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常微分方程习题(4)

常微

班级: 姓名: 学号: 一、填空题 1、（）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（）。４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ??。

５、解线性方程的常用方法有（）。６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。

７、方程组x t A x )(='（）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（）。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（）。

二、计算题

求下列方程的通解。１、

1sin 4-=-x e dx

y 。２、1)(122

=??

???-dx dy y 。３、求方程

2y x dx

+=通过)0,0(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。４、0=+'+''x x x 。５、t

e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：

６、

5,!--=+--=y x dt

y x dt dx 。三、证明题。

１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明

)(t φ)()(001t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

答案：

一、填空题

１、形如

)()(x g x f dx dy = 的方程 )

(1y g u = ２、

N y M ??=?? ３、存在常数Ｌ>0，对于所有R y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式

212,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立

４、

k h k ML !

1- ５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法６、)()(1

t x c t x i

i i ∑==

，其中n c

c c ,,2

,1 是任意常数

７、n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为x t A x )(='的一个基本解组８、)(t ψ＝)(t φc

)(b t a ≤≤c 为非奇异常数矩阵

９、等于零稳定中心

１０、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数

不稳定鞍点或不稳定结点１１、ds s f s t t t t

t )()()()()(0

101?

--+=φφηφφ

二、计算题

１、解：方程可化为

1sin 4-+-=x e dx

de y

y 令y

e z =，得

x z dx

sin 4+-=

由一阶线性方程的求解公式，得

[]x

x x dx

ce x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+?

=?)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y

e ＝x ce x x -+-)cos (sin 2

２、解

：

设

t p dx

sin ==，则有

y sec =，从而

c t g t

t t d c t d t t g t t x +=+=+?=??

s e c s e s i n

，故方程的解为

221)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解

３、解：0)(0=x ? 2

012

1)(x xdx x x

=?? 520

4220

121)41()(x x dx x x x x

+=+

dx x x x x dx x x x x x x

? ??+++=??????++=071040

2523201400141)20121()(? 81152160

14400120121x x x x +++=

４、解：对应的特征方程为：012

=++λλ，解得i i 2

3,23212211--=+

-=λλ 所以方程的通解为：)2

sin 23cos

(212

t c t c e x t +=-

５、解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013

=-λ，解得2

31,13,21i

±-=

=λλ，故齐线性方程的基本解组为：i e i e

e t

3sin ,23cos ,21

1--

，因为1=λ是特征根，

所以原方程有形如t tAe t x =)(，代入原方程得，t

e Ate Ate Ae =-+3，所以

31=A ，所以原方程的通解为2121-+=e c e c x t t te i e c i 3

23sin 23cos 21

3++-

６、解： ??

?=--=+--050!y x y x 解得???-==2

y x 所以奇点为（)2,3- 经变换，???+=-=33y Y x X

方程组化为??

???-=--=Y X dt dy Y

X dt dx

因为

,01

1≠---又

01)1(1

2=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

三、证明题

１、证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)(01t -φ为一非奇异常数矩阵，所以

)(t φ)(01t -φ也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x =' 的基解矩阵，且都满足初始条件)(t φ)(01

t -φE =，E t t ==-)0()(0

0φφ

所以)(t φ)()(001t t t -=-φφ

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程习题及答案

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是。

8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+x dy y dx 的通解为。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。 1、方程23 2 10d x x dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程、 3、微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、 5、朗斯基行列式 ()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、 6、方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、 7、已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、 8、方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、 10 、就是满足方程 251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、 11、方程的待定特解可取的形式: 12、三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根就是二、计算题 1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、 2.求解方程 13 dy x y dx x y +-=-+、 3、求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程、、 5.求方程 sin y y x '=+的通解、 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程试题

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程第四章考试卷

常微分方程第四章测试试卷(3) 班级姓名学号得分一、填空（20分） 1．——————称为n 阶齐线性微分方程。 2．1x )(t 非零为二阶齐线性方程''x 1a +)(t 2'a x +x t )(≡0的解，这里 ()t a 1 和()t a 2于区间[]b a ,上连续，则()t x 2 是方程解的冲要条件是― ——————。３．常系数非齐线性方程中，若()()t m m m m e b t b t b t b t f λ++++=--1110 ，其中λ与i b 为实常数，那么方程有形如————的特解。４．在n 阶常系数齐线性方程中，n a a a ,2,1 为常数，则它的特征方程为——————。５．若方程()()022=++y x q dx dy x p dx y d 中满足————条件，则方程有形如∑∞ ==0 n n n x a y 的特解。６．微分方程03'2'''4=++y y xy 的阶数为——。７．设()01≠t x 是二阶齐线性方程()()0'''21=++x t a x t a x 的一个解,则方程的通解可表为________ ８．解线性方程的常用方法有____、_____、_____、_____ ９．若())2,1,0(n i t x i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为__________. １０.若()),,2,1(n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组,()t x 为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表___.

二．计算（30分）１．求通解y y y 2'1''2 += ２．求特解x x e xe y y y -=+-'2''，()()11'1==y y ３．设二阶非齐线性方程的三个特解为 x x y x x y x y cos ,sin ,321+=+== 求其通解４．求解方程()()o y x y x xy =+++-2'12'' ()0≠x ５．求方程2233'4'''''x xy y x y x =-+的通解６．求方程0'''=--y xy y 的解、三．设可导函数()x φ满足()()1sin 2cos 0+=+?x tdt t x x x φφ，求()x φ 四．证明题（20分） 1.若函数()()()t x t x t x n ,,,21 为n 阶齐线性方程的n 个线性相关解，则它们的伏朗斯基行列式()0=t w 2．试证n 阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

《常微分方程》答案_习题

习题4.2 1. 解下列方程（1） 045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=t t t t e c e c e c e c --+++4 32221 (2) 0333 2=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ 有三重根a =λ 故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04) 5(=''-x x 解：特征方程0435=-λλ 有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为 542 32221c t c t c e c e c x t t ++++=- （4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i 故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x 解：特征方程012=++λλ有复数根= 1λ,231i +-=2λ,2 31i -- 故通解为t e c t e c x t t 2 3sin 2 3 cos 2 122 1 1--+=

(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程02 2=-a λ有根=1λa,=2λ-a 当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21 Bt A s +=~代入原方程解得21a B A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(1 2-t a 当a=0时,)(~ 212γγ+=t t s 代入原方程解得2 1 ,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(6 1 2+t t (7) 32254+=-'+''-'''t x x x x 解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++ 又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x 解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321 取特解行如c Bt At x ++=2~ 代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,2 31i --13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t e c x 321 22 1 12 3 sin 23cos ++=--

常微分方程习题

第一章习题 1-1求下列两个微分方程的公共解。（1）422x x y y -+=' （2）2422y y x x x y --++=' 解两方程的公共解满足条件 4224222x x y y y x x x -+=--++，即 022224=-+-y x y x ， 0))(122(22=-++y x y x ，所以2 x y =或2212 x y +-=。代入检验可知2 212 x y +-=不符合，所以两方程的公共解为2x y =。评注：此题是求解方程满足一定条件的解，即求两个微分方程的公共解。在求解时由于令其导数相等，很容易产生增解，因而要对所求结果回代原方程进行检验，舍去增解。 1-2 求微分方程02 =-'+'y y x y 的直线积分曲线。解设直线积分曲线为b ax y +=，则a y ='，代入原方程得 02≡--+b ax xa a ，即0)()(2 ≡-+-b a a a x ，所以 ???=-=-0 02b a a a ，可得0==b a 或1==b a 。因而所求直线积分曲线为0=y 或1+=x y 。评注：此题是求解方程的部分解，采用的是待定系数法。待定系数法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常数法和待定函数法。本题首先设出满足题设条件的含有待定常数

的解，然后代入原方程来确定待定常数，解决此类问题的关键在于正确地设出解的形式。 1-3 微分方程32224xy y y x =-'，证明其积分曲线是关于坐标原点成中心对称的曲线。证设)(x y ?=满足微分方程，只须证明)(x y --=?也满足方程即可。作变换x t -=，则证明)(t y ?-=满足方程即可，代入方程两端，并利用)(x y ?=满足此方程，得左=)())((42222t dx dt t t ??-'， )()1)((42222t t t ??--'= )()(4222t t t ??-'=)(3t t ?==右故)(t y ?-=也满足方程32224xy y y x =-'。评注：为了验证)(x y --=?也满足方程，利用积分曲线的性质，进行变量代换x t -=，将)(x y --=?变换成)(t y ?-=后，问题就很容易解决了。 1-4 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20分钟内由100℃冷却至60℃，那么，在多长时间内，这个物体由100℃冷却至30℃？假设空气的温度为20℃ 解设物体在空气中时刻t 的温度为)(t T T =，则依牛顿冷却定理得 )20(--=T k dt dT ，其中k 是比例常数。两边积分，得通解为kt Ce T -+=20。由于初始条件为：,100)0(=T 故得80=C ，所以kt e T -+=8020。将60,20==T t 代入上式后即得：202ln = k ，即 20202ln )2 1(80208020t t e T ?+=+=-。故当30=T 时，有20)2 1(802030t ?+=，从中解出60=t （分钟），因此，在一小时内，可使物体由100℃冷却至30℃。

常微分方程第4章习题答案

习题 4—1 1．求解下列微分方程 1） 22242x px p y ++= )(dx dy p = 解利用微分法得 0)1)( 2(=++dx dp p x 当 10dp dx +=时，得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解 22 242y p px x p x c ?=++?=-+? 或消参数P ，得通解 )2(2 122x cx c y -+= 当 20x p +=时，则消去P ，得特解 2x y -= 2）2()y pxlnx xp =+； ??? ? ?=dx dy p 解利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ??++= ??? 当0=+p dx dp x 时，得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解： 2 ()y pxln xp px c ?=+?=? 或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时，消去p 得特解 21()4 y lnx =- 3）() 21p p x y ++= ??? ??=cx dy p 解利用微分法，得 x dx p p p - =+++22 11 两边积分得 () c x P P P =+++2211

由此得原方程以P 为参数形式的通解： 21(p p x y ++= ，() .11222c x p p p =+++ 或消去P 得通解 222)(C C X y =-+ 1．用参数法求解下列微分方程 1）45222=?? ? ??+dx dy y 解将方程化为 2215 42=??? ??+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5 dy t dx = 由此可推出 1 515(2sin )22cos 2 cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25 因此方程的通解为 52x t c = + ，2sin y t = 消去参数t ，得通解 22sin ()5 y x C =- 对于方程除了上述通解，还有2±=y ， 0=dx dy ，显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。 2）223()1dy x dx -= 解：令u x csc =， u dx dy cot 31-= 又令tan 2 u t = 则t t u x 21sin 12+==

常微分方程自学练习题

常微分方程自学习题及答案一填空题: 1 一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线. 2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________. 3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程 21y dx dy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______ 7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解. 10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程 y x dx dy /-=的解是( ). 13已知(0)()32 2 2 =+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ?????=+=0 )0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652 =+-? ?? ??y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程5 34 y x y dx dy =++?? ? ??的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dx dy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 二单项选择: 1 方程y x dx dy +=-31 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程 1+=y dx dy ( ) 奇解.

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

常微分方程习题及评分标准答案

常微分方程分项习题一、选择题（每题3分）第一章： 1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（）（A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章： 2．下列是一阶线性方程的是（）（A ）2 dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+= （C ）22( )0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx = 3．下列是二阶线性方程的是（）（A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2 (1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx = 4．下列方程是3阶方程的为（）（A ）'23y x y =+ （B ）3 ( )0dy xy dx += （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分方程43( )()0dy dy dy x dx dx dx +-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．方程2342()20dy d y x y dx dx +-=的阶数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程 dy x y dx x y -=+，下列说法错误的是（）．（A ）方程为齐次方程

（B ）通过变量变换y u x = 可化为变量分离方程（C ）方程有特解0y = （D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（）．（A ）为一阶线性方程（B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程（C ）方程有特解12 y x π =++ （D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(+=，它有积分因子为（）（A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ? （C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ? 10．针对方程 2(cos sin )dy y y x x dx +=-，下列说法错误的是（）．（A ）方程为伯努利方程（B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程（C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1 sin x y Ce x =- 11．方程 2()dy y xf dx x =经过变量变换（）可化为变量分离方程。（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 12．方程2()dy x f xy dx =经过变量变换（）可化为变量分离方程。（A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（）（A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程（B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解