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长沙市长郡教育集团2020—2021学年初三下期中考试数学试卷

长沙市长郡教育集团2020—2021学年

初三下期中考试数学试卷

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确的选项，请把正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上．

1． 31-的倒数是 ( ) A ．3 B ．－3 C ．31-

D ．31 2．下列运算正确的是( ).

A.532a a a =+

B.632a a a =?

C. 6

328)2(a a -=- D ． 248a a a =÷ 3.南海资源丰富,其面积约为350万平方千米,相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍.其中350万用科学记数法表示为 ( )

A. 3.6510?

B.3.7510?

C. 0.83510?

D.3.9510?

4. 连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为那个几何图形的直径，依照此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）

A ．

B ．

C ．

D ． 5. 不等式组??

?≥+->-2142x x 的解集在数轴上表示为（）

A B C D

6．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）

A ．

B ．

C ．

D ． 7．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A .当A

B =B

C 时，它是菱形 B .当AC ⊥B

D 时，它是菱形

C .当∠ABC =90°时，它是矩形

D .当AC =BD 时，它是正方形

圆柱正方体圆锥球

122121

8. A 、B 两地相距10千米,甲、乙二人同时从A 地动身去B 地,甲的速度是乙的速度的2倍,结果甲比乙早到13小时.设乙的速度为x 千米/时,则可列方程为 ( ) A.1010123x x -= B. 1010123x x -= C. 101123x x += D. 1011032x x += 9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若

tan ∠DBA =5

1，则AD 的长为( ) A ． 2 B.3 C.2 D.1

10．给出四个命题：

①正八边形的每个内角差不多上135°；

②半径为1cm 和3cm 的两圆内切，则圆心距为4cm ；

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°；

④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2－7x ＋12=0的两个根，则它外接

圆的半径长为2.5

以上命题正确的有（）

A ．1个

B ．2个

C ． 3个

D ．4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.假如﹣2+△=﹣8，则“△”表示的数应是．

12.一元二次方程0)1(=-x x 的解是．

13.因式分解：3a 2

﹣3= ．

14．函数13++=x x y 的自变量x 的取值范畴是． 15.新概念：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程 11x -+1m

=1的解为． 16．如图，在正方形网格中，∠AOB 的正切值是

17．如图，折叠一张矩形纸片，使它的一个顶点落在长边上，若β=110°，求α= 度．

18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落

在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③EFOG DOG S S 四边形=?；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG 。其中一定正确的是

三、解答题

19、运算：?+??? ??--+--30tan 3312014231

0 20、先化简,再求值：2

22344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ．

21、长沙市某实验中学为了解学生最喜爱的球类运动，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜爱的球类），请你依照图中提供的信息解答下列问题：

（1）求这次同意调查的学生人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中喜爱排球的圆心角度数；

（3）若调查到爱好“乒乓球”的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求出刚好抽到一男一女的概率．

22、如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线一点，过点A 作BE 的平行线与线段ED 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．

（1）求证：AF=CE ；

（2）假如AC=EF ，且∠ACB=135°，试判定四边形AFCE

是什么样的四边形，并证明你的结论．

23、如图在Rt △ABC 中90A ,∠=,AB=AC,E,D 分别是BC,AC 上的点,且45AED ∠=.

(1)求证:△ABE ∽△ECD.

(2)若42AB BE =,=,求AD 的长及△ADE 的面积.

(3)当BC=4,在BC 上是否存在点E,使得△ADE 为等腰三角形?若存在,要求出EC 的长;若不存在,请说明理由.

24、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

25．长沙黄花国际机场是中南地区三大航空枢纽之一，也是国家大型枢纽机场，2020年旅客吞吐量超过1600万人次．南方航空公司有一个航班每天从长沙飞往北京，从2020年1月21日开始，每天该航班乘坐人数y（人）与天数x（天）（1≤x≤10，且为整数）之间有如下表格关系：

x 1 2 3 4 …

y 210 200 190 180 …

每天航班乘坐人数y与天数x（11≤x≤15，且为整数）有如下图象关系：

（1）请依照表格和图象直截了当写出y与x之间的关系式．

（2）航班的机票价格包括了机场建设费和燃油附加费．其中国内航线的机场建设费是每人50元，出境国际航班的机场建设费是每人90元．从长沙飞往北京的那个航班，由于乘机人数的变化．机票价格也随之发生改变，在春节前10天（1≤x≤10），每张机票价格m（元）与人数y（人）有如下关系：m=-5y+1450；春节后5天（11≤x≤15），每张机票价格n（元）与人数y（人）有如下关系：n=y+1290．试求出当x取第几天时，航空公司的总收入最大？（航空公司每张机票收入=机票价格-机场建设费）

（3）到第16天，由于迎来春节放假返程高峰，在每张机票价格与第（2）问中最大收益当天机票价格相同的情形下，乘机人数却比这一天增加了2a%．同时由于热门电视剧《来自星星的你》的热播，专门多旅客选择春节后前往韩国首尔旅行，南方航空也在第16日开通长沙飞往韩国首尔的航班，每张机票在1500元的基础上降低了0.5a%，出境旅行人数却比第15日前往北京的人数多3a%．当第16日南方航空公司总计收入为920400元时，试估算a（0＜a＜30）的整数值（参考数据：652=4225，662=4356，672=4489，682=4624）

26、如图1，抛物线y=ax 2

+bx+3通过点A （-3，0），B （-1，0）两点，

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M ，直线y=-4x+9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD 只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范畴；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q （0，3）作不平行于x 轴的直线交抛物线于点E 、F ，交△C MD 的边CM 、CD 于点G 、H （G 点不与M 点重合、H 点不与D 点重合） . ① 问在y 轴的负半轴上是否存在一点P ，使△PEF 的内心在y 轴上？若存

在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

② S 四边形MDHG ，S △CGH 分别表示四边形MDHG 和△CGH 的面积，试探究

MDHG S S 四边形ＣＧＨ

的最大值．

长郡教育集团2020-2020-2初三年级统一考试

数学参考答案及评分标准

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

B C A C B C D A A B

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）

11．-6 12．120,1x x == 13．3(a+1)(a-1) 14．3x ≥-≠且x -1

15．x=3 16. 0.5 17．20 18．①②④

三、解答题

19解：原式=3-2+1+3+3 （每对一项得1分）

=6 （6分） 20解：原式=2

222222)3()2()2()3(2+-=+-+=+-++?++a a a a a a a a a a a （4分）当22-=a 时，原式=22-12

2-22-2-2=+ （6分） 21解：（1）∵喜爱足球的有40人，占20%，∴一共调查了：40÷20%=200（人），（1分） ∵喜爱乒乓球人数为60（人），∴所占百分比为：×%=30%，

∴喜爱排球的人数为：200×（1﹣20%﹣30%﹣40%）=20（人），（2分）由以上信息补全条形统计图（3分）

（2）喜爱排球的百分比为：×%=10%，∴占的圆心角为：10%×360°=36°；（4分）

（3）由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情形有12种，因此抽到一男一女的概率为P （一男一女）=

．（8分） 22、（1）证明：∵AF ∥CE

∴∠AFD=∠CED ，∠FAD=∠ECD

∵AD=CD ∴△ADF ≌△CDE

∴AF=CE （4分）

（2）四边形AFCE 正方形（5分）证明：∵△ADF ≌△CDE ∴DF=DE

∵DA=DC ∴四边形AFCE 是平行四边形

∵AC=EF ∴四边形AFCE 是矩形 ∵∠ACB=135°，∴∠ACE=45°，∵DC=DE ∴∠CDE=90°

∴四边形AFCE 正方形（8分）

23.解:(1)∵在Rt △ABC 中90A ,∠=,AB=AC, ∴45B C ∠=∠=.

∵45AEC B BAE AED CED AED ∠=∠+∠=∠+∠,∠=, ∴BAE CED ∠=∠,

∴△ABE ∽△ECD, （3分）

(2)∵在Rt △ABC 中90A ,∠=,AB=AC=4, ∴42BC =∵2BE =,∴32EC =

又∵△ABE ∽△ECD,∴AB BE EC CD =,即2432CD =, ∴32CD =,∴52AD AC CD =-=. 过点E 作EF AD ⊥于点F,则EF ∥AB,∴EF ∶AB=EC ∶BC=3∶4,∴EF=3,

∴5151224

3ADE S ?=??=. （6分） (3)存在. 分三种情形讨论:①当AE=AD 时,EC=BC=4;

②当AE=DE 时,由△ABE ∽△ECD 可知,△ABE ≌△ECD,∴22

22EC AB BC ===; ③当AD=DE 时,△AED 为等腰直角三角形,且90ADE ∠=,∴122

EC BC ==. （9分） 24、(1)证明:在△OCP 和△CEP 中,∵∠POC =∠PCE ,∠OPC =∠CPE,

∴△COP ∽△ECP .∴∠OCP =∠CEP.

∵CD ⊥AB ,∴∠CEP =90°.∴∠OCP =90°.

又∵OC 是⊙O 的半径 ∴PC 为⊙O 的切线. （3分）

(2)解:设OE=x,则EA =2x,OA =OC =3x.∵∠COP =∠PCE ,∴sin∠OPC =sin∠OCE,即=,解得x =1. ∴OA =3. （6分）

(3)解:∵∠OCP =90°,∴∠P CA +∠ACO =90°.∴sin∠PCA =cos∠ACO.

又OA =OC ,∴∠ACO =∠CAO.

∴sin∠PCA =cos∠CAO.而AE =2,OE =1,OC =3,∴ =.而cos∠CAO = = =,

即sin∠PCA =. （9分）

25．解：（1）当1≤x ≤10，且为整数时设y 与x 之间的函数关系式为y 1=k 1x+b 1，当11≤x ≤15，且为整数时，设y 与x 之间的函数关系式为y 2=k 2x+b 2，由题意，得210＝k 1+b 1 解得： k 1＝?10 236＝11k 2+b 2 解得：k 2＝6

200＝2k 1+b 1 b 1＝220 260＝15k 2+b 2 b 2＝170

∴y 1=-10x+220（1≤x ≤10，且为整数），y 2=6x+170（11≤x ≤15，且为整数）， ∴y=?10x +220(1≤x ≤10，且为整数)

y= 6x +170(11≤x ≤15，且为整数) （3分）

（2）设航空公司的总收入为W 元，由题意，得

∵m=-5y+1450，∴m=-5（-10x+220）+1450=50x+350．（1≤x ≤10，且为整数） ∵n=y+1290，∴n=6x+170+1290=6x+1460，（11≤x ≤15，且为整数）

当1≤x ≤10，且为整数时，

W1=（50x+350-50）（-10x+220）=-500（x-8）2+98000，

∵a=-500＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=8，

∴当x=8时，W1=98000，（5分）当11≤x≤15，且为整数时，

W2=（6x+1460-50）（6x+170）=36（x+790/6）2-384400，

∵a=36＞0，∴抛物线的开口向上，

∴抛物线有最小值，在对称轴的右侧，W随x的增大而增大，对称轴为x=-790/6 ∵11≤x≤15，∴x=15时，W最大=390000，

∵98000＜390000，∴当x=15时，最大收入是390000元；（7分）（3）由题意，得

第16天返京乘机人数：260（1+2a%）人，

第16天的票价为：6×15+1460=1550元，

前往韩国的票价为：1500（1-0.5a%）元，

前往韩国乘机人数为：260（1+3a%）人，

（1550-50）[260（1+2a%）]+[1500（1-0.5a%）-90]×260（1+3a%）=920400，设a%=m，则有1500×260（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×260（1+3m）=920400，1500（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×（1+3m）=3540，

整理，得25m2-72m+7=0，∴m1=0.1，m2=2.78，

∴a1=10，a2=278．∵0＜a＜30，且a为整数，∴a=10．

∴a的整数值为10．（10分）

26、解：（1）抛物线y=ax2+bx+3通过A（-3,0），B（-1,0）两点

∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a＝1 b＝4

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3 （2分）（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1∴抛物线的顶点M（-2，-1）∴直线OD的解析式为y=x 。因此设平移的抛物线的顶点坐标为（h，h），

∴平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.①当抛物线通过点C时，∵C（0，9），∴h2+h=9，解得h=.

∴当≤h<时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点. （4分）

②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+h,y=-4x+9.

得x2+（-2h+4）x+h2+h-9=0，∴△=（-2h+4）2-4（h2+h-9）=0，

解得h=26/9.

现在抛物线y=（x-26/9）2+13/9与射线CD唯独的公共点（8/9,49/9），符合题意.

综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范畴

是h=26/9或≤h<. （6分）

（3）方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3

（k≠0）. 假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F 作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，

∴△GEP∽△HFP，∴GP/PH=GE/HF,∴-x E/x F=(y E-t)/(y F-t)=(kx E+3-t)/(kx F+3-t) ∴2kx E·x F=（t-3）（x E+x F）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.

∴x E+x F=k,x E·x F=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上. （8分）

方法2: 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知

∠EPQ=∠FPQ，∴点P确实是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上（8分）

（3）解：如图，连接OG．∵C(0,9) Q(0,3) ∴ CQ=2OQ，又∵M（—2，

—1）D（2,1）∴MO=OD设S△GQO=S，∴S△CGQ=2S，S△CGO=3S．为简便起见，不妨设CG=1，MG=x，则S△MGO=3xS．∴S△CMO=S△CGO+S△MGO=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△CMD=2S△CMO=（6x+6）S．

设Q H=k?QG，由S△CGQ=2S，得S△CQH=2kS，∴S△CGH=（2k+2）S．

∴S四边形MDHG=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．

∴

四边形ＭＤＨＧ

ＣＧＨ

(6-24)

(22)

x k S

k S

=3-2

x k

①

过点Q作QK∥MD交CD于点K，过点G作GN∥ＭＤ交CD于点N，则QK∥GN．

∵GK∥MD，∴2

ＱＫＱＣ

ＯＤＣＯ

，∴QK=

OD=

MD；

∵GN∥MD，∴1

ＧＮＣＧ

ＭＤＣＭ

，∴

ＭＤ

ＱＫ

ＭＤ

ＧＮ

x+，∴1

3(1)

G x

--+

ＧＫ

ＮＧＫ

．

∵GK∥GN，∴H

GH G

ＱＱＫ

Ｎ

，∴1

-2-

H x

G G x

ＱＱＫ

ＱＮＱＫ

，∴k=1

+，代入①式得：

四边形ＭＤＨＧ

ＣＧＨ

3-2

3-22-

x k x

=-x2+x+1=-（x-

）2+

，

ＣＧＨ