泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
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第2章 度量空间与赋范线性空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念
在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对
y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质：
（1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈
（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；
则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间
设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令
1 (,)0 x y
x y x y ρ≠?=?
=?
显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
元素间的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
例 2.2 n 维欧几里得空间n R 表示n 维向量()12,,,n x x x x =的全体组成的集
合，也表示n 个实数12,,
,n x x x 组成的数组()12,,
,n x x x 的全体形成的集合。对
()12,,,n x x x x =，()12,,,n n y y y y R =∈，定义
12
21(,)()n
i i i x y x y ρ=??=-????∑ （2.1） 下面来证),(??ρ满足度量定义中的条件（1）~（3）。
由式（2.1）不难验证),(??ρ满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用2p =时的离散型Minkowski 不等式（见1.5节）。 取()12,,
,n n z z z z R =∈，则有
[]11
2
2
2
211112
2
2211(,)()()()()()(,)(,)
n
n
i i i i i i i i n
n
i i i i i i x y x y x z z y x z z y x z z y ρρρ====??????=-=-+-?????????
?
????≤-+-????????=+∑∑∑∑
因此，n R 是一距离空间。(,)n R ρ称为n 维欧氏空间。 注：若在n R 中规定
11(,)m a x i i i n
x y x y ρ≤≤=- （2.1ˊ）
则1(,)n R ρ也是距离空间（读者自己验证）
例2.3 所有数列组成的集合S ，对{}{},,n n a b S ξη==∈定义 11(,)21n n
n i n n
a b a b ρξη∞
=-=+-∑
（2.2）
那么(,)ρξη是S 上的度量。式（2.2）通常称为Fr échet 组合。
(,)ρξη显然满足度量条件（1）~（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对,ξη
及{},n c S γ=∈由于函数()(0)1x
x x x
?=
>+是单调增函数，因此由 n n n n n n a b a c c b -≤-+-
得
1111n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n
a b a c c b a c c b a b a c c b a c c b --+---≤≤+
+-+-+-+-+- 在上市不等式两边同乘
1
2
n 再求和，便得 (,)(,)(,)ρξηρξγργη≤+
因此(,)S ρ是距离空间。
例2.4 连续函数空间[],,C a b 对[],,,f g C a b ∈定义
(,)
m a x ()()a t b
f g f t g t ρ≤≤=- （2.3） 则(,)f g ρ是[],C a b 上的一个度量。
(,)
f g ρ显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数[],,h C a b ∈由 []()()()()()()
max ()()max ()() =(,)(,),(,)
a t b
a t h
f t
g t f t
h t h t g t f t h t h t g t f h h g t a b ρρ≤≤≤≤-≤-+-≤-+-+?∈
所以
(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+
例2.5 函数类()(1)p L E p ≥（参见1.6节）,对,()p f g L E ∈定义 ()
1
(,)()()p
p
E
f g f t g t d t ρ=
-?
（2.4）
则(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，((),)p L E ρ是度量空间。
由 1
(,)
0(()())0
p
p
E
f g f t g t d t ρ=?-=?
根据Lebesgue 积分的性质有()()f t g t a e =?。反之，若()()f t g t a e =?， 则
(,)0f g ρ=。所以，(,)f g ρ满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；
对另一函数()p h L E ∈，根据1.6节Minkowski 不等式有
(,)(,)(,)p
p p
f g f g
f h h g
f h h
g ρρρ=-≤-+-=+
即(,)f g ρ满足度量定义条件（3），所以(,)f g ρ是()p L E 上的一个度量，
((),)p L E ρ是度量空间。
例2.6 [],L a b ∞是本性有界可测函数的全体，即[],a b 上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对[],,,f g L a b ∞∈定义
[][][]0,,,(,)inf sup ()()var sup ()()mE t a b E t a b E a b f g f t g t i f t g t ρ=∈-∈???
=-=-???
? （2.5）
则(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
由式（2.5）显然可知，(,)f g ρ满足度量条件（1）~（2）。现证(,)f g ρ满足度量条件（3），对[],,,f g h L a b ∞∈及0ε?>存在[][]12,,,E a b E a b ??且
120,mE mE ==使
[][]1
1
,,sup
()()(,)2
sup ()()(,)2t a b E t a b E
f t h t f h h t
g t
h g ε
ρερ∈-∈--<+-<+
从而有
[][]{}
[][][][]12
12
12
12
1
2
,,,,,,(,)sup ()()
sup ()()()() sup
()()sup ()() sup
()()sup ()()
t a b E E t a b E E t a b E E t a t E E t a b E t a b E f g f t g t f t h t h t g t f t h t h t g t f t h t h t g t ρ∈-?∈-?∈-?∈-?∈-∈-≤
-≤-+-≤
-+
-≤-+- <(,)(,)f h h g ρρε
++
令0ε→得(,)(,)(,)f g f h h g ρρρ≤+。所以(,)f g ρ是[],L a b ∞上的一个度量，
[](,,)L a b ρ∞是度量空间。
2.1.2 距离空间中点列的收敛性
非空集合X 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。
【定义2.2】设X 是一个度量空间，,,(1,2,)n x x X n ∈=称点列{}n x 收敛于
x ，是指(,)0(),n x x n x ρ→→∞叫做点列{}n x 的极限，记作l i m n n x x →∞
=或
()n x x x →→∞。
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
【定理2.1】 度量空间(,)X ρ中的收敛点列{}n x 的极限是唯一的，且若{}n x 收敛于,x X ∈则{}n x 的任意子列{}
k x x 也收敛于x 。
证明：首先证明定理的第一部分。设,x y X ∈都是{}n x 的极限，则对,n N ?∈有
(,)(,)(,)n n x y x x x y ρρρ≤+
令n →∞有(,)0,(,)0,n n x x x y ρρ→→必然有(,)0,x y ρ=因此,x y =这说明
{}n x 最多有一个极限。
其次证明定理的第二部分。设{}n x 收敛于x X ∈，于是0ε?>，存在自然数
N ，当n N >时，(,)n x x ρε<。由于k n N ≥，从而当k n ≥时，也有(,),k n x x ρε<故{}
k n x 收敛于x 。证毕。
下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。 例2.7 n R 空间中点列{}(){}
(0)()
()()
12,,
,m m m n x x
x x =
按度量式（2.1）收敛于 {}(){}
(0)
(0)(0)(0)
1
2,,
,n x x
x x =
的充分必要条件是对每个,(1)i i n ≤≤有()(0)()m i i x x m →→∞，即按坐标收敛。
证明：?对(1)i i n ?≤≤，由于
1
2
2()
(0)()(0)()(0)1(,)n
m m m i
i
k k k x
x
x x x x ρ=??→≤→=????
∑ 因此，当()(0)()0()m x x m ρ→→→∞时，一定有()(0)0()m i i x x m →→→∞，()(0)()m i i x x m →→∞。
?由于
1
2
2
()(0)()(0)()(0)()(0)
()(0)
11221
()n
m m m m m k k n n
k x x x x x x x x x x ρ=?
?→=→≤→+→+
+→????
∑ 所以，对,(1)i i n ≤≤，当()(0)()m i i x x m →→∞时()(0)()0()m x x m ρ→→→∞。证毕。
同样我们也可以证明n R 中点列{}n x 按距离式（2.1′）收敛于(0)x 的充要条件是对于每个,(1)i i n ≤≤，有()(0)()m i i x x m →→∞。
例2.8 [],C a b 空间中点列{}n f 按式（2.3）度量收敛于[]0,f C a b ∈的充分必要条件是{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f 。
证明：?由0(,)0(),n f f n ρ→→∞知对0,,N ε?>?当n N ≥时，
0m a x ()(),n a t
b
f t f t ε≤≤-<即对任意[],,t a b ∈当n N ≥时，0()(),n f t f t ε-<所以
n f 在
[],a b 上一致收敛于0f 。
?若{}n f 在[],a b 上一致收敛于0f ，则对0,,N ε?>?当n N ≥时，对于
[],t a b ?∈恒有0()(),n f t f t ε-<从而0max ()(),n a t b
f t f t ε≤≤-<
即0(,)0()n f f n ρ→→∞。证毕。
若[],C a b 按式（2.4）定义度量，则[],C a b 就构成[],p L a b 的子空间，令
[]1()() ,,(1,2,)()
n
n n
x t t a t a b n b a =
-∈=- 由勒贝格控制收敛定理，{}
n x 在[],p L a b 中收敛于()0,x t ≡显然{}[]
,,n x C a b ?但
{}n x 不一致收敛于()0x t ≡。
例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。
习题
2.1
1．对,x y R ∈，定义2(,)(),(,)x y x y x y ρρ=-是R 上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？
2．对,x y R ∈，规定(,)x y ρ=证明(,)R ρ是距离空间。
3．把所有收敛数列的集合记为c ，对{}{},,,,(1,2,),i i x y c x x y y i ∈===定义
(,)sup ,i i i N
x y x y ρ∈=-证明(,)c ρ是距离空间。
4．设X 是度量空间，在X 中若,()n n x x y y n
→→→∞。证明：(,)(,n n x y x y ρρ→。
5．设()()()()
()
12,,
,,
(1,2,
),m m m m n x x x x n ==及()12,,
,,
n x x x S ∈，证明点列
{}()
m x 收敛于x 的充分必要条件是{}()
m x 依坐标收敛于x ，即对每个自然数
(),()m i i i x x m →→∞
2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射
在第1章中,我们对n R 空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概
念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。
2.2.1 度量空间中的开、闭集
【定义2.3】 设X 是度量空间，0x X ∈，0r >是一个正数，
点集0{|(,)x x x ρ< ,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的开球，或0x 的r 邻域，记为0()r B x 或0(,)r B x r ；点集0{|(,)x x x ρ≤,}r x X ∈称为以0x 为中心、以r 为半径的闭球，记为
0()r B x 或0(,)r B x r 。
X 中的点列{}n x 收敛于x X ∈，用邻域的术语来说，就是：对于x 的任意邻域(,)B x ε，存在自然数N ，使当n N >时，(,)n x B x ε∈。
例2.9 设X 是离散距离空间，0x X ∈，则00(,1){}B x x =，0(,2)B x X =，
0(,1)B x X =，001
(,){}2
B x x =。
例2.10 设[0,1][2,3]X =，X 是R 的子空间，
则(2,3)[2,3)B =，(2,1)[2,3)B = {1}，1(,1)(0,1)2B =，1
(,1)[0,1]2
B =。
设A 是X 的子集，0x 是X 中的一个定点，则0x 与A 的关系只能有如下三种 情况：
（1）在0x “附近”全是A 的点； （2）在0x “附近”根本没有A 的点；
（3）在0x “附近”既有A 的点，又有不属于A 的点。 根据以上情况，我们给出如下定义：
【定义2.4】 设X 是距离空间，A X ?，0x X ∈，如果存在0x 的邻域0(,)B x ε
A ?，则称0x 是A 的内点；如果0x 是X A -的内点，则称0x 是A 的外点；如果0x 既非A 的内点，有非A 的外点，即0x 的任何邻域内既有属于A 的点，也有不属于
A 的点，则称0x 为A 的界点或边界点；如果0x 的任意邻域0(,)
B x r 都含有0{}A x -中的点，即0(,)
B x r 0({})A x -，≠?则称0x 是A 的聚点。
注：A 的聚点不一定是A 的内点，还可能是A 的界点；其次，A 的内点必属于A ，
但A 的聚点则可以属于A ，也可以不属于A 。由此可知A 的界点不是聚点，便是孤立点。
X 中的点，对A 来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。
例2.11 若X 为离散距离空间，A X ?，则A 中均为内点且为A 的孤立点，X A -中的点均为A 的外点。
【定义 2.5】 设X 是距离空间，G X ?，如果G 中每一点都是G 的内点，则称G 是开集。
例2.12 任何开球0()r B x 是开集。
证明：设0()r x B x ∈，则0(,)x x r ρ<，令10(,)r r x x ρ=-，那么10()()r r B x B x ?，事实上，若1()r y B x ∈，则1(,)x y r ρ<，由于
0010(,)(,)(,)(,)y x y x x x r x x r ρρρρ≤+<+=
所以0()r y B x ∈。
【定理2.2】 设X 是度量空间，X 中开集有如下性质： （1）空间X 及空集?是开集； （2）任意多个开集的并是开集； （3）有限多个开集的交是开集。
证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。
设12,,,n G G G ???是X 中的有限个开集，即
121
n
n i i G G G G G ==???=
对x G ?∈，及一切(1)i i n ≤≤，有i x G ∈，由于i G 是开集，所以存在0i r >，使
(,)i i i B x r G ?，取12min{,,,}n r r r r =???，则对1i n ≤≤，有(,)i i B x r G ?，可见
1
(,)n
i i i B x r G =?
，所以x 是G 的内点，有x 的任意性知，G 是开集。证毕。
注：任意多个开集的交不一定是开集，例如1
(0,1)(1,2,)n G R n n
=+?=???，
1
n i G ∞
==(0,1]，(0,1]并不是R 的开集。
对于度量空间X 的子集A ，A 的聚点全体记为A '，称为A 的导集，集合
A A
A '=称为A 的闭包。
例2.13 设11{1,,,,}2A R n =???????，则{0}A '=，11
{1,,,,}2A n
=??????。
【定义2.6】 设X 是距离空间，A 是X 的子集，如果A 的每一个聚点属于A ，
则称A
【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设X 是距离空间，A X ?，若A 是X 的开集，则X A -是X 的闭集；若A 是X 中的闭集，则X A -是开集。
证明：设A 为开集，x X ∈是X A -的聚点，则x 的任一邻域都有不属于A 的点，这样x 不可能是A 的内点，从而x A ?，即x X A ∈-，
由于x 的任意性，知X A -是闭集。反之，设A 为闭集，x X A ?∈-，若x 不是X A -的内点，则x 的任意邻域(,)B x ε至少有一个点属于A 的点，而且异于x ，这样x 是A 的聚点，从而
x A ∈，和假设矛盾。证毕。
正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：
【定理2.4】 设X 是距离空间，X 中的闭集具有如下性质： （1）X 及?是闭集；
（2）任意多个闭集的交是闭集；
（3）有限多个闭集的并是闭集。
注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如 11
[,1]n F n n
=-，(3,4,,)n =???，
则n F 是R 中闭集，但
3
(0,1)n n F ∞
==，(0,1)不是R 中的闭集。
2.2.2 度量空间上的连续映射
【定义2.7】 设(,)X ρ与1(,)Y ρ是两个度量空间，T 是X 到Y 的一个映射，
0x X ∈，若对0ε?>，存在0δ>，当0(,)x x ρδ<时，有10(,)Tx Tx ρε<，则称T 在
点0x 连续；若T 在中每一点0x 都连续，则称T 为X 上的连续映射。
度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射
是值域空间Y R =时，映射就是度量空间上的函数。
例2.14 设(,)X ρ是距离空间，0x 是X 上一定点，对x X ∈，0()(,)f x x x ρ=是X 到R 上的连续映射（函数）。
事实上，对,x y X ∈，由下式
00|()()||(,)(,)|(,)f y f x y x x x y x ρρρ-=-≤
即可证明是连续映射。
【定理2.5】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →，0x X ∈，则下列命题等价：（1）T 在0x 点连续；
（2）对0ε?>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)Tx B Tx ε∈； （3）对于X 中任意点列{}n x ，若0()n x x n →→∞，则0()n Tx Tx n →→∞。 证明：(1)(2)? 显然；
(2)(3)? 由于0()n x x n →→∞，对0δ>存在自然数N ，当n N >时，
0(,)n x x ρδ<，即0(,)n x B x δ∈，因此0(,)n Tx B Tx ε∈，即10(,)n Tx Tx ρε<；
(3)(1)? 反证法，若T 在0x 点不连续，则存在00ε>，使对任意0δ>，存
在x X δ∈，且0(,)x x δρδ<，但100(,)Tx Tx δρε>，特别取1
n
δ=
，(1,2,)n =???，则
有n x X ∈，01
(,)n x x n
ρ<
，但100(,)n Tx Tx ρε≥，这意味着0()n x x n →→∞，但0n T x T x →
()n →∞不成立，矛盾。证毕。
下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。
【定理2.6】 设X ，Y 是两个度量空间，T ：X Y →是一个映射，则下述命题等价：
（1）T 是连续映射；
（2）对于Y 中任何开集G ，1()T G -是X 中的开集； （3）对于Y 中任何闭集F ，1()T F -是X 中的闭集。
证明：命题(1)(2)?设10()x T G -∈，则0Tx G ∈。因G 是Y 中开集，所以
存在0ε>，使0(,)B T x G ε?，由T 在点0x 连续，所以对于上述0ε>，存在0δ>，当0(,)x B x δ∈时，有0(,)T x B T x ε∈，即00((,))(,)T B Tx B Tx G δε??，故
0(,)B x δ?1()T G -。所以0x 是1()T G -的内点，由0x 的任意性，1()T G -是开集。
命题(2)(1)?对0x X ∈，及0ε?>，取0(,)G B Tx ε=，那么1()T G -是X 中
开集，而10()x T G -∈，所以存在0δ>，使得0(,)B x δ
?1()T G -，即00((,))(,)T B x G B Tx δε?=,这说明T 在0x 点连续。由0x 的任意性知，T 在X 的每
一点都连续。
命题(2)(3)?对于任何闭集F Y ?，F 的余集c F 是开集。根据映射像也原像的性质有11()(())c c T F T F --=。
命题(3)(2)?对于任何开集G Y ?，c G 是闭集，同样11()(())c c T G T G --=。证毕。
注：关于映射的性质11()(())c c T A T A --=留作习题。 下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。
【定义2.8】 设X ，Y 是两个距离空间，T 是X Y →上的一一映射，1T -是T 的逆映射，
若T 及1T -都是连续映射，则称T 是X 到Y 上的同胚映射；若从X 到Y 上存在某一同胚映射，则称X 与Y 是同胚的。
例2.15 arctan y x =是R 到(,)22ππ-
上的同胚映射，R 与(,)22
ππ
-是同胚的。
由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。
习题2.2
1.证明闭球是闭集。
2.设X 是距离空间，A X ?，0A 表示全体内点构成的集合，称为A 的内部， 证明0A 是开集。
3.设X 是距离空间，A X ?，证明A 是闭集的充要条件是对于任意{}n x A ?，若0()n x x n →→∞，则0x A ∈。
4.证明从离散距离空间X 到任意距离空间Y 的映射T ：X Y →是连续映射。
5.设X 是一度量空间，0x ∈X ，证明0()(,)f x x x ρ=是X 上的连续函数。
6.设X 是度量空间，F X ?是一个非空闭集，对x X ∈，记作inf{(,):x y ρy ∈
}F (,)x F ρ=，证明：对任意0r >，集合{:(,)}x X x F r ρ∈<是开集。
7.设1F 与2F 是度量空间X 中的闭集，且1
2F F =?，证明存在开集1G ,2G ，
使11F G ?,22F G ?,且1
2G G =?。
8.设X 是度量空间，A X ?，若0x A '∈，证明对任意0ε>，集0(
,)A B x ε是无限集。
9.设X 是度量空间，,A B X ?,证明： （1）若A B ?，则A B ?； （2）A A =； （3）A B A B =；
（4）A B A B ?，并举例说明等号未必成立。 10.设X 是度量空间，证明：
（1）X 中每个非空闭集必为可列个开集的交； （2）X 中每个非空开集必为可列个闭集的并。
11.设X ，Y 是两个非空集合。T ：X Y →是一个映射，A X ?，证明：
11()(())c c T A T A --=。
2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性 2.
3.1 度量空间中的可分性
有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是
数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。
【定义2.9】 设X 是一度量空间，A 与B 都是X 的子集，若B A ?，则称A 在B 中稠密。
由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。
【定理2.7】 设X 是度量空间，A ，B ∈ X ，则如下说法等价： （1）A 在B 中稠密；
（2）对x B ?∈，0ε?>，存在y A ∈，使(,)x y ρε<； （3）0ε?>，有(,)x A
B B x ε∈?
；
（4）对x B ?∈，存在点列{}n x A ?，使()n x x n →→∞。
例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。
注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X 上相应的结论。
【定义2.10】 称度量空间X 是可分的，是指存在X 中一可列集A ，使A 在X 中稠密。
例2.17 欧氏空间是n R 可分的。
证明： 取12{(,,,):n i A r r r r =???是有理数(1)}i n ≤≤，则A 是可列集。对n x R ∈及0ε>，记
12(,,,)n x x x x =???，取有理数i r 满足 ||i i x r -<12(,,,)n a r r r =???，
则 a A ∈，由于
(,)x a ρε=
=
所以A 在n R 中稠密。
例2.18 连续函数空间[,]C a b 是可分的。
证明：设A 为系数是有理数的多项式组成的集合，A 为可数集。对任一连续函数f ∈[,]C a b ，由Weierstrass 定理对[,]a b 上任一连续函数f ，必存在一列多项式()n P x ∈[,],(1,2,)C a b n =???，()n p x 在[,]a b 上一致收敛于()f x 。则对0ε?>，
存在多项式()n p x 且满足(,)max{|()()|:[,]}2
n n f p f x p x x a b ερ=-∈≤,取多项式
0p A ∈，满足00(,)max{|()()|:[,]}2
n n p p p x p x x a b ε
ρ=-∈<,于是0(,)p f ρ≤0(,p ρ
)n p +(,)n p f ρε<，从A 而在[,]C a b 中稠密。
例2.19 [,](1)p L a b p ≥是可分的度量空间。
证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证[,]a b 上的有界可测函数全体[,]M a b 中稠密，例2.18中的集合A 在[,]C a b 中稠密，所以[,](1)p L a b p ≥是可分的。
下面举一个不可分度量空间的例子。
例2.19 有界数列空间l ∞，在l ∞上定义度量
1
(,)sup ||i i i a b ρξη≥=-，({},{})i i a b l ξη∞==∈
则l ∞在度量ρ下是不可分的。
证明：用反证法，若l ∞是可分的，则存在可列稠密集A 。取l ∞的一个子集
{{}:0i i B a a ζ===或1(1,2,)}i =???，B 与区间[0,1]可以通过二进制小数建立如下
对应：120.i a a a ????，该对应是一一映射，因此B 是不可数集。以A 中的所有点
为中心，13为半径的开球1
(,)()3B a a A ∈满足1(,)3a A
B a l ∞∈=。因此1(,)3a A B B a ∈?。
由于A 可数，B 不可数，所以至少存在B 中两个不同点,ξη落入某个开球
01
(,)3B a 。直接计算，显然(,)1ρξη=，但00112(,)(,)(,)333a a ρξηρξρη≤+<+=，
矛盾，故l ∞不可数。
2.3.2 度量空间中的完备性
我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy 列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy 列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。
【定义2.11】 度量空间X 中的点列{}n x 称为Cauchy 列，是指对任意0ε>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，有(,)n m x x ρε<；度量空间X 称为完备的，是指
X 中任何Cauchy 列都是收敛的。
由定义易知X 中的收敛点列是Cauchy 列。X 中的Cauchy 列若有子列收敛，则Cauchy 列也收敛。
例2.21 欧氏空间n R 是完备的。
证明：设(){}k x 是n R 中任一Cauchy 列，则对0ε?>，存在自然数N ，当
12,k k N ≥时，有12()()(,)k k x x ρε<，于是，对每个坐标所形成的数列
()()()()()12{}((,,,))(1)k k k k k i n x x x x x i n =???≤≤, 1212()()()()||(,)k k k k i i x x x x ρε-≤<
这说明(){}k i x 是Cauchy 列，因此，存在实数i x ，满足()()k i i x x k →→∞，记作12(,,,)n x x x x =???，则n x R ∈。这样有()()k x x k →→∞。
例2.22 空间[,]C a b 是完备的。
证明：设{}n f 是[,]C a b 中任一Cauchy 列，则对0ε?>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，
有(,)n m f f ρε<，即对任意[,]t a b ∈，必有|()()|n m f t f t ε-<，令m →∞，有0|()()|n f t f t ε-≤，则{}n f 一致收敛于0f 。而[,]n f a b ∈，所以0[,]f a b ∈，且
0(,)0n f f ρ→()n →∞，故[,]C a b 空间是完备的。
例2.23 l ∞空间是完备的。
证明：设{}m x 是l ∞中的Cauchy 列，其中()()()12{,,,,}m m m m n x ξξξ=??????，则对
0ε?>，存在自然数N ，当,n m N ≥时，下式成立
()()(,)||sup n m n m j j j N
x x ρξξε∈=-<
对每个j N ∈，也有()()||n m j j ξξε-<成立，这样对每个j 存在j R ξ∈，有
()()m j j m ξξ→→∞。令12{,,,,}n x ξξξ=??????，则x l ∞∈且()k x x k →→∞。
事实上，在()()||n m j j ξξε-<中令n →∞，得到对一切m N >，()||m j j ξξε-≤成立。
又因为m x l ∞∈，因而存在实数m k ，使得对所有j ，()||m j m k ξ<成立。这样就有()()||||||m m j j j j m k ξξξξε≤-+≤+。这就证明了x l ∞∈，由()||m j j ξξε-≤，可知对一切m N >，下式成立
()(,)||sup m m j j j N
x x ρξξε∈=-≤
所以()m x x m →→∞，因而l ∞是完备的。
注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如[,]C a b 按
[,]p L a b (1)p ≥空间的距离构成的度量空间是不完备的。
事实上，[,]C a b 是[,]p L a b 的子空间。在(,)a b 中取一点c ，如取2
a b
c +=
，令 ()tan(()),[,],1,2,n x t atc n t c t a b n =-∈=???
则
0,2()()0
,
,2
n a t c x t x t t c c t b
ππ?-≤
→==???<≤?
且|()|([,])2
n x t t a b π
≤
?∈，由勒贝格控制收敛定理可以证明{}n x 收敛于[,]p L a b 中
的函数0x ，因而{}n x 是Cauchy 列，而[,]n x C a b ∈，所以{}n x 是[,]C a b 中的Cauchy 列，但0x 不可能对等于一个连续函数，故{}n x 不收敛于[,]C a b 中某个元，所以
[,]C a b 作为[,]p L a b 的子空间是不完备的。
从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。
【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空
间是完备的。
证明：设S 是距离空间X 的完备子空间，设x S '∈，则存在
{},n n x S x x X ?→∈，()n →∞，因为{}n x 是收敛的，所以它是S 中一Cauchy 列，
又因为S 是完备的，所以x S ∈，即S 是闭的。
设X 是完备的距离空间，S 是X 的闭子空间，设{}n x 是S 中的Cauchy 列，则必是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故()n x x X n →∈→∞，所以x S ∈，而S 是闭的，故x S ∈，这就证明了S 是完备的。
类似于空间R 上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。
【定理2.9】 设X 是度量空间，(,)(1,2,)n n n n B B x r n ==是X 中一列以n
x 为中心，以n r 为半径的闭球，则X 是完备的充要条件是若1(1,2,)n n B B n +?=且
0(n r n →)→∞，则必有惟一点1
n n x B ∞=∈
。
证明：?对,n m N ?∈，由m n n x B +∈，知
(,)n m n n x x r ρ+≤,
由于0()n r n →→∞，从而(,)0()n m n x x n ρ+→→∞，因此，{}n x 是X 中的基本列，由于X 是完备的，所以必有0x X ∈，使0()n x x n →→∞。
再在式(2.6)中令m →∞，由距离函数的连续性得到
0(,)(1,2,)n n x x r n ρ≤=
因此0(1,2,
)n x B n ∈=，从而01
n n x B ∞=∈
。如果又有X 中点01
n n y B ∞=∈
，从而
0(,),1,2,n n y x r n ρ≤=，令n →∞，即得000(,)lim (,)0n y x y x ρρ==。所以00x y =，即
1
n n B ∞=中只有一点。
?设{}n x 是X 中的基本列，由基本列定义知，对11
(1,2,)2
k k k ε+=
=存在k n N ∈，当,k n m n ≥时，有
1
1(,)2n m k x x ρ+<
在X 中作一列闭球1
(,
),1,2,2k n k B x k =。当11
1
(,
)2k n k y B x ++∈时，由于
1
1
11111
(,)(,)(,)222k
k
k k n n n n k k k
x y x x x y ρρρ++++≤+<
+<
得知 1(,)2
k n k y B x ∈ 所以 1111(,
)(,),1,2,22k k n n k k B x B x k ++?
= 另一方面，1(,)2k n k B x 的半径1
0()2k k →→∞，则有惟一点
011
(,)2
k n k k x B x ∞=∈
从而0(,)0()k n x x k ρ→→∞，所以0(,)0()n x x n ρ→→∞。即X 是完备的。 一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的
存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。
【定义2.12】 设(,)X ρ，11(,)X ρ是两个度量空间，如果存在满影射:T X →
1X ，使得对一切,x y X ∈，都有1(,)(,)Tx Ty x y ρρ=，则称T 是X 到1X 的等距映
射，称X 与1X 是等距的。
注：等距影射一定是同胚映射。
显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。
【定理2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间X ，必存在一个完备的度量空间0X ，使得X 等距一个在0X 中稠密的子空间X '，如除去等距不计，0X 是惟一的。
由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。 例 2.24 有理数全体Q 按距离1212(,)||r r r r ρ=-所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离12(,)||r r x y ρ=-所成的距离空间；[,]P a b 是
[,]a b 上全体多项式函数，按度量12(,)max |()()|a t b
r r x t y t ρ≤≤=-所成度量空间是不完
备的，它的完备化空间是[,]C a b ；[,]C a b 按[,](1)p L a b p ≥空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是[,]p L a b 。
2.3.3 度量空间中的列紧性
在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度量空间中。例如，在[,]ππ-上的三角函数系
,,cos ,
sin ,}
t t nt t ππ
是空间2[,]L ππ-，不可能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。
【定义2.13】 设X 是度量空间，A X ?，如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于X 中某一点，则称A 为列紧集；如果A 中的每一点列都存在一个子列收敛于A 中某一点，则称A 是紧集。
由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。
例2.25 X R =，(0,1]A =，1{}A n
?，1
lim 0n n →∞=，但0A ?。因此，A 是列
紧集，但不是紧集。
由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。
例2.26 n X R =，n A R ?是有界集，则A 是列紧集。 证明：(){}k x A ?，记()()()()12{,,
}k k k k n x x x x =，由A 有界知存在0M >，使
(){}k i x ≤(1)M i n ≤≤。对个数列(){}k i x 是有界的，对()1{}k x 有子列1()1{}k x 收敛，
1()2{}k x 仍是有界的，故又存在收敛子序列2()2{}k x ，2{}k 是1{}k 的子集。依次类推，
得到自然数集的子列{}n k ，使()()()12{,,}n n n k k k n x x x 都收敛，因此(){}n k x 在n R 中收
敛，即A 为列紧集。
根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。
【定义2.14】 设X 是度量空间，A X ?是全有界的，如果对0ε?>，存在
A 中有限个点12,,,n x x x 满足1
(,)n i i A B x ε=?
。
【定理2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。
证明：设X 是度量空间，A X ?是全有界的，则对1ε=存在12{,,,}n x x x A ?，
使1
(,1)n i i A B x =?
，因此对一切x A ∈，有(1)k x k n ≤≤，使(,)1k x x ρ<，所以
1(,)(,)(,)1max (,)1n k k n k n k n
x x x x x x x x M ρρρρ≤≤≤+<+=+（M 是有限数）
故A 有界。
另一方面，若A 全有界，对1
n n
ε=
，存在有限集 ()()()12{,,
,}(1,2,)n n n n n m B x x x n ==
使()
1
1
(,)n m n i
i A B x n
=?
，
令1n n B B ∞==，则B 是可列集。任取x A ∈，存在某个1n k m ≤≤，使()n k n x B B ∈?，且()1
(,)n k x x n
ρ<
，说明B 在A 中稠密，故A 可分。 注：定理2.11逆命题不真。
【定理2.12】 如果A 是度量空间X 中的列紧集，则A 是全有界集。 证明：若A 不是全有界集，那么存在00ε>，使得A 中任意有限个点为中心，
半径为0ε的球并不能盖住A 。取1x A ∈，球10(,)B x ε不能盖住A ，于是存在2x A ∈且210(,)x B x ε?即有120(,)x x ρε≥，同样1020(,)
(,)B x B x εε也不能盖住A ，存在
3x A ∈且31020(,)
(,)x B x B x εε?，既有130(,)x x ρε≥，230(,)x x ρε≥，如此继续下
去，得到A 中点列{}n x 满足0(,)()n m x x m n ρε≥≠。可见点列n x 的任何子列均不能收敛，这与A 是列紧集矛盾。
【定理2.13】 如果X 是完备的度量空间，则A 是列紧集的充要条件是A 为全有界的。
证明：必要性由定理2.12即得。
现证充分性：设A 是全有界集，{}n x A ?，取1
(1,2,)k k k ε==，对11ε=存
在以A 中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住A ，所以必有某个球1(,1)B a 中
含有{}n x 的某子列，该子列记为(1){}n x ；取21
2
ε=，同样存在以A 中有限个点为中心，12为半径的球盖住A ，所以必有某个球21
(,)2B a 含有子列(1){}n x 的子列，
记为(2){}n x ，如此进行下去，可得子列串为(1)(2){},{},
n n x x ，其中后一个是前一
个的子列，且()1
{}(,)k n k x B a k
?。从这一个子列串中重新选择一个子列(){}n n x ，即
将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得
(1)1x (1)2x (1)3x (1)4x (2)1x (2)2x (2)3x (2)4x
线性空间与欧几里得空间
线性空间与欧几里得空间 自测题 一、填空题 1、对欧几里得空间V 中的任意向量βα，，有()βαβα≤ ，，而且等号成立当且仅当 。 2、设1W 与2W 是V 的两个线性子空间，如果1W +2W 中的每个向量α都可唯一的被表示成21ααα+=，2211W W ∈∈αα，，则称1W +1W 为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A 是正交矩阵。若k 为实数，使kA 为正交矩阵，则k 等于 。 二、选择题 6、下列n R 的子集是n R 的子空间的为（ ） A ：(){}n i Z a a a a a i n ...,3,2,1,.....,,,321=∈ B ：(){}0.....,,,21321=a a a a a a n C ：(){}R a a a a n ∈211,,0,...,0, C ：{} 1..)...,,(2222121≤+++n n a a a a a a 7、全体正实数的集合+R 对于下面定义的加法与标量乘法：k a a k a b b a ==⊕ ,构成R 上的线性空间，则+R 的零元素为（ ） A ：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A 是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k 是1±≠的整数） A:kA B:k A C:交换A 的任两行所得的矩阵 D ：把A 的某行k 倍加到另一行所得的矩阵 9、设A 是欧几里得空间V 关于基n ααα，，，...21的度量矩阵，则A 满足以下哪个条件时，n ααα，，，...21是规范正交基？ （ ） A: A 是正交矩阵 B ：A 为对称矩阵 C ：1-A 为正交矩阵 D ：A 为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间1W 与2W 的和21W W +为直和的等价命题：（ ） A ：dim ()()()()221121dim dim dim dim W W W W W W >+>+且
第二章 赋范线性空间-黎永锦
第2章 赋范线性空间 虽然不允许我们看透自然界本质的秘密, 从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设 足以解释许多现象. Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家) Schmidt E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||: ){(1 2∞<∑∞ =i i i z z 时引入记号 ||||z 来表示2 11 )(∑∞ =i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918 年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、Hahn H .（1879—1934）、Helly E .（1884—1943）和 Wiener N .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响. 2.1赋范空间的基本概念 线性空间是Peano Giuseppe 在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数, 第三组给出了空间的完备性. 定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||?是X 到R 的映射,且满足下列条件： (1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;
泛函分析题1.2完备化答案
泛函分析题1_2完备化p13 1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列 x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ) 组成的集合，在S中定义距离为 ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )， 其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离． ρ的非负性和对称性是显然的； 因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增， 故对任意a, b∈ ，有 | a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |) ≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |) ≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)， 由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式． 所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间． (2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )． 则?k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．， 因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)． 故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列． 设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S． 下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)． ?ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2． 又存在N∈ +，使得?n∈ +，当n > N时，?k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2． 此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) = ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k) < (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，x n→x ( n→∞)． 因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x． ?ε > 0，存在N∈ +，使得?m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
21 线性赋范空间
第二章 线性赋范空间与内积空间 Normed Linear Spaces and Inner Product Spaces 前面介绍了度量空间及其性质，在那里通过定义距离的概念，引入了点列的极限，这种点列极限是微积分中数列极限在抽象空间的推广．然而只有距离结构，没有代数结构的空间在应用上受到许多限制．本章通过在线性空间中定义范数来赋予线性空间上的一种特殊距离，从而将收敛的概念引入到线性空间，由此导出线性赋范空间的概念，如果这种空间的两个向量再赋予类似欧氏空间的“内积”或“点积”的概念后，便是内积空间．因此本章的主要内容就是线性赋范空间与内积空间． 2.1 线性赋范空间的定义与极限 在学习高等代数时，我们已了解到线性空间的概念，线性赋范空间，简单地说，就是给线性空间赋予范数． 定义2.1.1 线性空间 设X 为一非空集合，R 表示实数域(或为复数域C )．在X 中定义了元素的加法运算以及实数(或复数)与X 中元素的乘法运算，且满足下列条件： 1. 关于加法“+”：,xy X ?∈，u X ?∈与之对应，记为u x y =+，称u 为x 与y 的和，且具 有,,x y z X ?∈， (1) x y y x +=+ (交换律)； (2) ()()x y z x y z ++=++ (结合律)； (3) 在X 中存在唯一元素θ，使得x X ?∈，有x x θ+=，则称θ为X 中零元素； (4) x X ?∈，存在唯一元素x '∈X ，使得x +x '=θ，称x '为x 的负元素，记为x -. 2. 对X 中每个元素x 及任何实数(或复数)a ，存在元素u ∈X 与之对应，记为u =a x ，称u 为a 与x 的数乘，且满足,x y X ?∈，,λμ?∈R (或C ) (1) ()x x x λμλμ+=+ (分配律)； (2) ()x y x y λλλ+=+ (数因子的分配律)； (3) ()()x x λμλμ= (结合律)； (4) 1x x = (单位1). 则称X 按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，X 中的元素称为向量.如果数乘运算只对实数(或只对复数)有意义，则称X 是实(或复)线性空间. 满足上述加法和数承运算的性质，统称为线性运算． 我们知道，n 维欧式空间n R 是线性空间；[,]C a b 在通常加法和数乘意义下构成线性空间；n 阶实矩阵在矩阵的加法和数乘意义下构成线性空间．
13 度量空间的可分性与完备性
1.3度量空间的可分性与完备性 在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1设X是度量空间，,A B X ?，如果B中任意点x B ∈的任何邻域(,) O xδ内都含有A的点，则称A在B中稠密．若A B ?，通常称A是B的稠密子集． 注1：A在B中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1设(,) X d是度量空间，下列命题等价： (1) A在B中稠密； (2) x B ?∈，{} n x A ??，使得lim(,)0 n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A ' =，A为A的闭包，A'为A的导集(聚点集)）； (4) 任取0 δ>，有(,) x A B O xδ ∈ ?．即由以A中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B． 证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,, A B C X ?，若A在B中稠密，B在C 中稠密，则A在C中稠密． 证明由定理1.1知B A ?，C B ?，而B是包含B的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A在C中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间[,] a b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,] P a b在连续函数空间[,] C a b中稠密． 参考其它资料可知：
泛函分析中的度量空间
泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔
伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
度量空间的可分性与完备性
1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．
完备空间
完备空间 完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 例子 ?有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。 ?实数空间是完备的 ?开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。 ?令S为任一集合，S N为S中的所有序列，定义S N上序列(x n)和(y n)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。 [编辑]直观理解 直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。 [编辑]相关定理 ?任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。 ?完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。 ?若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：
?若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。 ?贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。 [编辑]完备化 [编辑]定义 对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M'（或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M'具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M'到N的一致连续函数f'使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M'在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。 以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。 对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。 [编辑]构造 类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。 对M中的任意两个柯西序列x=(x n) 和y=(y n)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = lim n d(x n,y n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L p到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价 关系）。这样，令ξx= {y是M上的柯西序列：}，M'={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M'中。易于验证，M 等距同构于M'的稠密子空间。 康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。
泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间
第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(??ρ：[)∞→?,0X X 是一个定义在直积X X ?上的二元函数，如果满足如下性质： （1） 非负性 y x y x y x X y x =?=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈ （3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈； 则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。此时，称X 按),(??ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。 注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(??ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令 1 (,)0 x y x y x y ρ≠?=?=? 显然，这样定义的),(??ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分
度量空间的可分性与完备性
度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：
11 度量空间的定义与极限
第一章 度量空间 若在实数集 R 中点列n x 的极限是x 时，我们使用||n x x -来表示n x 和x 的接近程度，事实上，||n x x -可表示为数轴上n x 和x 这两 点间的距离，那么实数集R 中点列n x 收敛于x 也就是指n x 和x 之间的距离随着n →∞而趋于0，即lim (,)0n n d x x →∞ =． 于是人们就想， 在一般的点集 X 中如果也有“距离” ，那么在点集X 中也可借这一“距离”来定义极限，而究竟什么是“距离”呢？或者说“距离”的本质是什么？ 诗人顾城的一首诗《远和近》对距离的感受又如何呢？ 远和近 你 一会看我 一会看云 我觉得 你看我时很远 你看云时很近 这首诗诗似乎是纯理性的，十分冷静，但细细品味，其中暗暗催动着一股热流：呼唤一种相互理解、相互信任、和谐融洽的人际关系．现实距离和心理距离并不总是一致的．现实距离很远，但心理距离却可能很近，“海内存知己，天涯若比邻”，即是此意．也可能现实距离很近，而心理距离却很远，所谓“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何给出距离这一概念？ 1.1 度量空间的定义与极限 1.1.1 度量空间的定义与举例 定义 1.1.1 设X 为一非空集合．若存在二元映射:d X X ?→R ，使得,,x y z X ?∈，均满足以下三个条件： （1）(,)0,d x y ≥且(,)0d x y =当且仅当x y = (非负性 Positivity )； （2）(,)(,)d x y d y x = (对称性 Symmetry )； （3）(,)(,)(,)d x z d x y d y z ≤+ (三角不等式 Triangle inequality )， 则称d 为 X 上的一个距离函数，称(,)X d 为距离空间或度量空间(Metric Spaces)，(,)d x y 称为x 和y 两点间的距离．□ 注1：在不产生误解时，(,)X d 可简记为X ． 下面我们来看一些具体的例子 例 1.1.1 欧氏空间n R ． 设 n R 12{(,,,)|,1,2, ,}n i x x x x R i n =∈=，定义 (,)d x y 其中 12(,,,),n x x x x = 12(,,,)n y y y y =n R ∈，可以验证(,)n R d 是一个度量空间． 在证明之前，引入两个重要的不等式． 引理1.1.1 (许瓦兹(Schwarz)不等式) 任给 2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有 1 12222 1 1 1 ()() n n n i i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑ (1.1) 证明 任取实数 λ，则由
可测函数空间的完备性
可测函数空间的完备性
可测函数空间的完备性 学生姓名：张权 指导老师：宋儒瑛 （太原师范学院数学系14011班 山西·太原 030012） 【内容提要】 )(X M 是定义在X 上的 Lebesgue 可测 函数全体构成的可测函数空间,若+∞<)(X m ,引入距离 dx x g x f x g x f x g x f d X ? -+-=) ()(1)()())(),((, 则d)(M(X),为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数空间d)(M(X),中,只要每一个Cauchy 函数列 {}∞=1 n n f 依测度收敛于某一可测 函数f ，则这样的空间就是完备的。 【关键词】 可测函数 度量空间 完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很
广泛的函数。特别是Lebesgue 可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在 X 上的 Lebesgue 可测函数全体构成的可测函数空 间M(X)的完备性做进一步的探讨。 一、可测函数空间d)(M(X),与度量空间 设 M(X) 为 X 上实值的可测函数全体， m 为 Lebesgue 测度，若+∞<)(X m 。对任意两个可测函数 f(x)及g(x)，由于1) ()(1) ()(<-+- x g x f x g x f 。故这是X 上的可积函数。 令dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+ -=) ()(1)()())(),(( 如果把M(X)中两个几乎 处处相等的函数视为M(X)中同一元；那么d)(M(X),按上述距离))(),((x g x f d 成为度量空间。下面验证一下： ⑴在M(X)中任取f(x)及 g(x)。dx x g x f x g x f x g x f d X ?-+- =) ()(1) ()())(),((≥0显然。若0))(),((=x g x f d ，当且仅当g(x)f(x)=，也是显然的。 ⑵ 因为 ) ()(1)()() ()(1)()(x f x g x f x g x g x f x g x f -+-= -+-，所以
度量空间和线性赋范空间
度量空间和线性赋范空间
1 第六章 度量空间和线性赋范空间 第1次课 教学内容(或课题)： §6.1 度量空间的进一步例子 目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程： 一 复习第二章度量空间的概念 设X 是个集合，若对于∈?y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =?;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈?z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量 空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21Λ=和 ()n y y y y ,,,21Λ=，规定距离为 ()y x d ,=()2 1 12??? ??-∑=n i i i y x . []b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x b t a -≤≤max . 2 l 空间 记2l ={}? ??? ??∞<=∑∞ =∞ =12 1 k k k k x x x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈2l ，定义 ()y x d ,=()2 112?? ? ??-∑∞ =i i i y x . 二 度量空间的进一步例子 例1 设X 是任意非空集合，对于∈?y x ,X ，令
13 度量空间的可分性与完备性
1、3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中,有理数处处稠密,且全体有理数就是可列的,我们称此性质为实数空间 R 的可分性.同时,实数空间R 还具有完备性,即R 中任何基本列必收敛于某实数.现在我们将 这些概念推广到一般度量空间. 1.3.1 度量空间的可分性 定义 1.3.1 设X 就是度量空间,,A B X ?,如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点,则称A 在B 中稠密.若A B ?,通常称A 就是B 的稠密子集. 注1:A 在B 中稠密并不意味着有A B ?.例如有理数在无理数中稠密;有理数也在实数中稠密.无理数在有理数中就是稠密的,无理数在实数中也就是稠密的,说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数. 定理1.3.1 设(,)X d 就是度量空间,下列命题等价: (1) A 在B 中稠密; (2) x B ?∈,{}n x A ??,使得lim (,)0n n d x x →∞ =; (3) B A ?(其中A A A '=,A 为A 的闭包,A '为A 的导集(聚点集)); (4) 任取0δ>,有(,)x A B O x δ∈?.即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆 盖B . 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得. 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 就是度量空间,,,A B C X ?,若A 在B 中稠密,B 在C 中稠密,则A 在C 中稠密. 证明 由定理1、1知B A ?,C B ?,而B 就是包含B 的最小闭集,所以B B A ??,于就是有C A ?,即A 在C 中稠密.□ 注2:利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密. 参考其它资料可知: (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密. (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得: (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞). 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???. 定义1.3.2 设X 就是度量空间,A X ?,如果存在点列{}n x A ?,且{}n x 在A 中稠密,则称 A 就是可分点集(或称可析点集).当X 本身就是可分点集时,称X 就是可分的度量空间.
距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解及其区别
距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解 及其区别 从初中开始，我们就接触到了绝对值的概念。在以往学习过的实数域中，绝对值为一个非负的标量，表示某个数到0的长度。而在学完向量的计算后我们知道，绝对值为向量的模，即向量的长度。扩展到现代数学，绝对值不止应用于实数域、向量计算，还适用于点列、函数等，由此也就引出了距离的概念。 设X 是任一集合, ,x y X ?∈，按照一定的法则确定一个函数(),d x y ，这个函数满足定义域X X ?，且满足： 1. 非负性：(),0d x y ≥，且(),=0d x y 的充要条件是x y =； 2. 对称性：()(),=,d x y d y x ； 3. 三角不等式：()()(),,,d x y d x z d z y ≤+，()z X ?∈。 则称X 为一个距离空间，(),d x y 为空间中,x y 之间的距离。 有距离空间的定义可以发现，距离空间中的距离是一个二元函数，他可以简单地理解为x 与y 之间的长度，即(),=d x y x y -。 我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛。若点列{}n x X ∈，x X ∈，则{}n x 收敛于X 可以定义为(),0n d x x →，()n →+∞。 线性空间是具有线性结构的空间，他在空间上定义了加法和数乘运算。这就表示空间中的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来。转化到图像上就是线性空间可以表示某一点的位置。有一种特殊的线性空间叫做向量空间，向量空间可以表示起始点在原点的向量。若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度，则需要引入范数的概念。范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离，引入范数的线性空间称作线性赋范空间。定义为： X 为一线性空间，x X ?∈，定义实值函数x 满足： 1. 非负性：0x ≥，且=0=0x x ?； 2. 齐次性：=x x λλ； 3. 三角函数：+x y x y ≤+。 则称x 为X 的范数，X 为线性赋范空间。 对比距离空间和线性赋范空间的定义可以发现，线性赋范空间是在距离空间的基础上增
可测函数空间的完备性
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可测函数空间的完备性 学生姓名：张权指导老师：宋儒瑛 <太原师范学院数学系14011班山西·太原 030012） 【内容提要】是定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测 函数空间,若,引入距离, 则为度量空间。在本文中，获得一个主要结论：可测函数 空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某 一可测函数，则这样的空间就是完备的。b5E2RGbCAP 【关键词】可测函数度量空间完备性 在定义积分时，对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以，可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,即其中任一满足柯西条件的序列必收敛.这条性质称为实数域的完备性,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间 的完备性做进一步的探讨。p1EanqFDPw 一、可测函数空间与度量空间 设为上实值的可测函数全体，为Lebesgue测度，若 。对任意两个可测函数及，由于。故这 是X上的可积函数。DXDiTa9E3d
令如果把中两个几乎处处相等的 函数视为中同一元；那么按上述距离成为度量空 间。下面验证一下： ⑴在中任取及。≥0显 然。若，当且仅当，也是显然的。 ⑵ 因为，所以。 ⑶ 注意函数<求导大于0）是单调上升的，那么，任取有 从而上的实值Lebesgue可测函数有 由前面知，上式两边均可积分。则 即，。所以，按构成度量空间。 二、可测函数空间的完备性 ⑴ 定义：Cauchy点列或基本点列：
3.1 赋范线性空间和Banach空间
第3章 赋范线性空间 3.1 赋范线性空间和Banach 空间 3.1.1 赋范线性空间 定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ?∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件： (1) 0≥x ; 且0=x ?=0x ； （非负性 (non-negativity)） (2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ? （或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)， 简称赋范空间(normed space). 例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。对[,]f C a b ?∈，规定 [,] max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1) 易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。对 [,]f a b ?∈L ，规定 ()d b a f f t t =?, (3.1.2) 若将在[,]a b 上满足()()f t g t ?=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足 ()0f t ? =的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而 [,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。 例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对 12(,,,)n n x x x x ?=∈R （或n C ），令 12 21n i i x x =??= ??? ∑， (3.1.3)
泛函分析题1.4线性赋范空间答案
泛函分析题1_4线性赋范空间p39 1.4.1 在2维空间 2中，对每一点z = (x, y)，令 || z ||1 = | x | + | y |；|| z ||2 = ( x 2 + y 2 )1/2；|| z ||3 = max(| x |, | y |)；|| z ||4 = ( x 4 + y 4 )1/4； (1) 求证|| · ||i( i = 1, 2, 3, 4 )都是 2的范数． (2) 画出( 2, || · ||i )( i = 1, 2, 3, 4 )各空间中单位球面图形． (3) 在 2中取定三点O = (0, 0)，A = (1, 0)，B= (0, 1)．试在上述四种不同的范数 下求出?OAB三边的长度． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． 设z = (x, y), w = (u, v)∈ 2，s = z + w= (x + u, y + v )， || z||1 + || w||1 = (| x | + | y |) + (| u | + | v |) = (| x | + | u |) + (| y | + | v |) ≥ | x + u | + | y + v | = || z+ w||1． ( || z||2 + || w||2 )2 = ( ( x 2 + y 2 )1/2 + ( u 2 + v 2 )1/2 )2 = ( x 2 + y 2 ) + ( u 2 + v 2 ) + 2(( x 2 + y 2 )( u 2 + v 2 ))1/2 ≥ ( x 2 + u 2 ) + ( y 2 + v 2 ) + 2( x u+ y v ) = ( x + u )2 + ( y + v)2 = ( || z+ w||2 )2． 故|| z||2 + || w||2 ≥ || z+ w||2． || z||3 + || w||3 = max(| x |, | y |) + max(| u |, | v |) ≥ max(| x | + | u |, | y | + | v |) ≥ max(| x + u |, | y + v |) = || z+ w||3． || ·||4我没辙了，没找到简单的办法验证，权且用我们以前学的Minkowski不等式(离散的情况，用H?lder不等式的离散情况来证明)，可直接得到． (2) 不画图了，大家自己画吧． (3) OA = (1, 0)，OB = (0, 1)，AB = (- 1, 1)，直接计算它们的范数： || OA||1 = 1，|| OB||1 = 1，|| AB||1 = 2； || OA||2 = 1，|| OB||2 = 1，|| AB||2 = 21/2； || OA||3 = 1，|| OB||3 = 1，|| AB||3 = 1； || OA||4 = 1，|| OB||4 = 1，|| AB||4 = 21/4． 1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．?x∈c[0, 1]，令 || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证： (1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的． 证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式． || x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}． || x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1} ≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||． 所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数． (2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足 (i) a1 = 1；