基于Monte_Carlo方法的强非线性函数方差估计
[文章编号]1004-0609(2000)04-0613-05
基于Monte Carlo方法的强非线性函数方差估计
李朝奎1,2,黄力民1,曾卓乔2,傅 明2
(1.湘潭工学院土木工程系,湘潭411201; 2.中南工业大学测量与国土信息研究所,长沙410083)
[摘 要]以M onte Carlo方法为基础研究了强非线性函数的方差估计问题。对直接观测量的方差进行了随机扰动,将由线性同余法产生的一组伪随机数用Box M uller变换法转换为服从N(0,1)分布的正态伪随机数,并对伪随机数作了多项统计检验。在此基础上应用Bessel公式统计出强非线性函数的模拟方差。算例表明:M onte Carlo 方法估计出的非线性函数的方差比经典方法估计出的方差更优。
[关键词]M onte Car lo方法;强非线性函数;方差估计
[中图分类号]P22;P207 [文献标识码]A
在测量学范围内绝大多数的函数模型客观上都是非线性的[1,2]。目前国内外测量界对于非线性函数方差的估计方法大致有二类:1)对于弱非线性函数直接用方差 协方差传播定律求得函数的方差;
2)对于强非线性函数或难于显化的函数采用M onte Carlo方法求得函数的方差。
经典测量平差理论所涉及到的函数模型绝大多数属于前者[3]。将非线性函数按泰勒级数展开取至一次项,用方差协方差传播定律求得函数方差,其结果多能满足实际工作的精度要求,但对后者的研究报道还不多。随着测绘技术的进步和测量领域的拓展,一方面实际对测量数据的精度要求不断提高,另一方面测量参数之间的函数关系变得相对复杂,经典的数据处理方法误差可能成为制约测量精度的主导因素[4]。就误差传播理论而言,非线性函数的线性化必然导致函数特征的改变及信息、精度方面的损失。尤其是对于强非线性函数,其固有非线性曲率大,函数不可微或者是对线性展开初值点十分敏感。这样,基于线性理论的经典误差传播定律变得无能为力。50年代以来,随着计算技术的快速发展,以计算技术为基础的Monte Carlo方法受到国内外测绘界的关注[5,6]。该方法的实用意义在于它能够解决大规模完全非线性函数的方差估计问题而无须对函数作线性化处理,这正是非线性函数空间内测量平差与数据处理理论的宗旨和出发点,而强非线性函数的方差估计问题是非线性测量数据处理理论的重要组成部分,因而系统研究这一问题有着极其重要的理论和现实意义。
1 M onte Carlo方法的基本思想[7]
Monte Carlo方法又称为统计实验法或数学模型扭曲法,其基本思想是用数学的方法产生正态伪随机数来模拟偶然误差。设有非线性函数:
y=f(x1,x2,,x m)+ (1a)
e j~ii d N,j=1,2,3,,m(1b)
Cov(x i,x j)=
2I(i=j)
0 (i!j)
(1c)式中 为函数误差;x j是测量参数,可以是同类的,也可以是非同类的;f(x j)是强非线性函数;e j 是测量参数的误差向量;式(1c)的假定是为了研究方便,对于方差不等的情况,方法完全适用。为估计y的方差,首先在计算机上输入直接测量参数x1,x2,x3,,x m及其标准偏差 ,产生一列服从N(0,1)分布的随机数,通过对各观测量的测量标准差进行随机扰动,得到非线性函数各观测分量的多组随机误差向量,从而得出函数的一组对应的随机误差向量(一组含扰动的参数模拟值),按Bessel公式统计并输出非线性函数的模拟方差。计算机模拟过程如图1所示。
2 正态伪随机数的产生
为构造一个模拟随机扰动系统的数学模型,必
第10卷第4期Vol.10No.4 中国有色金属学报
The Chinese Journal of Nonf errous Metals
2000年8月
Aug. 2000
[基金项目]国家自然科学基金资助项目(49774209)和湖南省自然科学基金资助项目(99JJY2003) [收稿日期]1999-07-21;[修订日期]2000-01-12 [作者简介]李朝奎(1967-),男,讲师,博士研究生.
图1 计算机模拟测量系统
Fig.1 Com puter simulation survey system 须产生所需分布的伪随机数(与实际的随机数相区别)。伪随机数的产生分二步进行:
1)在[0,1]区间产生均匀分布的伪随机数;
2)应用?Box Muller 变换法#[8]或?中心极限定理#将均匀分布的伪随机数转换为服从正态分布的离散伪随机数。
用线性同余法产生均匀分布的伪随机数,递推同余迭代式为:
Z i =(aZ i-1+c)mod M
(2)
式中 a 为乘子,c 为非负整数,M 为模,mod M 表示除以M 后取余数。给定初值Z 0,进行双倍位
乘法运算得到伪随机数Z 1,Z 2,Z 3, ,Z m 。然后按式(3)求得在[0,1]区间上服从均匀分布的伪随机数r i :
r i =Z i M -entire Z
i M
(3)
通过Box Muller 变换法将r i 转化为服从N (0,1)分布的伪随机数
x i =
-2ln(r i )?cos(2 r i +1)(4a) x i +1=
-2ln(r i )?sin(2 r i +1)
(4b)
由此得到服从N (0,1)分布的伪随机数向量 x 。
以下是证明。
为了书写方便,令
x i =x , x i +1=y ,r i =r 1,r i +1=r 2,则由式(4a),(4b)得到:
r 1=exp [-12x 2+y 2
],
r 2=12 arctg
x y
(5)
根据公式
l (x ,y )=f (h 1(x ,y ),h 2(x ,y ))J (x ,y ),
可得到x ,y 的联合概率密度函数:
f (x ,y )=g(r 1,r 2)?J (x ,y )
(6)
因为r 1,r 2为独立均匀分布随机量,故
g(r 1,r 2)=g 1(r 1)?g 2(r 2)=1。将雅可比式及g (r 1,r 2)代入式(6)得:
f (x ,y )=
1
2 ex p (-12x 2
)?1
2
ex p (-12
y 2)(7)
所以x ,y 相互独立且服从标准正态分布。
依据测量参数的偏差 (通过方差估计已经获得),按下式求出偏差的扰动伪随机数:
!= % x
(8)
式中 !为扰动误差的纯偶然误差向量,!~N (0, 2); x 为伪随机数向量,则多组模拟偶然误差构成的向量为:
?= ?
x 11 x 12
x 1n #
#
x m 1 x m 2 x m n
=(?1,?2, ,?n )。
3 模拟精度的输出
对于式(1a ),以输入测量参数x 1,x 2,x 3, ,x m 为初值的向量o ,加入式(8)计算的伪随机数!即得到模拟测量值f 。
f m ?1(i )=o m ?1+?m ?1
(i )(9)
式中 i 表示向量组数,i =1,2,3, ,n 。将式(9)代入式(1a),得到一组模拟函数值y F 且y F ~N (y F , 2F )。
按Bessel 公式统计y F 的精度s 2为:s 2
=
1
n -1
&n 1
(y F (i)-
y F )2
(10)
4 实际应用的几点考虑
Monte Carlo 方法用于强非线性函数的方差估计,还必须考虑一些实际问题:
1)式(2)中,要合理选择a,x 0,M ,c 四个参数。对于二进制计算机,取M =2k ,k 为一个数字的尾部字长,则最大可能的周期为2k -2
,例如;对于用8位二进制表示字长的微型机,运算器中以定
点数运算,此时用高1位表示符号位,其余7位表示尾部字长。选取x 0为小于或等于M 的任意正奇数即x 0=2k -1;取a =8b +3,b 为任意正整数;取c =0。这样可使产生的伪随机数序列周期长,速度快,统计性能良好。
%614%中国有色金属学报 2000年8月
2)线性同余法产生的伪随机数受数字规律的限制且表现出周期性和相关性,不是完全统计意义上的随机数。而Monte Carlo方法的数学理论依据是统计理论。因此,在式(9)计算之前必须对式(8)中的伪随机扰动方差进行数据处理以确保模拟数据的质量。
4.1 均值检验
对m个n维方差未知的标准正态子样Q ij= x ij(i=1,2,3,,m;j=1,2,3,,n)构造统计量:
T=n(Q i-0)
S
~t(n-1)(11)
式中 Q i为子样均值,S为子样标准差。作出假设对于H0:Q i=0;
对于H1:Q i!0。
给定显著性水平?及自由度(n-1),查得分位值t?/2(n-1),当|T| 4.2 方差检验 对于!~N(0, 2),S的含义同上,则统计量: %2=(n-1)S 2 2~% 2(n-1)(12)假设 H0:S2= 2,H1:S2! 2,在显著性水平?下接受域为 %2 1-?/2 (n-1) n-1, %2?/2(n-1) n-1 。 4.3 正态分布检验 将Q ij中j(j>50)个伪随机数按大小顺序分成 K组(一般K?[7,14],区间样本数不小于5个), 每组对应一个确定的误差区间。假设母体服从正态 分布,可求出每一误差区间的理论频率,从而得出 理论频数np i与实际频数f i(i=1,2,3,,k), 以此构造统计量: %2=&k j=1 1 np j (f j-np j)2(13) 如果假设成立即母体服从N(0, 2)分布,则 %2~%2(k-t-1),t为正态分布的参数个数,这里 t=2。 4.4 相关性检验 通过式(11),(12)和(13)的检验可以判明伪随 机数是否服从N(0,1)分布,但是若伪随机数之间 存在相关关系或独立性不好都会对函数的方差估计 产生影响。因此必须对伪随机数间的相关性进行检 验。构造统计量: R= &n n=1 Q ij Q i(j+1) &n n=1 Q2ij ,Q i(n+1)=Q i1(14) 当R 的假设。 4.5 伪随机数据的粗差检验与剔除 式(11)~(14)的检验表明伪随机数是满足标准 正态分布的随机数。受多种因素的影响,伪随机数 据中可能含有?离群#的数据,理论上称为粗差。必 须对其进行判别与剔除。于是构造统计量: w i= |v i| v i (15) 式中 v i = &v2i n-1 ,v i是第i个数据的一阶中心 矩。给定显著水平?得到相应的W。|v i| vi 时 表明伪随机数据中不存在粗差,否则应当剔除。 5 算例 图2为大地四边形网,观测值及平差值如表1。 用Monte Carlo方法求AD边的相对精度。 图2 大地四边形控制网 Fig.2 Geodetic netw ork of quadrangle 1)AD边的函数表达为 AD=AC sin((5)?sin((3) sin((3+(4)?sin((8) (16) 2)按式(8)求得测量参数的32组方差扰动矩 阵?,矩阵数据如表2所示。 3)按式(11)~(15)对?作统计分析,分析表 明?符合随机数的统计性质。 4)取A C为一个已知单位量,由式(1a)得出一 组AD的模拟计算值,如表3。 5)按式(10)统计得到AD的标准偏差m及相 对精度。m=)4.12?10-6(边长单位),m/AD= 1/27000,经典计算法的结果为1/24000。 % 615 % 第10卷第4期 李朝奎,等:基于M onte Carlo方法的强非线性函数方差估计 表1 观测值及平差值 Table 1 Observation value and adjusted quantity No.Observation value Correction value S quare error Adjusted quanti ty 165?52+35.03,0.23,263?14+25.02,0.26,323?28+50.06, 1.15,423?31+29.31,-0.69,569?45+14.74,0.15,661?40+57.38,-0.48,725?02+19.23,0.37,8 27?24+08.77, -0.52, 2=0.6465?52+35.26,63?14+25.28,23?28+51.21,23?31+28.62,69?45+14.89,61?40+56.90,25?02+19.60,27?24+08.25, 表2 方差的随机扰动数据 Table 2 Random disturbance data of square error No 1234567891011(30.230.25-0.520.610.52-0.190.690.68-0.700.19-0.45(4-0.130.44-0.41-0.980.650.72-2.01-0.31-0.18 1.70-0.47(5-0.530.15-0.31-1.3-1.1-1.040.58-0.560.17-0.870.17(8-0.47-0.44 1.990.490.360.28-1.50-0.23-0.650.17-0.28No 1213141516171819202122(3-1.1-0.100.880.42 1.30.21-1.04-0.38-1.67-0.35 1.21(40.550.500.390.39 1.20 1.08-0.40.320.080.03-0.17(50.040.32-0.120.36 1.10.990.77-0.410.49-0.080.72(8-1.230.33-1.68 0.33 1.01 -0.15 1.37 -0.35 -0.82 -1.110.31No 23242526272829303132(3-0.17-2.64 1.200.930.440.11-1.49-1.390.37-0.52(40.63-0.62-0.59-0.55-0.34-1.48-1.330.370.32-0.45(5-1.69-0.26 1.36 1.51-0.38-0.90-0.30 1.010.26-0.37(8 0.52 -0.51 0.91 -0.34 -0.36 0.42 0.54 0.60 0.2 -0.28 表3 目标函数的模拟计算值 Table 3 Simulation value of target function No.12345678Value 1.113028 1.113028 1.113018 1.113027 1.113024 1.113022 1.113038 1.113029 No.910111213141516Value 1.113027 1.113022 1.113027 1.113027 1.113024 1.113034 1.113025 1.113024 No 1718192021222324Value 1.113026 1.113019 1.113025 1.113025 1.113029 1.113029 1.113021 1.113022 No 2526272829303132Value 1.113028 1.113032 1.113029 1.113027 1.113022 1.113020 1.113026 1.113026 %616%中国有色金属学报 2000年8 月 [REFERENC ES] [1] T AO Hua x ue(陶华学).现代变形监测多目标非线性 动态优化设计的一个新方法[J].Science and T echnol ogy of Prospecting(勘察科学技术),1999(3):52-54.[2] T AO Ben zao(陶本藻)and HU Sheng wu(胡圣武).非 线性模型的平差[J].Infor mation and Engineering of Surveying and M apping (测绘信息与工程),1997(3):27-33.[3] ZHO U Jiang wen(周江文).测量极值问题的经验解式 ?兼论绝对和极小问题[J].Journal of M apping and Surveying(测绘学报),1999,28(1):11-14. 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Variance estimation of intensive nonlinear functions based on Monte Carlo method LI Chao kui 1,2,HUANG Li min 1,ZENG Zhuo qiao 2,FU M ing 2(1.Department of Civil Eng ineering, Xiang tan Polytechnic University,Xiang tan 411201,P.R.China;2.College of Resources,Environment and Civil Engineering,Central South University of Technology,Changsha 410083,P.R.China) [Abstract]Based on the w ay of M onte Car lo,the pr oblems of var iance estimation o f intensive nonlinear function has been studied. By random disturbance of the standard deviation of directly observed values,a group of false random values of nonlinear function w hich submit to the regular distr ibution w ere produced,then they were transfered into false random value w hich submit to the N (0,1)distr ibution by t he w ay of Box Muller,and some statistical tests had been done on t hem.On the basis of t hese statistics,the visual v ar iance of intensive nonlinear function w as counted by Bessel for mula.Example shows t hat the variance estimation of intensive non linear function counted by the way of M onte Car lo variance estimation has some advantag es ov er that counted by the way of classical v ar iance est imatio n. [Key words]M onte Carlo method;variance estimation;intensive nonlinear functions (编辑 何学锋) % 617%第10卷第4期 李朝奎,等:基于M onte Carlo 方法的强非线性函数方差估计 VaR度量的三种经典方法 1.正态分布法 正态分布法计算组合VaR有三种计算方法： A．假设债券组合的对数日收益率服从均值为u，标准差为σ的正态分布。则由独立同分2?Δt的σ内组合的对数收益率服从均值为u?Δt，方差为布随机变量和的特征知，持有期Δt正态分布。通过计算债券组合的收益率分布，估计分布参数，直接计算债券组合的VaR。若将债券组合看作单一债券，则此种方法也适用于单个债券的VaR计算。具体步骤为： 1、根据成分债券的价格矩阵和对应持仓量矩阵计算债券组合的价格序列，这里价格使用债券的盯市价格（以持仓量计算权重）； 2、根据债券组合的价格序列计算对数日收益率； 3、根据成分债券的当前价格和当前持仓量计算债券组合的当前价格P（以持仓量计算权重）；0 4、由债券组合的对数收益率序列计算其标准差，作为收益率的波动率σ； 5、计算置信度α对应的标准正态分布的分位数z；α?z?σ?Δt，也称为相对VaR，√PVaR= 6、计算组合的在置信度下的最大损失金额VaR为：α0Δt为持有期；P。其中?是指以组合的当前价格为基点考察持有期内组合的价指变化P√0Δt?P?z?σ?Δt (此值为负)，是指以 √ uP为：在该置信度下，债券组合绝对VaR α00持有期内组合的预期收益率为基点考察持有期内组合的变化P?E(P)，其中u为债券组合的收益率均值。 B．假设债券组合中各成分债券的对数收益率服从多元正态分布，均值为向量U，协方差矩阵为V。通过计算成分债券的收益率矩阵，估计向量U和协方差矩阵V，进而计算债券组合的VaR. 1、计算成分债券的对数收益率矩阵R，每一列表示一种成分债券的收益率序列； 2、由成分债券的当前持仓量计算权重向量W（分量和为1）； 3、计算收益率矩阵的列均值向量U，计算列均值的加权和，得到债券组合的收益率均值u；T；W?V?W，则债券组合的方差为V计算收益率矩阵的列协方差，得到协方差矩阵． T√W?Δt?W?z?，也就是相?V√P=4、计算组合在置信度下的最大损失金额为：VaRα0对VaR； T√W?Δt (此值为负)?V?W，Δt?P?z?√uP债券组合在该置信度下的最差价格为：α00也就是绝对VaR，其中u为组合收益率的均值。 C．根据成分债券的VaR计算组合VaR 假设债券组合由n种债券组成，R为这些成分债券的收益率矩阵。 V为第i种成分债券i的当前持仓量， VaR为第i种债券的1日VaR，根据上述方法A计算得到。则第i种成分债i?VaR，设 向量VaR为VaR V为：券在组合中的ii V?VaR11V?VaR 22…VaR=… V?VaR)(nn设corr为各成分债券收益率的相关系数矩阵,则债券组合的T日VaR度量如下：√T VaR??VaR?corr=VaR√T组合2. 历史模拟法 计算历史资产变动情况，模拟资产在未来的变动情况。具体步骤为： 1、获得成分债券的历史盯市价格P，计算历史盯市价格的简单日收益率ΔR（即债券的日变化率），ΔR的每一列表示一种成分债券的历史日收益率序列，设每只成分债券获得N个日收益率。 阿伦方差的定义以及计算方法和物理意义 1. 阿伦方差的定义，计算方法以及物理意义。 David AIlan于1966年提出了Allan方差,最初该方法是用于分析振荡器的相位和频率不稳定性，高稳定度振荡器的频率稳定度的时域表征目前均采用Allan方差。由于陀螺等惯性传感器本身也具有振荡器的特征，因此该方法随后被广泛应用于各种惯性传感器的随机误差辨识中。 Allan方差的基本原理如下:设系统采样周期为τ，连续采样N个数据 点.Y(i)，i=1，2，3…N。对任意的时间r=mτ，m=1,2…N/2,由式(1)求改族时间内各点的均值序列Y(K),由式(2)求取差值序列D(K). KM，,1 Yi(),JK,Y(K)=1/M K=1,2…N-M+1 (1) D(K)=Y(K+M)-Y(K) K=1,2…N-2M+1 (2) 普通AlIan方差的定义如式(3)。其中<>表示取均值，σ=1，2，?， Round((N,m)-1)。 2 2(τ)=1/2 用Allan方差分析法。然而由于在相同的置信水平之下，交叠式Allan方差分析方法比普通的Allan方差具有更大的置信区间. 所谓频率稳定度是指任何一台频率源在连续运行之后，在一段时期中能产生同一频率的程度，即频率随机起伏的程度。造成频率起伏的根本原因是噪声对信号相位或频率调制的结果。这种调相或调频所引起的频率不稳定度在时域表现为频率随时间的起伏，在频域表现为信号的频谱纯度。时域频率稳定度一般用阿伦方差来表征. 频率稳定度最常用的表达式是阿伦方差(Allan variance)，根据稳定度时间的长短，分为频率短期稳定度，如lms，lOms，lOOms，ls稳定度等，中长期稳定度，如ls，10s一?，10000s稳定度等。频率短期稳定度和中长期稳定度虽然它们的定义是一样的，但反映的却是信号稳定度方面不同的特性。短期稳定度表征了信号的抖动水平(fluctuation)，而中长期稳定度则代表了信号频率随时问的漂移程度(drift)。时域短期频率稳定度在时测量非常困难，甚至是不可能的，但此时进行频域测量则比较容易，因此，可以将测量的频率短期稳定度即相位噪声转换为时域的阿伦方差实现对时域短稳的间接测量。相噪理论和统计学认为，频域的相位噪声和时域的阿伦方差是等效的，如果求得了彼此间的换算关系，可以进一步揭示出各表征量的物理性 2. 用阿伦方差与统计平均及均方差在误差描述方面的差异，以及各自的优缺点 (1)均方差也叫标准差,方差开根号为均方差,工程中其量纲与变量一致,应用较广. 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 Communications and Control Engineering For other titles published in this series,go to https://www.wendangku.net/doc/e013220260.html,/series/61 Series Editors A.Isidori J.H.van Schuppen E.D.Sontag M.Thoma M.Krstic Published titles include: Stability and Stabilization of In?nite Dimensional Systems with Applications Zheng-Hua Luo,Bao-Zhu Guo and Omer Morgul Nonsmooth Mechanics(Second edition) Bernard Brogliato Nonlinear Control Systems II Alberto Isidori L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control Arjan van der Schaft Control of Linear Systems with Regulation and Input Constraints Ali Saberi,Anton A.Stoorvogel and Peddapullaiah Sannuti Robust and H∞Control Ben M.Chen Computer Controlled Systems E?m N.Rosenwasser and Bernhard https://www.wendangku.net/doc/e013220260.html,mpe Control of Complex and Uncertain Systems Stanislav V.Emelyanov and Sergey K.Korovin Robust Control Design Using H∞Methods Ian R.Petersen,Valery A.Ugrinovski and Andrey V.Savkin Model Reduction for Control System Design Goro Obinata and Brian D.O.Anderson Control Theory for Linear Systems Harry L.Trentelman,Anton Stoorvogel and Malo Hautus Functional Adaptive Control Simon G.Fabri and Visakan Kadirkamanathan Positive1D and2D Systems Tadeusz Kaczorek Identi?cation and Control Using Volterra Models Francis J.Doyle III,Ronald K.Pearson and Babatunde A.Ogunnaike Non-linear Control for Underactuated Mechanical Systems Isabelle Fantoni and Rogelio Lozano Robust Control(Second edition) Jürgen Ackermann Flow Control by Feedback Ole Morten Aamo and Miroslav Krstic Learning and Generalization(Second edition) Mathukumalli Vidyasagar Constrained Control and Estimation Graham C.Goodwin,Maria M.Seron and JoséA.De Doná Randomized Algorithms for Analysis and Control of Uncertain Systems Roberto Tempo,Giuseppe Cala?ore and Fabrizio Dabbene Switched Linear Systems Zhendong Sun and Shuzhi S.Ge Subspace Methods for System Identi?cation Tohru Katayama Digital Control Systems Ioan https://www.wendangku.net/doc/e013220260.html,ndau and Gianluca Zito Multivariable Computer-controlled Systems E?m N.Rosenwasser and Bernhard https://www.wendangku.net/doc/e013220260.html,mpe Dissipative Systems Analysis and Control (Second edition) Bernard Brogliato,Rogelio Lozano,Bernhard Maschke and Olav Egeland Algebraic Methods for Nonlinear Control Systems Giuseppe Conte,Claude H.Moog and Anna M.Perdon Polynomial and Rational Matrices Tadeusz Kaczorek Simulation-based Algorithms for Markov Decision Processes Hyeong Soo Chang,Michael C.Fu,Jiaqiao Hu and Steven I.Marcus Iterative Learning Control Hyo-Sung Ahn,Kevin L.Moore and YangQuan Chen Distributed Consensus in Multi-vehicle Cooperative Control Wei Ren and Randal W.Beard Control of Singular Systems with Random Abrupt Changes El-Kébir Boukas Nonlinear and Adaptive Control with Applications Alessandro Astol?,Dimitrios Karagiannis and Romeo Ortega Stabilization,Optimal and Robust Control Aziz Belmiloudi Control of Nonlinear Dynamical Systems Felix L.Chernous’ko,Igor M.Ananievski and Sergey A.Reshmin Periodic Systems Sergio Bittanti and Patrizio Colaneri Discontinuous Systems Yury V.Orlov Constructions of Strict Lyapunov Functions Michael Malisoff and Frédéric Mazenc Controlling Chaos Huaguang Zhang,Derong Liu and Zhiliang Wang Stabilization of Navier–Stokes Flows Viorel Barbu Distributed Control of Multi-agent Networks Wei Ren and Yongcan Cao Chapter 10 Numerical Optimal Control of Nonlinear Systems In this chapter,we present methods for the numerical solution of the constrained ?nite horizon nonlinear optimal control problems which occurs in each iterate of the NMPC procedure.To this end,we ?rst discuss standard discretization techniques to obtain a nonlinear optimization problem in standard form.Utilizing this form,we outline basic versions of the two most common solution methods for such problems,that is Sequential Quadratic Programming (SQP)and Interior Point Methods (IPM).Furthermore,we investigate interactions between the differential equation solver,the discretization technique and the optimization method and present several NMPC speci?c details concerning the warm start of the optimization routine.Finally,we discuss NMPC variants relying on inexact solutions of the ?nite horizon optimal control problem. 10.1Discretization of the NMPC Problem The most general NMPC problem formulation is given in Algorithm 3.11and will be the basis for this chapter.In Step (2)of Algorithm 3.11we need to solve the optimal control problem minimize J N n,x 0,u(·) :=N ?1 k =0ωN ?k n +k,x u (k,x 0),u(k) +F J n +N,x u (N,x 0) with respect to u(·)∈U N X 0(n,x 0), subject to x u (0,x 0)=x 0,x u (k +1,x 0)=f x u (k,x 0),u(k) .(OCP n N ,e ) We will particularly emphasize the case in which the discrete time system (2.1)is induced by a sampled data continuous time control systems ˙x(t)=f c x(t),v(t) ,(2.6)L.Grüne,J.Pannek,Nonlinear Model Predictive Control , Communications and Control Engineering, DOI 10.1007/978-0-85729-501-9_10,?Springer-Verlag London Limited 2011275 标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中 标准差σ的4种计算公式: 简易标准差,Rbar/d2，Sbar/C4和Minitab中的Pooled standard deviation(合并标准差) 做数据分析，经常会碰到提到标准差σ这个概念，关于标准差σ的计算方式，目前，本人知道有4种标准差σ的计算方法，如下： 一，简易标准差σ的计算方式 上面是计算整体的标准差，如果是计算样本的标准差，这里的N, 应该为N-1. 一般情况下，都是计算样本的标准差。关于这个标准的详细运算公式和案例分析，可以参考附件，里面有比较详细的解释。 标准差的简易计算公式和案例分析.rar(28.19 KB, 下载次数: 1262) 二，XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)图中的Rbar/d2 算法 XBAR－R管制图分析( X－R Control Chart)：由平均数管制图与全距管制图组成。 ●品质数据可以合理分组时，可以使用X管制图分析或管制制程平均；使用Ｒ管制图分析制程变异。 ●工业界最常使用的计量值管制图。 关于上面公式中用到的A2、A3、D2、D3、D4等常数请参考帖子下面的表格三，XBAR－ｓ管制图分析( X－ｓControl Chart)中的Sbar/C4算法 XBAR－S 管制图分析( X－S Control Chart)：由平均数管制图与标准差管制图组成。 ●与X－R管制图相同，惟s管制图检出力较R管制图大，但计算麻烦。 ●一般样本大小ｎ小于等于8可以使用R管制图，ｎ大于8则使用S管制图。 ●有电脑软件辅助时，使用S管制图当然较好。 方差分析公式 (2012-06-26 11:03:09) 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F 总ΣX2-C* N-1 组间（处理组间）k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间 组内（误差）SS总-SS组间N-k SS组内/v组内 *C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数 表19-7 F值、P值与统计结论 αF值P值统计结论 0.05 ＜F0.05（v1.V2）＞0.05 不拒绝H0，差别无统计学意义 0.05 ≥F0.05（v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义 0.01 ≥F0.01（v1.V2）≤0.01 拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义 方差分析计算的统计量为F，按表19-7所示关系作判断。 例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？ 表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）X ij 春夏秋冬 22.6 19.1 18.9 19.0 22.8 22.8 13.6 16.9 21.0 24.5 17.2 17.6 16.9 18.0 15.1 14.8 20.0 15.2 16.6 13.1 21.9 18.4 14.2 16.9 21.5 20.1 16.7 16.2 21.2 21.2 19.6 14.8 ΣX ij j 167.9 159.3 131.9 129.3 588.4（ΣX）n i8 8 8 8 32（N） X i20.99 19.91 16.49 16.16 ΣX2ijj 3548.51 3231.95 2206.27 2114.11 11100.84（ΣX2）H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4 H1：四个总体均数不等或不全相等 α=0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C= （Σx）2/N=（588.4）2/32=10819.205 SS总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635 V总=N-1=31 V组间=k-1=4-1=3 SS组内=SS总-SS组间=281.635-141.107=140.465 【例10-4】 如图10-1边角网，C B A 、、点为已知点，E D 、为待定点，同精度独立观测了12个角度和6条边长，据分别列于表10-1和表10-2。先验测角中误差"±=5.1βσ，先验边长测量中误差为cm S 0.2±=σ。试按间接平差法进行赫尔默特方差分量估计，并求出： （1）观测值的方差估值； （2）待定点坐标平差值及其方差估值。 表 10-1 基准数据表 表10-2 观测值数据表 设置本例题的目的：理解、熟悉赫尔默特方差分量估计方法的方差估计过程。 解： 分析：此题为边角网，因此，将角度、边长作为两类观测值，按照赫尔默特方差分量估计模型进行估计即可。 1．第一次平差（预平差） （1）第一次定权 设 " ±==5.10βσσ，则 （无量纲） 1 2 20==ββσσP ，)(56.00.25.122222 20秒===S s P σσ （2）计算近似坐标 使用余切公式由A B 、和B C 、分别计算D 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标；由D C 、和A D 、分别计算E 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标。计算结果为 ， ，；，m Y m X m Y m X D E D D 055.2944969.663552.2475923.56560 000==== （3）计算误差方程的b a 、系数（见表10-3、表10-4） 方位角改正数方程： j k j k j j k j k j i k j k j i k j k j k j y S x S y S x S ?cos 65.2062?sin 65.2062?cos 65.2062?sin 65.206200000000ααααδα? +? -? -? = 系数量纲为：厘米秒 边长误差方程： k j k j S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=?sin ?cos ?sin ?cos 0 000αααα（系数无量纲） （4）误差方程组成（见表10-5） 角度误差方程： 设编号为i 的角度，测站点点号为j ，第一照准点点号为h ，第二照准点点号为k ，则角度误差方程按下式组成 期望与方差的相关公式的证明 -、数学期望的来由 早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？ 用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。 这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。 定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑ ∞ =1 <∞时， 则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞ =1 i i i p a ， 如果i i i p a ∑ ∞ =1 =∞，则数学期望不存在。 [] 1 定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值. 期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定. 二、数学期望的性质 （1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。 三、 方差的定义 前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的 复杂样本的方差估计 一、引言对复杂样本按照理论直接推导出方差估计一则十分困难, 二则从节约费用和时间的角度考虑代价也很大。通常采用的替代方法主要有随机组法、平衡半样本方法、刀切法和自助法等。本文研究采用基于逆抽样设计的方法对复杂样本进行方差估计, 并将该方法与传统方法进行比较, 探讨其适用条件。 二、逆抽样设计方法简介 逆抽样设计(Inverse Sampling Design, 简称ISD 方法) 的思想由Hinkins 等提出,Rao 等研究了该方法的一些理论性质。该方法的基本思想是, 通过选择一个抽样机制,对调查得到的复杂样本进行二次抽样。二次抽样机制的设计抵消了初始复杂样本中的分层、整群抽样等效应, 使得按照该抽样机制抽选出来的子样本具有简单随机样本结构, 后续分析基于这些具有简单随机样本结构的子样本进行。下图为该方法的流程示意图: 用数学符号来表示, 假设进行某项调查,按照某种复杂抽样设计从一有限总体中抽出了一个大小为n 的初始样本Sp, 其中下标p(primary) 表示初始样本。现希望从Sp 中抽出一个大小为n' 的子样本s', 使得s' 被抽中的无条件概率p(s') 和简单随机抽样 匹配,也即 由于抽取子样本s' 是一个两步的过程, 由全概率公式, 有 其中,p(sp)为初始样本sp被抽中的概率，为sp已被抽选出来 的前提下,s' 被抽中的条件概率。 如果不依赖于sp, 则由(1) 式, 有 (2)式即为从初始样本sp 中选择s' 的抽样机制。 逆抽样设计方法包括了如下基本的三个步骤: (1)逆掉初始样本的复杂抽样设计, 使得能够产生具有简单随机样本结构的子样本; (2)重复执行逆抽样设计, 以产生多个这样的子样本; (3)基于每一个子样本数据进行分析, 最后再以适当的方式进行合并。 三、逆抽样设计方法下的估计量构造 假设总体目标参数为e,基于某复杂抽样设计p(sp),调查得到一个复杂样本sp。若存在对应于该复杂抽样设计p(sp)的逆抽样设计，并将该逆抽样设计独立地重复执行B次,得到了B个具有简单随机样本结构的子样本(=1,2,⋯,B) 。令和表示由第个子样本得到的总体参数估计和该估计量的方差估计, 则e 的估计可构造为如果是e 的无偏估计, 那么也同样会是e 的无偏估计。 将基于初始复杂样本Sp的总体参数e的估计记为，则的方差估计可构造为: 由(4) 式, 如果无偏, 则也是无偏的。 四、与传统方法的比较研究 作为一种新的复杂样本方差估计方法, 与现有方法相比较有哪些特征?本文用一个基于实际调查数据的模拟, 对这些问题进行分 方差分析方法 方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。 1. 方差分析的意义、用途及适用条件 1.1 方差分析的意义 方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。 方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。 1.2 方差分析的用途 1.2.1 两个或多个样本均数的比较。 1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。 1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。 1.2.4 方差齐性检验。 1.3 方差分析的适用条件 1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。 1.3.2 各抽样总体的方差齐。 1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。 1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。 2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较） 根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。 用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显著性差异，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。 在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量 方差计算公式的变形及应用 江苏 庄亿农 我们知道，对于一组数据x 1、x 2、…x n ，若其平均数为x ，则其方差可用公式 S 2=21)[(1 x x n -+22)(x x -+…+2)(x x n -]计算出来．我们可以对其作如下变形： 2s = n 1[( x 21+2x －2 x 1x )+( x 22+2x －2 x 2x )+…+( x 2n +2x －2 x n x )]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+n 2x －2x ( x 1+ x 2+…+ x n )]= n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+ n 2x －2n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]，即2s =n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]．显然当x 1=x 2=…=x n 时，2s =0． 这个变形公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，可化繁为简，具有事半功倍之效． 一、判断三角形形状 例1 若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足b+c=8，bc=a 2－12a+52，试判断△ABC 的形状． 解析：因为b+c=8，所以(b+c)2=64，所以b 2+c 2=64－2bc ．因为bc=a 2－12a+52，所以b 2+c 2=64－2(a 2－12a+52)=－2a 2+24a －40．由方差变形公式知，b 、c 的方差为2s =21[(b 2+c 2)－21(b+c)2]= 21[(－2a 2+24a －40)－2 1×64]=－a 2+12a －36=－(a －6)2．因为2s ≥0，则－(a －6)2≥0，即 (a －6)2≤0，而(a －6)2≥0，所以(a －6)2=0，所以a －6=0，所以a=6．所以2 s =0，所以b=c ．又b+c=8，所以b=c=4．所以△ABC 是等腰三角形． 二、解方程组 例2 解方程组?? ???+==+22493z xy y x ． 解析：两个方程，三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的．若考虑利用方差变形公式，则能解决问题． 因为x+y=3，所以(x+y)2=9，所以x 2+y 2=9－2xy ．因为xy= 4 9+2z 2，所以x 2+y 2=9－2(49+2z 2)=29－4z 2．由方差变形公式知，x 、y 的方差为2s =21[ (x 2+y 2)－21(x+y)2]=21[29－4z 2－21×9]=－2z 2．因为2s ≥0，－2z 2≥0，则2z 2≤0，而z 2≥0，所以z=0．所以2s =0，所 方差分析公式 （20PP-06-2611:03:09） 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以 上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态 分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完 全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式 GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。 例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有 无差别？ 表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L） SS 加刖=丄 和 ' 10619.265^ 170 HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4 H1:四个总体均数不等或不全相等 a =0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31 （工吋 “ 1 广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千 K .IT N "一 - ? r . —I b K V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28 MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057 方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到 求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 用Kenko 计算器计算方差。。。花一中午自己摁出来的啊 OLIN 型好像也可以用 Shift+（mode clR)+2 //进入统计模式// 出现（Mode clear ）, 按(mode CLR)+2 //使输入第一组数据时M+后出现n=1// 出现SD //appear above the screen// Input [ data1 + (M+)]. [ data2 + (M+)] [ data3 + (M+)]。。。。。 then Press Shift + 2 choose 1 then ' =‘ 平均值 2 then '=' 标准差（1/n) 3 then '=' 标准差(1/(n-1)) 第二种 先按"ON"再按"2ndf",再又按"ON",接着就是输入数据.每输入一个数据后按一次"M+".然后算方差按"RM". 技巧:算按钮左上面的值直接按那个按钮就可以了,如果算按钮右上面的那个值就要先按"2ndf",再按那个 按钮. 例如:求1,2,3,4的方差. 顺序:ON-->2ndf-->ON-->1-->M+ -->2-->M+ -->3-->M+ -->4-->M+ --->RM 北燕系列 一般使用第二功能健（相当于电脑键盘的shift，我看不清你的计算器该键在那）+右上角红键，等待液晶显示stat后即可开始输入数据，方法是：数据1 M+ 数据2 M+ 数据3 M+.......直至数据输入结束。使用X-M键可求平均值，CM 键求方差 按“on”开机 按“mode” 选择“SD”模式（按“2”） 然后把你的一连串数据输入进去，例如：1,2,3,4这一组数据 先输入1，然后按一下“M+” 这时屏幕上会出现“n=1”的字样，OK，继续输入 每输入一个数据就要按一下“M+” 例如：1,2,3,4这一组数据到最后屏幕应该显示“n=4”（这里的n表示数据个数）然后按“shift” 一、 单因素方差分析的计算步骤 假定实验或观察中只有一个因素（因子）A ,且A 有m 个水平，分别记为,,,21m A A A 在每一种水平下，做n 次实验，在每一次试验后可得一实验值，记做ij x 表示在第j 个水平下的第i 个试验值 m j n i ,2,1;,2,1 。结果如下表3.1： 表3.1 单因素方差分析数据结构表 为了考察因素A 对实验结果是否有显著性影响，我们把因素A 的m 个水平m A A A ,,21看成是m 个正态总体，而 m j n i x ij ,2,1;,2,1 看成是取自第j 总体的第i 个样品，因此，可设 m j n i a N x j ij ,2,1;,2,1,,~2 。 可以认为j j j a , 是因素A 的第j 个水平j A 所引起的差异。因此检验因素A 的各水平之间是否有显著的差异，就相当于检验： m a a a H 210:或者 0:210 m H 具体的分析检验步骤是： （一） 计算水平均值 令j x 表示第j 种水平的样本均值， j n i ij j n x x j 1 式中，ij x 是第j 种水平下的第i 个观察值，j n 表示第j 种水平的观察值次数 （二）计算离差平方和 在单因素方差分析中，离差平方和有三个，它们分别是总离差平方和，组内离差平方和以及组间平方和。 首先，总离差平方和，用SST 代表，则， 2)( x x SST ij 其中,n x x ij 它反映了离差平方和的总体情况。 其次，组内离差平方和，用SSE 表示，其计算公式为： j i j ij x x SSE 2 其中j x 反映的是水平内部或组内观察值的离散状况，即反映了随机因素带来的影响。 最后，组间平方和，用SSA 表示，SSA 的计算公式为： 2 2 x x n x x SSA j j j 用各组均值减去总均值的离差的平方，乘以各组观察值个数，然后加总，即得到SSA 。可以看出，它所表现的是组间差异。其中既包括随机因素，也包括系统因素。 根据证明，SSA SSE SST ,,之间存在着一定的联系，这种联系表现在： SSA SSE SST 因为： 2 2 x x x x x x j j ij ij x x x x x x x x j j ij j j ij 22 2 在各组同为正态分布，等方差的条件下，等式右边最后一项为零，故有， 222)()()( x x x x x x j j ij ij 即 SSA SSE SSTVaR分析的三种计算方法
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