不定积分几何意义

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

定积分的定义及几何意义

精品文档 定 积 分 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明： （1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=?1 性质2 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）

4-3-定积分的几何意义和性质

所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定积分?b a dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值； (3)当f (x )在区间[a,b ]上的值有正有负时，()b a f x dx ?等于[a, b ]上x 轴 上方各曲边梯形面积总和减去x 轴下方曲边梯形面积总和。例如，若 ()f x 如图所示，则123()b a f x dx S S S =-+? 图1 特别的，如果在区间[a b ]上f (x )≡1 ，则a b dx dx b a b a -==??1 下面我们利用定积分的几何意义求一些简单的定积分: 例1 用定积分的几何意义求1 0(1)x dx -?. 解 函数1y x =-在区间[0, 1]上的定积分是以1y x =-为曲边,以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积（如图2所示）. 因为以1y x =-为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高 均为1, 所以1011(1)1122 x dx -=??=?. 1

图2 例2用定积分的几何意义求22 R R R x dx - - ?. 解：由定积分的几何意义可知22 R R R x dx - - ?表示由曲线 22 y R x =-与0 y=所围成的半圆的面积，因此 222 1 2 R R R x dx R π - -= ? (选择)例3将下列图形的面积用定积分的形式表示出来。 图3 图4 解：图形4是由曲线2 y x =，0 x=及3 x=所围成的曲边梯形，故 该图形的面积可表示为32 A x dx =?；图形3是由曲线x y e =，1 x=及 3 4 1

定积分的意义及其在几何中的应用

定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计) 题目：定积分的意义及其在几何中的应用 学院兰州大学数学与统计学院 专业数学应用 班级 09数学教育二班 学号 1500902052 姓名蔡兴盛 指导教师王宾国 兰州大学教务处制 二Ｏ一二年三月

定积分的意义及其在几何中应用 定积分在大学数学中起着非常重要的作用，是大学数学的基础，在我们 的生活中也起着很重要的作用！ 内容摘要： 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。 关键词： 定积分 柯西 微分 方程 几何 一、定积分的概念 1.1定积分的定义 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限． 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑?

定积分的定义及几何意义

教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间 等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。 说明： （1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限： （3）积分的几何意义：曲边图形面积：； 积分的物理意义： 变速运动路程； 变力做功 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 性质2 （其中k 是不为0的常数） 性质3 性质4 例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间等分成个小区间： （2）近似代替： 2)1(1n i n s i -=? （3）求和： 从而得到的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：

例1．利用定积分的定义计算dx x )1(21 0+?的值。 例2．计算定积分=。 练习： 1.利用定积分的定义计算dx x )12(1 0+?的值。 2.计算下列定积分 （1） （2） （3） dx x )43(22 2--?- （4）求定分d x ．

定积分几何意义的动态演示

定积分几何意义的动态演示 ------兼谈几何画板的制图方法 孙国庆 沿河县第二中学 565300 定积分是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2中的重要内容，它的几何意义是：如果在区间],[b a 上函数)(x f 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分?b a dx x f )(表示由直线0,,===y b x a x 和)(x f y =所围成的曲边梯形（图1）的面积.为了求曲边梯形的面积，主要采取“分割、近似代替、求和、取极限”等步骤来完成，在教学过中如果借助几何画板，可以形象直观地展示“以直代曲”“逼近”的过程，为帮助学生理解定积分的定义.本文拟借助几何画板求以2)(x x f =为曲边的曲边梯形面积的过程，渗透“以直代曲”的方法和极限思想. 一．用几何画板制作曲边梯形 步骤1.单击“图表”中的“正方形网格”，在横坐标轴上 “构造”线段AB ，分别“度量”出点A 、B 的值作为区间[b a ,]. 步骤2.在线段AB 上“构造”一点C ，并“度量”点C 的 “横坐标”得C x 的横坐标值. 步骤3.在“图表”中“新建函数”2)(x x f =，单击“度量” 中的“计算”，在“新建计算”框中点击2)(x x f =，再点击C x 点“确定”得函数2)(x x f =的纵坐标值. 步骤4.先后选中度量值C x 、2 C x ，单击“图表”中的“绘 制点”，得函数2)(x x f =图象上的一个点1C . 步骤5.先后选中点C 和1C ，单击“构造”中的“轨迹”，得函数2)(x x f =在区间[b a ,]上的图象. 步骤6.重复步骤3、4分别得出点A 、B 在函数图象上的 对应点1A 、1B ，再分别“构造”线段1AA 、1BB ，得曲边梯形11A ABB （如图1）. 二、对曲边梯形进行均匀分割 步骤1.在线段AB 上“构造”一点D ，重复上述“一”中的步骤6画线段1DD .

高二定积分的计算(理科)

年 级 高二学科数学 内容标 题 定积分的计算 编稿老 师 胡居化 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数) (x f在区间［a，b］上的定积分表示为：?b a dx x f) ( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f（x）在区间[a，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f) (的

几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图 （3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x= b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则

5-1定积分的概念、几何意义、性质.

第五章定积分及其应用 5-1定积分的概念.几何意义、性质 5-2变限积分函数 5-3牛顿—莱布尼兹公式 5-4定积分的换元积分法和分部积分法 5-5广义积分与瑕积分 5-6定积分的几何应用 学IR 5. 1定积分的概念、几何意义、性质 V 引入实例 4二、定积分的概念 ＞三、定积分的几何意义 定积分的几何意义

一、引入实例 1.曲边梯形的面积 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积. 解决步骤： (1)分割用分点H "州勺? J ? f r 把区间阪耐分成〃个小区间 第「个小区间的长度记为A%?(心1,2,…，町，即

一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (2)近似代替 在第i个小区间上任取一点＜匕W叫)， 用以△坷为宽JC)为高的小‘ 矩形 的面积/?)△叫近似代替相应小曲 边梯形的面积，即 一、引入实例 1.曲边梯形的面积 (3)求和 n n 1=1 t=l (4)取极限 a i| & E-iW E * b x AAj ?(/ = 1,2,…， “) 04占儿九禺心? b 天令兄=max{ Ax p Ax, ........ Ax n},则 职业技术学IR

一、引入实例 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，已知速度V= 且>0,如何计算物体从时刻t =找到时刻所经过的路程？ 一.引入实例 2?变速直线运动的路程 __________________ 解决步骤： (1) 把时间区间S0］分成〃个小区间 第，个小区间的长度记为 △“ = “ 一= 1,2,.??，“) 肩业技术字IR