公选课(2)--第四节-平面及其方程

第四节 平面及其方程

平面和直线是空间最简单的几何图形，本节和下节将以向量为工具讨论平面与直线的方程 一 平面的点法式方程

? 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。显然，平面的法向量有无穷多个，而

且平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直。

? 由立体几何知道，过空间一点可以作而已只能作一个垂直于一条已知直线的平面。

下面我们利用这个结论来建立平面的方程。 ? 设平面 π 过点M0(x0,y0,z0)，n=（A ，B ，C ）是平面 π 的法向量（图

8-17）。现在来建立平面 的方程。

? 在平面上 π 任取一点M （x,y,z ）.则点M 在平面 上的充要条件是0M M n

⊥

即00M M n ?=

? 因为 0000{,,}M M x x y y z z =---

=（x-x0,y-y0,z-z0）,n=(A,B,C),所以有

(0)(0)(0)0

A x x

B y y

C z z -+-+-=

? 该方程称为平面 π 的点法式方程。

? 例1 求过点（2,1,1）且垂直于向量i+2j+3k 的平面方程。

? 解 显然，我们可以取已知向量i+2j+3k 作为所求平面的法向量n ，又因为平面过点（2,1,1）,所以由公式即可得该平面方程为 ? （x-2）+2(y-1)+3(z-1)=0 ? 即x+2y+3z-7=0

? 例2 求过点M1(1,2,-1)、M2（2,3,1）且和平面x-y+z+1=0垂直的平面方程。 ? 解 因为点12,M M 所在平面上（图8-18），所以向量M1M2=（1，1，2）在该平

面上。又因为与平面x-y+z+1=0垂直，而已知平面的法向量n1=(1,-1,1),故可取平面的法向量121

1 1 23-21 -1 1

i j k n M M n i j k =?==+

? 由于该平面过点M1(1,2,-1)，因此由平面的点法式方程知道3（x-1）+（y-2）-2(z+1)=0，即3x+y-2z-7=0为所求的平面方程 平面的一般方程

? 将方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0展开得

? Ax+By+Cz+(-Ax0-By0-Cz0)=0,这是x 、y 、z 的一次方程，所以平面可用x 、y 、z 的

一次方程来表示，反之，任意的x 、y 、z 的一次方程 ? Ax+By+Cz+D=0 （ a ） ? 是否都表示平面呢（式中A 、B 、C 不全为零）？方程是一个含有三个未知数的方程，

所以有无穷多组解，设x0、y0、z0是其中一组解，则由 ? Ax0+By0+Cz0+D=0 ( b )

? a-b 得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,

? 它表示过点（x0,y0,z0）,且以n=（A,B,C ）为法向量的平面。由此可知x 、y 、z 的一次方程都表示平面，其中A 、B 、C 表示法向量的坐标，方程称为平面的一般方程 ? 下面讨论方程的一些特殊情况

? （1）当D=0时，方程成为Ax+By+Cz=0,显然，平面通过原点（图8-19）

? （2）当A=0时，方程成为By+Cz+D=0,法向量（0，B ，C ）与i=（1,0,0）垂直，所

以该平面平行于x 轴（图8-20（a ））；当A=D=0时，方程成为By+Cz=0.它所表示的平面通过x 轴（图8-20（b ）） ? (3)当A=B=0时，方程成为Cx+D=0.法向量（0，0，C ）与K=(0，0，1)平行，所以该平面平行于xy 坐标平面（图8-21）；当A=B=D=0时，方程为z=0，它表示xy 坐

标面。

? 对于其他情况，读者可以类似地进行讨论

? 例3 求过点M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M(0,0,c)的平面方程（其中abc 不等于0） ? 设所求平面方程为 ?

0(A B C )Ax By Cz D +++=、、不全零

? 因为点123M M M 、、在平面上，所以它们的坐标都满足该方程，于是有

Aa D 00D 0Bd D C c +=??

+=??+=?

? 解此方程组，可得D D C A =-,B =-,C =-

a

b c

? 代入所设方程，有D D C ---

0a b x y z D c

+=

? 消去D ，得

1x y z a b c

++=

? 方程称为平面的截距式方程，其中a 、b 、c 分别称为平面在x 轴，y 轴，z 轴上的截

距

? 方程称为平面的截距式方程，其中a,b,c 分别称为平面在x 轴y 轴z 轴上的截距。 ? 例4 设一平面过点M1(1,0,-2)和M2(1,2,2)且与向量a=（1,1,1）平行，试求此平面

的方程 ? 解 设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0,因为此平面过点M1、M2，所以M1、M2

的坐标满足方程，于是又A-2C+D=0，A+2B+2C+D=0。 ? 由于所求平面与向量a=（1，1，1）平行，因此它的法向量与a 垂直，即A+B+C=0 ? 联立以上方程得A=C,B=-2C,D=C 所以有，Cx-2Cy+Cz+C=0消去C ，即得所求平面

方程为x-2y+z+1=0

? 例5 设一平面通过x 轴和点M(4,-3,-1)，试求平面的方程

? 解 因为所求平面通过x 轴，所以可设它的方程为By+Cz=0,由于点M 在所求平面

上，因此点M 的坐标满足方程，有-3B-C=0，将C=-3B 代回方程，并简化，即得所求平面方程为y-3z=0

两平面的夹角

? 两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角。设平面 12,ππ 的方程分别为

A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0它们的夹角为 θ 由于两平面的法向量分别为n1=(A1,B1,C1)和n2=（A2，B2，C2），因此由两向量夹角余弦公式可知，两平面夹角 θ 的余弦的计算公式为

12cos cos(1,2)?

12

n n n n n n θ?==

?2

2

C =

? 例6 求两平面x-y+2z+3=0与2x+y+z-5=0的夹角θ . ? 解 由公式（8.4.4）得

cos θ=

? 所以θ=3

π

由两向量垂直、平行的充要条件，容易得到两平面垂直、平行的充要条件.

设平面1,2ππ 的方程分别为1111022220A x B y C z D A x B y C z D +++=+++=和

则这两个平面垂直的充要条件是 121B 2120A A B C C ++= ；它们平行的充要条件是

1112

2

2

A B C A B C ==

习 题 8—4

41.求过点（2，1，-1）且法向量为n=i-2j+3k 的平面方程.

42.求过点（1，-2，3）且平面 7x-3y+z-6=0 平行的平面方程.

43.已知点A （2，-1，2）和B （8，-7，5），求过点B 且垂直于 AB

的平面方程.指出44

—49题中各平面位置的特点，并画出各平面。 44.y=0. 45.z=1. 46.x+2y=3. 47.x+2y=0. 48.3x-2y+z=0. 49.x+y+z=3.

在第50—52中，写出满足所给条件的平面方程. 50.过点（1，-2，4），垂直于x 轴. 51.过点（-3，1，-2），通过z 轴。

52.过点（4，0，-2）和（5，1，7）平行于y 轴。

53.已知一个平面过点（0，0，1），平面上有向量a= {-2,1,1} 和b= {-1,0,0} .求此平面方程。

54.设平面通过点（5，-7，4）且在三坐标轴上的截距相等，求此平面方程。 55.一平面通过三点：A （1，-1，0）B （2，3，-1）C （-1，0，2）求此平面的方程。 56.求平面2x-y+z=7 与x+y+2z=11 的夹角。 57.求平面 2x-2y+z+5=0 与各坐标面的夹角余弦。 判断58—60题中各对平面的位置关系。 58 x-2y+7z+3=0.,3x+5y+z-1=0 59x+y+z-7=0,2x+2y+2z-1=0 60.2x-3y+z-1=0,x+y-2z+1=0

61.求在x轴的截距为3，z轴上的截距为-1,且与平面3x-y-z+1=0 垂直的平面的方程。

62.求过点（1，1，1），且同时垂直于平面x-y+z-7=0 及3x+2y-12z+5=0 的平面方程。

数学建模竞赛简介

数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”

曲线的参数方程(教案)

曲线的参数方程 教材 上海教育出版社高中二年级（理科）第十七章第一节 教学目标 1、理解曲线参数方程的概念，能选取适当的参数建立参数方程； 2、通过对圆和直线的参数方程的研究，了解某些参数的几何意义和物理意义； 3、初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中， 形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。 教学重点 曲线参数方程的概念。 教学难点 曲线参数方程的探求。 教学过程 （一）曲线的参数方程概念的引入 引例： 2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。如图所示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过秒，该游客的位置在何处? 引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决 （1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。） （二）曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 （1）一般的，设⊙的圆心为原点，半径为，0OP 所在直线 为轴，如图，以0OP 为始边绕着点按逆时针方向绕原点以匀角 速度作圆周运动，则质点的坐标与时刻的关系该如何建立呢？ （其中与为常数，为变数） 结合图形，由任意角三角函数的定义可知： ),0[sin cos +∞∈???==t t r y t r x ωω 为参数 ① （2）点的角速度为，运动所用的时间为，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？ 结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈???==θθ θr y r x 为参数 ② （在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）

第7.5节刚体平面运动的动力学

第7.5节 刚体平面运动的动力学 7.5.1 10m 搞得烟筒因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时的线速度。设倾倒时底部未移动。可近似认为烟筒为均质杆。 解：烟筒的长度l =10m 。设烟筒上端到达地面的瞬间，烟筒绕其底部的转动角速度为ω。在倾倒过程中，只受重力作用，做的功为：mg ??l 。由刚体定轴转动的动能定理： l g ml I I l mg 32 31221 21= ∴==?ωω 烟筒上端到达地面时的线速度为： s m gl l v /2.17108.933≈??===ω 7.5.2 用四根质量各为m 长度各为l 的均质细杆制成正方形框架，可围绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点O 是光滑的．最初，框架处于静止且AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 边达到水平时，框架质心的线速度C v 。以及框架作用于支点 的压力N ． 解：先求正方形框架对通过其质心且与其垂直的转轴（质心轴）的转动惯量： 框架的质心位于框架的中心，即两条对角线的交点上。每根细杆对其本身的质心轴的转动惯量：212 10ml I = ，细杆的质心与框架的质心的距离为l 21 ，由平行轴定理： 234 2210])([4ml l m I I c =?+?= 再由平行轴定理，得框架对通过0点的转轴的转动惯量： 237221)(4ml l m I I c =?+= (1)求框架质心的线速度v c 框架在下摆过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取杆AB 达到水平时框架质心位置位势能零点，得： gl l v l h m M I Mgh c l g c c 7 321712212 214= == ∴===ωωω （2）求框架对支点的压力N 以框架为研究对象，它受到重力M g 和支点的支撑力N 的作用，由质心运动定理： c a M g M N =+

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的 函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在 圆上作匀速圆周运动，设，则。 这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是 转过的角度（称为旋转角）。 圆心为，半径为的圆的普通方程是， 它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程 以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但 当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

数学建模常见评价模型简介

常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。

步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

数学建模简介

数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。

第六节空间直线及其方程教案(最新整理)

重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室 班级：编写时间： 课题： 第六节空间直线及其方程 教学目的及要求： 介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点： 1.直线方程 2.直线与平面的综合题 教学难点：1.直线的几种表达式 2.直线与平面的综合题 教学步骤及内容： 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ?A1x +B1y +C1z +D1= 0 ? A x + B y + C z + D = 0 ? 2 2 2 2 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点M 0 (x0 , y0 , z0 ) 和它的一方向向量s = {m, n, p}， 设直线上任一点为M (x, y, z) ，那么M 0M 与s 平行，由平行的坐标表示 式有： x -x 0 =y -y 0 = z -z m n p 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设 x -x 0 =y -y 0 = z -z 0 =t m n p 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数） 旁批栏：

m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 m 2 + n 2 + p 2 ? m 2 + n 2 + p 2 1 1 1 2 2 2 ? ? 2x - y + 3z + 4 = 0 = 1 ? ? 0 0 0 ?x = x 0 + mt ? y = y + nt ? z = z + pt ? 0 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。 例 1：用对称式方程及参数方程表示直线?? x + y + z +1 = 0 ． 旁批栏： 解：在直线上任取一点(x 0 , y 0 , z 0 ) ，取 x 0 ? y + z + 2 = 0 ? y 0 - 3z 0 - 6 = 0 ，解得 y 0 = 0, z 0 = -2 ，即直线上点坐标(1,0,-2) ． 因所求直线与两平面的法向量都垂直，取 s = n 1 ? n 2 = {4,-1,-3} ，对 称式方程为： x -1 = 4 y - 0 = -1 z + 2 - 3 参数方程： ??x = 1+ 4t ? y = -t ． ??z = -2 - 3t 例 2： 一直线过点 A (2,-3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求其方程． 解：因为直线和 y 轴垂直相交，所以交点为 B (0,-3, 0) ，于是 → s = BA = {2,0,4}， 所求直线方程： x - 2 = 2 y + 3 = 0 z - 4 4 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。 设 两 直 线 L 1 和 L 2 的 方 向 向 量 依 次 为 s 1 = {m 1 , n 1 , p 1} 和 s 2 = {m 2 , n 2 , p 2 }，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算 cos = 两直线 L 1 和 L 2 垂直： m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 = 0 （充分必要条件） 两直线 L 1 和 L 2 平行： m 1 m 2 = n 1 n 2 = p 1 p 2 （充分必要条件） 例 3：求过点(-3, 2, 5) 且与两平面 x - 4z = 3 和 2x - y - 5z = 1的交线平行 的直线方程． 解：设所求直线的方向向量为 s = {m , n , p }，根据题意知，直线的方向向量 与两个平面的法向量都垂直，所以可以取 s = n 1 ? n 2 = {-4,-3,-1}，所求直 x + 3 y - 2 z - 5

数学建模的介绍

一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结

数学建模课程简介

《数学建模》课程简介 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 内容简介： 本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。 本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年为21人）。 推荐教材或参考书： “数学建模”，杨启帆、谈之奕、何勇编著，浙江大学出版社出版，2006年7月 《数学建模》教学大纲 20053025 数学建模 4.5 Mathematical Modeling 4-1 预修要求：微积分、线性代数 面向对象：竺可桢学院工程高级班 一、教学目的与基本要求： 通过典型数学模型分析和课外建模实践，使学生基本掌握运用数学知识建立数学模型来研究科研问题或实际课题的基本技能与基本技巧，本课程教学除传授知识外还要求学生在实际建模中注意培养和提高自身的能力，以便提高自己的综合素质与实际本领。 二、主要内容及学时分配： 1.数学建模概论，3学时 2.初等模型，8学时：舰艇的汇合，双层玻璃的功效，崖高的估算，经验模型，参数 识别，量纲分析法建模，方桌问题、最短路径与最速方案等 3.微分方程建模，14学时：马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型，为什么要用三级火箭发 射人造卫星，药物在体内的分布，传染病模型，捕食系统的P-P模型，双种群生态 系统研究等

参数方程题型大全

参数方程 1．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为????? x ＝x 0＋r cos θ， y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为? ???? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． (4)双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的参数方程为????? x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)． (5)抛物线px y 22 =的参数方程可表示为)(. 2, 22为参数t pt y pt x ?? ?==. 基础练习 1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为?? ? x ＝2＋22t ， y ＝1＋2 2 t (t 为参数)，则其普通方程为 ____________． 2．椭圆C 的参数方程为? ???? x ＝5cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 则|AB |min ＝________.

3．曲线C 的参数方程为? ??? ? x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________． 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为??? x ＝1＋12 t ， y ＝3 2t (t 为参数)，椭圆C 的方程 为x 2＋ y 2 4 ＝1，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为_______________ 考点一 参数方程与普通方程的互化 (基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] (1)??? x ＝1 t ， y ＝1 t t 2 －1 (t 为参数)；(2)????? x ＝2＋sin 2θ， y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)．（3）?? ??? x ＝1 cos θ ，y ＝tan θ 2．求直线????? x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线? ???? x ＝3cos α， y ＝3sin α(α为参数)的交点个数． 考点二 参数方程的应用 (重点保分型考点——师生共研) 角度一：t 的几何意义

线性规划与数学建模简介

第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念

模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型

第六节-平面及其方程

第六节 平面及其方程 平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质. 分布图示 ★ 平面的点法式方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 平面的一般方程 ★ 例3 ★ 例4 ★ 平面的截距式方程 ★ 例5 ★ 平面的夹角 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 点到平面的距离 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-6 ★ 返回 内容要点 一、平面的点法式方程：.0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 二、平面的一般方程：,0=+++D Cz By Ax 三、平面的截距式方程： .1=++c z b y a x 四、两平面的夹角：设有两平面1∏和2∏： ,0:11111=+++∏D z C y B x A },,{1111C B A n = 则两平面的夹角 22 22 22 21 21 21 212121||cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出： （1） 21∏⊥∏ 的充要条件是0212121=++C C B B A A ； （2）21//∏∏的充要条件是 .2 1 2121C C B B A A == （3）21∏∏与重合的充要条件是 .2 1 212121D D C C B B A A === 五、点到平面的距离：.| |2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++=

例题选讲 平面的点法式方程 例1 (E01) 求过点)3,4,2(-M 且与平面5532=-+z y x 平行的平面方程. 解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为}.5,3,2{1-=n 设所求平面的 法向量为,n 则,//1n n 故可取,1n n =于是，所求平面方程为 ,0)3(5)4(3)2(2=+--+-z y x 即.31532=-+z y x 例2 (E02) 求过点)2,3,1(),4,1,2(---B A 和)3,2,0(C 的平面方程. 解 },6,4,3{--=→AB },1,3,2{--=→AC 取→ →?=AC AB n 1 32643----=k j i ,914k j i -+= 所求平面方程为,0)4()1(9)2(14=--++-z y x 化简得.015914=--+z y x 平面的一般方程 例3 (E03) 求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面方程. 解 设所求平面的一般方程为,0=+++D Cz By Ax 因为所求平面通过x 轴，且法向量垂直于x 轴,于是法向量在x 轴上的投影为零，即,0=A 又平面通过原点，所以,0=D 从而方程成为,0=+Cz By (1) 又因平面过点),1,3,4(--因此有,03=--C B 即.3B C -= 以此代入当成(1)，再除以),0(≠B B 便得到所求方程为.03=-z y 例4 (E04) 设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程. 解 设平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过原点知,0=D 由平面过点)2,3,6(-知 .0236=+-C B A },2,1,4{},,{-⊥C B A 024=+-∴C B A ?,3 2 C B A -== 所求平面方程为.0322=-+z y x 平面的截距式方程 例5 (E05) 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.

数学建模简介及数学建模常用方法

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待 人们去研究、去解决。但 是，社会对数学的需求并 不只是需要数学家和专门 从事数学研究的人才，而 更大量的是需要在各部门 中从事实际工作 的人善于运用数 学知识及数学的 思维方法来解决 他们每天面临的 大量的实际问题， 取得经济效益和社会效 益。他们不是为了应用数 学知识而寻找实际问题 （就像在学校里做数学应 用题），而是为了解决实 际问题而需要用到数学。 而且不止是要用到数学， 很可能还要用到别的学 科、领域的知识，要用到 工作经验和常识。特别是 在现代社会，要真正解决 一个实际问题几乎都离不 开计算机。可以这样说， 在实际工作中 遇到的问题， 完全纯粹的只 用现成的数学 知识就能解决 的问题几乎是 没有的。你所能遇到的都 是数学和其他东西混杂在 一起的问题，不是“干净 的”数学，而是“脏”的 数学。其中的数学奥妙不 是明摆在那里等着你去解 决，而是暗藏在深处等着

你去发现。也就是说，你 要对复杂的实际问题进行 分析，发现其中的可以用 数学语言来描述的关系或 规律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就称 为数学模型。 数学模型具有下列特 征：数学模型的一个重要 特征是高度的抽象性。通 过数学模型能够将形象思 维转化为抽象思维，从而 可以突破实际系统的约 束，运用已有的数学研究 成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一 个特征是经济性。用数学 模型研究不需要过多的专 用设备和工具，可以节省 大量的设备运行和维护费 用，用数学模型可以大大 加快研究工作的进度，缩 短研究周期，特别是在电 子计算机得到广泛应用的 今天，这个优越性就更为 突出。但是，数学模型具 有局限性，在简化和抽象 过程中必然造成某些失 真。所谓“模型就是模型” (而不是原型)，即是该性 质。 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。 模型是客观实体有关属性的模拟。陈列 在橱窗中的飞机模型外形应当像真正的飞 机，至于它是否真的能飞则无关紧要；然而 参加航模比赛的飞机模型则全然不同，如果 飞行性能不佳，外形再 像飞机，也不能算是一 个好的模型。模型不一 定是对实体的一种仿照，也可以是对实体的 某些基本属性的抽象，例如，一张地质图并 不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符 号、文字和数字来反映出该地区的地质结 构。数学模型也是一种模拟，是用数 学符号、数学式子、程序、图形等对 实际课题本质属性的抽象而又简洁

极坐标与参数方程知识点总结大全

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面 直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作. 一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数. 特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点直角坐标极坐标 互化公 在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程. 二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的那么,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,并且对于的每一个允许值,函数①． 方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3．圆的参数 如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周

第六节关税法

第六节关税法 一、关税的概述 二、关税的纳税人 三、税则和税目 四、关税的税率 五、关税的完税价格 六、关税应纳税额的计算 七、关税的税收优惠 八、关税的征收管理 九、行邮物品的进口税 一、关税的概述 （一）关税法的概念 关税法是国家制定的用于调整关税征纳双方权利与义务关系的法律规范的总称。 （二）关税的概念 关税是指对进出国境或关境的货物或物品征收的一种流转税。 （三）关税的分类 二、关税的纳税人 ?进口货物——收货人 ?出口货物——发货人 ?进出境物品——所有人和推定所有人（持有人、收件人等） 三、税则和税目 （一）进出口税则概况 ?进出口税则是一国政府根据国家关税政策和经济政策，通过一定立法程序制定公布实施的进出口货物和物品应税的关税税率表。

?税则以税率表为主体,包括税则商品分类目录和税率栏两大部分。 （二）税则商品分类目录 税号及所对应的货品名称以海关合作理事会制定的国际通用的协调编码（H.S编码）为基础。分21类、97章。我国现行税则的前六位编码等效于HS编码。 四、关税的税率 （一）进口关税的税率 ?进口税率的选择适用是根据货物的不同原产地而确定的?原产地不明的货物实行普通税率。 ?进口商品绝大部分采用从价定率的征税方法，从1997年7月1日起，对部分商品实行从量税、复合税。 【归纳】 （1）不同进口方式下，税率的具体运用有不同的规定；（2）进口税率的选择使用与原产地有直接关系。 （二）出口关税税率 ?仅20种商品出口征税，税率20%~40%，在一定期限内可实行暂定税率。 ?征收出口关税的货物项目很少，采用的都是从价定率征税的方法。 （三）特别关税包括报复性关税、反倾销税、反补贴税、保障性关税。 （四）关税税率的运用 关税税率的运用规则如下： ?进出口货物，应按纳税人申报进口或者出口之日实施的税率

第五节 平面及其方程

第五节 平面及其方程 一、选择题 1. 平面3x - 2y = 6位置是 ( ) A . 平行于xOy 面; B . 平行于z 轴; C . 垂直于z 轴; D . 通过z 轴. 2. 平面2x - 3y + 5z = -2在x 轴上的截距为 ( ) A . 2; B . 2 1; C . 1; D . -1. 3. 过点(1, 2, 3)且与平面2x - y + 3z = 2平行的平面方程为 ( ) A . x + y + z = 6; B . 2x - y + 3z = 0; C . 3x - y + 2z = 5; D . 2x - y + 3z = 9. 4. 二个平面1432=++z y x 和2x + 3y - 4z = 1位置关系是 ( ) A . 相交但不垂直; B . 重合; C . 平行但不重合; D . 垂直. 二、填空题 1. 过点M (2, 1, 1)且垂直于向量(1, 2, 3)的平面方程为 . 2. 过x 轴且垂直于平面5x + 4y - 2z + 3 = 0的平面方程为 . 3. 平面x - y + 2z + 8 = 0与2x + y + z = 5的夹角为 . 4. 点(1, 2, 1)到平面2x + y + z = 5的距离为 . 三、解答题 1. 求过三点(3, 0, 1)、(1, 2, 3)、(-1, 0, 0)的平面方程. 2. 求过点(1, 1, 1)且垂直于两平面x - y + z = 2和3x + 2y - 12z + 3 = 0的平面方程. 3. 一平面过点(1, 1, 1)和(0, 1, -1), 且垂直与平面x + y + z = 5, 求此平面方程. 4. 求一平面方程, 使它的截距是平面2x - 3y + 4z = 12截距的一半.

数学建模简介及数学建模常用方法

数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等） 来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 随着社会的发展，生物、医学、社会、经济……各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。 他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂 在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题 化成一个数学问题，这就称为数学模型。 数学模型具有下列特征：数学模型的一个重要特征是高度的抽象性。通过数学模型能够将形象思维转化为抽象思维，从而可以突破实际系统的约束，运用已有的数学研究成果对研究对象进行深入 的研究。数学模型的另一个特征是经济性。用数学模型研究不需要过多的专用设备和工具，可以节省大量的设备运行和维护费用，用数 学模型可以大大加快研究工作的进度，缩短研究周期，特别是在电子计算机得到广泛应用的今天，这个优越性就更为突出。但是，数学模型具有局限性，在简化和抽象过程中必然造成某些失真。所谓“模型就是模型”(而不是原型)，即是该性质。

06平面及其方程

第六节平面及其方程 平面是空间中最简单而且最重要的曲面?本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质 分布图示 ★平面的点法式方程★例1 ★例2 ★平面的一般方程★例3 ★例4 ★平面的截距式方程★例5 ★平面的夹角 ★例6 ★例7 ★例8 ★点到平面的距离 ★例9 ★例10 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-6 ★返回 内容要点 、平面的点法式方程：A(x-X o) ? B(y-y°) ? C(z-Z o) =0. 、平面的一般方程：Ax By Cz D =0, 三、平面的截距式方程: a b c

四、两平面的夹角：设有两平面 和2 : --1 : A|x ' By C i Z ' D i = 0, n i — {A i , B i , G} 则两平面的夹角 co s IAA+B 1B 2+ C 1C 21 J A 2 + B ； +G 2 + 从两向量垂直和平行的充要条件，即可推出: (1)二1 _二2 的充要条件是 A 1A 2 B 1B 2 C i C^O ； (3)二1与二2重合的充要条件是△二旦二C !二卫！. A 2 B 2 C 2 D 2 五、点到平面的距离 :d =內0芒以空D| (A 2 + B 2 +C 2 例题选讲 平面的点法式方程 例1 (E01)求过点M (2,4,_3)且与平面2x 3y _5z =5平行的平面方程 解 因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法向量为 山={2,3,_5}.设所求平面的 法向量为n,则n 〃n“故可取n = nj ，于是，所求平面方程为 2(x —2) 3(y —4) —5(z 3) =0,即 2x 3y -5z =31. 例 2 (E02)求过点 A(2,—1,4), B(—1,3,—2)和 C(0,2,3)的平面方程. 厂「k ” T T - TT - - - 解 AB ={，,4,_6}, AC ={—2,3,—0,取 n= AB^AC = —3 4 —6 =14i +9j —k, -2 3 -1 所求平面方程为 14(^2) 9(y ?1)—(z —4)=0,化简得 14x ? 9y —z —15 = 0. 平面的一般方程 例3 (E03)求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程. 解 设所求平面的一般方程为 Ax By Cz ^0,因为所求平面通过 x 轴，且法向量垂 直于x 轴,于是法向量在x 轴上的投影为零，即 A=0, 又平面通过原点，所以 D =0,从而方程成为By ，Cz=0, (1) 又因平面过点(4, ；,-1),因此有