用可以忽略。每种原料油最多可存贮1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存贮。对成品油限定其硬度在3至6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示： 油V1 V2 O1 O2 O3 硬度8．8 6．1 2．0 4．2 5．0 假设硬度是线性地合成的。 另加条件：现存有5种原料油每种500吨。要求在6月底仍然有这样多的存货；每个月最多使用3种原料油；如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。 （1）为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工方案。 （2）分析总利润同采购和加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升2x%，非植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性上升势头。对不同的x值（直到2），就方案的必要的变化以及对总利润的影响，作出计划。 数学建模题目 （请先阅读“论文格式要求”） A题服装号型标准的制定 服装号型的制定的目的是为我国数以万计的服装生产厂家提供设计，生产适合中国人体型特点的服装规格的科学依据；其次也为我国消费者提供了方便地选购适合自己体型的各类服装的条件，更好地满足我国服装消费的需求。 从1992年4月1日起，我国开始实施新的服装号型标准GB1335.1~.3-1991服装号型.(简称91标准)。?服装号型?标准是一系列标准，包括男子，女子及儿童三项独立标准，是根据我从我国不同地区抽样人的人体测量数据编制的。91标准主要是根据人的身高，胸围，腰围设计的。如一件号型标志为“180/92A”的男服表示它适合身高为180cm左右，胸围为92cm左右，而体型为A(相当于腰围在76cm~80cm之间)的男子穿着。但是随着时间的推移，近二十年来,随着经济的发展，人民生活水平的提高，人们对穿着的要求的提高，中国人的人体特征也发生了变化，所以需要制定新的服装号型标准以满足我国服装生产厂家和消费者的需求。要研究的问题是: (1)根据上面要求和所提供数据附件1（也可以搜索相关文献和补充新的数 据），建立新的服装号型标准的数学模型，并说明你的新标准的优缺点。 (2)考虑我国各地区人群的体型差异，考虑不同体型与年龄，特别老年人和儿 童的特点，建立适合的服装号型标准。 (3)为方便科学地安排生产和销售，根据相关资料计算全国或分地区每个服装 号型的人在全体人群中所占的比例，即覆盖率。 (4)若同时考虑上，下装，如何建立新的服装号型标准的数学模型？ 附件1 抽样到的全国人体主要部位数据 表1 全国成年男子人体各部位的均值与标准差（单位：mm）实际样本量：5115 部位均值标准差部位均值标准差 身高1674．775 60．92230 臀围892．2606 52．38895 颈椎点高1429．097 55．95863 后肩横弧432．4013 27．48412 腰围高1005．806 44．42879 臀全长545．3316 30．40749 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 基于打车软件的出租车供求匹配度模型研究与分析 摘要 目前城市“出行难”、“打车难”的社会难题导致越来越多的线上打车软件出现在市场上。“打车难”已成为社会热点。以此为背景，本文将要解决分析的三个问题应运而生。 本文运用主成分分析、定性分析等分析方法以及部分经济学理论成功解决了这三个问 题，得到了不同时空下衡量出租车资源供求匹配程度的指标与模型以及一个合适的补贴 方案政策，并对现有的各公司出租车补贴政策进行了分析。 针对问题一，根据各大城市的宏观出租车数据，绘制柱形图进行重点数据的对比分 析，首先确定适合进行分析研究的城市。之后，根据该市不同地区、时间段的不同特点 选择多个数据样本区，以数据样本区作为研究对象，进行多种数据（包括出租车分布、 出租车需求量等）的采集整理。接着，通过主成分分析法确定模型的目标函数、约束条 件等。最后运用spss软件工具对数据进行计算，求出匹配程度函数F 与指标的关系式， 并对结果进行分析。 针对问题二，在各公司出租车补贴政策部分已知的情况下，综合考虑出租车司机以 及顾客两个方面的利益，分别就理想情况与实际情况进行全方位的分析。在问题一的模 型与数据结果基础上，首先分别从给司机和乘客补贴两个角度定性分析了补贴的效果。 重点就给司机进行补贴的方式进行讨论，定量分析了目前补贴方案的效果，得出了如果 统一给每次成功的打车给予相同的补贴无法改善打车难易程度的结论，并对第三问模型 的设计提供了启示，即需要对具有不同打车难易程度和需求量的区域采取分级的补贴政 策。 针对问题三，在问题二的基础上我们设计了一种根据不同区域打车难易程度和需求 量来确定补贴等级的方法。设计了相应的量化指标，以极大化各区域打车难易程度降低 的幅度之和作为目标，建立该问题的规划模型。目的是通过优化求解该模型，使得通过 求得的优化补贴方案，能够优化调度出租车资源，使得打车难区域得到缓解。通过设计 启发式原则和计算机模拟的方法进行求解，并以具体案例分析得到，本文方法相对统一 的补贴方案而言的确可以一定程度缓解打车难的程度。 关键词：主成分分析法，供求匹配度，最优化模型，出租车流动平衡 1 血样的分组检验 文 摘: 本文以医学的调查统计为基础，进行抽象，利用概率论知识组建模型，对何时分组和怎样分组给出了详尽的讨论并对结果进行了符合实际情况的解释，结合真实的数据对模型进行了验证，最后对模型加以改进和推广。 关键词：概率, 数学期望, 血样分组检验 1． 索引 血样分组检验是医学统计中普遍使用的一种调查方法，但是并不是每一次调查都需要分组，情况取决于以 前对该病毒感染概率的统计数字，即题目中的先验概率p 。 通过建立概率模型，我们得出在不考虑不平均分组的情况下，当阳性的先验概率3066.0≥p 时，不分组即采取逐个检验的方法为宜；当3066.02929.0<≤p 时，进行一次分组后再对呈阳性的组进行逐个检验效果最佳；当2929.00<≤p 时，应采取两次或多次分组。除此，我们还给出了解释该问题的初等方法。 在模型评价与推广中，我们结合实际情况给出了另一种常用的分组方法――二分法，并提出平均分组的现实可能性和先验概率是影响模型的主要因素。 2． 问题 要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低费用），通常采用筛选的办法。即假设人群总数为n ，将人群分成m 组，每组的人数为k ，将每组的k 份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对改组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。 （1） 已知阳性的先验概率为p ，当p 固定时，如何分组可使得化验次数最小； （2） 找出不应分组的p 的取值范围； （3） 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。 3． 问题的分析 本问题所述的情况在医学统计、病毒检测等诸多医学问题中是必须首要解决的问题。进行某种疾病的调查需要大量的统计数据，而统计数据的取得主要靠实验的方法，这就不可避免地要面临如何分组的问题是效率最高（花销最少），找出最优分组方法是本文的主要目的。 由于人群总体数固定，在讨论问题时，我们可以借助于平均每人检验次数这个量来衡量分组与不分组情况的好坏，这是概率模型的主要思路。对于该问题，若不分组，一个人一个人检验，共需检验n 次，平均每个人检验一次；采取分组的方法，直观上可以感觉到会降低检验次数。分组时计算每个人的平均检验次数，若该值小于1，即认为分组比不分组好。对于两次分组的问题，也采用上述思路，只要两次分组时平均每个人检验次数小于一次分组时平均每个人的检验次数，就可以认为两次分组的方法优于一次分组的方法。 我们也可以借助总的检验次数来进行分析，这是初等模型的主要思路。 4． 模型假设 下面给出该模型的基本假设： （1） 在实际操作中，多次分组的方法要比只分一次组或不分组的方法操作起来繁琐、耗时，且需要更多的人 力把工作的重点放在分组的方案上，实际增加了开支。所以若在人数不太多，且两种方法平均每人检验次数相近，宏观上解释就是当不分组或不继续分组比分组或继续分组的次数少或二者差距不大时，使用少分组的方法效率更高、费用更省。本题由于叙述了人数很大的条件，故哪种方法平均每人检验次数少， Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 二级标题设置成段落间距前0.5行后0.25行 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义 公式编号在右边显示 农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜ο14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分 辽宁工程技术大学 数学实验课程成绩评定表 数学建模 血样的分组检验 摘要 本文主要为了解决减少血样检验次数这个实际问题,为了在人群中(数量很大, 基本上是健人)找出某种病毒的感染者,为减少检验次数(目的是降低费用) ,通常采用筛选的办法：即假设人群总数为n, 将人群分成m组,每组的人数为k,将每组的k份血样混在一起进行化验, 若化验结果呈阳性,则需要对该组的每个人重新进行化验, 以确定谁是病毒感染者;若化验结果呈阴性, 则表明该组全体成员均为阴性,不需要重新化验。通过把人群分为若干组,每组若干人,易得到混合血样检验次数,阳性组的概率,进而引入阳性组数的平均值,从而得到平均总检验数,最后通过一个人的平均检验次数的一元函数,把问题归结为一个关于每组人数k的一元函数E(k),求解得E(k)=kp+1/k;通过计算,当p>0.307时不应分组;将第1次检验的每个阳性组再次分m组,通过建立一个关于k,m的二元函数E(k,m),通过求导得稳定点函数,解方程组得:k=1/m=p -1/2 。 关键词 先验概率平均总检验次数血样的阴阳性组的基数 丁志强 崔志远 王宏伟 ： 血样的分组检验 1. 问题的提出 血样的分组检验 在人群（数量很大）中进行血样检验，设已知先验阳性率为 p , 为减少检验次数将人群分组。 若 k 人一组，当 k 份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。 1.1 当 p 固定时(0.1%, 1%, …)，k 多大可使检验次数最小 1.2 p 多大就不应再分组 1.3 讨论两次分组的情况，即阳性组再分组检验。 1.4 讨论其它分组方案，如半分法、三分法。 2. 基本假设 2.1血样检查到为阳性的则患有某种疾病,血样呈阴性时的情况为正常 2.2血样检验时仅会出现阴性,阳性两种情况,除此之外无其它情况出现,检验血样的药剂 灵敏 2.3度很高,不会因为血样组数的增大而受影响. 2.4阳性血样与阳性血样混合也为阳性 2.5阳性血样与阴性血样混合也为阳性 2.6阴性血样与阴性血样混合为阴性 3. 符号说明 变量： N ：检验人群总数 P ：阳性的先验概率 K:每组的人数 q:阴性先验概率q=1-p L:为一次分组没人的化验次数的最小值 X:一次分组每人的化验次数 M:组数 E(x):X 的数学期望，即均值 血样检验为阳性(患有某种疾病)的人数为:z=np 发生概率:Pi,i=1,2,.....,x 检查次数:Ri,i=1,2,......x 平均总检验次数:N=∑=x i RiPi 1 4. 问题的分析 根据题意,由已知的先验概率是一个很小的数值,我们大可不必要一个一个地检验,为减少检验次数,我们通过一次分组,从而可使检验次数大大减少;然而通过再一次分组,可使结果进一步优化,从而达到一个更佳的结果.由基本假设有p + q = 1,且被测人群全体n 为定 论文来源:无忧数模网 输油管的布置 摘要 “输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。 问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。 问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。 问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。 关键字：改进的最短路径光的传播 Matlab 数学模型 论文题目期末考试监考安排 摘要 本文针对监考安排问题，设置一般假设、确定约束条件，建立了非线性规划模型和整数规划模型，并且结合人工排考，进一步优化排考问题。本文从时间安排，考场安排、监考安排三个方面建立数学模型，分别解决了考试时间，考场，考试专业以及监考教师安排的问题。 针对问题一、二，在假设具有同一门课程的专业同时考试的前提下（各课程考试人数见表二），用枚举法列举所有合理的考试时间模式（模式表见表一），采用非线性规划确定采用的考试模式。在假设仅安排无限制的教师监考的前提下，建立考场安排与监考教师安排模型。再结合人工排考将具有特殊情况的教师安排考试，求出最短考试时间为2天，并得出考场安排表，具体安排分别见表四、表五。 对于问题三，假设考试课程最多的专业每天均考一门，每场考试采用30个考场，因而我们得出共有12个考试时间段，建立优化模型，求出每门课程考试间隔，对部分考场安排结合人工排考，最终我们得出最短考试时间为6天，具体考试安排见表六。 此外，我们建立平均考场容量利用率的评价模型来评价各时间段考场安排的合理程度，得出本文所建模式的平均考场容量利用率约为93%，此利用率对于一整天而言考场利用率已经较大，但也存在数个考场利用率低于90%的情况，对延长考试总天数产生影响。关键词：非线性规划模型；整数规划模型；枚举法 一问题重述 1.背景 考场安排是高校考务管理活动的主要组成部分，由于排考冲突条件多，数据量大，人工排考无疑是一种繁复、琐碎的工作。随着高校进一步扩招，人工排考的问题更显得突出。研究自动排考算法，解决现阶段存在的问题，实现考试安排的快捷高效具有一定的现实意义。黄勇等[1]应用数据库及信息技术提出了一种新的高校自动排考算法，解决了考试课程、考场及监考教师的自动安排。马慧彬[2]等利用特征函数建立模糊集实现了教室安排的智能化算法。尽管应用信息技术或智能搜索算法能够实现自动排考，但往往是一个可行解，不是最优解，没有考虑优化目标。 我们从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考教师有80位，分可以监考不超过2场、3场考试以及无限制3种情况；考试课程有100门，并且各课程的考试时间有60、90、120分钟三种情况，同时在一个考场的每两门课程的考试间隔不少于20分钟；该学院有50个专业参与考试，各专业参加考试的课程见附件1的excel表格，同时假设每个专业内的学生所选的课程一致；该学院共有50个考场，考场容量分3种情况，分别可容纳30人、45人、60人。每天的考试时间分为3个时间段，并且周一至周日都可安排考试。 2.问题 在合考与不能合考两种情况下，求出考完所有课程的最短时间，各种情况下的教师被安排的监考场数应尽量平均，并分别做出期末考试的考场安排表。 为了便于学生的期末复习，规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考2场，2场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。 此外，结合所得知识给学校教务人员安排监考给予建议。 二问题分析 首先，应当确定针对每个考场每天的考试时间段可行的组合模式，即在上午、下午、全国数学建模竞赛一等奖论文
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