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初二数学翻译

Translation exercises

A. Translate the following sentences into Chinese:

1. I’ve read your articles and I expected to meet an older man.

我拜读了你的文章，没想到你是如此年轻

2. The ship turned just in time, narrowly missing the immense wall of ice which rose over 100 feet out of water beside her. 船及时的转了弯，差点撞上她旁边高出水面100英尺的冰山。

3. To appease their thirst its readers drank deeper than before, until they were seized with a kind of delirium. 为了解渴，读者们比之前越饮越深，直至陷入狂喜中。

4. For White, to disclose his long-held privacy means to strike the heel of Achilles.

对于怀特来说，揭露他长期存在的隐私就如同抓住了他得致命点。

5. In the court action, Alain sprang his trump card by calling a surprise witness.

在法庭诉讼中，阿兰请出一位意想不到的证人，使他有了胜诉的把握。

6. Jefferson believed that the Baghdad Pact had already been reduced to less than a shadow.

杰弗森坚信，巴格达条约已经名存实亡。

7. We in Zambia would like to build a color-blind society where all can have equal opportunities. 我们愿意在赞比亚建立一个无种族歧视的社区，在那里每个人都是平等的。

8. Every time Robert visits me, one of my books disappears. I’m beginning to smell a rat.

每次罗伯特拜访过后我都会丢一本书，我开始对他起了疑心。

9. We are very sorry to disappoint you, but hope you will understand that stock offers are a touch-and-go kind of things.

我们很抱歉，股票收购是件有风险的事，请您理解。

10. What sort of force does the sun exert on the planets which causes the planets to move according to the laws which Kepler has discovered.

太阳对行星施加了什么力，使之根据着开普勒发现的定律运转着。

B. Translate the following paragraphs into Chinese

In 1776, Adam Smith, a Scottish economist, wrote the wealth of Nations, a book that has had an enormous influence on American economic development. 1776年，苏格兰经济学家亚当史密斯写了《国富论》---一本对美国经济发展有着深远影响的书。

Like many other thinkers, Smith believed that in a capitalist system people are naturally selfish and are moved to engage in manufacturing and trade in order to gain wealth and power. 像其他思想家一样，史密斯认为资本主义制度下，人们天生的自私并极力的去生产，交易以此来获得财富和权力。Smith’s originality was to argue that such activity is benefic ial because it leads to increased production and sharpens competition. 史密斯的创造性在于他认为这些行为都是有益的，源于这些行为带来生产力的提升并激化竞争。As a result, goods circulate more widely and at lower prices, jobs are created, and wealth is spread.结果就是，商品流通更为广泛，商品价格更低，就业机会增加，以及财富传播。Though people may act from the narrow desire to enrich themselves, Smith argued, “an invisible hand” guides them to enrich and improve al l of society. 史密斯认为，虽然人们出于狭隘的心理想要致富，但是一双“无形的手”引导者他

们去带领整个社会致富并发展。

And yet, American industrial development in the 19th century took a toll on working men and women. 可是美国19世纪的工业发展对工人造成了消耗。Factory owners often required them to put in long hours of low wages, provided them with unsafe and unhealthy

workplaces, and hired the children of poor families.在雇佣者的剥削下工人拿着低薪水，并长时间的工作着，工作在不安全的，不卫生的环境中。There was discrimination in hiring: African Americans and members of some immigrant groups were rejected or forced to work under highly unfavorable conditions. 雇佣上出现了歧视：一些非裔美国人和一些移民群体被辞退或是被迫在苛刻的条件下工作。

Entrepreneurs took full advantage of the government to enrich themselves by forming monopolies, eliminating competition, setting high prices for products, and selling shoddy goods.

企业家充分利用政府来富裕自己，通过形成垄断经营消除竞争，提高产品价格，销售劣质商品。

In response to these evils Americans began to modify their faith in unfettered capitalism, e.g. the Sherman Antitrust Act in 1890 took the first steps toward breaking up monopolies.

为了应归这些不良行为，美国开始放宽资金的自由流通，例如，1890年的谢尔曼放托拉斯法案走出了废除垄断经营的第一步。

In 1906, Congress enacted laws requiring accurate labeling of food and drugs and the inspectionof meat. 1906年议会颁布法律，要求精确食物，药品的分类以及肉类的检验检疫。

Among these were laws regulating the sale of stock, setting rules for wages and hours in various industries, and putting stricter controls on manufacture and sale of food, drugs, and cosmetics

法案中也包括了股票的买卖，制定薪资制度以及各企业的工作时限，严格控制食物，药品和化妆品的生产和销售。

In recent decades, concerned Americans have argued that Adam Smith’s philosophy did not take into account the cumulative effect of individual business decisions on the natural environment. 近几十年里，美国已经对亚当斯密斯的理论没能重视自然环境下的个人经营决策产生了争论。And as a result new laws and regulations have been designed to ensure that businesses do not pollute air and water and that they leave an ample supply of green space for people to enjoy.

作为回应，新的法律法规已经制定来保证商业活动不会对空气和水源产生污染，并且能提供人们绿色的空间享受。

庄育龙，5班，学号：2011870153

新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)

分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义：例1：当x 时，分式 51 -x 有意义；例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义例5：x ，y 满足关系时，分式 x y x y -+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2

初二数学《代数式》复习与检测(含答案)

七年级数学(上册）第二章《代数式》复习与检测（含答案) 知识点1：用字母表示数 1、某超市牛肉的价格为20元/千克，小丁买了ｎ千克牛肉应付款( ) A. ２０n 元Ｂ． n 1002元 C. n 20元 D ． n 1002元 2、一个正方形的边长是ｍ,则边长增加1后的面积是（ ) A. m 2－１ B. m +１ C.( m +１)2 D. m 2+1 3、某班共有a 人，男生占全班人数的52﹪,则这个班女生有人。 4、卖一个篮球要m 元,买一个排球要n 元,买3个篮球和５个排球共需元。 5、某市出租车收费标准:起步价5元,3千米后每千米1.4元，则乘坐出租车 x （ｘ>３）千米应付元。知识点2:列代数式 6、关于代数式3ａ＋２b 的叙述正确的是（） A. 3a 与2ｂ的和 B ． a 的3倍与b 的和的2倍 C. a 与b 的和的３倍或2倍 D. a 的３倍与b 的２倍的积 7、一袋水果共6千克，其中苹果a 千克,橘子b 千克，其余全是香蕉，那么香蕉有（） A. ６a ｂ千克Ｂ． (6-a ｂ)千克 C.(６－a -b )千克Ｄ. (6-a )ｂ千克 8、如果两个数的积是2０，其中一个数是ｘ,那么这两个数的和是（ ) Ａ．ｘ+20ｘ B ． x x 20+ Ｃ. ｘ+２０ D ． 20 x x + ９、买单价为m 元的钢笔n 支，付100元,应找回元。 10、某仓库有存粮８5吨，第一天运走a 吨,第二天又运进3车,每车b 吨,此时仓库有存粮吨。 11、设甲数为ｘ，乙数为y ，用代数式表示：（1)甲乙两数的差除以两数的和。 (2)甲乙两数的平方和。 (3)甲数除乙数的商与乙数平方的差。知识点3：求代数式的值 1２、当a ＝－3，b =-5时，下列代数式的值最大的是( ） A. ab +1 B. b (a ＋1) Ｃ.a 2+b 2 D. (a+b )2 １3、若a 、b 互为相反数，ｘ、y 互为倒数，则xy b a 2 7)(41++的值是( ） A ． 2 Ｂ. ３.5 C. 4 D. 3 14、在一定条件下,若物体运动的路程ｓ（m ）与时间t （秒)的关系式为s=5t 2+2t ，则当t=4 时，该物体所经过的路程为（） A. 28ｍ B ． 48ｍＣ． 68ｍ D. 88m 15、当代数式x 2＋3ｘ+5的值为9时,代数式３x 2＋9x -８的值是( ） A. -8 B. 9 C. －14 D ． 4 1６、若5 2=-b a ，则10(b -a )= .

人教版初二数学与三角形有关的角教案

第十一章三角形第一节：与三角形有关的角 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，

∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．

八年级数学代数

八年级数学第一讲知识回顾 1.实数实数的分类有理数、无理数实数表示右边的点表示的数比左边的大数轴上两点间距离数的开方分数指数幂例题1 已知下列实数： ,1020.5,2 3,0,1.2,25,,722,14.3,32?-?π 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）. 【注意】带根号的数不一定都是无理数；分数都是有理数；分数形式的数不一定都是分数. （1）按要求填空：无理数有______________________________, 有理数有______________________________，整数有________________________________. （2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示14.3,3的大致位置. （3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2下列等式是否正确？为什么？（1）3)3(2=-；（2）3)3(33=-；（3）2)2(2-=-；（4）52)52(2-=-；（5）74343432222=+=+=+. 例题3 计算：（1）()363262-?- ；（2）0)15(5)535(-+÷-

（3）2 936118÷? ；（4）328)32(-+-. 拓展提高（1）当n 为正整数时，下列各式能成立是（）（A ）1112=-+n ；（B ）112-=n ；（C ）1112-=-+n ；（D ）112±=n . （2 ）1320.758(0.5)1627--??+-÷ ??? （3）已知，求的平方根 2．相交线与平行线相交线：夹角平行线：判定与性质例题1已知∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，问∠A 与∠B 的数量关系. 例题2 如果两条平行线被第三条直线所截，那么下列说法中错误的是（）（A ）一对同位角的平分线互相平行；（B ）一对内错角的平分线互相平行； (C) 一对同旁内角的平分线互相平行；（D ）一对同旁内角的平分线互相垂直. 例题3如图，已知：AB //CD ，求证：∠B +∠D +∠BED =360?（你有几种方法？）例题4如图已知AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∠E = 140o，求∠BFD 的度数. 平行线的判定定理（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行．证明两条直线平行的关键：在复合图形中分解出最基本的三线八角. （1）两直线平行，同位角相等；平行线性质定理（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；（4）平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行；（5）平行线间的距离是一个定值. E A B C D

初二上册数学分式(谷风教育)

第十六章分式一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．知识点一：分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（?? ?≠=0 0B A ）经典例题 1、在 2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24 x y -中，分式的个数为（） A .1 B .2 C .3 D .4 2、当1a =-时，分式211a a +-（）A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义 3、已知分式1-x 的值是零，那么x 的值是（）A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1± 4、当x 时，分式1 1+x 有意义． 5、下列命题中，正确的有（） ①A 、B 为两个整式，则式子 A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13m m -+有意义 ③分式2116 x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

人教版初中数学分式知识点训练附答案

人教版初中数学分式知识点训练附答案一、选择题 1．0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2．化简2442 x x x x ---得结果是（） A ．26x x -+ B ．2x x + C ．2x x -+ D ．2 x x - 【答案】C 【解析】【分析】先通分，再按照分式的减法法则化简出最简结果即可得答案．【详解】 2442 x x x x --- =4(2)(2)(2)(2)(2) x x x x x x x +-+-+- =242(2)(2) x x x x x --+- =(2)(2)(2) x x x x --+- =2 x x - +．故选：C ．【点睛】本题考查分式的减法，同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算． 3．雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM 2.5，PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A ．2.5×106 B ．2.5×10﹣6 C ．0.25×10﹣6 D ．0.25×107 【答案】B 【解析】【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数

法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】 4．计算(a 2)3＋a 2·a 3－a 2÷a －3的结果是( ) A ．2a 5－a B ．2a 5－1a C ．a 5 D ．a 6 【答案】D 【解析】【分析】先分别进行幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法运算，然后再进行合并同类项即可. 【详解】原式=a 2×3+a 2+3-a 2-(-3) =a 6+a 5-a 5 =a 6，故选D. 【点睛】本题考查了有关幂的运算，熟练掌握“幂的乘方，底数不变，指数相乘”、“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”、“同底数幂的除法，底数不变，指数相减”是解题的关键. 5．某微生物的直径为0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为（） A ．5.035×10﹣6 B ．50.35×10﹣5 C ．5.035×106 D ．5.035×10﹣5 【答案】A 【解析】试题分析：0.000 005 035m ，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A ．考点：科学记数法—表示较小的数． 6．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（） A ．0.432×10-5 B ．4.32×10-6 C ．4.32×10-7 D ．43.2×10-7 【答案】B 【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，这里1＜a ＜10，指数n 是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解： 0.00000432=4.32×10-6，故选B ．【点睛】本题考查科学记数法．

八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整

与三角形有关的角一、本节学习指导本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题．二、知识要点１、三角形内角（１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°．由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用：在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用．三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来．如几种常见的证明思路：思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．

因为AB∥CD（已知），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），

新人教版数学八年级上册分式练习题

分式练习题一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义

人教版八年级数学分式单元测试题及答案

八年级数学（上）分式单元测试一、选择题 1. 下列各式：()222 1451, , , 532x x y x x x π---其中分式共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列计算正确的是（） A.m m m x x x 2=+ B.22=-n n x x C.3332x x x =? D.264x x x -÷= 3. 下列约分正确的是（） A ． 313m m m +=+ B ．2 12y x y x -=-+ C ． 1 23369+= +a b a b D ．()()y x a b y b a x =-- 4.若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（） … A.y x 23 B.223y x C.y x 232 D. 2 3 23y x 5.计算 x x -+ +11 11的正确结果是（） B.212x x - C.212x - D.1 2 2 -x 6. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（） A ． 2 2 1v v +千米 B ．2121v v v v +千米 C ．21212v v v v +千米 D ．无法确定 7. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为（） A ．x +48720─548 720 = B ．x +=+48720548720 C ． 572048720=-x D ．-48720x +48720 ＝5 8. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（） A ． xy 1 B ．x y - C ．1 D ．－1 ! 9. 已知 xy x y +＝1，yz y z +＝2，zx z x +＝3，则x 的值是（）

初中数学代数及几何知识点概括(精细整理)知识分享

代数部分一、实数 1.实数的分类 2.数轴（1）数轴三要素：原点、单位长度、正方向。（2）实数与数轴上的点是一一对应的。 3.相反数（1）a 的相反数是－a 。（2）a 与b 互为相反数，则 a +b=0 。 4.倒数（1）a 与b 互为倒数，则a b=1；（2）a 与b 互为负倒数，则_ a b=－1_； 5.绝对值（1）一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是 0 ；一个负数的绝对值是它的相反数。（2）一个数的绝对值表示这个数的点在数轴上离原点的距离。 6.平方根（1）平方根的定义：若x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根；（2）?? ???<=±>00 00a a a a （3）?????<-=>==00002 a a a a a a a 7.有关实数的非负性： a 2≥0 ， | a | ≥0 ， 0（a ≥0）如果c b a ,,是实数，且满足0||2 =+ +c b a ，则有0,0,0===c b a 。 8.科学计数法科学计数法：将一个数字表示成（a ×n 10的形式），其中1≤a ＜10，n 表示整数，这种计数方法叫做科学计数法。 9.近似数与有效数字（1）近似数：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。（2）有效数字：一个数从左边第一个不为0的数字数起一直到最后一位数字，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。有理数或无理数（无限不循环小数）整数分数实数正实数 0 负实数正有理数正无理数实数负有理数负无理数有2个且为有1个没有平方根

二、代数式 1.整式重要的性质（1）乘法公式：平方差：①2 2 ()()a b a b a b -+=- 完全平方公式：② 2 2 2 ()2a b a ab b +=++ ③ 2 2 2 ()2a b a ab b -=-+ （2）整式幂的运算性质：1）n m n m a a a +=?；2）(0)m n m n a a a a -÷=≠；3）mn n m a a =)(； 4）m m m b a ab =)(；5）零指数：0a =1（a ≠0）；（6）1 (0)m m a a a -= ≠ 。三、方程及不等式（1）一元二次方程定义及一般形式：)0(02 ≠=++a c bx ax ※ 根的判别式：ac b 42 -=? 求根公式：)04(242 22 ,1≥--±-=ac b a ac b b x 四、函数（一）一次函数（1）定义：b kx y +=（0≠k ）图像如右图所示：（2）图像： ?? ??? ? ??? ???????<=>>00000000b b b k b b b k （3）图像的性质： 0>k ，y 随x 的增大而增大（减小而减小）； 00 ,有两个不相等的实数根 ac b 42-=?=0 ,有两个相等的实数根 ac b 42-=?<0 ,没有实数根一、二、三象限一、三一、三、四一、二、四象限二、四二、三、四

八年级上册数学-分式的概念

1.1 分式 1.1.1分式的概念（第1课时）教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。教学重点、难点：重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。教学过程一创设情境，导入新课探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论）（1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的6 8 。想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什么？分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n

可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题）二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空：（1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母）一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。你认为分式和分数具有相同的性质吗？分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ?

完整初二数学三角形六大经典例题

，AE⊥于EBD交BCAB=AC、如图，1Rt△ABC中，∠BAC=90°，，D是AC的中点，CDE ADB=∠连接ED，求证；∠ D ，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4ABC，PC＝5．求∠2APB度数、。正三角形△ 3、P是等边三角形ABC内一点，∠APC、∠APB、∠BPC之比为5、6、7，以PA，PB，PC为边的三角形三个内角的大小。求证：AE=CF.的中点，AB为D点AC=BC,，°ACB=90中，∠ABC已知：在三角形、4．DF? ⊥DE

，FAB于且延长线上一点，AD=1/2AC，DE交E5、△ABC中，是BC的中点，D是CA 。求证：DF=EF 6、如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．答案：1、解：过C作CG⊥AC交AE延长线于G 互余）EAB都与∠GAC(∠DBA=，所以∠F于BD⊥AE∵． °DAB=∠GCA=90又∵AB=CA，∠)≌△GCA(角边角∴△DAB∴∠ADB=∠CGA,AD=CG 又∵AD=DC,所以CD=CG 又∵∠GCE=∠DCE=45°，CE=CE ∴△GCE≌△DCE（边角边） ∴∠CGA=∠CDE ∴∠ADB=∠CDE 2、解：以PA为一边，向外作正三角形APQ，连接BQ，可知 PQ=PA=3，∠APQ=60°，由于AB=AC，PA=QA，∠CAP+∠PAB=60°=∠PAB+∠BAQ，即：∠CAP=∠BAQ 所以△CAP≌△BAQ 可得：CP=BQ=5，在△BPQ中，PQ=3，PB=4，BQ=5，由勾股定理，知△BPQ是直角三角形。所以 ∠BPQ=90° 所以∠APB=∠APQ+∠BPQ=60°+90°=150°。 3、解：在AP的一侧以AP长为边作等边△APD，使D位于△ABC外AC边一侧，易证△ABP≌△ACD（SAS）因此，CD＝PB，PD＝PA，△APD就是以AP、BP、CP为边的三角形设∠APB＝5x,∠BPC=6x,∠APC=7x, 由周角为360°，得∠APB+∠BPC+∠APC=18x＝360°∴x=20°,

(完整版)初中数学代数知识大全

初中数学代数知识大全一、有理数的运算 1、相反数：::0:0a a a a --的相反数为的相反数为的相反数为 2、绝对值： 3、倒数：1ab =，.a b 和互为倒数或 1a b = 4、有理数的加法：(||||)a b a b ++=++ ()(||||)a b a b -+-=-+ (||||)a b a b -+=-- ()(||||)(||||)a b a b a b +-=+-> 5、有理数的减法：()a b a b -=+- 6、有理数的乘法：||||a b a b ?=+? ||||a b a b -?=-? (0,0)a b ≥≥ 7、有理数的除法：||||a b a b ÷=+÷ ||||a b a b -÷=-÷ (0,0)a b ≥≥ 8、有理数的乘方： ()n a a a a n a a =????L 个 22() n n a a =- 21 21 () n n a a ++=-- (0)a ≥ 二、整式的运算 1、整式的加减：（1）非同类项的整式相加减：ab mn ab mn ±=±（不能合并！）（2）同类项的整式相加减：()ab an b n a ±=±（合并同类项，只把系数相加减） 2、整式的乘除：（1）幂的八种计算（a ）同底数幂相乘：m n m n a a a +?= （b ）同底数幂相除：(0)m n m n a a a a -÷=≠ （c ）零指数：0 1(0)a a =≠ （d ）负指数： 1 (0)p p a a a -= ≠ （e ）积的乘方： () m m m ab a b =?

(完整版)人教版八年级数学分式知识点和典型例题.doc

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm －n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1

初二数学三角形易错题

初二数学三角形易错题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

A B M C N O 第13题数学三角形易错题一、填空题 1.已知一个三角形的三边长3、a+2、8，则a 的取值范围是。 2.如图②，△ABC 中，∠C=70°，若沿虚线截去∠C ，则∠1+∠2=。 3.如图③，一张△ABC 纸片，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A ′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=。 4.△ABC 中，∠A=80°，则∠B 、∠C 的内角平分线相交所形成的钝角为；∠B 、∠C 的外角平分线相交所形成的锐角为；∠B 的内角平分线与∠C 的外角平分线相交所形成的锐角为；高BD 与高CE 相交所形成的钝角为；若AB 、AC 边上的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 为。 5．等腰三角形的周长为20cm ，若腰不大于底边，则腰长x 的取值范围是 _________ ． 6．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x 千米，那么x 的取值范围是． 7．已知△ABC 两边长a ，b 满足，则△ABC 周长的取值范围是． 8．两边分别长4cm 和10cm 的等腰三角形的周长是 _________ cm ． 9.若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是。 10.三角形有两条边的长度分别是5和7，则周长的取值范围是___________。 11.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，化简：|a －b ＋c|—|a －b －c|-|a+b －c|=______。 12.在 ABC 中，如果∠B －∠A －∠C=50°，∠B=____________。 13．如图，已知△ABC 中，AC +BC =24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定易错知识点1 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，也就是其中一边大于两边之差，小于两边之和。 1、三角形周长为16，其中一边为6，则另一边是（） 2、等腰三角形周长为10，设腰长为x,则x 的范围是（) 3、希腊数学教把数1,3,6,10,15,21......等叫做三角形数，则第n 个三角形数比第（n-2）个三角形数多（） 4、已知三角形ABC 的三边分别为a,b,c 化简下面试子：易错知识点2 三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分。 1、如左图，三角形ABC 中，E 是BC 上的一点，EC=2BE,D 是AC 的中点，设三角形ABC 为12，则图中阴影部分面积之差是（）

(完整word版)人教版初二数学(上)代数知识点总结(参考知识)

初二数学（上）应知应会的知识点因式分解 1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化. 2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”. 3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂. 注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式： (1)平方差公式： a2-b2=（a+ b ）（a- b ）； (2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项. 7．完全平方式：能化为（m+n ）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q ，有“ x2+px+q 是完全平方式 ? q 2p 2 =??? ??”. 分式 1．分式：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示为B A 的形式，如果B 中含有字母，式子B A 叫做分式. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即 ???分式整式有理式. 3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义. 4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；

初二数学八上三角形所有知识点总结和常考题型练习题

三角形知识点一、三角形及其有关概念 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2、三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。（2）三角形的任意两边之差小于第三边。（3）作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。 4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。（2）直角三角形的两个锐角互余。 5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 6、三角形的分类： (1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 (2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部； 8、三角形的面积：三角形的面积=2 1 ×底×高二、全等图形：定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。性质：全等图形的形状和大小都相同。三、全等三角形 1、全等三角形及有关概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 2、全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△DEF ，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 4、三角形全等的判定：（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）