当前位置：文档库 › § 3 微分中值定理与导数的应用习题

§ 3 微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用

（A ）

1．函数12-=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。

2、若()3x x f =在[]2,1上满足拉格朗日中值定理，则在()2,1内存在的ξ=________。 3．1)(2-+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间???

?65,6ππ上的正确性。

6．验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间[]1,0上的正确性。

7．对函数x x f sin )(=及()x x x F cos +=在区间??

???2,0π上验证柯西中值定理的正确性。

8．试证明对函数r qx px y ++=2

应用拉格朗日中值定理时的求得的点ξ总是位于区间的正中间。

9．证明下列不得等式：

⑴y x y x -≤-arctan arctan ⑵当x e e x x

?>>时，1

⑶当b

a b a a b a b a -<<->>ln 0时，

10．用洛必达法则求下列极限：

⑴()x x x +→1ln lim 0 ⑵x

e e x

x x sin lim 0-→-

⑶a

x a x a x --→sin sin lim ⑷x

x x 1arctan

11ln lim ?

?? ??++∞→ ⑸x

x x

-→111

lim ⑹)1(cot lim 0

x x -

→

⑺x

x x 10

)(cos lim → ⑻)1(lim 2

x x x x -+?+∞

→

⑼x x x x x x sin cos sin lim 20-→ ⑽??

? ??--→121

lim 20x x e x

⑾()??? ??-=→2tan 1lim 1x x x π ⑿x

x x tan 01lim ??

??+

→

11．确定下列函数的单调区间。

⑴7186223---=x x x y ⑵()082>+=x x

x y

⑶x

x x y 694102

3+-=

⑷()

1ln x x y ++=

12.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：

⑴5352

++-=x x x y ⑵x

xe y -=

⑶()x e x y ++=4

1 ⑷()

1ln 2+=x y

13．利用函数的单调性证明下列不等式： ⑴当0>x 时，x x +>+12

⑵当0>x 时，()

2211ln 1x x x x +>+++

⑶当2

0π

1tan x x x +

14．列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。

⑴()2

x x f += ⑵()2

221x e

x f -

=π

15．求a,b 为何值时，点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点？

16．求下列函数的极值：

⑴()x x y +-=1ln ⑵x x y -+=1

⑶x

x y 1= ⑷x x y tan +=

17．求下列函数的最大值，最小值。

⑴2

332x x y -=，41≤≤-x

⑵2824+-=x x y ，31≤≤-x

⑶x x y -+=1，15≤≤-x

18．要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

19．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为52

m ，问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小。

20．一炮艇停泊在距海岸9公里处，派人送信给设在海岸线上距该艇343公里的司令部，若派人步行速率为5公里/小时，划船速率为4公里/小时，问他在何处上岸到达司令部的时间最短。

21．将长L 为的铁丝分成两段，一段绕成一个圆形，另一段绕成一个正方形，要使两者面积之和最小，应如何分法。

22．用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在长向正中用一堵墙将其隔成两块，问这块地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建材最省？

23．求抛物线342+-=x x y 在其顶点处的曲率及曲率半径。

（B ）

1．若函数()x f 在（a,b ）内具有二阶导数，且()()()321x f x f x f ==，其中

b x x x a <<<<321,证明：在()31,x x 内至少有一点ζ，使得()0''=ζf

2．证明方程015

=-+x x 只有一个正根。

3．设()()x g x f ,在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明()b a ,在内有一点ζ，使

()()()()()()()

()()

ζζ'

'g a g f a f a b b g a g b f a f -=

4．设()k x f

x =∞

→'

lim ，求()()[]x f a x f x -+∞

→lim

5．证明：若函数()x f 在()+∞∞-,内满足()()x f x f ='，且()10=f ，则()x e x f =

6．讨论函数()()???????≤>????

??+=-0,0,12

1x e

x e x x f x x ，在0=x 处的连续性。

7． nx

x n x x x n a a a ???

?????+++∞→1

1211.......lim （其中)0........,21>n a a a

8．确定函数的单调区间。 ⑴()0,0≥>=-x n e

x y x

n ⑵()()322x a a x y --= ()0>a

9．求函数图形的凹或凸区间及拐点：

⑴x e y arctan = ⑵()7ln 124-=x x y 10．证明下列不等式： ⑴当2

0π

⑵当4>x 时，2

2x x >

⑶当2

021π

12tan tan x x x x > 11．利用函数的凹凸性，证明下列不等式：

⑴()

()1,,0,0221>≠>>??

? ??+>+n y x y x y x y x n

n n

⑵

()y x e e e y x y

x ≠>++2

⑶()()y x y x y x y x y y x x ≠>>++>+,0,02

ln ln ln

（C ）

1．设()()00,0'

，证明对任何0,021>>x x 有

()()()2121x f x f x x f +<+

2．设函数()x f 在0=x 的某领域内具有一阶连续导数。且()()00,00'≠≠f f ，若

()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。

3．证明：当0>x 时，()

()2

21ln 1-≥-x x x

4．设()x f 在[]1,0上具有二阶导数，且满足条件()()b x f

a x f ≤≤'

',，其中b a ,都是非负

常数，c 是()1,0内任意一点。证明()2

b a

c f +

≤ 5．利用泰勒公式求极限()

4343

23lim

x x x x

x --++∞

→

6．设()0'

'x f

存在，证明()()()

()0''2

0000

2lim

x f h

x f h x f h x f h =--++→ 7．设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()0'

≠x f ，试证存在()b a ,,∈ηζ，

使()()

ηηζ-?--=e a b e e f f a b ''

8．假设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，并且

()()()()()0,0''====≠b g a g b f a f x g ,试证：

⑴在()b a ,内()0≠x g

⑵在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()()

ζζζζ'

'''g f g f =

第三章微分中值定理和导数的应用

习题答案

（Ａ）

１、0 ２、

３、０４、12ln 1- 10、１）１２）２３）αcos ４）１

５）

e 1 ６）０７）１８）21

９）31 10）1 11）π

12）e

11、 1）在),3[],1,(+∞--∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。

2）在]2,0(内单调递减，在),2[+∞内单调递增。

3）在),1[],21

,0(),0,(+∞-∞内单调递减，在]1,2

1[内单调递增。 4）在),(+∞-∞内单调递增。 12、1）拐点)2720,

35(，在]35,(-∞内凸，在),35

[+∞内凹。 2）拐点)2

,2(2e

，在]2,(-∞内凸，在),2[+∞内凹。

3）没有拐点，处处是凹的。

4）拐点)2ln ,1(),2ln ,1(-，在),1[],1,(+∞--∞内凸，在]1,1[-上是凹。

15、29,23=-

=b a 16、8

2±=k 17、1）极小值0)0(=y ， 2）极大值4

5)43(=

y 3）极大值e

e e y 1

)(= 4）没有极值 18、1）最大值80)4(=y ，最小值5)1(-=-y

2）最大值11)3(=y ，最小值14)2(-=y

3）最大值25.1)4

3(=y ，最小值65)5(+-=-y

19、1:1:,22,233

===h d v h v r ππ 20、底宽

+440

米

21、3=x 22、一段为

ππ+1L 作圆，π

+1L

作正方形 23、长为18米，宽为12米 25、5.0,2==ρK

（Ｂ）

１、先分别在],[],,[3221x x x x 上用罗尔定理有0)(,0)(21='='ξξf f ，再在],[21ξξ上对函

数)(x f '用罗尔定理，得证。

２、先用零点定理证明在]1,0[上存在正根，再用罗尔定理证明唯一性。

３、设函数)

()()

()

()(x g a g x f a f x F =

，在],[b a 上拉格朗日中值定理。４、由拉格朗日中值定理，原式ka a f x =?'=∞

→)(lim ξ ５、即是要证明

1)(=x e x f ，设x

x f x F )

()(=，由已知易得0)(='x F ，则c x F =)(，再用已知1)0(=f ，即可证明。

６、令21

00011

)0()(lim lim ,21ln lim ,)

1(--→+→+→===∴-=????

????

+=e f x f y y e x y x x x x

，0=∴x 处连

续。

７、设nx

n x x n

a a a y ????

??????+++=1

11211 ，则)ln(ln lim 21n x a a a y =∞→，

n a a a 21原式＝∴。８、１）定义域为),0[+∞，得驻点n x x ==21,0，易讨论在],0[n 单调递增，在),[+∞n 单

调递减。

２）可用对数法求导，解得驻点a x 321=

，和不可导点2

,32a

x a x ==，再分区间讨论。９、１）2

2arctan )1()

21(x x e y x +-=''，令0=''y 得21=x ，再分区间讨论，拐点是),21(21

arctan e 。

２）)0(ln 1442

>=''x x x y ，令0=''y 得1(021==x x 舍去），，再分区间讨论，

拐点是)7,1(-。

10、１）令,2tan sin )(x x x x f -+=

,0(,0)(,2sec cos )(2π

∈>''-+='x x f x x f ，

)(x f '∴单调递增，)(,0)0()(x f f x f ∴='>'∴单调递增，即可得证。

２）0,022>>x x 两边取对数，改证：x x ln 22ln >，令x x x f ln 22ln )(-=，又

0)4(=f ，利用单调性即可得证。

３）令x

x f tan )(=

，利用单调性即可证明。 11、1)令∴>''+∞∈=,0)(),,0(,)(t f t t t f u 凹。即可证明 2)令t e t f =)(

3) 令)0(ln )(>=t t t t f 12、可解得驻点为e x 1=

，因此需讨论e

x 1

=与0=x 两点，极大值 2)0(=f ，极小值e e e

f 3

(-=

13、方程两边对x 求导，得∴--=

',22x

y x

y y 分成x y x y 21,2==两种情况代

入椭圆方程讨论，纵坐标最大点为)2,1(，最小点为()2,1--。

14、令)0(,)(>=x x x f x ，用增、减性讨论得33是}{n n 的最大项。

（C ）

1、证明：不妨设210x x ≤<由拉格朗日中值定理有：

()()()1'110ζf x f x f =- ()110x <<ζ

()()()2'1221ζf x x f x x f =-+ ()2122x x x +<<ζ 21ζζ< ，又()()x f x f '''0∴<单减，故()()1'2'ζζf f < ()()()()0,012211f x f x f x x f x -<-+∴>

再由()00=f 证毕。

2、解：由题意()()()0

02lim

=-+→h

f h bf h af o h ⑴

则 ()()()[]()()00102lim 0

=-+=-+→f b a f h bf h af h

即1=+b a 又对⑴式用洛必塔法则

()()()()0021

22lim '''=+=+→f b a h bf h af o h 1,202-===+∴b a b a 则

3、证明：令()1

ln +--

=x x x x ?，有 ()()()

011

1212

22'

>++=+-=x x x x x x ? （当0>x ）所以()x ?单增，又：()01=?

∴当()010<<+∞<

于是当0>x 时，()

()x x ?12-=()

()01ln 12

2≥---x x x ，证毕

4、证明：将()c x x f =在处展为一阶泰勒展式：

()()()()()()!

'''

c x f c x c f c f x f -+

-+=ζ ()()()()()()!

20002

1'''

c f c c f c f f -+

-+=∴ζ ()()()()()()!

21112

2'''

c f c c f c f f -+-+=ζ

两式相减得：()()()()()()[]

21''2

2'''

2101c f c f c f f f ζζ--+

=- ()=∴c f '()()()()()[]

21''2

2''1!

2101c f c f f f ζζ---

- ≤()()()()()[]

21''2

2''1!2101c f c f f f ζζ+-+

+ ≤()[]

12c c b a a +-++≤2

2b a +

5、解：令t x 1=，则原式=t

t t 4302131lim --++→

令()=

t g 4

2131t t --+，()()

()433

212

31---++=t t t g 由泰勒公式()()()()t o t g g t g ++=00'

()()t o t t g +=∴23 2

3))

(23

lim )(lim 00=+=∴+→+→t t o t t t g t t

6、证明：左边=()()

h x f h x f h 2lim 0'0'0--+→

=()()()()

h x f x f x f h x f h 2lim 0'0'0'0'0--+-+→

=()()()()??

????

--+-+→→h h x f x f h x f h x f h h 0'0'00'0'0lim lim 21 =

()()[]

0''0'

1x f x f + =()0''x f 证毕 7、证明：设()x e x g =，易知()x f 和()x g 在[]b a ,上满足柯西中值定理条件

()b a ,∈∴η存在使()()()a

b e e a f b f e f --=ηη' 又由拉格朗日中值定理，存在()b a ,∈ζ 使()()()()a b f

a f

b f -=-ζ'

()b a ,,∈?∴ηζ

使()()

ηζ---=e a b e e f f a b ''

8、证明：⑴用反证法，若存在点()b a c ,∈，使()0=c g ，则对()x g 在[]c a ,和[]b c ,上分别用罗尔定理。存在()c a ,1∈ζ和2ζ()b c ,∈使()()02'1'

==ζζg g

，再对()x g '在

[]21,ζζ上用罗尔定理，知()213,ζζζ∈?，使()03''=ζg 。与题设矛盾。

⑵令()()()()()x g x f x g x f x '

-=?

易知()()()[]b a x b a ,,0在对???==上用罗尔定理即得()()()()0'''

'=-ζζζζg f g f

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

第三章微分中值定理与导数应用教案教学设计

第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理 1. 罗尔定理几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0

根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形：（1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性解显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。