例谈因式分解竞赛题

例谈因式分解竞赛题

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 (2010年第1期・初中版)        

解题研究・・

例谈因式分解竞赛题

610408 四川省成都市金堂县五凤镇九年制学校 徐金河 冯皓皎

  因式分解是代数的重要内容, 也是初中学习分式、一元二次方程等知识的基础. 它是整式乘法的逆变形, 也是数学竞赛中经常涉及的知识点. 竞赛题中因式分解的考法以直接运算和运用为主. 因式分解的竞赛题除了应掌握教材中的分解因式的方法(提公因式法、公式法) 外, 还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式

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法中的立方和(差) 公式[即a +b =(a +b ) (a -ab +

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解 x -2x -2y +4y -xy =(x -xy -2y ) -(2x -4y )

=(x -2y ) (x +y ) -2(x -2y ) =(x -2y ) (x +y -2)

例3 (希望杯第九届) 把代数式(x +y -2xy ) (x +

y -2) +(xy -1) 分解成因式的乘积, 应当是

2

.

分析 粗看这个多项式, 采用哪种方法都不能分解因式. 怎么办呢? 那就将多项式进行整理, 看能不能分解. .

 +y ](x +y ) -2]+x y -2xy +1(y ) -2(x +y ) -2xy (x +y ) +4xy +x y -2xy +1

=(x +y ) -2(1+xy ) (x +y ) +(xy +1) =(x +y -xy -1) =

2

2

2

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2

2

2

2

b )  a -b =(a -b ) (a +ab +b ) ].本文例析几道因

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式分解的竞赛题, 供大家参考.

1 直接进行因式分解

这类竞赛题, , 勤加练习, 解起来问题不会很大.

例1 (2009年台湾中考题) 已知(19x 31) (13x

17) (13x 17) (11x 23) 可因式分解成(ax

c ) , 其中a, b, c 均为整数, 则a b c =

b ) (8x

(x -xy ) -(1-y 2

2

=(x -1) (y -1) .

2

2 因式分解的运用

2. 1 利用因式分解判断三角形、四边形的形状

A. 12   B. 32   C . 38   D. 72

分析 将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解, 再根据多项式相等就可求出a, b, c 的值.

解 (19x 31) (13x 17) (13x 17) (11x 23)

=(13x 17) (19x 31-11x +23) =(13x 17) (8x -8) .

例4 (2007年四川初中联) 已知等腰△ABC 的三边长a, b, c 均为整数, 且满足a +bc +b +ca =24, 则这样的三角形共有

个.

分析 等腰三角形的个数, 实际上就是三边长可取的范围. 将已知进行因式分解结合整数的性质可探讨出三角形的个数.

解 因为a +bc +b +ca =24, 所以(a +b ) (c +1) =

24. 因为a, b, c 均为整数, 所以有

(1) a +b =12, c +1=2; (2) a +b =4, c +1=6; (3) a +b =6, c +1=4; (4) a +b =8, c +1=3; (5) a +b =24, c +1=1.

所以a =13, b =-17, c =-8. 所以a b c =-12. 故选A .

例2 (2004年重庆市初中数学竞赛初二试题) 分解因式x -2x -2y +4y -xy =

2

2

.

分析 此题没有公因式, 而且超过了三项, 所以应考虑分组分解法. 像这种五项的, 一般按照“三、二”项分组即可, 如果不成, 再考虑其它分组方法. 注意分组后一定要考虑下一步能够再分, 直至将多项式分解成几个整式的乘积为止.

分别解得:(1) a =6, b =6, c =1; (2)

例谈因式分解竞赛题

a =2, b =2, c =

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