7.7空间向量在立体几何中的应用

第七节 空间向量在立体几何中的应用

[备考方向要明了]

考

什 么

怎 么 考

1.理解直线的方向向量与平面的法向量．

2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．

4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

1.高考中很少考查直线的方向向量，而平面法

向量则多渗透在解答题中考查．

2.利用向量法证明有关线、面位置关系，在高考有所体现，如2012年陕西T18，可用向量法证明．

3.高考对空间向量及应用的考查，多以解答题形式考查，并且作为解答题的第二种方法考查，如2012年北京T16，天津T17等.

[归纳·知识整合]

1．两个重要向量 (1)直线的方向向量

直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

(2)平面的法向量

直线l ⊥平面α，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．

[探究] 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？

提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标． 2．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示 直线l 1，l 2的方向向

l 1∥l 2

n 1∥n 2?n 1＝λn 2

量分别为n 1，n 2. l 1⊥l 2 n 1⊥n 2?n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥α n ⊥m ?m ·n ＝0 l ⊥α n ∥m ?

n ＝λm 平面α、β的法向量分别为n ，m . α∥β n ∥m

?n ＝λm α⊥β

n ⊥m ?n ·m ＝0

3.两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b |

|a||b |

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

4．直线和平面所成的角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|n ·e |

|n||e|

.

5．求二面角的大小

(1)如图①，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小

θ＝〈AB ，CD

〉．

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．

[探究] 2.两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？

提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是????0，π

2；直线与平面所成角的范围是???

?0，π

2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别． 6．点到平面的距离的向量求法

如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则

点B 到平面α的距离d ＝|AB

·n |

|n |

.

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－1,2)，v 2＝(0,2,1)，则l 1与l 2的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．不确定

解析：选C ∵v 1·v 2＝1×0＋(－1)×2＋2×1＝0， ∴v 1⊥v 2，从而l 1⊥l 2.

2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ?α

D ．l 与α斜交

解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4) ∴n ＝－2a ，即a ∥n . ∴l ⊥α.

3．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α、β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：选C ∵n 1·n 2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．

4．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．

解析：cos 〈m ，n 〉＝

m ·n |m ||n |＝11×2＝2

2

， 即〈m ，n 〉＝45°，其补角为135°. ∴两平面所成的二面角为45°或135°. 答案：45°或135°

5．若平面α的一个法向量为n ＝(2,1,2)，直线l 的一个方向向量为a ＝(－1,1,1)，则l 与α所成的角的正弦值为________．

解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|＝|n ·a |

|n |·|a |

＝

|－1×2＋1×1＋1×2|

(－1)2

＋12

＋12

·22

＋12

＋2

2＝

3

9

.

答案：39

用向量法证明平行、垂直

[例1] 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E 、F 、E 1

分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．

(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

[自主解析] 以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设BC ＝1，

则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1????1，1

2，2. (1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )．

∵11C E ＝????1，－12，0，1FC ＝(－1,0,1)， ∴????? n ·11C E

＝0，n ·

1FC

＝0，即?????

x －12y ＝0，

－x ＋z ＝0. 取n ＝(1,2,1)．

∵CE ＝(1，－1,1)，n ·

CE

＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .

又∵CE ?平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .

(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，

由EF

＝(0,1,0)，FC ＝(－1,0，－1)，

∴???

m ·EF ＝0，m ·

FC

＝0，即?????

b ＝0，－a －

c ＝0. 取m ＝(－1,0,1)．

∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .

保持例题条件不变，求证：CF ⊥平面C 1EF .

证明：由例题可知，E (1,0,1)，F (1,1,1)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，

∴CF ＝(1,0,1)，1C F ＝(1,0，－1)，EF

＝(0,1,0)．

∴CF ·

1C F

＝1×1＋0×0＋1×(－1)＝0， CF ·EF ＝1×0＋0×1＋1×0＝0.

∴CF ⊥1C F ，CF ⊥EF

.

∴CF ⊥C 1F ，CF ⊥EF . ∵C 1F ∩EF ＝F ， ∴CF ⊥平面C 1EF . —————

——————————————

1.向量法证明空间平行或垂直的关键点

利用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上.

2.向量法证明线面平行的注意点

用向量法证线面平行可以证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法.

1．(2013·安徽师大附中模拟)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面

ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .

解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系A －xyz ，

则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )． ∵F 为CD 的中点， ∴F ???

?32a ，3

2a ，0.

(1)证明：AF ＝????32a ，3

2a ，0，

BE

＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，

∵AF ＝12

(BE ＋BC

)，AF ?平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .

(2)证明：∵AF ＝???

?32a ，3

2a ，0，

CD ＝(－a ，3a,0)，ED

＝(0,0，－2a )，

∴AF ·CD ＝0，AF ·ED

＝0，

∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED

.

又CD ∩DE ＝D ，

∴AF

⊥平面CDE ，

即AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .

利用空间向量求空间角

[例2] 如图，在长方体ABCD －A

1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1

＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.

(1)求二面角C －DE －C 1的正切值； (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．

[自主解析] (1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA

分别为x 轴，y 轴，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2)，

于是DE

＝(3，－3,0)，EC 1＝(1,3,2)，FD 1＝(－4,2,2)．

设n ＝(x ，y,2)为平面C 1DE 的法向量，

则有

?

????n ⊥DE n ⊥1EC ?

????

?3x －3y ＝0x ＋3y ＋2×2＝0?x ＝y ＝－1， ∴n ＝(－1，－1,2)，

∵向量1AA

＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，

∴n 与AA 1所成的角θ为二面角C －DE －C 1的平面角或其补角．

∵cos θ＝n ·1AA |n ||1AA |

＝－1×0－1×0＋2×21＋1＋4×0＋0＋4＝6

3，

由图知二面角C －DE －C 1的平面角为锐角， ∴tan θ＝

2

2

.

(2)设EC 1与FD 1所成的角为β，则

cos β＝?????

???1EC ·1FD |1EC

||1FD | ＝??

????

1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝

2114

. —————

——————————————

求平面的法向量的步骤

(1)设出法向量的坐标，一般设为n ＝(x ，y ，z )；

(2)建立方程组，即利用平面的法向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，建立关于x ，y ，z 的方程组．

(3)消元，通过加减消元，用一个未知数表示另两个未知数． (4)赋值确定平面的一个法向量．

2．(2012·新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1

2AA 1，D 是

棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .

(1)证明：DC 1⊥BC ；

(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小．

解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12

AA 1，可得DC 2

1＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC . 而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . BC ?平面BCD ，故DC 1⊥BC .

(2)由(1)知BC ⊥DC

1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．

以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，|CA

|为单位长，建立

如图所示的空间直角坐标系C －xyz .

由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)．

则1A D ＝(0,0，－1)，BD

＝(1，－1,1)，1DC ＝(－1,0,1)．

设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，

则?

????

n ·BD ＝0，n ·1A D ＝0，即????

?

x －y ＋z ＝0，z ＝0，

可取n ＝(1,1,0)．

同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，则?

????

m ·BD

＝0，

m ·1DC ＝0， 可取m ＝(1,2,1)．

从而cos n ，m ＝n·m

|n|·|m|＝32.

故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.

利用向量法求空间距离

[例3] 在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，如图所示，求点B 到平面CMN 的距离．

[自主解答] 取AC 的中点O ，连接OS 、OB . ∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥BO .

∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴SO ⊥平面ABC ，

又∵BO ?平面ABC ，∴SO ⊥BO .

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ， 则B (0,23，0)，C (－2,0,0)，S (0,0,22)， M (1，3，0)，N (0，3，2)．

∴CM ＝(3，3，0)，MN

＝(－1,0，2)， MB

＝(－1，3，0)．

设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，

则???

CM ·n ＝3x ＋3y ＝0，MN

·

n ＝－x ＋2z ＝0，取z ＝1， 则x ＝2，y ＝－6，∴n ＝(2，－6，1)． ∴点B 到平面CMN 的距离 d ＝

|n ·MB ||n |

＝

42

3

.

——————————————————— 求平面α外一点P 到平面α的距离的步骤

(1)求平面α的法向量n ；

(2)在平面α内取一点A ，确定向量PA

的坐标；

(3)代入公式d ＝

|n ·PA |

|n |求解．

3．已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2.求点B 到平面EFG 的距离．

解：如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .

由题意知B (4,0,0)，E (4,2,0)，F (2,4,0)，G (0,0,2)，

BE ＝(0,2,0)，GE ＝(4,2，－2)，EF

＝(－2,2,0)．

设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有

???

n ·GE ＝0，n ·

EF

＝0，即?????

2x ＋y －z ＝0，

－x ＋y ＝0， 令x ＝1，则y ＝1，z ＝3， ∴n ＝(1,1,3)．

点B 到平面GEF 的距离为

d ＝|||BE |·cos 〈BE ，n 〉＝|BE

·n ||n |

＝??

??

??(0，2，0)·

(1，1，3)11＝21111.

2种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法

①线线平行：证明两直线的方向向量共线．

②线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； b ．证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． ③面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量； b ．转化为线面平行、线线平行问题． (2)用向量证明垂直的方法

①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

3种角——利用向量法求三种角的问题

在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角．

(1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|.

(2)求直线l与平面α所成的角θ

可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sin θ＝|cos〈n，a〉|.

(3)求二面角α-l-β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．

1个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点

利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点.

答题模板——空间向量在立体几何中的应用

[典例](2012·安徽高考·满分12分)平面图形ABB1A1C1C如图①

所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝2，A1B1

＝A1C1＝5，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与

△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，

得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．

(1)证明：AA1⊥BC；

(2)求AA1的长；

(3)求二面角A-BC-A1的余弦值．

[快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息

观察条件：四边形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面

BB 1C 1C ――――――――――――――→取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1

连接DD

1

DD 1，B 1D 1，A 1D 1两两垂直． 2．审结论，明确解题方向 观察结论：

(1)证明：AA 1⊥BC ，(2)求AA 1的长，(3)求二面角A －BC －A 1的余弦值――――――――――――→需建立空间直角坐标系

正确写出相关点的坐标

转化为向量运算解决． 3．建联系，找解题突破口

D 1D ，D 1B 1，D 1A 1两两垂直，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝5

―――――――――――――→以D 1D ，D 1B 1，D 1A 1所在直线

分别为z 轴，x 轴，y 轴建立空间直角坐标系―――――→及相关向量

(1)证明1A A ·BC ＝0，(2)计算AA 1

＝|1AA

|，(3)求平面法向量的夹角―→得相应结论．

[准确规范答题]

(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD . 由BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1. 因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1， 所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.?(1分)

又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.?(2分)

故以D 1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D 1－xyz .?(3分) 由题设， 可得A 1D 1＝2，AD ＝1.

由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ， 于是AD ∥A 1D 1.?(4分)

所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0，4)，

故1AA ＝(0,3，－4)，BC ＝(－2,0,0)，1AA ·

BC

＝0，?(5分) 因此1AA ⊥BC

，即AA 1⊥BC .?(6分)

(2)因为1AA

＝(0,3，－4)，

所以|1AA

|＝5，即AA 1＝5.?(8分) (3)设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

又因为1AC ＝(－1，－2,4)，1A B

＝(1，－2,4)，?(9分) 所以?????

1AC

·n 1＝0， 1A B ·

n 1＝0，?(10分)

即????? x 1＋2y 1－4z 1＝0，x 1－2y 1＋4z 1＝0??????

x 1＝0，

y 1＝2z 1.

坐标系建立不当，不能准确地推证AD ∥A 1D 1，导致点A 的坐标求错.

求出cos 〈n 1，n 2〉＝55

后，不判断二面角大小直接得出结论从而失误.

令z 1＝1，则n 1＝(0,2,1)．

又因为平面ABC ⊥z 轴，所以取平面ABC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝

n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15＝5

5

，?(11分) 所以二面角A －BC －A 1的余弦值为－

5

5

.?(12分) [答题模板速成]

利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：

第一步 理清题意

利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系

?

第二步 确定相关点的

坐标 结合建

系过程与图形，准确地写出相关

点的坐

标

?

第三步 确立平面的法向量

利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量

?

第四步 转化为向量运

算 将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，

求解

?

第五步 问题还原

结合条件与图形，作出结论(注意角的范围)

?

第六步 反思回顾

回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结

论

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.

不注意条件“z 轴⊥平面ABC ”的应用，增大运算量.

(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；

(2)设E 为BC 的中点，求AE 与DB

夹角的余弦值．

解：(1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD ?平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .

(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝

1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA

的方向为x ，y ，z 轴的正方

向建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E ????12，32，0，

∴AE ＝????12，32，－3，DB

＝(1,0,0)，

∴AE 与DB 夹角的余弦值为cos 〈AE ，DB 〉＝AE ·DB | AE

|·|DB |

＝1

21×

224

＝2222

. 2．(2013·孝感模拟)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．

(1)求证：P A ⊥EF ；

(2)求二面角D －FG －E 的余弦值．

解：(1)证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则D (0,0,0)，A (0,2,0)，C (－2,0,0)，P (0,0,2)，E (－1,0，1)，F (0,0,1)，G (－2,1,0)．

(1)∵PA ＝(0,2，－2)，EF

＝(1,0,0)， ∴PA ·EF ＝0，

∴P A ⊥EF .

(2)易知DF

＝(0,0,1)，FG ＝(－2,1，－1)．

设平面DFG 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，

则???

m ·DF ＝0，m ·

FG

＝0，即?????

z 1＝0，－2x 1＋y 1－z 1＝0. 令x 1＝1，得m ＝(1,2,0)是平面DFG 的一个法向量． 同理可得n ＝(0,1,1)是平面EFG 的一个法向量， ∴cos 〈m ，n 〉＝

m ·n |m |·|n |＝25×2

＝105， 由图可知二面角D －FG －E 为钝角， ∴二面角D －FG －E 的余弦值为－

10

5

. 3.如图，在正三棱柱ABC －A

1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1

的中点，点E 在A 1C 1上且DE ⊥AE .

(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1； (2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．

解：(1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又DE ?平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.

而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ?平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.

(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐

标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D ??

?

?32，－12，2.

易知AB

＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，

AD ＝???

?32，1

2，2.

设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有

?????

n ·

AB ＝3x ＋y ＝0，n ·

1AC

＝2y ＋2z ＝0. 解得x ＝－

3

3

y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)． 所以，cos 〈n ，AD 〉＝

n ·AD

|n |·|AD |

＝2310×3＝105. 由此即知，直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为

10

5

.

4．(2012·江西高考)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已

知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O .

(1)证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； (2)求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值．

解：(1)证明：连接AO ，在△AOA 1中，作OE ⊥AA 1于点E ，因为AA 1∥BB 1，所以OE ⊥BB 1.

因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .

因为AB ＝AC ，OB ＝OC ，得AO ⊥BC ，所以BC ⊥平面AA 1O ，所以BC ⊥OE ，所以OE ⊥平面BB 1C 1C ，又AO ＝AB 2－BO 2＝1，AA 1＝5，

得AE ＝AO 2AA 1＝5

5

.

(2)如图，分别以OA ，OB ，OA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，

由AE ＝15

1AA 得点E 的坐标是????45，0，2

5， 由(1)得平面BB 1C 1C 的法向量是OE ＝????45

，0，2

5， 设平面A 1B 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，

由?????

n ·AB

＝0，n ·

1AC ＝0，得?????

－x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.

令y ＝1，得x ＝2，z ＝－1，即n ＝(2,1，－1)，

所以cos 〈OE ，n 〉＝OE

·n | OE |·|n |

＝30

10，

即平面BB 1C 1C 与平面A 1B 1C 的夹角的余弦值是

30

10

.

5．如图所示，在多面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上，下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .

(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值； (2)已知F 是AD 的中点， 求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1；

(3)在(2)的条件下，求二面角F －CC 1－B 的余弦值．

解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD

1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a,0,0)，B (2a,2a,0)，C (0,2a,0)，D 1(0,0，a )，F (a,0,0)，B 1(a ，a ，a )，C 1(0，a ，a )．

(1)∵1AB ＝(－a ，a ，a )，1DD

＝(0,0，a )，

∴|cos 〈1AB ，1DD 〉|＝?????

???1AB ·1DD | 1AB |·|1DD ＝33， 所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为

3

3

. (2)∵1BB ＝(－a ，－a ，a )，BC

＝(－2a,0,0)，1FB ＝(0，a ，a )， ∴?????

1FB ·1BB ＝0， 1FB ·

BC

＝0，∴FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC . ∵BB 1∩BC ＝B ，∴FB 1⊥平面BCC 1B .

(3)由(2)知，1FB

为平面BCC 1B 1的一个法向量．

设n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面FCC 1的法向量，

∵1CC ＝(0，－a ，a )，FC

＝(－a,2a,0)， ∴?????

n ·1CC ＝0，n ·

FC ＝0，得?????

－ay 1＋az 1＝0，－ax 1＋2ay 1＝0. 令y 1＝1，则x 1＝2，z 1＝1，∴n ＝(2,1,1)，

∴cos 〈1FB ，n 〉＝1FB

·n | 1FB |·|n|＝3

3

，

即二面角F －CC 1－B 的余弦值为

3

3

. 6．(2013·聊城模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为

菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．

(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；

(2)设点M 在线段PC 上，PM MC ＝1

2

，求证：P A ∥平面MQB ；

(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M －BQ －C 的大小．

解：(1)连接BD ，四边形ABCD 菱形， ∵∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形， 又Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ .

∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，

AD ⊥PQ ， 又BQ ∩PQ ＝Q ，

∴AD ⊥平面PQB ，AD ?平面P AD . ∴平面PQB ⊥平面P AD .

(2)连接AC 交BQ 于点N ，如图(1)： 由AQ ∥BC 可得， △ANQ ∽△CNB ， ∴AQ BC ＝AN NC ＝12.

又PM MC ＝12， ∴

PM MC ＝AN NC ＝12

. ∴P A ∥MN .

∵MN ?平面MQB ，P A ?平面MQB ， 图(1) ∴P A ∥平面MQB .

(3)由P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，

∴PQ ⊥平面ABCD .

以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图(2)所示的坐标系，则各点坐标为A (1,0,0)，B (0，3，0)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)．

设平面MQB 的法向量n ＝(x ，y,1)，可得 图(2)

?

????

n ·

QB ＝0，n ·MN

＝0. ∵P A ∥MN ，

∴?

????

n ·QB ＝0，n ·PA ＝0. 解得n ＝(3，0,1)．

取平面ABCD 的法向量m ＝(0,0,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12

.

故二面角M －BQ －C 的大小为60°.

7．(2012·福建高考)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．

(1)求证：B 1E ⊥AD 1；

(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；

(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．

解：(1)证明：以A 为原点，AB ，AD ，1AA

的方向分别为x

轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则

A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ????a 2，1，0，

B 1(a ，0,1)，故1AD ＝

(0,1,1)，1B E ＝????－a 2，1，－1，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝????a 2，1，0.

∵1AD ·

1B E ＝－a

2×0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.

(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，

使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP

＝(0，－1，z 0)．

又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．

∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得?????

ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，则y ＝－a

2

，z ＝－a ，

得平面B 1AE 的一个法向量n ＝???

?1，－a

2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝1

2

.

又DP ?平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝1

2

.

(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，

∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD

＝(0,1,1)． 设1AD

与n 所成的角为θ，

则cos θ＝n ·1AD |n ||1AD |＝－a

2

－a 2· 1＋a 2

4

＋a 2 . ∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，

∴|cos θ|＝cos 30°，即

3a

22·

1＋

5a 2

4

＝

32

， 解得a ＝2，即AB 的长为2.

1．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．

(1)求证：CE ⊥A ′D ；

(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．

解：(1)设CA ＝a ，CB ＝b ，CC '

＝c ，

根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，

∴CE ＝b ＋12c ，A D ' ＝－c ＋12b －12a .

∴CE ·A D ' ＝－12c 2＋1

2b 2＝0. ∴CE ⊥A D '

，即CE ⊥A ′D . (2)AC ' ＝－a ＋c ，CE ＝b ＋12c ，

∴|AC ' |＝2|a |，|CE |＝52

|a |.

AC ' ·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12

|a |2，

∴cos 〈AC ' ，CE 〉＝

1

2

|a |2

2·52

|a |2

＝

1010

. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为

1010

. 2．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .

(1)证明：P A ⊥BD ；

(2)设PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值． 解：(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ， 由余弦定理得BD ＝3AD . 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD . 所以BD ⊥平面P AD .故P A ⊥BD .

(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．

AB ＝(－1，3，0)，PB

＝(0，3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．

设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???

n ·AB ＝0，

n ·

PB

＝0， 即???

－x ＋3y ＝0，

3y －z ＝0，

因此可取n ＝(3，1，3)．

设平面PBC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则???

m ·PB ＝0，

m ·

BC

＝0， ∴??

?

3y 1－z 1＝0，

－x 1＝0，

可取m ＝(0，－1，－3)，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－27

7.

故二面角A －PB －C 的余弦值为－27

7

.

3．(2013·武汉模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°.

(1)若异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，求棱柱的高；

(2)设D 是BB 1的中点，DC 1与平面A 1BC 1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sin θ的最大值．

解：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，设AA 1＝h (h >0)，则有

B (1,0,0)，B 1(1,0，h )，

C 1(0,1，h )，A 1(0,0，h )，11B C ＝(－1,1,0)，11A C ＝

(0,1,0)，1A B

＝(1,0，－h )．

(1)因为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角为60°，所以

cos 60°＝

|11B C ·1A B

||11B C |·|1A B |

， 即

12·h 2

＋1＝1

2

，得1＋h 2＝2，解得h ＝1. (2)由D 是BB 1的中点，得D ????1，0，h 2，于是1DC ＝?

???－1，1，h 2.

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （2）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> ；②0a b a b ⊥??= ；③2||a a a =? ． （3）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；②a b b a ?=? （交换律）；③()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）。

4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++ ，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++= ； ||a == ||b == ． 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? ．

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．

N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

空间向量与立体几何知识总结

已知两异面直线 b a,，,,, A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 （2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 或 （3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中，AB=4，AD=6，，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点， 求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 （1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 （3）二面角的求法：①AB，CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

空间向量与立体几何教案(强烈推荐)

空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处

理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离

设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。

立体几何空间向量练习

立体几何空间向量练习 1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF的长 （2）证明：EF∥平面AA1D1D； （3）证明：EF⊥平面A1CD． 2．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A 1B与C1D所成角的余弦值； （2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的 角）的余弦值．

3．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设P A＝1，AD＝2． （1）求平面BPC的法向量； （2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值． 4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知 BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5． （1）求直线A1C和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面A1MC的距离．

5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为， 求直线P A与平面EAC所成角的正弦值． 6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点． （1）证明：AB1∥平面BC1D； （2）证明：BD⊥平面AA1C1C； （3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．

7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝， 求PB与平面QCD所成角的正弦值． 8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E； （Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．

2018高考_空间向量与立体几何(理科)

第14讲 空间向量与立体几何 知识要点 一．空间向量 1. 空间向量的概念：在空间.我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样.空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 b a AB OA OB +=+=； b a OB OA BA -=-=; 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合.那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量.a 平行于b .记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ）.a //b 存在实数λ.使a ＝λb 。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=> AC AB λ= <=>OB y OA x OC += (1=+y x 其中） （4）与a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地.能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线.p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=> )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面.那么对空间任一向量p .存在一个唯一的有序 实数组 ,,x y z .使p xa yb zc =++。 若三向量 ,,a b c 不共面.我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底.,,a b c 叫做基向量.空间任意三 个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点.则对空间任一点P .都存在唯一的三个有序实数 ,,x y z .使 OC z OB y OA x OP ++=。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz - 中.对空间任一点A .存在唯一的有序实数组 (,,)x y z .zk yi xi OA ++=.有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中 的坐标.记作(,,)A x y z .x 叫横坐标.y 叫纵坐标.z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称.什么坐标不变.其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直.且长为1.这个基底叫单位正交基底.用 {,,}i j k 表示。 空间中任一向量 k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =.123(,,)b b b b =.则112 233(,,)a b a b a b a b +=+++.

空间向量与立体几何知识点归纳总结

空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：

空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案

空间向量在立体几何中的应用 【考纲说明】 1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题； 2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题； 3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力； 【知识梳理】 一、空间向量的运算 1、向量的几何运算 （1）向量的数量积： 已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ； ② ； ③ ． （2）向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 2、向量的坐标运算 （1）若 ， ，则 ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若 ， ，则 ， ， ， ； ， ． （3）夹角公式：

（4）两点间的距离公式：若，，则 二、空间向量在立体几何中的应用 2.利用空间向量证明平行问题 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 3.利用空间向量证明垂直问题 对于垂直问题，一般是利用进行证明； 4.利用空间向量求角度 （1）线线角的求法： 设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[00,900]）（2）线面角的求法： 设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为 （3）二面角的求法： 设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图） 5.利用空间向量求距离 （1）平面的法向量的求法： 设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

空间向量与立体几何知识点学生

用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量． （4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos ,a b a b a b ?<>= ?， 但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π?? ? ??， 故实质上应有：cos cos ,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin θ＝| cos φ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补． 7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量；