§8 线性空间的同构

§8 线性空间的同构

设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标，而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的一个双射.这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设

n n a a a εεεα+++= 2211,

n n b b b εεεβ+++= 2211

而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么

n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ;

n n ka ka ka k εεεα+++= 2211.

于是向量,βα+αk 的坐标分别是

),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++,

),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =.

以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算.因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论.

定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，具有以下性质：

1）)()()(βσασβασ+=+;

2) ).()(ασασk k =

其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射.

前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构.

由定义可以看出，同构映射具有下列性质：

1. )()(,0)0(ασασσ-=-=.

2. )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ .

3. V 中向量组r ααα,,,21 线性相关

?它们的象)

(,),(),(21r ασασασ 线性相关.

因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知，同构的线性空间有相同的维数.

4. 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合 {}11|)()(V V ∈=αασσ

是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同.

5. 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射.

同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性.

既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得，数域P 上任意两个n

维线性空间都同构.

定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数.

由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来，同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征.

§4.4-5 线性空间的同构

§4.4 线性空间的同构 下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。设V 与V '都 是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。 定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =， 其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。 同构的线性空间具有如下性质。 定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0； （2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-； （3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则 )()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ； （4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组； （5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且 )(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。 证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。 （4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得 011=++m m k k αα 由（1）和（3）得 0)()(11'=++m m k k ασασ 所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。 反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得 0)()(11=++m m k k ασασ 即

第六章 线性空间分析

第六章线性空间§1基本知识 §1. 1 基本概念 1、集合的相关概念： 2、映射： 3、单射： 4、满射： 5、双射（一一映射）： 6、可逆映射及其逆映射： 7、线性空间： 8、向量的线性组合： 9、向量组的等价： 10、向量的线性相关与无关： 11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）： 12、线性空间的基与坐标： 13、过渡矩阵： 14、线性空间的子空间： 15、生成子空间： 16、子空间的和： 17、两个子空间的直和：

18、有限个子空间的直和： 19、线性空间的同构： §1. 2 基本定理 1、基与维数的判定定理：设n ααα,,,21 是线性空间V 上n 个线性无关的向量，如果V 上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V 是n 维的，n ααα,,,21 是它的一组基. 2、子空间的判定定理：设W 是线性空间V 的一个非空子集，如果W 关于V 的两种运算是封闭的，那么W 是V 的一个子空间. 3、生成子空间的相等与维数的判定定理： （1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价； （2）),,,(),,,(dim 2121r r R L αααααα =. 4、基的扩充定理：设m ααα,,,21 是n 维线性空间V 上任意m 个线性无关的向量，如果n m <，那么在V 上必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,211 ++，使得 n ααα,,,21 是V 的一组基. 5、子空间的交的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V ?也是V 的子空间. 6、子空间的和的性质定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么21V V +也是 V 的子空间. 7、维数定理：设21,V V 都是线性空间V 的子空间，那么 )dim(dim dim )dim(212121V V V V V V ?-+=+.

线性空间的同构

§8 线性空间的同构 一、数域 P 上的 n 维线性空间 n P 二、数域 P 上的一般的n 维线性空间 V 例如：[]n P x 等 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，在这组基下，V 中每个向量都有确定的坐标， 而向量的坐标可以看成n P 元素，因此向量与它的坐标之间的对应实质上就是V 到n P 的 一个映射.显然这个映射是单射与满射，换句话说，坐标给出了线性空间V 与n P 的 一个双射. 这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设 n n a a a εεεα+++= 2211, n n b b b εεεβ+++= 2211 而向量,,βα的坐标分别是),,,(21n a a a ,),,,(21n b b b ，那么 n n n b a b a b a εεεβα)()()(222111++++++=+ ; n n ka ka ka k εεεα+++= 2211. 于是向量,βα+αk 的坐标分别是 ),,,(),,,(),,,(21212211n n n n b b b a a a b a b a b a +=+++, ),,,(),,,(2121n n a a a k ka ka ka =. 以上的式子说明在向量用坐标表示之后，它们的运算就可以归结为它们坐标的运算. 因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论. 三、线性空间同构 1．定义11 数域P 上两个线性空间V 与V '称为同构的，如果由V 到V '有一个双射σ，

具有以下性质： 1）)()()(βσασβασ+=+; 2) ).()(ασασk k = 其中βα,是V 中任意向量，k 是P 中任意数.这样的映射σ称为同构映射. 前面的讨论说明在n 维线性空间V 中取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应 就是V 到n P 的一个同构映射.因而，数域P 上任一个n 维线性空间都与n P 同构. 2．同构映射具有下列性质 由定义可以看出，同构映射具有下列性质： (1). )()(,0)0(ασασσ-=-=. (2). )()()()(22112211r r r r k k k k k k ασασασααασ+++=+++ . (3).V 中向量组r ααα,,,21 线性相关?它们的象)(,),(),(21r ασασασ 线性相关. 因为维数就是空间中线性无关向量的最大个数，所以由同构映射的性质可以推知， 同构的线性空间有相同的维数. (4). 如果1V 是V 的一个线性子空间，那么，1V 在σ下的象集合 {}11|)()(V V ∈=αασσ 是)(V σ的子空间，并且1V 与)(1V σ维数相同. (5). 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射. 同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性. 既然数域P 上任意一个n 维线性空间都与n P 同构，由同构的对称性与传递性即得， 数域P 上任意两个n 维线性空间都同构. 3. 定理12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数. 由线性空间的抽象讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算 是怎样定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质.从这个观点看来， 同构的线性空间是可以不加区别的.因之，定理12说明了，维数是有限维线性空间的 唯一的本质特征.

向量空间的同构

5.6向量空间的同构 授课题目： 向量空间的同构 教学目标 1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义. 2.掌握有限维向量空间同构的充要条件. 授课时数：2学时 教学重点：向量空间同构的概念. 教学难点：同构的判别. 教学过程： 一、线性空间同构的定义 定义1： 设()V, F 、()W, F 是两个向量空间。V 到W 的一个映射f 叫做一个同构映射，如果 （i ）f 是V 到W 的双射； （ii ）()()(), V f f f αβαβαβ?∈?+=+； （iii ） ()()F, V a f a af ααα?∈∈?= 如果V 到' V 的同构映射存在，则称V 与' V 同构，记为' .V V ? 二、 同构映射的性质 1. 设f 是V 到W 的同构映射，则1 f -是W 到V 的同构映射。 2. 设f 是V 到W 的同构映射，则 （i ）()00f = （ii ）()()V f f ααα?∈?-=- （iii ）()()(), F, , V a b f a b af bf αβαβαβ?∈∈?+=+ （iv ）12, , , n ααα 线性相关12(),( ), , ()n f f f ααα? 线性相关. 证明: (i) 由定义的条件(3), 取0α=, 那么(0)(0)0()0f f f αα===. (i i) 由定义的条件(2), ()()(())(0)0f f f f αααα+-=+-==. 所以有()()f f αα-=-. (i i i) 利用条件(2)和(3)可直接得到. (iv) 如果12,, ,n ααα线性相关, 那么存在不全为零的数12,, ,n a a a F ∈, 使得

一线性空间的同构(基本概念)

?? ???↓ 映射集合线性空间的同构 直和和并子空间与子空间的运算与坐标变换过度矩阵线性空间的基变换坐标基线性空间的维数→→→→,,:)(, ,, 同构映射、同构映射的六个性质，两个线性空间同构 二．习题举例 例1：求线性空间的维数 1）数域P 上所有反对称矩阵组成的线性空间。 2 ) 1(-n n 2）数域P 上所有上三角形矩阵组成的线性空间。2 ) 1(+n n 例2：证明：P n 的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。 证明：设V 是P n 的任意一个真子空间，不仿设 V=L(r ααα ,,21)， )(n r < 它是线性方程组?? ? ??? ?=++=+++=+++--,0,0, 0)(11)(22221211212111n n r n r n n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间， 记k W 为线性方程组02211=+++n kn k k x b x b x b ，k=1,2,…,n -r 的解向量空间,显然是P n 的n-1维子空间，且V 恰好是这n-r 个n-1维子空间的交。

例3设n ααα ,,21是n 维线性空间V 中的n 个向量，V 中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：n ααα ,,21是V 的一组基。 证明：只须证明n ααα ,,21线性无关，事实上，如果rk r r ααα ,,21是 n ααα ,,21的一个极大线性无关组，则rk r r ααα ,,21是V 的一组基，所 以n k =，向量组rk r r ααα ,,21就是向量组n ααα ,,21，是线性无关。 例4：在5R 中求齐次线性方程组 ??? ??=-+-+=+-+-=+-+-0 220322402254321 5432154321x x x x x x x x x x x x x x x ， 的解空间的维数与一组基。 解：????? ??------=211213224111122A ??? ? ? ??------→533605336021121????? ? ??----→00 000351 12021 121 ??????? ? ? ?? ---→0000035 1120310001；解空间的维数是3，一组基是 ) 6,0,0,5,2()0,2,0,1,0(), 0,0,2,1,0(321=-==βββ 例5：设??? ? ??-=0110A ，证明：实数域上矩阵 A 的全体实系数多项式)(A f 组成的空间? ?? ? ?? ???? ??-==0110|)(A A f V 与 复数域C 作为实数域R 上的线性空间},|{R b a bi a V ∈+='同构。

第六章线性空间自测练习

第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ {

线性空间的性质

学院数学与信息科学学院 专业信息与计算科学 年级2011级 姓名魏云 论文题目线性空间的性质 指导教师韩英波职称副教授成绩 2013年3月16日

学年论文成绩评定表

目录 摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言 (1) 1 线性空间的概念 (2) 2 线性空间的相关理论 (3) 2.1 线性空间的一些简单性质 (3) 2.2 向量的线性关系 (3) 2.3 基、维数、坐标 (6) 3 两个特殊的子空间 (7) 3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7) 3.2 酉空间的介绍 (8) 4 线性空间的同构 (8) 4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8) 4.2 同构映射的性质 (9) 参考文献 (10)

线性空间的性质 摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质. 关键词：线性空间；基；维数；同构 The properties of linear vector space Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties. Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism 前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题. 1.线性空间的概念

6.8 线性空间的同构

第六章 线性空间 学习单元8： 线性空间的同构 _________________________________________________________ ● 导学 学习目标： 了解同构映射的概念，掌握线性空间同构的概念；理解同构映射的性质；掌握线性空间同构的判别。 学习建议： 建议大家多看书，认真阅读定义，理论联系实际，通过具体线性空间去理解相关概念与结论，对例题要深刻理解，认真完成练习题。 重点难点： 重点：线性空间的同构映射的概念与性质。 难点：同构映射在实际问题中的应用。 _________________________________________________________ ● 学习内容 一、n 维线性空间中向量与坐标的对应关系 令V 为P 上n 维线性空间，1,,n ααL 为V 的一个基，V 中每个向量在1,,n ααL 下有唯一的坐标，令 :n V P σ→ αα→在1,,n ααL 下的坐标 即当11n n x x ααα=++L 时，1()(,,)n x x σα=L 。 命题 σ为V 到n P 的一一映射（双射），并且 ()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈；

()(), ,k k k P V σασαα=∈∈。 注：这种对应正是几何问题转化为代数问题的理论依据。 二、线性空间同构的概念 定义 设V 与'V 均为数域P 上线性空间，若存在V 到'V 的双射σ满足。 （1）()()(),,V σαβσασβαβ+=+∈（即σ保持加法）。 （2）()(), ,k k k P V σασαα=∈∈（即σ保持数乘） 。 则称σ为V 到'V 的一个同构映射。 若V 到'V 之间存在同构映射，则称V 与'V 同构，记为'V V ?。 定理 设V 为数域P 上n 维线性空间，则n V P ?。 三、线性空间同构的性质 令,'V V 为P 上线性空间，σ为V 到'V 的同构映射。 1．(0)0,()σσαα=-=-。 2．1111()()()r r r r k k k k σαασασα++=++L L 。 3．1,,r ααL 为V 中一个向量组，则 1,,r ααL 线性相关当且仅当1(),,()r σασαL 线性相关。 4．dim dim 'V V =，特别当1V V ≤时，1 |V σ为1V 到1()V σ的同构映射，且 111dim dim (),()'V V V V σσ=≤。 5．1σ-为'V 到V 的同构映射。 6. 令,',''V V V 为P 上线性空间，σ为V 到'V 的同构映射，τ为'V 到''V 的同构映射，则τσ为V 到''V 的同构映射。 命题 线性空间之间的同构关系为一个等价关系。 定理 设V 与'V 为P 上两个有限维线性空间，则'V V ?的充要条件是 dim dim 'V V =。

线性空间习题解答

第六章 线性空间习题解答P267 .1设,,M N M N M M N N ?==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ?I 另一方面, 由于M M ?,,N M ? 得.N M M I ? 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =. (2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y = 证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈. 另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ??,所以 )()()(L N M L M N M Y I I Y I ?. (2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ??,所以 )()()(L M N M L N M Y I Y I Y ?. 另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈?且则 若).(,L N M x M x I Y ∈∈则 若∈∈∈?x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有 )()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ?∈所以. 3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: ),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕, )2 )1(,(),(2 11111a k k kb ka b a k -+ =ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k =0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为

线性空间的同构

线性空间的同构 由前面的讨论知道，给定数域F 上的n 维线性空间V 的一个基12,,,n εεε后，V 中的任意一个向量x 由12,,,n εεε唯一线性表示，即存在唯一的 []12T n n a a a a F =∈，使得12[,,,]n x a εεε=。反之，对任意一个向量 n a F ∈，存在唯一的x V ∈，使得12[,, ,]n x a εεε=，所以在线性空间V 和n F 之间存在一一的线性映射。这样，V 的一些性质在n F 中会有所体现，所以研究n F 的属性将对V 中的问题有所刻画，由此我们给出同构的概念。 定义1 设,U V 是数域F 上的线性空间，T 是从U 到V 的线性映射，如果T 是一一映射且为满射，则称T 为从U 到V 的同构映射。若线性空间,U V 之间存在同构映射，则称,U V 同构。若T 为从U 到U 的同构映射，则称T 为U 的自同构映射。 例1 数域F 上的n 维线性空间V 与n F 同构。 例2 定义01()10T x x ??=???? ，2x R ?∈，则T 为2R 的自同构映射。 定理1 设T 为从数域F 上的线性空间U 到V 的线性映射，且为满射，则T 为U 到V 的同构映射充分必要条件是若()v T x θ=有u x θ=。 证明 必要性 设T 为U 到V 的同构映射，由于T 是一一映射及()u v T θθ=，故有若()v T x θ=，则u x θ=。 充分性 只要证明T 是一一映射即可。 设12()()T x T x =，则12()v T x x θ-=，所以12u x x θ-=，故12x x =，所以T 是一一映射。 推论1设T 为从数域F 上的线性空间U 到V 的线性映射，则T 为U 到V 的同构映射充分必要条件是()R U V =且(){}u N T θ=。 证明 由定理1显然。 由定义判断线性空间同构要求两空间之间存在同构映射，较为麻烦，而对于有限维线性空间，我们有下面的定理。 定理2 设,U V 是数域F 上的有限维线性空间，则,U V 同构的充分必要条件是dim dim U V =。

第六章线性空间自测练习

第六章 线性空间—自测练习 一、判断题 1、两个线性子空间的与(交)仍就是子空间。 2、两个线性子空间的并仍就是子空间。 3、n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4、线性空间中两组基之间的过渡阵就是可逆的。 5、两个线性子空间的与的维数等于两个子空间的维数之与。 6、同构映射的逆映射仍就是同构映射。 7、两个同构映射的乘积仍就是同构映射。 8、同构的线性空间有相同的维数。 9、数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10、每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的与。 二、计算与证明 1、 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与 维数。 2、 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??,21020A ??= ???,33113A ??= ???,41133A ??= ?-?? 生成的子空 间的基与维数。 3、设4P 的两个子空间112(,)W L αα=,其中1(1,1,0,1)α=-,2(1,0,2,3)α=,21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W I 的基与维数。 4.P 为数域,22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????,2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1)证明:12,V V 均为22P ?的子空间。 2)求12V V +与12V V I 的维数与一组基。 5、 P 为数域,3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈,{} 2(0,,),V x y x y P =∈ 证明:3P =12V V ⊕