专题37数学归纳法单元测试 Word版 含答案

专题37 数学归纳法

1．用数学归纳法证明“3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N )”时，第一步证明中的初始值为( )

A ．n ＝1

B ．n ＝2

C ．n ＝3

D ．n ＝4

【答案】：C

【解析】：由题意知n 0＝3.

2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程中，第二步假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )

A ．1＋2＋22＋…＋2

k －2＋2k －1＝2k ＋1－1 B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2

k ＋1＝2k －1－1＋2k ＋1 C ．1＋2＋22＋…＋2

k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1 D ．1＋2＋22＋…＋2

k －1＋2k

＝2k －1＋2k 【答案】：D 【解析】：由n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边增加了一项，故选D.

3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74.则可归纳出1＋122＋132＋142＋…＋1n 2＋

1 n ＋1 2小于( ) A.2n ＋1n ＋1 B ．2n n ＋1

C ．2n ＋1n ＋2

D ．2n ＋1n ＋3 【答案】：A

4．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *

)，某同学应用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时， k ＋1 2＋ k ＋1 ＝k 2＋3k ＋2＜ k 2＋3k ＋2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋2 2＝(k ＋1)＋

1，

∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．

根据(1)和(2)可知对任何n ∈N *，n 2＋n ＜n ＋1都成立．则上述证法( )

A ．过程全部正确

B ．n ＝1验得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

【答案】：D

【解析】：在证明n ＝k ＋1时，没有用到归纳假设，所以选D.

5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为(

) A.1

n －1 n ＋1 B ．1

2n 2n ＋1

C.1

2n －1 2n ＋1 D ．1

2n ＋1 2n ＋2

【答案】：C

6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *

)成立，其初始值至少应取

( )．

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

【答案】 B

【解析】 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12

＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 7．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是 ( )．

A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立

B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立

C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立

D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立

【答案】 D

【解析】 A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数．

8．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)

，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上

( )． A.

12k ＋2 B ．－12k ＋2 C.12k ＋1－12k ＋2

D.12k ＋1＋12k ＋2 【答案】

C

9．对于不等式n 2＋n

)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k

所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法

( )． A ．过程全部正确

B ．n ＝1验得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

【答案】 D

【解析】 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，故推理错误．

10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝

n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上

( )． A ．k 2＋1

B ．(k ＋1)2

C. k ＋1 4＋ k ＋1 22

D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2

【答案】 D

11．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *

都成立，则a 、b 、c 的值为 ( )．

A ．a ＝12，b ＝c ＝14

B ．a ＝b ＝c ＝14

C ．a ＝0，b ＝c ＝14

D ．不存在这样的a 、b 、c 【答案】 A

【解析】 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即????? 1＝3 a －b ＋c ，1＋2×3＝32 2a －b ＋c ，

1＋2×3＋3×32＝33 3a －b ＋c ，

整理得????? 3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，

81a －27b ＋c ＝34，

解得a ＝12，b ＝c ＝14

. 12．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，

(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

【答案】 (5,7)

【解析】 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

…；

一个整数n 所拥有数对为(n －1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴ n －1 n 2

＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，

12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1 n ＋1 2(n ∈N *

)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值是________．

【答案】 n ＋22 n ＋1

(n ∈N *)

14．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324

的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

【答案】 1 2k ＋1 2k ＋2

【解析】 不等式的左边增加的式子是

12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1 2k ＋1 2k ＋2 ，故填1 2k ＋1 2k ＋2

. 15．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n (n ∈N *)行，在这些数中非1的数字之和是________________．

1

1 1

1 2 1

(完整版)1数学归纳法习题(含答案)

1# 数学归纳法 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·怀化模拟)用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在 第二步时，正确的证法是 ( ) A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立 C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立 D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．(2011·鹤壁模拟)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1 1)”时，由n ＝ k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是 ( ) A ．2k － 1 B ．2k －1 C ．2k D ．2k ＋1 3．(2011·巢湖联考)对于不等式n 2＋n 12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13 ＋…＋131>52 ，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)． 8．(2011·东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n

最新中考材料作文训练题目有哪些

最新中考材料作文训练题目有哪些 一、根据下面给出的这则材料，自拟文题，写一篇800字左右的议论文。 某鞋厂派了两名推销员，一同飞往一个海岛开辟市场。刚一下飞机，他们就了解到所有岛民从来没有穿鞋的习惯。推销员甲心里凉了半截，立即向厂里发出电报："这里没有市场，预计他们的需求量为零!"推销员乙却惊喜万分，也立即向厂里发了电报："市场前景广阔，他们的需求量将从零开始。" 提示： 为什么同样的信息，会在甲乙两个推销员身上产生截然不同的反馈呢?这就要分析他们对同一事物的不同认识。从市场的需求看，是只看现状，还是看发展?从观察事物的方法看，是只看一面，还是看两面?从主观认识上看，是积极地开辟还是消极地对待? 运用辩证的观点，联系现实生活，是写好这类文章的关键。

二、下面是诗人艾青写过的一首短诗，联系现实生活写一篇议论文。 离开了时间/就没有了生命; 生命和时间/紧密相依连; 失去了时间/生命就成了虚幻; 没有了生命/时间就成了云烟。 提示： 如果材料的内容，是谈人或事物之间的关系，那么人与人之间，人与物之间，物与物之间的辩证关系就是材料的中心。这则材料谈的是"生命"与"时间"的辩证关系：两者相互依存，时间的价值就是生命的价值;如果说生命的价值在于过程，那么这过程是按时间来计算的、来体现的。"珍惜生命的分分秒秒"就是这则材料的中心意思。 参考命题：

《时间与生命》 《时间就是生命》 《虚度时光，就是害人害己》 三、阅读下面一组材料，结合实际情况写一篇议论文。 材料一： 阿基米德是古希腊数学家、力学家。在他75岁的时候，一天正蹲在地上看他画的几何图形，残暴的罗马士兵闯进来，拔出了利剑。阿基米德坦然说："等一下杀我的头，给我一会儿工夫，让我把几条定理证完，不能给后人留下不完整的定理呵!"可是罗马士兵的剑已经砍下，阿基米德大叫："我还没完成--"便离开了人世。 材料二： 瑞典化学家诺贝尔，经无数次失败后，终于成功地发明了黄色炸药。在进行最后一次火药制作实验时，火药爆炸了。他从爆炸的火与硝烟中跑出来，全身多处都流着鲜血，而他却高兴地大呼："我成功了!"

高考真题突破：数学归纳法

专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 解答题 1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈* N ． 证明：当n ∈* N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1 122 n n n n x x x x ++-≤ ； （Ⅲ）1211 22 n n n x --≤≤． 2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1 (1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的 底数． （Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1 (1)n n +与e 的大小； （Ⅱ）计算 11b a ，1212 b b a a ，123123 b b b a a a ，由此推测计算12 12n n b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()n n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <． 3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0) x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （Ⅰ）求()() 122222 f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()( ) 1444n n nf f -πππ+=成立． 4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p c a 11>，p n n n a p c a p p a -++-= 111， 证明：p n n c a a 1 1>>+． 5．（2014 重庆）设1 11,(*)n a a b n N +==+∈

解析数学归纳法思想

解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，

，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++??????=?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

初中材料作文专项练习

第五单元 材料作文 【文题链接】 读下面的材料，写一篇议论文。 口与鼻争高下。口曰：“我谈古今是非，尔何能居我上？”鼻曰：“饮食非我不能辨。”眼谓鼻曰：“我近鉴(仔细看)毫端(毛笔尖)，远察天际，唯我当先。”又谓眉曰：“尔有何功居我上？”眉曰：“我虽无功，若无，成何面目？” 要求：①写材料作文，重在审题立意。首先要读懂材料并抓住材料的主要内容，然后确立论点。 ②本次作文重在议论，要有论据和论证过程。 ③要把材料与自己的生活经验联系起来。可以论说从材料里得来的启示，也可以从自身经验出发，总结自己的收获。 ④要适当运用名人名言及事例，增强说服力。 ⑤篇幅不少于600字。 【写作指拨】 本题是一篇寓言类材料作文，写作此类材料作文，应该掌握以下方法。 1．分析探究法。寓言类材料多为隐性，审题时必须对材料的引申义、比喻义、象征义进行由此及彼的分析探究，使其与现实对接。如有一道材料作文题提供的是一则“兔子学游泳”的寓言故事，表面上与当前的政治热点、社会时事并无关联，实际上小故事有大道理，命题者关注的是“教育与人的全面发展”这一核心问题，倡导发挥自身优势，走自己的路，开拓出属于自己的一片天地，其内涵深刻，而且可供发挥的空间很大。 2．点面结合法。读懂材料是材料作文写作的重要前提。读懂材料必须全面理解材料，了解材料所涉及的对象和范围，同时要抓住重点，理清关系，理解中心，为立意奠定一个较好的基础。审题时必须有整体观，切忌断章取义，执其一端。 3．善择角度法。自主选择角度是新材料作文和传统作文的最大区别，鼓励学生发挥创造力、多角度看问题、自由发表见解是材料作文之终极目的。而能不能找到合适的角度就成了衡量考生审题水平高低的重要标准。为此，学生在审题时首先要能从材料中挖掘出所有的角度。一般能找到关键句(词)就能找到角度，关键句往往是概括性的结论句或评价句。如本次作文所给寓言材料，反观口、鼻、眼、眉的争辩，我们不难看出其寓意，即强调凡事要有团结(团队)合作精神；评价事物不能片面，要全面地分析问题，等等。 4．化大为小法。在确定行文的相关角度后，还不能马上动笔行文，因为只从某一角度写出来的文章大多是空洞的、抽象的。此时，要做的一件事就是把大角度化小一点，把抽象概括的一句话变为具体可感的若干侧面，调动积累的相关知识，充分发挥想象力，进而确定立意。 只要掌握以上方法并结合自己的阅读和生活阅历进行审题立意，就能写出异彩纷呈的文章来。 【佳作借鉴】 团队精神的力量

高三数学课题：数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法 【三维目标】： 一、知识与技能 1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、过程与方法 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。 三、情感，态度与价值观 体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。 【教学重点与难点】： 重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。 难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。 【课时安排】：2课时 第一课时 【教学思路】： （一）、创设情景，揭示课题

问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝ n n a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n 1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？ ________97531________ 7531_______531_______ 31=-+-+-=+-+-=-+-=+- 生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n n n 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。 （二）、研探新知 原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1） 第一块骨牌倒下； （2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）

材料作文审题立意的训练_作文专题

材料作文审题立意的训练 材料作文审题立意的训练篇1 阅读下面提供的材料并作文： 乌鸦因羡慕老鹰能从山上俯冲下来抓走小羊的本领，于是模仿老鹰的俯冲姿势拼命练习。一天，乌鸦觉得自己练得很棒了，便哇哇地从树上猛冲下来，想抓住山羊往上飞，可是它的身子太轻，爪子又被羊毛缠住，无论怎样拍打翅膀也飞不起来。结果被牧羊人抓住了。当牧羊人的孩子问这是什么鸟时，牧羊人说：“这是一只忘记自己叫什么的鸟。”孩子摸着乌鸦的羽毛说：“它也很可爱呀!” 要求：全面理解材料，但可以选择一个侧面、一个角度构思作文。自主确定立意，确定文体，自拟题目;不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。写一篇不少于800字的议论文。 阅读这则材料，我们应该思考： (1)这则材料描写了哪几个主要对象? 主要描写了三个对象：乌鸦、牧羊人、小孩。 (2)它们都有哪些行为? 乌鸦的行为：模仿老鹰抓小羊，结果被牧羊人抓住了; 牧羊人的行为：对乌鸦的行为进行了评价，说它是一只忘记自己叫什么的鸟; 孩子的行为：也是对乌鸦的行为进行评价，说它是一只挺可爱的1 / 5

鸟。 (3)乌鸦被牧羊人抓住的原因是什么? 原因是它的身子太轻了，爪子又被羊毛缠住了。 (4)分析乌鸦被抓住深层的原因是什么?换句话说同样是抓小羊，老鹰抓小羊为什么不被抓，而乌鸦却被抓住了? 因为老鹰有锋利的爪、牙，强健的翅膀，快速的飞翔速度，而这一切乌鸦都不具备，但它却盲目(机械)地模仿、照搬，这是造成它被抓住的本质原因。 (5)面对乌鸦的这一行为和结果，牧羊人和孩子分别作出了评价，从这个评价中，我们可以看出他们二人对乌鸦的态度是肯定还是否定?肯定，肯定了什么?否定，否定了什么? 牧羊人：否定。否定的是乌鸦不考虑自身条件，盲目模仿的行为。 孩子：肯定。肯定的是乌鸦的敢于尝试新鲜事物，拼命追求理想的精神。 通过以上的分析，我们可以分别从乌鸦、牧羊人、孩子这三个角度去立意： (1)要考虑自身条件(要量力而行) (2)要有自知之明 (3)摆正自己的位置 (4)盲目模仿与科学定位 (5)要敢于尝试新事物，努力追求理想 2 / 5

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

高考数学专题训练 数学归纳法

数学归纳法 注意事项：1.考察内容：数学归纳法 2.题目难度：中等难度 3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。 4.参考答案：有详细答案 5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.用数学归纳法证明“)1 2...(312))...(2)(1(-???=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘 的代数式为 （ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ． 112++k k D ．1 3 2++k k 2.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +- 3.已知 11 1 ()()12 31 f n n n n n *= +++ ∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1 ()3(1)1 f k k + ++ B ．1 ()32f k k + + C ．1111 ()3233341f k k k k k +++- ++++ D ．11 ()341 f k k k +- ++ 4.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列 结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立 5.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y + 整除”时，第二步归纳假设应写 成（ ） A ．假设21()n k k * =+∈N 时正确，再推证23n k =+正确

专题06 数列与数学归纳法(原卷版)

1 专题6.数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．． 成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b = 2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列，数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________． 3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．*()n N ∈ 4．（2020·天津高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；

新材料作文训练题目

新材料作文训练题目 1、阅读下面的材料，根据要求作文 两个游泳健将在江边散步，因话不投机打起赌来，说谁不能游到对岸，谁就不是男人。两人对峙着要求一起下水，但其中一个看着水流湍急的江水，平静地说：“我服输。”另一个人听完，哈哈大笑，他转身扑入江水中，回头对旁人说：“我要让这软蛋看看咱的本领。”他的朋友让他回来，说现在江水流速快，游到对岸有危险，但是他根本不听朋友们的话，转眼之间就游出五六十米远，突然一个波浪过来，他在江水中消失了。 要求选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的内容及其含意的范围作文，不要套作，不得抄袭，字数不少于600字。 2、阅读下面的材料，根据要求作文 公鸡登上一堆沙土，在上面刨了个不亦乐乎，它忙忙碌碌地想找点食物，最后却翻出了一颗珍珠。 公鸡说：“这个宝物尽管光彩夺目，对我却毫无用处，还不如找到一颗麦粒，用它来填饱肚子。咱们庭院里的鸡鸭羊猪，都喜欢吃麦粒，要这珍珠干什么呢？我用不着佩戴这个宝物，也不想用它来打扮自己，就让人们去把它当作宝贝吧！” 说罢，公鸡把珍珠丢到一边，继续去翻找它的麦粒。 要求选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的内容及其含意的范围作文，不要套作，不得抄袭，字数不少于600字。 3、阅读下列文字，按要求作文。 螃蟹在树林里迷了路。遇到青蛙，问道：“青蛙哥哥，到河边去，怎么走？”青蛙指着前面说：“你一直往前走，一会儿就会到达河边。” 螃蟹走了老半天，还是没走到河边，后来，螃蟹遇见了青蛙，指责到：“你害得我好苦，走了老半天还是没有见到河的影子。”青蛙说：“我没有骗你！叫你一直往前走，你却横着爬，当然到不了河边。” 要求选择一个角度构思作文，自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的内容及其含意的范围作文，不要套作，不得抄袭，字数不少于600字。 4、阅读下面的文字，按照要求写一篇文章。 西方某个国家有一位牧师奉派到新教区，发现前任牧师种了数百株郁金香。然而附近上学的学童走过花园，见花便摘。 一天早上他站在花园里，有个上学的学童问他：“我可以摘一朵花吗？”牧师问：“你要哪一朵？”那孩子选了开得最美的一朵郁金香。牧师接着说：“这朵花是你的，要是把它留在这里，它过多大会儿也不会凋谢。现在采摘，只

数学归纳法巧记高中数学公式大全

高中数学公式大全及巧记口诀 离2012年高考只剩63天了，因为高中数学在高考中占有较大的比分，很多同学在数学上失分很多，其主要原因是同学们对数学基础知识记忆和掌握不够到位。因此我们乐恩特教育网整理了高中数学公式大全及巧计口诀，以便同学们轻松掌握数学公式，在高考数学复习上达到事半功倍的效果！以下就是整理的高中数学公式大全及巧记口诀： 一、《集合与函数》 内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。 复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。 指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。 函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数； 正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。 两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴； 求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。 幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数， 奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

18年高考数学专题14二项式定理及数学归纳法教学案理

专题14 二项式定理及数学归纳法 【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 二项式定理的简单应用，B级要求； (2)数学归纳法的简单应用，B级要求 【重点、难点剖析】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r； (2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质： ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－r n； ②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1. 2．二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”． (2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项． 3．数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可． 4．数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论． (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法． (3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用． (4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．

材料作文审题专题训练(学生版和教师版)

材料作文审题专题训练(学生版) 阳逻一中徐金舟 （一）材料作文审题方法提示 仔细阅读,弄清材料写了些什么,思考命题人希望我们从整体材料中明白什么道理。 （二）材料作文审题训练:写出下列作文的主旨（观点）。 1.阅读下面的材料，按要求作文。 你成不了心态的主人，必然会沦为情绪的奴隶。 ----网络语言 请你根据你对这句话的思考和理解写一篇作文。 2．阅读下面的材料，按要求作文。 一颗阴暗的心托不起一张灿烂的脸。 请你根据你对这句话的思考和理解写一篇作文。 3．阅读下面的材料，按要求作文。 当别人处在寒冷的雪天时,我们要做一个雪中送炭的人。 请你根据你对这句话的思考和理解写一篇作文。

4．阅读下面的材料，按要求作文。 常思己过,莫论他非。 请你根据你对这句话的思考和理解写一篇作文。 5．阅读下面的材料，按要求作文。 痛苦源自错误的追求。 6.阅读下面的材料，按要求作文。（50分） 好胜是进步的阶梯。 请根据你对上述句子的理解写一篇作文，不少于600字。文中如果出现真实的姓名或校名，请以化名代替。 7.阅读下面材料，然后按要求作文。（50分） 人生旅途有鲜花和欢笑，也有荆棘和泥泞。 你对上述文字有何联想和思考，请写一篇600字以上的文章，文体不限。

8.阅读下面的材料，按要求作文。 互联网是把双刃剑。 读了这则材料后你有何思考？请自拟题目，自选文体写一篇不少于600字的作文。 9.阅读下面的材料，按要求作文。 尺有所短,寸有所长。 请根据对上述文字的感悟和思考，写一篇文章。 10.阅读下面的材料，按要求作文。（50分） 世界以痛吻我，要我报之以歌。 请你根据对上述文字的理解和思考，写一篇文章。 11.阅读下面的材料，按要求作文。（50分） 世界以痛吻我，我要报之以歌。 请你根据对上述文字的理解和思考，写一篇文章。12.阅读下面材料，按要求作文。(50分) 有一个人经常出差，也经常买不到对号入座的票。可他总能找到座位。其办法很简单，就是一上车就耐心地一节车厢、一节车厢地找。而大多数乘客却被车厢拥挤的表面现象迷惑了，不去想办法，也没有

高考数学(人教a版,理科)题库：数学归纳法(含答案)

第3讲数学归纳法一、选择题 1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a (a≠1，n∈N*)”时，在验 证n＝1成立时，左边应该是( ) A 1 B 1＋a C 1＋a＋a2 D 1＋a＋a2＋a3 解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C. 答案 C 2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立 C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立 D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立 解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数． 答案 D 3．用数学归纳法证明1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n＝ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n，则 当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()． A.1 2k＋2B．－ 1 2k＋2 C.1 2k＋1－ 1 2k＋2 D. 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 解析∵当n＝k时，左侧＝1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k，当n＝k＋1时， 左侧＝1－1 2＋ 1 3－ 1 4＋…＋ 1 2k－1 － 1 2k＋ 1 2k＋1 － 1 2k＋2 . 答案 C

4．对于不等式n2＋n