第二十五章 解直角三角形知识要点
第二十五章 解直角三角形学案
一. 锐角三角函数的定义：如图所示.在Rt ?ABC 中：∠c=90°(要求熟记）
斜边的对边A A ∠=
sin =c a ?∠A 的对边=斜边?A sin (或 斜边=A A sin 的对边
∠)
c b A A =∠=
斜边的邻边cos A A cos ?=∠?斜边的邻边(或A cos A 的邻边
斜边∠=）
b
a A A A =∠∠=
的邻边的对边tan A A A tan ?∠=∠?的邻边的对边(A A tan 的对边
或邻边∠=
a
b
A A A =∠∠=
的对边的邻边cot A A A cot ?∠=∠?的对边的邻边
（A
A cot A 的邻边
对边或∠=
∠）
A ∠的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A ∠的三角函数。
例1.在Rt ABC ?中，如果各边都缩小2倍.那么锐角A 的正弦值 ( )
A.不变 B 变大 C 变小 D 不确定 例2.若∠C=90° BC:AC=2:3 求∠A 的四个三角函数值
例3.在等腰ABC ?中.AB=AC=10 BC=12 求∠B 的四个三角函数值
例 4.在△ABC 中 ， AD 是BC 边上的高 DAC B ∠=cos tan ①求证：AC=BD ②若
13
12
sin =
C 12=BC , 求A
D 的长
例5在Rt △ABC 中 ∠ACB=90° CD ⊥AB 垂足为D 若5=Ac 2=BC 求ACD ∠sin 的值
例6.在梯形ABCD 中.AD ∥BC AC ⊥AB AD=CD 5
4
cos =
∠DCA BC=10 求AB 的值
例7.如图在△ABC 中∠C=90°点E D .分别在AC .AB 上, BD 平分∠ABC DE ⊥AB AE=6
5
3
cos =A 求?DE.CD 的长 ?DBC ∠tan 的值
例8.如图 在Rt △ABC 中. ∠ACB=90°.BC=3 15=Ac AB 的垂直 平分线ED 交BC 的延长线于点D 垂足为E 求CAD ∠sin
例9.一个直角△有两条边长为3、4 求较小锐角的正切值
例10.已知 a.b.c 时△ABC 的三边.a.b.c 满足等式))((4)2(2
a c a c
b -+=且
0941=-c a 求B A sin sin +的值
例10已知：在Rt △ABC 中?=∠90C 8=+b a 12=ab 且b a < 求∠A 的四个三角函数值
例11.如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若3
1
tan =∠AEN ，DC+CE=10,(1)求BE 的长；（2）求ANE ?的面积；（3）求ENB ∠sin 的值。
二．锐角三角函数间的关系 （要求熟记）
1.互余两角的三角函数的关系:若?=∠+∠90B A
则 B A cos sin =B A sin cos =B A cot tan =B A tan cot = 或A A cos )90sin(=-?A A sin )90cos(=-?
A A cot )90tan(=-?A A tan )90cot(=-?
2.锐角三角函数值的变化：
(1)当α为锐角时， 1sin 0<<α1cos 0<<α0tan >α0cot >α
(2)αsin αtan 随角度的增大而增大，αcos αcot 随角度的增大而减少。 (3)当?<ααcot tan > 3.同角三角函数的关系
（1）平方关系：1cos sin 2
2=+αα （2）倒数关系：1cot tan =?αα
（3）商数关系：
αααtan cos sin =ααα
cot sin cos =
例1.若?=25cos sin α则锐角α=_____若?=43cot tan α则锐角α=_____
若?=50tan cot α则锐角α=_____若?=60sin cos α则锐角α=_____ 例2.比较下列函数值的大小
?12sin ______?18sin ?12cos ______?18cos ?12tan ________?18tan ?12cot ______?18cot ?12sin ______?12cos ?40cos ______?40sin
?15cos ________?75sin ?30tan ______?60cot ??44tan ___44cot
例3.若在Rt △ABC 中∠C=90°则A A cos sin +的值（ ）
A 大于1
B 小于1
C 等于1
D 不能确定 例4.若140tan tan =??A 则锐角A =_______
例5.计算=?-+ααααcot tan cos sin 22_____________
例 6.已知α为锐角.ααcos .sin 是关于X 的方程02
=++n mx x 的两个根,且
15=+n m 求m .n 的值
例7.=-??αααcos 1sin 19045则
＜＜若
例8.已知关于x 的方程0)1(242
=++-m x m x 的两根正好是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值。
三．特殊角的三角函数值(要求熟记） 1.根据互余角的函数值熟记
090cos 0sin =?=?2
1cos6030sin =
?=? 2245cos 45sin =
?=?2
3
30cos 60sin =
?=?10cos 90sin =?=? 090cot 0tan =?=?3
3
60cot 30tan =
?=? 145cot 45tan =?=?330cot 60tan =?=?不存在??0cot .90tan
2.根据图形熟记
3.根据表格熟记
α
sin α cos α tan α cot α 0° 0
1
0 不存在
30° 2
1 2
3 3
3
3
45° 22 2
2
1
1
60° 2
3
2
1 3
3
3
90°
1 0 不存在 0
例1.计算：①230cos -160tan 2
145tan ）（?+?+?
②2
21-45sin 230tan 2）
（?+?③?+??+?+?30cos tan60-sin60245cot 30sin 2
2
④???+?50cot .50tan -40cos 40sin 2
2 ⑤0
)245tan 45sin 2cos602-1-30cos 1
60tan -+?-?+??+?（
⑥?
???+??+?34cos -34sin -tan63.27tan 45cot .60sin 4)1-30(sin 2
22
⑦化简即可）(20cos 20sin 21??-⑧
2
2-60tan -45sin 60cos 43
21）
（???+-
⑨?+???+????30tan 43
tan45cos60-sin6045sin .45cos 2-45cot -30sin 2
⑩
1
3130sin 445cot 60tan ++??+?⑾?++??60cot 3-1160sin 2-60sin 2
例2.若关于x 的一元二次方程04
1
sin 22
=+-αx x 有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___________________________
例3.矩形长与宽的比为1:3， 则其对角线夹角为_________________
例4.α为锐角，且αtan 是方程0322
=--x x 的一个根，则αsin 的值为____________
例5.已知5
1
sin cos =
-αα)900(?<
例6.?50sin ，?50cos ，?50tan 的大小关系______________________________
例7.Rt ABC ?中，?=∠90C ，两直角边b a .满足关系02
2=--b ab a ，求A tan 的值。
例8.若A ∠为锐角，且4
1
cos =
A 那么 ( ) A ?<∠
B ?<∠
C ?≤∠
D ?<∠
例9.在Rt ABC ?中，?=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a .是关于x 的一元二次方程
0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC Rt ?中较小锐角的正弦。
例10.1)10tan(3=+?α 则锐角α的度数为_______________
若3)90tan(=-?α 则锐角α的度数为_______________ 例11.在ABC ?中，若B A ∠∠.满足0)2
2(sin 21cos 2
=-+-
B A 求
C ∠的度数。 例12.若α是锐角，且05cos 7sin 2
=-+αα 求αcos 的值 例14.=????????89tan ...3tan 2tan 1tan _______________ 例13.如果A ∠是锐角，且4
3
sin =
A ，那么（ ) A ?<∠
B ?<∠
C ?<∠
D ?<∠
例14.如图，在ABC ?中，2,6,13==+=BC AC AB ，求ABC ?三个内角的度数。
例15.如图，ABC ?为等边三角形，AE=CD ，AD 与BE 相交于点P ，AD BQ ⊥于Q ，PQ=3，PE=1，求AD 的长。
例16.在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30BAC ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，连接BD ，利用此图，求tan15°的值。
五．解直角三角形
1.解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2.解直角三角形常用关系：
如图：在ABC Rt ?中，?=∠90C （1）三边关系：2
2
2
c b a =+ (勾股定理） （2）两锐角关系：?=∠+∠90B A （3）边角关系:
c
a
A A =∠=
斜边的对边sin c b A A =∠=
斜边的邻边cos
b a A A A =∠∠=
的邻边的对边tan a b
A A A =
∠∠=的对边的邻边cot
4.直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
5.射影定理：
?=∠90ACB AB
CD ⊥
AB AD AC ?=∴2AB AD BC ?=2
AB
AD CD ?=2
6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
7.直角三角形的面积=两直角边乘积的一半=斜边乘斜边上的高的一半。 8.任意三角形的面积=底乘高的一半=任意两边及夹角正弦的一半。 3.解三角形的一般解法：
（1）已知斜边c 和一个锐角A,解直角三角形
A B ∠-?=∠90A c a sin ?=A
c b cos ?=
（2）已知一直角边a 和一个锐角A,解直角三角形
A B ∠-?=∠90A a c sin =
A a
b tan =
（3）已知斜边C 和一直角边a ，解直角三角形
22a c b -=c a
A =
sin 由A ∠求A B ∠-?=∠90
（4）已知两直角边a.b,解直角三角形
22b a c +=A b a
A ∠=求由tan A
B ∠-?=∠90
解直角三角形时应注意：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中
例1.在ABC Rt ?中，?=∠90C ，C B A ∠∠∠..的对应边分别为c b a ..，解下列直角三角形。 （1）6=c ?=∠60A （2）4=a ?=∠45B
（3）3=a 2=c （4）10=a 10=b
（5）?=∠60B 6=+b a （6）2
3
=?S 31+=+b a
例2.在ABC Rt ?中，?=∠90C ，?=∠60A ，斜边上的高3=CD ，试解直角三角形ABC
例1.一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上
CF AB // ,?=∠=∠90ACB F ,?=∠45E ,?=∠60A 10=AC ,试求CD 的值
25.3 解直角三角形的应用
一．仰角与俯角：视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。
二．有关测量：
1.测量底部可以到达的物体的高度： 测量步骤：（1）在地面上选择一点A 安置测角仪，测得被测量物顶部的仰角α， （2）量出测点A 到被测量物底部N 的水平距离AN=m （3）量出测角仪的高度AC=h
根据测量数据，求出物体的高度MN:αtan m h MN +=
2.2.测量底部不可以到达的物体的高度：即在地面上不能直接测得测点与被测量物的底部的距离。 测量步骤：（1）在地面上选择一点A 安置测角仪，测得被测量物顶部的仰角α， （2)在测点A 与被测量物之间的点B 处安置测角仪，测得被测量物顶部的仰角β， (3)量出测角仪的高度AC=h ，以及测点A 、B 之间的距离AB=m
根据测量数据，求出被测物体的高度MN.
在MDE Rt ?中 β
c o t ?=ME ED 在MCE Rt ?中 αcot ?=ME CE
ED CE CD -=
βαcot cot ?-?=∴ME ME m
β
αcot cot -=
∴m
ME
h
m
EN ME MN +-=
+=∴βαcot cot
例1.已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为cm AC 30=，由地面向上依次为第一层，第二层、...第十层，每层高度为3m,假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h ，太阳光线与水平线的夹角为α，（1）用含α的式子表示h （不必指出α的取值范围）；（2）当?=30α时，甲楼楼顶B 点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光？
例2.某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙面留下高2米的影子CE ，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶在地面的 影子F 与墙角C 有13米的距离（B 、F 、C 、在一条直线上）。（1）求教学楼AB 的高度；（2)学校要在A 、E 之间挂一些彩旗，请你求出A 、E 之间的距离（结果保留整数） （参考数据：
8322sin ≈
?161522cos ≈?52
22tan ≈?
例3.如图河对塔岸有一铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16m到达D,在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。
例4.如图小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼，为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46m，CD=10m，求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）
例5.如图：在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m，到D处，测得A的仰角为60°，求山的高度AB。
例6.（2013湖北孝感，）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．求建筑物CD的高度.（结果不作近似计算）．
例7.（09年）如图（14），某学习小组为了测量河对岸塔AB 的高度，在塔底部B 的正对岸点C 处，测得塔顶A 的仰角为
60=∠ACB ．
（1）若河宽BC 是80米，求塔AB 的高度（结果精确到0.1米）； （2）若河宽BC 的长度无法度量，如何测量塔AB 的高度呢？ 小强想出了另外一种方法：从点C 出发，沿河岸CD 的方向走a 米，
到达D 处，测得∠BDC =60°，这样就可以求得塔AB 的高度了．请你用这种方法求出塔AB 的高度．
参考数据：2≈1.414，3≈1.732
二．方位角：在水平面上，过观察点O 作一条水平线和一条铅垂线，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所成的小于90°的角即为方位角。
图(14)
D
C B
A
三．坡度、坡角：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i 表示。坡面与水平面的夹角叫坡角，记作α，则αtan ==水平宽度
铅直高度
i
坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。
例1.如图：学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角?=∠30ABC ，斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1:3（即为CD 与BC 的长度之比），A 、D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
例2.如图：一段河坝的横断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坝底宽AD.
例3.（10年）水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库大坝进行加固. 原大坝的横断
面是梯形ABCD ，如图（9）所示，已知迎水面AB 的长为10米，60B ∠=?，背水面DC
的长度为. 加固后大坝的横断面为梯形ABED. 若CE 的长为5米.（1）已知需加固
的大坝长为100米，求需要填方多少立方米；（2）求新大坝背水面DE 的坡度.
（计算结果保留根号．．．．．．．．
）
例4.如图：某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处测得点C 的仰角为45°，已知OA=100m,山坡坡度为
2
1
，且O 、A 、B 在同一直线上，求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的垂直高度。侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号。
C
D
图（9）
例5.一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=3m，
斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF。
例6.(2013山东烟台，20,6分)如图一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60o方向的C地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上．A地位于B地北偏调西75°方向上．AB两地之间的距
离为12海里．求A．C两地之间的距离. (参考数据：2≈l. 41，3≈1.73，6≈2．45.
结果精确到0.1．)
例7.（2013?新疆8分）如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B 相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
练习：
1．（2013·聊城，9，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：
，则AB的长为（）
A．12 B．4米C．5米D．6米
2.如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是
4
3
，则sin α的值是【】
A ．
45 B ．54 C ．35 D ．53
3.（2013四川绵阳，9，3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，
高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60o，又从A 点测得D 点的俯角β为30o，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ ）
A ．20米
B ．米
C ．米
D ．米
4．（2013湖北省鄂州市，7，3分）如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ）
5．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC 为18m ，从A 点测得D 点的俯角α为30°，测得C 点的俯角β为60°．则建筑物CD 的高度为 _____________（结果不作近似计算）．
6．（2013?东营，15，4分）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60?，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30?，旗杆底
直角三角形知识点总结
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题
新浙教版七年级上册数学第一章《有理数》知识点及典型例题 知识框图 如升高3米与下除2米；盈利3万与亏损5万；收入4万与支出8万等 为了表示具有相反意义的量，把一种意义的量规定为正，与之意义相反 的量规定为负 规定了原点、单位长度、和正方向的直线叫做数轴; 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示 数轴 两个数只有符号不同，称其中一个数为另一个数的相反数 互为相反数的两个数所对应的点在数轴上的位置关系 数轴比较法 有理数大小的比较 法则比较法 自然数 1 ! 分数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 计数 测量 标号或排序 可以看做两个整数相除。所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数， 但 并不是所有的小数都可以化为分数，如圆周率 n 绝对值 J 绝对值的法则 绝对值的概念 具有相反意义的量 有理数 相反数
将考点与相应习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型（ 只可能是选择题） 1、下列语句：① 带“-”号的数是负数；② 如果a 为正数，则-a 一定是负数；③ 不存在既不是正数又不是负 数的数；④0°C 表示没有温度，正确的有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 2、下列说法不正确的是（ ） 5、 若| a + b| =—（ a + b ）,下列结论正确的是（ ） A.a + b < 0 B.a + b<0 C.a + b=0 D.a + b>0 6、 下列说法：① 一个数的绝对值的相反数一定是负数；② 只有负数的绝对值是它的相反数；③ 正数和零的绝 对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等，错误的个数是 （） A.3 个 B.2个 C.1 个 D.0 个 7、 如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ） A.+a 与-（-a ）互为相反数 B. +a 与-a 一定不相等 C.-a 一定是负数 D. -（+a ） 与+（-a ） —定相等 8、 已知字母a 、b 表示有理数，如果 a + b =0,则下列说法正确的是（ ） A. a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0 C. a 与b 不可能相等 D. a 与b 的绝对值相等 9、 下列说法正确的是（ ） A. -|a| —定是负数 B.只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C.若|a|=|b|,则a 与b 互为相反数 D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 10、 给出下面说法：① 互为相反数的两个数绝对值相等；② 一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数； ③若|m|>m ，贝U m<0 :④若|a|>|b|,贝U a>b ，其中正确的有（ ） A.①②③ B. ①②④ C. ①③④ D.②③④ 考点二、具有相反意义的量、相反数、数轴、绝对值、有理数的分类等概念的直接考题 1、 某项科学研究，以 45分钟为1个时间单位，并记每天上午 10时为0, 10时以前记为负，10时以后记为正， 例如9： 15记为-1 , 10： 45记为1等等，以此类推，上午 7: 45应记为 __________ 1 2、 在时钟上，把时针从钟面数字“ 12”按顺时针方向拨到“ 6”，计做拨了“ +— ”周，那么，把时针从“ 12” 2 1 开始，拨了“ 一”周后，该时针所指的钟面数字是 ______________ 4 3、 若a 与b 互为相反数，则下列式子：① a+b=0；②a=-b :③|a|=|-b| :④a=b ,其中一定成立的序号为 _________ 4、 数轴上到数-1所表示的点的距离为 5的点所表示的数是 5、 绝对值最小的有理数是 ________ ;绝对值最小的整数是 ____________ ； | 3.14 —n |= ________ A.数轴是一条直线; B.表示-1的点，离原点1个单位长度; C.数轴上表示-3的点与表示-1的点相距2个单位长度; D.距原点3个单位长度的点表示一3或3。 3、 下列说法中不正确的是（ ） A. — 5表示的点到原点的距离是5; C. 一个有理数的绝对值一定不是负数； 4、 如图：下列说法正确的是（ ） A.a 比b 大 B.b 比a 大 C.a B. 一个有理数的绝对值一定是正数； D.互为相反数的两个数的绝对值一定相等. b 一样大 D.a 、b 的大小无法确定 b
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
中考解直角三角形知识点整理复习
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
解直角三角形知识点及典型例题
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
(完整版)初三解直角三角形练习题基础
初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 |
解直角三角形知识点
一、直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD= 2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ ：22 2 a b c +=还可以变形为2 2 2 a c b =-，2 2 2 b c a =-． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质： （1）当 °<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > （2）在0° 90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： A C B D
第一章有理数知识点归纳及典型例题
第一章有理数知识点归纳及典 型例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
一、【正负数】有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛…｝；·正有理数集｛…｝；·负有理数集｛…｝·负整数集｛…｝；·自然数集｛…｝；·正分数集｛…｝ ·负分数集｛…｝ 2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是。 二、【数轴】规定了、、的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，，1，0 3下列语句中正确的是（） Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★①比－3大的负整数是_______；②已知ｍ是整数且-4 解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， ， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角 形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A. EG EF G = sin B. EF EH G = sin C. FG GH G = sin D. FG FH G = sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65° 在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，。 二、 锐角三角函数的有关性质： 1、 当0°<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > 2、 在0°--90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、 cot ）的值，随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系： 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形：2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦，正切与余切的转换关系： 如图1，由定义可得：sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得： sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值： 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结： 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A = ，cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A 1.1 有理数 【知识点清单】 （一）学习温故 小学里学过的数可分为三类:、和，它们都是由于实际需要而产生的。 （二）正数 1、正数：大于0的数叫做正数。如：2，0.6，，，……※正数都比0要。 2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。如：，，，…… 其中“＋”号可以省略。 （三）负数 1、负数：在正数前面加上一个“－”号，这样的数叫做负数。如：，，，…… ※负数都比0要。 2、负数的表示方法：一个负数前的“－”号不可以省略。 3、0既不是正数也不是负数。 4、正数和负数的意义 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有__________的意义。如：如果80m表示向东走80m，那么-60m表示：______________。 （四）有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2、有理数的分类 【经典例题：】 例1：把下列各数分别填在题后相应的集合中： ，0，，0.73，2，，，，+28，，8，-，-3.5，102.3，-，1 （1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……} 例2：在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数： 例3：下列选项中均为负数的是（ ） A．，，B．，， C．，, D．，， 例4：下列说法中正确的是（） A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数例5：下列说法正确的个数是（）。 ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的。 A．1B．2C．3D．4 例6：把下列各数填在相应的集合中： 1.2 数轴 【学习目标】 一、认识数轴 1、数轴的三要素：,________,_________。 2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边 画数轴要注意：⒈画直线. ⒉在直线上取一点作为原点.⒊确定正方向，并用箭头表示. ⒋根据需要选取适当单位长度. 说明：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 【目标检测】 正数集负数集整数集自然数 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)． 2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4 cos = α，那么αsin 的值是（ ）． （A ） 259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ） 1213 （C ）10 13 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ） 316 （C ）320 （D ）5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）13 5 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 A B C D E ?15020米30米 解直角三角形 一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即 sin A = c a , （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即 cos A = c b , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即 tan A =b a ， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系 注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a ， c b ，b a ，a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的； （2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样； （3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系： 12 2 s i n =?+C O S α (2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写，读作“?sin 的平方”，不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方，后者无意义； （3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,12 2 3030 cos sin 2 2 =?=? +? ，而 1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 （4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。 （三）余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它 实验中学 马贵荣编 一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲ _____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝ 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。 二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|， -4.5， 1， 0 3下列语句中正确的是（ ） Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4 解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC中,ZC=90°,设BC=a, CA=b,AB=c，锐角 A得四个三角函数就就是： (1)正弦定义:在直角三角形中A B C,锐角A得对边与斜边得比叫做角A得正弦，记作s i nA,BP sin A =， (2)余弦得定义:在直角三角行ABC,锐角A得邻边与斜边得比叫做角A得余弦，记作co s A,即 c o s A =, (3)正切得定义:在直角三角形ABC中，锐角A得对边与邻边得比叫做角A得正切，记作tanA,即 t an A =, (4)锐角A得邻边与对边得比叫做ZA得余切，记作c otA 即 锐角A得正弦、余弦，正切、余切都叫做角A得锐角三角函数。 这种对锐角三角函数得定义方法，有两个前提条件： ⑴锐角ZA必须在直角三角形中，且ZC=9 0 °； (2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角得相应得小写字母 表示。否则，不存在上述关系注意 :锐角三角函数得定义应明确(1), ”四个比值得大小同 △ ABC得三边得大小无关，只与锐角得大小有关，即当锐角A取固定值时，它得四个三角函数也就就是固定得； (2 )s i nA不就就是sinA得乘积，它就就是一个比值，就就是三角函数记号，就就是一个整体，其她三个三角函数记号也就就是一样； (3)利用三角函数定义可推导出三角函数得性质，如同角三角函数关系，互余两角得三角函数关系、特殊角得三角函数值等； (二)、同角三角函数得关系 (1)平方关系： (2)倒数关系:tan a cota=l (3)商数关系： 注意: (1)这些关系式都就就是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们得变形公式。 (2)得简写，读作“得平方”，不能将前者就就是a得正弦值得平方，后者无意义； (3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立得前提就就是所涉及 得角必须相同，如，而就不一定成立。 (4 )同角三角函数关系用于化简三角函数式。 (三)余角得函数关系式 任意锐角得正弦值等于它得余角得余弦值，任意锐角得余弦值等于它得余角得正弦值,任意锐角得正切值等于它得余角得余切值，任意锐角得余切值等于它得余角得正切值。即 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 A C B D 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0. 锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cos sin 22=+A A （2）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （3）弦切关系 tanA= A A cos sin cotA=A A sin cos （4）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) 特殊角的三角函数值 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 一、【正负数】有理数的分类：★☆▲_____________统称整数，试举例说明。 _____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7 ·正整数集｛…｝；·正有理数集｛…｝；·负有理数集｛…｝·负整数集｛…｝；·自然数集｛…｝；·正分数集｛…｝·负分数集｛…｝ 2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义 是；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是。 二、【数轴】规定了、、的直线，叫数轴 [基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（） 2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。 4，-|-2|，-4.5，1，0 3下列语句中正确的是（） Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数 Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 4、★①比－3大的负整数是_______；②已知ｍ是整数且-4解直角三角形-单元测试题(基础题)--含答案
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