2010年重庆市中考数学模拟试题
2010年重庆市中考数学模拟试题089
梯形精华试题汇编
A 组
一 选择题
1（2011番禺区综合训练）下列命题中，正确的是（ ）.
（A ）对顶角相等 （B ）梯形的对角线相等 （C ）同位角相等 （D ）平行四边形对角线相等 答案:A .
2. （2011广州六校一摸）如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ADO 的面积记作S 1, △BCO 的面积记作S 2,△ABO 的面积记作S 3,△CDO 的面积记作S 4,则下列关系正确是（ ） A. S 1= S 2
B. S 1 × S 2= S 3 × S 4
C. S 1 + S 2 = S 4 + S 3
D. S 2= 2S 3 答案:B
二 填空题
1．（南京市建邺区2011年中考一模）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 、F 、G 、H 是两腰上
的点，AE =EF =FB ，CG =GH =HD ，且四边形EFGH 的面积为6cm 2
，则梯形ABCD 的面积为 cm 2
． 答案：18
2. （2011萝岗区综合测试一)如图，直角梯形ABCD 中，BA CD ，,2AB BC AB ⊥= ，
将腰DA 以A 为旋转中心逆时针旋转90°至AE ，连接,,BE DE ABE ?的面积为3，则CD 的长为 ． 答案：5
D B C E
F A
G
H （第1题图） S 2
S 3
S 4
S 1
O D
C
B
A
三 解答题
1．(2011上海市杨浦区中考模拟)已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是线段AC 、BC 、AD 的中点，连
FE 、ED ，BF 的延长线交ED 的延长线于点G ，联结GC 。
求证：四边形CEFG 为梯形。
【答案】证明：(1)∵点D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，∴DE//AB ，-------------1分 ∴∠A=∠FDG ，∠ABF=∠FGD---------------------------------------------2分 ∵F 是线段AD 的中点，∴AF=FD
∴△ABF ≌△DGF ，-------------------------------------------1分
∴BF=FG----------------------------------------------------------1分
∴
1BF
FG
=--------------------------------------------------1分 ∵E 为BC 中点，∴BC=EC ，∴1BE
EC
=，-----------------------------------------1分
∴
BE BF EC FG
=------------------------------------------------------1分 ∴EF//CG----------------------------------------------------------1分
而GF 与CE 交于点A ，∴四边形CEFG 为梯形------------------------------------1分
2．（2011浙江金衢十一校联考）（6分）如图，已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为对 角线AC 的中点，连结DE 并延长交BC 于点F ，连结AF ． （1）求证：AD=CF ；
（2）在原有条件不变的情况下，当AC 满足条件 ▲ 时
（不再增添辅助线），四边形AFCD 成为菱形， 【答案】（1）略……………………（4分）；
（2） AC 平分∠BCD 或ＡＣ⊥ＤＦ或AC 平分∠FAD …………（2分）
3．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．．．．．例如正方形ABCD 的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA ，AC=BD ．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A 、B 、C 、O 四个点，满足AB=BC=CA ，OA=OB=OC ；如图3中A 、B 、C 、O 四个点，满足OA=OB=OC=BC ，AB=AC ．
A B C D E
F
G
（1）如图，若等腰梯形ABCD 的四个顶点是准等距点，且AD ∥BC ． ①写出相等的线段（不再添加字母）； ②求∠BCD 的度数． （2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，．．．．．并写出相等的线段．
解：（1）①AB=DC=AD ， AC=BD=BC ．……………………………………………2分
②∵AC=BD ，AB=DC ，BC=BC ，∴△ABC ≌△DCB ，∴∠DBC =∠ACB ，……3分 ∵AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，
∵DC=AD ，∠DAC=∠ACD ，∴∠ACD=∠ACB ，………………………………4分 ∵BC=BD ，∠BDC=∠BCD =2∠ACB ，……………………………………………5分 设∠ACB =x °，则∠BDC=∠BCD =2 x °，∠DBC= x °， ∴2 x +2 x + x =180，解得x =36，
∴∠BCD =72°．…………………………………………………………………6分
（2）
AB=BD=AD =AC ，BC = CD ． 或 AB= BC= CD=BD=AD ，AC ，．……8分
4．（南京市溧水县2011年中考一模）（9分）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=
，
AD BC ∥（如图）
．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．
（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）连结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，
求线段BE 的长．
解：解：（1）取AB 中点H ，连结MH ，
M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1
()2
MH BE AD =+． ········· 1分
又AB BE ⊥ ，MH AB ∴⊥． ······················· 2分
12ABM S AB MH ∴= △，得1
2(0)2
y x x =+>； ·············· 3分
（2）过D 作DP ⊥BC ，垂足为P ， ∠DAB =∠ABC =∠BPD =90°，∴四边形ABPD 是矩形． 以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，
1122MH AB DE ∴=+， 又1
()2
MH BE AD =+，∴DE=BE+AD-AB =x +4-2=x +2……4分
PD =AB=2，PE= x -4，DE 2= PD 2+ PE 2
，…………………………………………………5分
∴（x +2）2=22+（x -4）2
，解得：3
4=x ．
∴线段BE 的长为3
4
．…………………………………………………………………………6分
B C
A D
B A D M E
C 第3题图 B A
D C 备用图
（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似， 又易证得DAM EBM ∠=∠． ························ 7分 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②ADB BME ∠=∠． ①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．
DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；
················· 8分 ②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠．
DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED MEB ∴
△∽△． DE BE BE EM ∴=
，即2BE EM DE = =221DE ，得x 2=21[22+（x -4）2
]． 解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． ············· 9分 综上所述，所求线段BE 的长为8或2．
5．（南京市浦口区2011年中考一模）
（10分）如图，已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ， DC ⊥BC ，AB ＝5，BC ＝6，∠B ＝53°． 点O 为BC 边上的一个点，连结OD ，以O 为圆心，BO 为半径的⊙O 分别交边AB 于点P ，交线段OD 于点M ，交射线BC 于点N ，连结MN ． （1）当BO ＝AD 时，求BP 的长；
（2）在点O 运动的过程中，线段 BP 与MN 能否相等？若能，请求出当BO 为多长时BP ＝MN ；若不能，请说明理由；
（3）在点O 运动的过程中，以点C 为圆心，CN 为半径作⊙C ，请直接写出．．．．当⊙C 存在时，⊙O 与⊙C 的位置关系，以及相应的⊙C 半径CN 的取值范围.
(参考数据：cos53°≈0．6；sin53°≈0．8；tan74°≈3.5)
解：（1）∵AD//BC ,BO=AD ∴四边形AB0D 为平行四边形-------------------------------------------------------------------------1分 ∴AB//OD, ∠COD=∠ABO=53°，DO=AB=5
在Rt ?OCD 中，36.05cos =?=∠?=COD DO CO , BO=BC-CO=3.-----------------2分 在RtPOB 中，BO=PO, ∴BP=.6.353cos 20
=??BO -------------------------------------------3分
（2）不存在.---------------------------------------------------------------4分 如图,过A 点作AE ⊥BC 交BC 于E 点.若BP = MN ，则△BOP ≌△MON--------------------------------5分 ∴∠BOP=∠MON=180°- 2∠B = 74°
DC=AE=.453sin 0
=?AB -------------------------------------------------------------------------6分 在Rt ?OCD 中，7
874tan 0=
=
DC CO . BO=BC-CO=734
在△POB 中,BP=83.56.07
34253cos 20
≈??=??BO
因为AB=5,所以BP>AB.
又因为P 点在边AB 上，即BP ＜AB. 所以BP 与
MN
不
可
能
相
A B C
D O P
M N A B C D
（备用图） A
B C
D O P M N E
等.--------------------------------------------------------------------------- 8分
（3）当时，30< 7 0≤ 6．（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）(6分)如图，已知，四边形ABCD 为梯形，分别过点A 、D 作底边BC 的垂线，垂足分别为点E 、F ．四边形ADFE 是何种特殊的四边形？请写出你的理由． 答案：四边形ADFE 是矩形．…………1分 证明：因为四边形ABCD 为梯形，所以AD ∥EF ．……………………2分 因为AE 是底边BC 的垂线，所以∠AEF ＝90°．同理，∠DFE ＝90°． 所以，AE ∥DF ，……………………4分 所以，四边形ADFE 为平行四边形． 又因为∠AEF ＝90°，……………………6分 所以四边形ADFE 是矩形． 7、(2011海淀一模) 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=60°，∠ADC=105°，AD =6，且 AC ⊥AB ，求AB 的长． 考查内容: 答案：解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则∠AED =∠DEC =90°. ………….……………………1分 ∵ AC ⊥AB ， ∴ ∠BAC =90°. ∵ ∠B =60°, ∴ ∠ACB =30°. ∵ AD ∥BC ， ∴ ∠DAC =∠ACB =30°. ………….……………………2分 ∴ 在Rt △ADE 中，DE =1 2 AD =3，AE =2233AD DE -=，∠ADE =60°. ….………3分 ∵ ∠ADC=105°， ∴ ∠EDC =45°. ∴ 在Rt △CDE 中， CE =DE =3. …………….……………………………4分 F E D C B A A D C B A D C B E ∴ AC =AE +CE = 333+. ∴ 在Rt △ABC 中，AB =AC ?tan ∠ACB =3 (333)333 +? =+. …….……………………5分 B 组 梯形 一 选择题 1.(2011年白云区初中毕业班综合测试)选择题等腰梯形的一底角为６０°，两底之和为１１，下底比上底的２倍多２．则腰长为（＊） （Ａ）３ （Ｂ）５ （Ｃ）８ （Ｄ）９ 答案 B 2、(北京市西城区2011年初三一模试卷)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =60°， ∠B =30°， 若AD =CD =6，则AB 的长等于（ ）． A ．9 B ．12 C ．633+ D ．18 答案D 3.（2011路桥二中一模）如图1，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿折线B →C →D →A 运动，点P 运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P 运动的时间为x 秒，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图像如图2所示，则M 点的纵坐标为（ ▲ ） A ．16 B ．48 C ．24 D ．64 答案 B 4. (2011武汉样卷) 在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AB =BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE =15°，且AE =AD ，连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH .下列结论： ①△ACD ≌△ACE ；②△CDE 为等边三角形；③EH BE =2；④ S △EBC S △EHC =AH CH ． 其中结论正确的是（ ） A ．只有①② B ．只有①②④ C ．只有③④ D ．①②③④ 答案 A 二 解答题 1．（2011北京昌平区统一练习一） 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BD ⊥AD ，BC =CD ，∠A =60°，BC =2cm . (1)求∠CBD 的度数； (2)求下底AB 的长. C D Ｄ Ｃ Ｐ Ｂ Ａ 图1 A B C D E H 第12题 解：∵AD BD ⊥, ∴?=∠90ADB . ∵?=∠60A , ∴?=∠30ABD .………………………………1分 ∵AB ∥CD , ∴?=∠=∠30CBD ABD .……………………2分 ∵BC=CD, ∴?=∠=∠30CBD CDB . ……………………3分 ∴?=∠60ABC . ∴ABC A ∠=∠. ∴梯形ABCD 是等腰梯形. …………………4分 ∴AD=BC =2. 在中，?=∠90ADB ，?=∠30ABD ， ∴AB=2AD=4. ………………………………5分 2.(广州四中2011年初三第一次模拟测试)已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =； 答案 （2）若2AD DC ==，求AB 的长． 答案 （1）证明：90ABC DE AC ∠= °，⊥于点F ， ABC AFE ∴∠=∠． ·········· （1分） AC AE EAF CAB =∠=∠ ，， ABC AFE ∴△≌△ ·········· （2分） AB AF ∴=． ············ （3分） 连接AG ， ·············· （4分） AG AG AB AF == ，， Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． ······ （5分） BG FG ∴=． ············ （6分） （2）解：AD DC DF AC = ，⊥， 11 22 AF AC AE ∴= =． ························ （7分） 30E ∴∠=°． 30FAD E ∴∠=∠=°， ························ （8分） 3AF ∴=． ····························· （9分） 3AB AF ∴==． ·························· （10分） 3.（2011北京平谷区一模）．已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠A =90°，∠C =45°， BE ⊥DC 于E ，BC =5，AD :BC =2:5. 求ED 的长. 答案 解：作DF ⊥BC 于F,EG ⊥BC 于G. ……1分 ∵∠A =90°，AD ∥BC D C E B G A （2 题） F D C E B G A F E D A ∴ 四边形ABFD 是矩形. ∵ BC =5,AD :BC =2:5. ∴ AD=BF=2. ………………………………………..2分 ∴ FC=3. 在Rt △DFC 中， ∵ ∠C =45°， ∴ DC=23.…………………………………………3分 在Rt △BEC 中， ∴ EC = 2 2 5……………………………………………….……………………………....4分 ∴ DE =2 2 22523= -……………………………………………………………….5分 4.（2011重庆一模）．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90DBC ，BC =BD ，在AB 上截取 BE ,使BE =BC ，过点B 作AB BF ⊥于B ，交CD 于点F ．连接CE ，交BD 于点H ，交BF 于点G ． （1）求证：EH =CG ； （2）已知AD =3，BG =2，求AB 的长. 答案 证明：（1） ∵?=∠90DBC ∴?=∠+∠9031 ∵BF ⊥AB 于B ∴?=∠+∠9021 ∴32∠=∠ ∵EB =CB ∴54∠=∠ ∴EHB ?≌CGB ? ∴EH =CG （也可证明EBG ?≌CBH ?） (2)方法一：过点C 作BC 的垂线交BF 的延长线于M ∵BC AD // ∴?=∠=∠90DBC ADB ∵BC CM ⊥ ∴?=∠90MCB ∴ADC MCB ∠=∠ 又∵DB =BC 由（1）知32∠=∠ ∴ADB ?≌MCB ? ∴AB =BM AD=CM=3 由（1）知EHB ?≌CGB ? A D H E B G F C 7 65 4 321 M F G H E D C B A ∴BH =BG=2 ∴76∠=∠ ∵?=∠=∠90DBC BCM ∴CM DB // ∴MCG ∠=∠6,GMC ∠=∠7 ∴GMC MCG ∠=∠ ∴MG =MC =3 ∴BM =AB =5 梯形 一、选择题 1、（2011重庆市纂江县赶水镇）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，BD ⊥DC ， BD =DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ．下列结论： ①BH =DH ；②CH =(21)EH +；③ ENH EBH S EH S EC ??= ．其中正确的是（ ） Ａ．①②③ B ．只有②③ C ．只有② D ．只有③ 答案：B 2、（2011年北京四中四模）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AC 和BD 相交于点O ，则图中的全等三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对 答案：C 3、（2011年如皋市九年级期末考）已知等腰梯形的底角为45°，高为2，上底为2，则其面积为（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．12 答案：．C 4、(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 A B C D H N E （第7题） D A C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 答案：C 5（2011年浙江省杭州市模拟）如图， ，过 上到点 的距离分别为 的点作 的垂线与 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为 ．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 ( ) A.32 B.54 C.76 D.86 答案C 6.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3 B ．2∶3 C ．3∶2 D ．3∶3 答案：A 7．（2011杭州上城区一模） 梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（ ） A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案：B 8（2011广东南塘二模）.已知梯形中位线长为5cm ，面积为20cm 2 ，则高是 A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 答案:B 9. （2011湖北武汉调考模拟） 如图，在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=9O °，E 、F 是 BC 上两点，若AD=ED ，∠ADE=30°，∠FDC=15°，则下列结论：①∠AED=∠DFC;②BE=2CF；③AB- CF= 2 1 EF;④S ?OAF:S ?DEF =AF:EF 其中正确的结论是( ) A ．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④ 答案：C 10、（北京四中2011中考模拟14）在课外活动课上，教师让同学们作一个对角线完全垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为800平方米，则对角线所用的竹条至少需（ ） A 、402cm B 、40cm C 、 80cm D 、802cm 答案：B 二、填空题 1、（2011年北京四中五模）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，EF 为中位线，若AB ＝2b ，EF ＝a ，则阴影部分的面积 . 答案：ab 2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)如图，已知 梯 形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4， AB =33，则下底BC 的长为 __________． 答案：10 3、（2011年黄冈中考调研六）已知等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为5，腰AD 的长为4，则这个等腰梯形的周长为 ； 答案18 4.（2011灌南县新集中学一模）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为O ．若CD ＝3，AB ＝5，则AC 的长为 . 答案：42 5（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级期末自我评估卷第16题） 如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四 60° 30° D C B A （第4题图） C A B D O 边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，……，四边形P n M n N n N n+1的面积记为S n，则S n= ▲ 答案： 331 221 n n +? + 6、（2011深圳市三模）如图有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC ，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120?，则该零件另一腰AB的长是 m. 答案：5错误！未找到引用源。 三、解答题 1、（2011北京四中模拟6）等腰梯形一底的中点对边的两个端点的距离会相等吗？若相等， 请给出证明。若不相等，请说明理由. 答案会相等，画出图形， 写出已知、求证； 无论中点在上底或下底， 均可利用等腰梯形同一 底上的两底角相等和腰 相等加上中点定义，运 用“SAS”完成证明。 2、（2011淮北市第二次月考五校联考）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°， 动点P从点C出发，沿CD方向向D点运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向 终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究在BC边上是否存在点M，使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M并求出BM的长，若不存在，请说明理由。 答案（1）过点B作AE∥BC交CD于E，∠AED=∠C=∠D=60° ∴△ADE为等边三角形∴AD=DE=9-4=5 ………………4分 (2)过点Q作QF⊥CD于M点，如图，设DQ=CP=x，∠D=60°则 PD=9-x， QF= 2 3 x，S△PDQ = 2 1 PD×h=- 4 3 （x- 2 9 ）2+ 16 3 81 ………………7分 A B C P D Q A B C D 第6题图 又∵0≤x ≤5∴当x= 2 9 时，S △PDQ 最大值为16381 ………………9分 （3）如图，假设存在满足条件的点M ，则PD=DQ ，9-x=x,x=2 9 P 为CD 的中点，连结QP ， ∠D=60°则△PDQ 为等边三角形，过点Q 作QM ∥DC 交BC 于M ，点M 即为所求。连结MP ，则CP=PD=DQ=CM ，∠D=60°则△CPM 为等边三角形……12分 ∴∠D=∠3=60°∴MP ∥QD ∴四边形PDQM 为平行四边形又PD=PQ ∴四边形PDQM 为菱形，BM=BC-MC=5- 29=2 1 ………………14分 3、(2011浙江杭州模拟14) 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB =90°，AD =2DC =4，AB =6．动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点A 运动．当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当0.5t =时，求线段QM 的长； （2）点M 在线段AB 上运动时，是否可以使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形， 若可以，请直接写出t 的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由． （3）若△PCQ 的面积为y ，请求y 关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围； 答案： 解：（1）由Rt △AQM ∽Rt △CAD ． ……………………………………………2分 ∴CD AD AM QM =． 即4 0.52QM =，∴1QM =． …………………………………1分 （2）1t =或 5 3 或4． ……………………………………………3分 （3）当0＜t ＜2时，点P 在线段CD 上，设直线l 交CD 于点E 由（1）可得 CD AD AM QM = ． 即QM =2t ．∴QE =4-2t ．………………………2分 ∴S △PQC = 2 1 PC ·QE =t t 22+- ………………………………………………1分 E B D F A C 即t t y 22 +-= 当t ＞2时，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，交PQ 于点H . 4(2)6PA DA DP t t =-=--=-． 由题意得，4BF AB AF =-=． ∴ CF BF =． ∴45CBF ∠=?． ∴ 6QM MB t ==-． ∴QM PA =． ∴ 四边形AMQP 为矩形． ∴ PQ ∥AB ．CH ⊥PQ ，HF=AP =6- t ∴ CH=AD=HF = t-2 …………………………………………………………1分 ∴S △PQC =21PQ ·CH =t t -22 1 ………………………………………1分 即y = t t -2 2 1 综上所述 )20(22 ≤<+-=t t t y 或y = t t -2 2 1 ( 2 4. （2011年江苏盐都中考模拟）（本题8分）已知：如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线相交于点F ，连接AC 、BF ． (1)求证：AB=CF ； (2)若将梯形沿对角线AC 折叠恰好D 点与E 点重合,梯形ABCD 应满足什么条件,能使四边形ABFC 为菱形?并加以证明. （1）证△CEF ≌△BEA 即可.（4分） （2）当梯形ABCD 中∠D=90°时，能使四边形ABFC 为菱形，证明略.（4分） 5、（2011年北京四中中考模拟18）如图11，在ΔABC 中，AC ＝15，BC ＝18，sinC= 4 5 ，D 是AC 上一个动点（不运动至点A ，C),过D 作DE ∥BC ，交AB 于E ，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，连结 BD ，设 CD ＝x ． （1）用含x 的代数式分别表示DF 和BF ； （2）如果梯形EBFD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式； (3）如果△BDF 的面积为S 1，△BDE 的面积为S 2，那么x 为何值时，S 1＝2S 2 解：（1）在Rt △CDF 中，sinC ＝5 4 ，CD ＝x ， ∴DF ＝CD ? sinC ＝ 54x ，CF ＝x DF CD 5 322=- ∴BF ＝18－ x 5 3 。 （2）∵ED ∥BC ，∴ AC AD BC ED = ， ∴ED ＝x x AC AD BC 561815)15(18-=-?=? ∴S ＝21 ×DF ×（ED ＋BF ） ＝x x x x x 5 722518)53185618(54212+-=-+-?? （3）由S 1＝2S 2，得S 1＝3 2 S ∴21（18－x 53）?x 54＝)5 72 2518(322x x +- 解这个方程，得：x 1＝10，x 2＝0（不合题意，舍去） 所以，当x ＝10时，S 1＝2S 2 6．（2011年杭州三月月考）如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶AD=4m ，坝高AE=6 m ，斜坡AB 的坡比2:1=i ，∠C=60°，求斜坡AB 、CD 的长。 答案： 解：∵斜坡AB 的坡比2:1=i ， ∵AE ：BE=1:2，又AE=6 m ∴BE=12 m ∴AB=2 2 2 2 61261265+=+= （m ） 作DF ⊥BC 于F ，则得矩形AEFD ，有DF=AE=6 m ， ∵∠C=60° ∴CD=DF ·sin60°=33 m 答：斜坡AB 、CD 的长分别是65 m ，33 m 。 7（2011广东南塘二模）梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝4，BC ＝8，CD ＝97。 （1）请你在AB 边上找出一点P ，使它到C 、D 距离的和最小。 （不写作法，不用证明，保留作图痕迹） （2）求出（1）中PC ＋PD 的最小值。 （第7题） 答案：（1）略 （2）点D 关于AB 的对称点设为D ′，连D ′C 交AB 于P ，过D 作DF ⊥BC 于F ，求出AB ＝DF ＝9，由△D ′AP ∽△CBP ，可求得：PA ＝3，BP ＝6，∴PC ＋PD 最小值＝10＋5＝15。 A D C B E 2 :1=i D A B C 8．（本题满分8分）（安徽芜湖2011模拟）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD ，BD ⊥CD ． （1）求sin ∠DBC 的值； （2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积． 答案: 解：(1)∵AD=AB ∴∠ADB=∠ABD ∵AD∥CB ∴∠DBC= ∠ADB=∠ABD ……………（1分） ∵在梯形ABCD 中，AB=CD ，∴∠ABD+∠DBC=∠C =2∠DBC ∵BD⊥CD ∴3∠DBC=90o ∴∠DBC=30o ……（3分） ∴sin∠DBC=1 2 ……………………（4分） （2）过D 作DF ⊥BC 于F …………………………（5分） 在Rt △CDB 中，BD=BC ×cos ∠DBC=2 3 （cm ） …………………（6分） 在Rt △BDF 中，DF=BD ×sin ∠DBC= 3 （cm ） …………………（7分） ∴S 梯=12 (2+4)· 3 =3 3 （cm 2 ）………………………………………（8分） 9.（浙江杭州金山学校2011模拟）（ 14分）（根据历城市2011年中考第一次模拟考试数学试卷改编） 已知：直角梯形OABC 中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ．E ，连结AD 、BD 、BE 。 (1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形。 _____________________，______________________ 。 (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线2 23(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点。 ①写出顶点B 的坐标（用a 的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。 ③在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PN⊥x 轴于N ，使得△PAN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。 答案：（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB……………………………………………4分 （2）①（1，－4a ）…………………………………………………………1分 ②∵△OAD ∽△CDB ∴DC CB OA OD =…………………………………………………………1分 ∵ax 2 －2ax －3a=0，可得A （3，0）…………………………………2分 又OC=－4a ，OD=－3a ，CD=－a ，CB=1， ∴ 3 31a a -= - ∴12
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