例谈因式分解竞赛题

例谈因式分解竞赛题

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例谈因式分解竞赛题

610408 四川省成都市金堂县五凤镇九年制学校 徐金河 冯皓皎

  因式分解是代数的重要内容,也是初中学习分式、一元二次方程等知识的基础.它是整式乘法的逆变形,也是数学竞赛中经常涉及的知识点.竞赛题中因式分解的考法以直接运算和运用为主.因式分解的竞赛题除了应掌握教材中的分解因式的方法(提公因式法、公式法)外,还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式

法中的立方和(差)公式[即a 3+b 3=(a +b )(a 2

-ab +

b 2) a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2

)].本文例析几道因

式分解的竞赛题,供大家参考.

1 直接进行因式分解

这类竞赛题,主要是考因式分解的几种方法,试题比平时稍难一点而已.只要认真观察,勤加练习,解起来问题不会很大.

例1 (2009年台湾中考题)已知(19x 31)(13x

17)(13x 17)(11x 23)可因式分解成(ax

b )(8x

c ),其中a,b,c 均为整数,则a b c =

A.12

B.32   C .38   D.72

分析 将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解,再根据多项式相等就可求出a,b,c 的值.

解 (19x 31)(13x 17)(13x 17)(11x 23)

=(13x 17)(19x 31-11x +23)=(13x 17)(8x -8).

所以a =13,b =-17,c =-8.所以a b c =-12.故选A .

例2 (2004年重庆市初中数学竞赛初二试题)分解因式x 2

-2x -2y 2

+4y -xy =

.

分析 此题没有公因式,而且超过了三项,所以应考虑分组分解法.像这种五项的,一般按照“三、二”项分组即可,如果不成,再考虑其它分组方法.注意分组后一定要考虑下一步能够再分,直至将多项式分解成几个整式的乘积为止.

解 x 2-2x -2y 2+4y -xy =(x 2-xy -2y 2

)-(2x -4y )

=(x -2y )(x +y )-2(x -2y )=(x -2y )(x +y -2)

例3 (希望杯第九届)把代数式(x +y -2xy )(x +

y -2)+(xy -1)2

分解成因式的乘积,应当是

.

分析 粗看这个多项式,采用哪种方法都不能分解因式.怎么办呢?那就将多项式进行整理,看能不能分解.对于这类题一般都如此处理.

解 原式

=[(x +y )-2xy ][(x +y )-2]+x 2

y 2

-2xy +1=(x +y )2

-2(x +y )-2xy (x +y )+4xy +x 2

y 2

-2xy +1

=(x +y )2

-2(1+xy )(x +y )+(xy +1)2

=(x +y -xy -1)2

=

(x -xy )-(1-y )

2

=(x -1)2

(y -1)2

.

2 因式分解的运用

2.1 利用因式分解判断三角形、四边形的形状

例4 (2007年四川初中联)已知等腰△ABC 的三边长a,b,c 均为整数,且满足a +bc +b +ca =24,则这样的三角形共有

个.

分析 等腰三角形的个数,实际上就是三边长可取的范围.将已知进行因式分解结合整数的性质可探讨出三角形的个数.

解 因为a +bc +b +ca =24,所以(a +b )(c +1)=

24.因为a,b,c 均为整数,所以有

(1)a +b =12,c +1=2;(2)a +b =4,c +1=6;(3)a +b =6,c +1=4;(4)a +b =8,c +1=3;(5)a +b =24,c +1=1.

分别解得:(1)a =6,b =6,c =1;(2

例谈因式分解竞赛题

)a =2,b =2,c =

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2 (2010年第1期・初中版)       

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