8.复数结构
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高考数学母题
[母题]Ⅰ(1-08):复数结构（008） 21
复数结构 [母题]Ⅰ(1-08):(《选修2-2》(人教A 版)P116复习参考题A 组第1⑴题)复数a+bi 与c+di 的积是实数的充要条件是( )
(A)ad+bc=0 (B)ac+bd=0 (C)ac=bd (D)ad=bc
[解析]:由(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 是实数的充要条件是ad+bc=0.故选(A).
[点评]:复数结构包括:①实部和虚部:对于复数z=a+bi(a,b ∈R),其中a 和b 分别叫做复数z 的实部和虚部,要特别注意复数z 的虚部是实数b,而不是bi;②虚数和实数:复数z=a+bi(a,b ∈R)是实数?b=0;③虚数和纯虚数:复数z=a+bi(a,b ∈R)是虚数?b ≠0;复数z=a+bi(a,b ∈R)是纯虚数?a=0,且b ≠0,要特别注意b ≠0.
[子题](1):(2008年辽宁高考试题)复数i
i 21121-++-的虚部是( ) (A)i 51 (B)51 (C)-51i (D)-5
1 [解析]:i i 21121-++-=i i i i i i i i i i 5
15152152)2)(21(21)2)(2(2+-=++--=+-++--+---.所以复数的虚部是51.故选(B). 注:求一个复数的实部和虚部是高考中的一个基本题型,该类问题常与复数的运算结合,因此,解决该类问题的关键是快算巧解;如本题可快算巧解:i i 21121-++-=i i i )2(121+-++-=i
i 211-+= -51+51i.故选(B). [子题](2):(2005年全国Ⅱ高考试题)设a 、b 、c 、d ∈R,若di
c bi a ++为实数,则( ) (A)bc+a
d ≠0 (B)bc-ad ≠0 (C)bc-ad=0 (D)bc+ad=0
[解析]:因di c bi a ++为实数?di c bi a ++=m ∈R ?a+bi=mc+dmi ????==md
b m
c a ?ad=bc.故选(C). 注:关于复数有如下基本结论:①(a+bi)(c+di)为实数?ad+bc=0;
di c ++bi
a 为实数?ad-bc=0(cd ≠0);②(a+bi)(c+di)为钝虚数?ac-bd=0,且bc+ad ≠0;di c bi
++a 为钝虚数?ac+bd=0,cd ≠0,且ad-bc ≠0.
[子题](3):(2004年广东高考试题)己知复数z 与(z+2)2-8i 均是纯虚数,则z= .
[解析]:设z=xi,则(z+2)2-8i=(2+xi)2-8i=(4-x 2)+4(x-2)i 是纯虚数?4-x 2=0,且x-2≠0?x=-2?z=-2i.
注:本题是教材(《选修2-2》(人教A 版)P116复习参考题A 组第2题)中的原题;引用或改编教材中的原题是高考命题的方法之一,这一方法在复数试题的命制上得到充分体现.
[子题系列]:
1.(2009年福建高考试题)复数i 2
(1+i)的实部是 .
2.(2009年江苏高考试题)若复数z 1=4+29i,z 2=6+9i,其中i 是虚数单位,则复数(z 1-z 2)i 的实部为 .
3.(2007年山东高考试题)复数i i 2134++的实部是( ) (A)-2 (B)2 (C)3 (D)4
4.(2011年江苏高考试题)设复数z 满足i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则z 的实部是 .
22 [母题]Ⅰ(1-08):复数结构（008）
5.(2007年重庆高考试题)复数322i i
+的虚部为 .
6.(2013年大纲高考试题)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为 .
7.(2006年福建高考试题)设a 、b 、c 、d ∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是( )
(A)ad-bc=0 (B)ac-bd=0 (C)ac+bd=0 (D)ad+bc=0
8.(2004年浙江高考试题)己知复数z 1=3+4i,z 2=t+i,且z 12z 是实数,则实数t= .
9.(2008年全国I 高考试题)设a ∈R,且(a+i)2i 为正实数,则a=( )
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1
10.(2007年全国I 高考试题)设a 是实数,且
211i i a +++是实数,则a= . 11.(2009年陕西高考试题)己知z 是纯虚数,i
z -+12是实数,那么z 等于( ) (A)2i (B)i (C)-i (D)-2i
12.(2009年江西高考试题)若z=(x 2-1)2
+(x-1)i 为纯虚数,则实数x 的值为( )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)-1,或1
13.(2008年福建高考试题)若复数(a 2-3a+2)+(a-1)i 是钝虚数,则实数a 的值为( )
(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)-1
14.(2008年浙江高考试题)己知a 是实数,i i a +-1是纯虚数,则a=( ) (A)1 (B)-1 (C)2 (D)-2
15.(2005年天津高考试题)若复数i
i a 213++(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ) (A)-2 (B)4 (C)-6 (D)6
16.(2005年北京高考试题)若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且2
1z z 为纯虚数,则实数a 的值为 . 17.(2011年安徽高考试题)设i 是虚数单位,复数
i
ai -+21为纯虚数,则实数a 为 . [子题详解]: 1.解:由i 2(1+i)=-(1+i)=-1-i ?实部是-1. 2.解:由z 1=4+29i,z 2=6+9i ?(z 1-z 2)i=(-2+20i)i=-20-2i ?实部为-20.
3.解:由
i i 2134++=2-i ?实部为2.故选(B). 4.解:由i(z+1)=-3+2i ?z+1=2+3i ?z=1+3i ?z 的实部是1. 5.解:由322i i +=i i -2252i (2+i)?虚部为54. 6.解:由(3-4i)z=|4+3i|=5?z=51(3+4i)?虚部为54. 7.解:由母题知,故选(D). 8.解:由z 12z =(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i 是实数?4t-3=0.
9.解:由(a+i)2i=-2a+(a 2-1)i 为正实数?a=-1.故选(D). 10.解:由
211i i a +++=2)1()1(i a a -++是实数?a=1. 11.解:设i
z -+12=a ?z=(a-2)-ai 是纯虚数?z=-2i.故选(D).12.解:由z 为纯虚数?(x 2-1)2=0,x-1≠0?x=-1.故选(A). 13.解:由a 2-3a+2=0,且a-1≠0?a=2.故选(B). 14.解:由
i i a +-1=2)1()1(i a a +--是纯虚数?a=1.故选(A). 15.解:由i i a 213++=5)23()6(i a a -++是纯虚数?a=-6.故选(C). 16.解:由2
1z z =25)64()83(i a a ++-是纯虚数?a=38. 17.解:由
i ai -+21=5)12()2(i a a ++-为纯虚数?a=2.