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球面三角形面积公式的一个积分证明

球面三角形面积公式的一个积分证明
球面三角形面积公式的一个积分证明

(推荐)高中数学证明公式

高中数学证明公式数学公式 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 ·万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

三角形面积公式教学设计(供参考)

三角形面积教学设计 教学内容:人教版五年级上册84----85页 教材分析:三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标:1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式,理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关,与底和高有关,会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略,发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力,并培养学生的创新意识。 教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点:理解三角形面积的推导过程。 教法与学法:教法:演示讲解、指导实践。 学法:小组合作、动手操作。 教学准备:三角形卡片、多媒体课件 教学过程: 一、情境引入 师:同学们,我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾,高高兴兴地来到学校学习新的知识,那你知道做一条红领巾需要多少布料呢?(不知道)我们佩戴的红领巾是什么形状的?(三角形),怎样计算三角形的面积呢?这节课我们就一起来研究三角形的计算方法(板书课题) [设计意图]通过情境的创设,给学生提供现实的问题情境,使学生产生解决问题的欲望,积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师:回忆一下,平行四边形面积计算公式是什么?是怎么推导的?

常用的积分公式

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++

9.2d ()x x ax b +?=211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 .x ? =C 11 .x ? =22(3215ax b C a -+ 12 .x x ? =22232(15128105a x abx b C a -+ 13 .x ? =22(23ax b C a - 14 . 2x ? =22232(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0)(0)C b C b ?+>+< 16 .? =2a bx b -- 17 .x ? =b

18 .x ? =2a + (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ (四)含有 2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0)(0)C b C b ?+>+< 23.2d x x ax b +?=21ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=221ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +?=21d a x bx b ax b --+?

(完整版)高中数学公式口诀大全

高中数学公式口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,顶点任庖缓扔诤竺媪礁S盏脊骄褪呛茫夯蟠蠡。?nbsp; 变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1 减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思想非常好,编个程序好思考:一算二看三联想,猜测证明不可少。还有数学归纳法,证明步骤程序化:首先验证再假定,从 K向着K加1,推论过程须详尽,归纳原理来肯定。 五、《复数》 虚数单位i一出,数集扩大到复数。一个复数一对数,横纵坐标实虚部。对应复平面上点,原点与它连成箭。箭杆与X轴正向,所成便是辐角度。箭杆的长即是模,常将数形来结合。代数几何三角式,相互转化试一试。代数运算的实质,有i多项式运算。i的正整数次慕,四个数值周期现。一些重要的结论,熟记巧用得结果。虚实互化本领大,复数相等来转化。利用方程思想解,注意整体代换术。几何运算图上看,加法平行四边形,减法三角法则判;乘法除法的运算,逆向顺向做旋转,伸缩全年模长短。

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ],其中x 0=a ,x n =b 。可知各区间的长度依次是:△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ(1,2,...,n ),作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }(即λ是 最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为: ()b a f x dx ?。 其中:a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。 对于定积分,有这样一个重要问题:函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件, ()f x 在[a,b]上一定可积?下面给出两个充分条件: 定理1: 设()f x 在区间[a,b]上连续,则()f x 在[a,b]上可积。 定理2: 设()f x 在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则 ()f x 在[a,b]上可积。 例:利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解:因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此,为了 便于计算,不妨把区间[0,1]分成n 等份,分点为i i x n = ,1,2,,1i n =?-;这样,

三角形面积公式5种推导方法

三角形面积公式的五种推导方法 三角形面积的计算》一节,教材上是这样安排的:一、明确目标;二、用数格的方式不能确定三角形的面积;三、能否转化成以前学过的图形进行计算?四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形,直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半;五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形;六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形,两者的关系是“等底等高,面积一半”;七、总结三角形的面积公式。 我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中,发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下: 第一步没什么问题,每个教师都有自己的导入新课的方式。 第二步也没有什么:学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式,就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下,面对三角形,学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验,第一印象,第一个技巧。也是最简单,最直接(当然也是最麻烦)的方法。 关于第三步:教材上只有一句话:能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式,我们常给初中学生提起这些认知策略,但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过,把挖掘其内涵,为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话,只是把它当作一个过渡句,当成进入下面环节的引言。 第四步。转化是一定的。但是,转化成什么?怎么转化?把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种(如图)。教材上的引导方式只有教师的主导性,而忽视了学生的主体位置。 前面提到,学生计算三角形面积的首选方法是数格,那么次选方法是什么?他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中,与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为:一、这个技巧刚刚学过;二、切割是个动作,但这个动作能把不规则变规则,所以印象深刻;三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法,想办法切割三角形的某一角移动填补另一角,变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法,学生在寻找计算三角形面积的方法时,他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨,对这个三角形进行加工处理。在不得要领,或是找到了办法,问题解决了,但心有余味,继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间,再找一个一样的三角形牵线搭桥,把思路引到问题的外面。

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合(无) 第二章 函数(无) 第三章 指数函数和对数函数 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log -log a a a M M N N =; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明:(性质1)设log a M p =,log a N q =,由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴p q p q MN a a a +=?=, ∴log ()a MN =p q +, 即证得log log log a a a MN M N =+. 证明:(性质2)设log a M p =,log a N q =, 由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴ q p q p a a a N M -==, ∴q p N M a -=log , 即证得log log -log a a a M M N N =. 证明(性质3)设log a M p =,由对数的定义可得 p M a =, ∴n np M a =, ∴log n a M np =, 即证得log log n a a M n M =.

第四章函数应用(无) 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明. 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

定积分求面积

找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度,然后描述无穷小单元的面积。其实,不管是什么样的坐标,思路都是一样的。事实上,最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。Mbth是一种积分,它是函数f(X)在区间[a,b]上的积分和的极限。 这里要注意定积分和不定积分的关系:如果有定积分,就是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。定积分定义:设函数f(X)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…。,(xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可以知道,每个区间的长度依次为x1=x1-x0,并且每个子区间(xi-1,xi]中的任意点ξi(1,2,…,n)被用作求和公式。 这个求和公式称为积分和。设λ=max{x1,x2,…,xn}(即,λ是最大间隔长度)。如果当λ→为0时存在积分和极限,则这个极限称为函数f(X)在区间[a,b]上的定积分,记为,函数f(X)在区间[1]内,其中:a称为积分下限,b称为积分上限,区间[a,b]称为积分区间,函数f(X)称为被积函数,x称为积分变量,f(X)dx称为被积函数表达式,∫称为整数。 之所以叫定积分,是因为积分后得到的值是定的,是常数,不是函数。

根据上述定义,如果函数f(X)可以在区间[a,b]内积分,则存在n等分的特殊除法: 特别地,根据上述表达式,当区间[a,b]恰好是区间[0,1]时,区间[0,1]的积分表达式如下: 1.当a=b时, 2.当a>b时, 3.在整数前可以提到常量。 4.代数和的积分等于积分的代数和。 5.定积分的可加性:如果将积分区间[a,b]分成两个子区间[a,c]和[c,b],则有由于性质2,如果f(X)在区间d上可积,则区间d(可能不在区间[a,b]上)中的任何c都满足条件。 6.如果f(X)在区间[a,b]内≥0。 7.积分中值定理:如果f(X)在[a,b]上连续,则在[a,b]中至少有一个点ε

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别, 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别,e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别, arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别, 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?

⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I (递推公式) 跟我做练习 (一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??

三角形面积公式

三角形的面积公式 一.教学内容分析 本课选自人教版五年级上册第五单元第84~85页内容,通过学习我们要探索并掌握三角形面积公式,能正确计算三角形的面积,并能应用公式解决简单的实际问题。 三角形的面积计算,是在学生掌握了平行四边形面积计算的基础上教学的。学生已掌握了一定的学习方法,具备了将图形转化的初步推理能力。因此,本节课教学中,充分利用原有的知识,探索、验证,从而获得新知,给每个学生提供思考、表现、创造的机会,使他成为知识的发现者、创造者,培养学生自我探究和实践能力。主要是引导学生经历三角形面积公式的探索过程,理解三角形面积计算公式的推导过程。在教学中我注重学生自己动手操作,从操作中掌握方法,发现问题,解决问题。 培养学生应用已有知识解决新问题的能力,使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观念和初步的推理能力。让学生在探索活动中获得积极的情感体验,进一步培养学生学习数学的兴趣。 二.教学目标 1、探索并掌握三角形的面积公式,能正确计算三角形的面积,并能应用公式解决简单的实际问题。 2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观念和初步的推理能力。 3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验,进一步培养学生学习数学的兴趣。三.教学重难点 1.探索并掌握三角形的面积公式,能正确计算三角形的面积。 2.理解三角形面积公式的推导过程。 四.学习者分析 本节内容是在学生充分认识了三角形的特征以及掌握了长方形、平行四边形面积计算的基础上安排的。其推导方法与平行四边形面积公式的推导方法有相通之处。同时本课也是学习梯形、组合图形面积的基础,在实际生活中这部分的应用也非

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+

()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x s e c = ()22x a x f +=;设:t a x t a n = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数 的积分,应分为与 . 当 时, , 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当 时,有 . 当 时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边的 是在分 母,不在分子,应记清. 当 时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

(完整版)考研数学公式推导

积化和差 积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。 公式 sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2(注意此公式前的负号) cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 证明 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明: sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] =-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[-2sinαsinβ] 其他的3个式子也是相同的证明方法。 作用 积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式,所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。 在历史上,对数出现之前,积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算,运算需要利用三角函数表。 运算过程:将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数,通过查表求出对应的反三角函数值,即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式,套用积化和差后再次查表求三角函数的值,并最后利用加减算出结果。 对数出现后,积化和差公式的这个作用由更加便捷的对数取代。 和差化积 正弦、余弦的和差化积 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续,并且设x 为上的任一点, 于是, 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动,则对 于每一个取定的x 值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数,我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看,也很显然。因为X 是上一个动点, 从而以线段 为底的曲边梯形的面积,必然随着底数 端点的变化而变化,所以阴影部分的面积是端点x 的函数(见图5-10) 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。因此,必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道:如果物体以速度作直线运动,那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面,如果物体经过的路程s 是时间t 的函数,那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是(见图5-11) 即 由导数的物理意义可知:即 是 一个原函数,因此,为了求出定积分,应先求出被积函数 的原函数 , 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分的一般 方法: 设函数在闭区间上连续, 是 的一个原函数, 即 ,则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便,将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续,利用前面学过的知识,可以 得到定积分以下几个简单性质: 图 5-12

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+

15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+?

利用定积分求曲线围成的面积

12.9 利用定积分求曲线围成的面积 武汉外国语学校 汪家硕 一.复习回顾: 1.定积分的几何意义:当()0f x ≥时,积分()b a f x dx ?在几何上表示由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积。 当()0f x ≤时,由()y f x =、x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方。 2.牛顿—莱布尼茨公式 定理(微积分基本定理)如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数,并且'()()F x f x =,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 二.曲线围成的面积 1.设f 和g 是区间[,]a b 上的连续函数且对任意的[,]x a b ∈有()()f x g x ≥,则直线x a =和直线x b =以及曲线间围成的面积可以表示为: ()()()()b b b a a a f x dx g x dx f x g x dx -=-? ?? 例1.求抛物线2y x =和直线2y x =所围成的区域面积。 解:先求出P 点坐标。 解方程组22y x y x ?=?=? ? 02x x =??=? ∴ P 点的坐标是(2,4)。 ?b a f (x )dx =?c a f (x )dx +?b c f (x )dx 。

所求的面积= 2 23 22 00 84 24 333 x x x dx x ?? -=-=-= ?? ?? ? 例1 例2.计算曲线 21 y x =+和2 4 y x =-,以及直线1 x=和1 x=-所围成的区域面积。 解:所求面积= 1 113 222 111 214 4(1)323 33 x x x dx x dx x --- ?? --+=-=-= ?? ?? ?? 例2 2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,如果它们交叉会是什么结果? 考虑区间112233 [,],[,],[,],[,] a c c c c c c b ,阴影部分面积可以表示为: 123 123 ()()()()()()()() c c c b a c c c f x g x dx g x f x dx f x g x dx g x f x dx -+-+-+- ???? 例3:求 3 () f x x =和() g x x =所围成的封闭区域面积。 解:当()() f x g x =时图像的交点, 即 332 0(1)0 x x x x x x =?-=?-= 01 x ∴=± 或 例3

三角形面积计算公式

《三角形面积计算公式》教学设计 四卦小学白保华 教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积 教材分析:人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是 在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方 形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标: 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程,理解三角形面积公式的来源;并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中,培养学生的实践动手能力,合作探索意识和能力,培养创新意识和能力。 3、通过实践操作,自主探究,使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点:三角形面积计算公式的推导。 教学难点:运用拼、剪、平移、旋转等方法,发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备:多媒体课件一套,投影仪。 学具准备:工具(尺、剪刀),三组学具(①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形各一个③任意三角形若干个) 教学设计: 一、创设问题情境,质疑激励探索 师:同学们,今天老师为大家带来了几位老朋友,你们想和它们见见面吗? 1、课件出示:学生说名称及特征后, 平行四边形 出示关系集合图长方形 正方形

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出. 可以推出下表列出的公式:

高中数学必修3海伦公式的证明方法

高中数学必修3海伦公式的证明方法 海伦公式的证明⑴ 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为A、B、C,则余弦定理为[1] cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b- c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 海伦公式的证明⑵ 中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角

形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果 这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来 求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜 求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方, 送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”, 作1作为“隅”,开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 当P=1时,△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2} 因式分解得 △^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/4[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2] =1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c)

三角形的面积计算公式的推导

“三角形的面积计算公式的推导”教学活动设计 一、活动主题的提出 数学实践活动是教师结合学生相关数学方面的生活经验和知识背景,引导学生以自主探索或合作交流的方式,展开形式多样、丰富多彩的学习活动。“三角形面积计算公式的推导”教材是通过拼的方法探究计算方法的,从表面上看,学生动手操作了,也探究了公式的形成过程,但实际上学生仅仅机械地拼了一拼,做了一次“操作工”,他们并没有自己的猜想和创造,没有真正参与知识的产生和形成,教材所提供的学习材料缺乏思维含量,缺少挑战性,学生体会不到思考的乐趣,思维得不到充分发展,为了培养学生的探究意识和探究水平,促动学生探究的有效性,特安排主题活动“三角形面积计算公式的推导”。 二、活动目标 1.探索并掌握三角形的面积计算公式,培养学生应用已有知识解决新问题的水平。 2.使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动,进一步体会转化方法的价值,发展学生的空间观点和初步的推理水平。 3.在探索活动中使学生获得积极地情感体验,感受数学的乐趣,体会成功的喜悦,进一步培养学生学习数学的兴趣。 三、课前准备 1.分组:每4人为一小组。 2.每人准备3张正方形纸片。 3.每位同学准备尺子、剪刀、铅笔。 四、时间:一课时(不包括活动前的准备) 五、活动过程 1.检查学生课前的准备情况。 2.揭示课题 师:三角形的面积能够怎样计算呢?这就是我们这节课要研究的问题。 板书课题:三角形面积的计算公式 3.探究操作 师:(先每4人一小组分好小组)每人拿出一张正方形纸片,在上面剪一刀,要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来,不剪也能够。(学生剪、画) 汇报展示。(选择如下三种图) ①②③ 师:这三种剪法中哪种剪法剪下的三角形面积你能计算?你是怎么知道的? 学生观察、思考、分析、推理、小组讨论、汇报。 第三种(图③)剪法剪下的三角形面积能计算,三角形面积正好是这个正方形面积的一半,只要把剪下的两个三角形重叠在一起,就能够发现他们完全一样(形状

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