标题-2017-2018学年高中数学三维设计苏教版必修5：第三章 3.4 基本不等式

基本不等式

[新知初探]

1．重要不等式

当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式

(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，把ab 称为正

数a ，b 的几何平均数．

(2)基本不等式定义：如果a ，b 是正数，那么ab ≤

a ＋b

2

，当且仅当a ＝b 时取“＝”． (3)变形：ab ≤????a ＋b 22≤a 2

＋b

2

2，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．

[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠

a ＋

b 2，即只能有ab ＜a ＋b

2

. 预习课本P96～102，思考并完成以下问题

3．设x ，y 为正实数

(1)若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 2

4.

(2)若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .

[小试身手]

1．若x >0，则x ＋4

x 的最小值为________． 解析：∵x >0，∴x ＋4

x ≥4.

答案：4

2．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值是________． 解析：∵x ，y ∈(0，＋∞)，则1＝x ＋4y ≥4xy ，即xy ≤116，当且仅当x ＝12，y ＝18

时等号成立．

答案：

116

3．实数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则3x ＋9y 的最小值是________． 解析：利用基本不等式可得 3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x

＋2y

.

∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，

当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝1

2时取等号．

答案：6

4．给出下面结论： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋

1

sin x

≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ； ③若x ∈R ，则????x ＋4

x ≥4. 其中正确结论的序号是________．

解析：①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]，所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；③????x ＋4x ＝|x |＋???

?4

x ≥2|x |·???

?4x ＝4成立． 答案：①③

[典例] (1)已知m ＝a ＋1

a －2

(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．

(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1

2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系

是________．

[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1

a －2

＋2，所以m ≥2(a －2)·1

a －2

＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知

m >n .

(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝1

2

(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；

Q ＝1

2(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab

所以P

[答案] (1)m >n (2)P

[活学活用]

已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的 大小．

解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以 a 2＋b 2≥2

2(a ＋b )， 同理 b 2＋c 2≥

2

2

(b ＋c ), c 2＋a 2≥

2

2

(c ＋a )， 所以

a 2＋

b 2＋b 2＋

c 2＋c 2＋a 2≥

2

2

[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.

[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c

3c ≥3.

[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数，

∴2b a ＋a

2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，

3c a ＋a

3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b

3c

≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)， 将上述三式相加得????2b a ＋a 2b ＋????3c a ＋a 3c ＋????

3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号 成立)，

∴????2b a ＋a 2b －1＋????3c a ＋a 3c －1＋????3c 2b ＋2b

3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)， 即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c

3c

≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．

[活学活用]

已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1， 求证：????1a －1????1b －1????

1c －1≥8.

证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1

a －1＝1－a a ＝

b ＋

c a ≥2bc a . 同理，1

b －1≥2a

c b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，

相乘得????1a －1????1b －1????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13

时，取等号.

[典例] (1)(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9

y ＝1，求x ＋y 的最小值．

[解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，

因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·????2x ＋3y 22

＝16·????622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，

即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.

(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·????1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x

y ＋10，

又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9x

y

＋10≥2y x ·9x

y

＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x

y ，即y ＝3x 时，等号成立．

由?????

y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，

得?????

x ＝4，y ＝12，

即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.

[活学活用]

(1)已知0

3，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．

(2)已知x >54，求函数y ＝4x －2＋1

4x －5的最小值．

解：(1)∵0

3，

∴1－3x >0.

∴y ＝x (1－3x )＝1

3·3x (1－3x )

≤13????3x ＋(1－3x )22＝112，

当且仅当x ＝16时，函数y ＝x (1－3x )取得最大值112.

(2)∵x >5

4，∴4x －5>0.

∴y ＝4x －2＋1

4x －5

＝4x －5＋1

4x －5

＋3 ≥2

(4x －5)·1

4x －5

＋3＝5.

当且仅当4x －5＝

1

4x －5

， 即x ＝3

2

时取等号．

∴当x ＝3

2

时，y 取最小值为5.

[典例] 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？

(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，

由基本不等式得

3 200≥240x×90y＋20xy

＝120xy＋20xy

＝120S＋20S.

所以S＋6S－160≤0，即(S－10)(S＋16)≤0，

故S≤10，从而S≤100，

所以S的最大允许值是100平方米，

(2)取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，

求得x＝15，即铁栅的长是15米．

[活学活用]

某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

解析：每台机器运转x年的年平均利润为y

x＝18－?

?

?

?

x＋

25

x，而x>0，故

y

x≤18－225

＝8，

当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：58

层级一学业水平达标

1．设x>0，则y＝3－3x－1

x的最大值是________．

解析：y＝3－3x－1

x＝3－?

?

?

?

3x＋

1

x≤3－23x·

1

x＝3－23，当且仅当3x＝

1

x，即x＝

3

3

时取等号．

答案：3－2 3

2．若2x ＋y ＝4，则4x ＋2y 的最小值为________．

解析：4x ＋2y ＝22x ＋2y ≥222x ·2y ＝222x ＋

y ＝224＝8.当且仅当2x ＝y ＝2，即x ＝1，y

＝2时等号成立．

答案：8

3．若对于任意x >0，x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

解析：

x x 2

＋3x ＋1

＝13＋x ＋1x

，因为x >0，所以x ＋1

x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，

则

1

3＋x ＋

1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为1

5， 故a ≥15.

答案：a ≥1

5

4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两次费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．

解析：设仓库与车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1

x ，y 2＝k 2x .

∴2＝k 110，8＝k 2·10.∴k 1＝20，k 2＝45.

∴y ＝20x ＋45x .

∵20x ＋45

x ≥220x ·4

5

x ＝8， 当且仅当20x ＝4

5x ，即x ＝5时取等号．

∴x ＝5千米时，y 取得最小值． 答案：5

5．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．

解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4.

答案：4

6．若02ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以四个数中最大的数应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又因为0

所以a (a －1)<0，b (b －1)<0，所以a 2＋b 2－(a ＋b )<0，即a 2＋b 2

答案：a ＋b

7．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1

b ≥n 2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为________．

解析：因为a >0，b >0，由题知2a ＋1b ≥n 2a ＋b ，即????2a ＋1b ·(2a ＋b )≥n ，又????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝4＋

2b a ＋2a

b

＋1＝5＋????2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2a

b

＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立，故n ≤9.故n 的最大值为9.

答案：9

8．已知x >0，y >0，且2x ＋1

y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：∵x >0，y >0且2x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·????2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y

≥4＋24y x ·x

y

＝8，当且仅当4y x ＝x

y ，即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4

答案：(－4,2)

9．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：????1＋1a ????1＋1

b ≥9. 证明：法一：因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1

b ＝2＋a b ， 故????1＋1a ????1＋1

b ＝????2＋b a ????2＋a b ＝5＋2????b a ＋a b ≥5＋4＝9.

所以????1＋1a ????1＋1b ≥9???

?当且仅当a ＝b ＝1

2时取等号. 法二：????1＋1a ????1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，

所以ab ≤????a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2

ab ≥8，

因此????1＋1a ???

?1＋1

b ≥1＋8＝9 ???

?当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.

10．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研

究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．

(1)试用x 表示S ；

(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值． 解：(1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63

.

则总面积S ＝????1 800x －4·a ＋2a ????1 800x －6 ＝a ????5 400

x －16＝x －63????5 400x －16 ＝1 832－????

10 800x ＋16x 3，

即S ＝1 832－????10 800x ＋16x 3(x >0)． (2)由S ＝1 832－????10 800x ＋16x 3， 得S ≤1 832－2

10 800x ·16x

3＝1 832－2×240＝1 352.

当且仅当10 800x ＝16x

3

，此时，x ＝45.

即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．

层级二 应试能力达标

1．已知函数f (x )＝4x ＋a

x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.

解析：由基本不等式性质，f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在4x ＝a x ，即x 2＝a

4时取得最小值，

由于x >0，a >0，再根据已知可得a

4

＝32，故a ＝36.

答案：36

2．已知a >0，且b >0，若2a ＋b ＝4，则1

ab 的最小值为________． 解析：由题中条件知，1ab ＝44ab ＝2a ＋b 4ab ＝12b ＋1

4a ≥2

12b ·1

4a

，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立，故1a 2b 2≥4·12b ·14a ，即1ab ≥1

2

.

答案：1

2

3．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋1

3y

的最小值是________．

解析：因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋1

3y ＝????1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝1

6

时，取等号．

答案：4

4．已知x >1，则函数y ＝x ＋9x

x －1的值域为________．

解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x ＋9x x －1＝x ＋9x －9＋9x －1＝x ＋9＋9x －1＝x －1＋9x －1

＋10≥2

x －1·9x －1＋10＝16，当且仅当x －1＝9

x －1

，即x ＝4时，y 取最小值16，∴函数y

＝x ＋9x

x －1

的值域为[16，＋∞)．

答案：[16，＋∞)

5．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________．

解析：由题知，1y ＋3x ＝5，即15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·1＝(3x ＋4y )·????15y ＋35x ＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ＝135＋????3x 5y ＋12y 5x ，因为x ，y >0，由基本不等式得135＋3x 5y ＋12y 5x ≥13

5＋236

25

＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝1

2

时等号成立．

答案：5

6．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．

解析：依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32·????2x ＋y 22，得5

8(2x ＋y )2≤1，即

|2x ＋y |≤

210

5

. 当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 取最大值2105

. 答案：

210

5

7．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1>0，x 2>0，比较1

2[f (x 1)＋f (x 2)]与f ????x 1＋x 22的大小，并加以证明．

证明：∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ????x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，

又∵x 1>0，x 2>0，∴x 1x 2≤???x 1＋x 222

， ∴lg(x 1x 2)≤lg ????x 1＋x 222， ∴1

2lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即1

2(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴1

2[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ????x 1＋x 22. 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．

8．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝????x ＋1x ????y ＋1

y 的最小值．

解：z ＝????x ＋1x ????y ＋1y ＝xy ＋1xy ＋y x ＋x y ＝xy ＋1xy ＋(x ＋y )2

－2xy xy ＝2

xy ＋xy －2，令t ＝xy ，则0

t 有最小值334，所以当x ＝y ＝12时，z 有最小值25

4

.

(时间120分钟 满分160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．不等式x 2<1的解集为________．

解析：x 2<1，则－1

2．若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4>0的解集为{x |－1

m .

∴m ＝－2. 答案：－2

3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为??????x ??

x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为_____． 解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为??????

x ??

x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x ＋

1)·????x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·????10x －12<0，即10x <12

，x <－lg 2. 答案：{x |x <－lg 2}

4．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．

解析：根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则

????? a >0，a ＋1≤0无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则?

????

a ≤0，a ＋1>0，所以－1

答案：(－1,0]

5．已知x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，1x ＋4

y 的最小值为16，则n 的值为________．

解析：因为x >0，y >0，n >0，nx ＋y ＝1，

所以1x ＋4

y ＝(nx ＋y )????1x ＋4y ＝n ＋4＋y x ＋4nx y ＝n ＋4＋2y x ·4nx

y ＝n ＋4＋4n ，当且仅当

y ＝2nx 时取等号．所以n ＋4＋4n ＝16，解得n ＝4.

答案：4

6．在条件????

?

0≤x ≤2，0≤y ≤2，

x －y ≥1.

下，z ＝(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．

解析：由约束条件作出可行域如图．目标函数表示点(x ，y )与点M (1,1)的距离的开方．由图可知，z 的最小值为点M 与直线x －y ＝1的距离的平方．即z min ＝

?

?????|1－1－1|22＝12.

z 的最大值为点M (1,1)与点B (2,0)的距离的平方： 即z max ＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为????12，2. 答案：????12，2

7．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1

b ，则m ＋n 的最小值是________．

解析：∵a ，b 的等比中项是1，∴ab ＝1. ∴1a ＝b ，1

b ＝a ，又a >0，b >0， ∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，

当且仅且a ＝b ＝1时取等号． ∴m ＋n 的最小值是4. 答案：4

8．已知a >0，b >0，则1a ＋1

b ＋2ab 的最小值是________． 解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1

b ＋2ab ≥2

1ab ＋2ab ＝2

ab ＋2ab ≥22

ab

·2ab ＝4. (当且仅当a ＝b 时取等号) 答案：4

9．某校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 满足约束条件????

?

2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该校

招聘的教师最多是________名．

解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直

线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ∈N ，y ∈N ，所以当平移到经过该平面区域内的整点(5,5)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时x ＋y 取得最大值，x ＋y 的最大值是10.

答案：10

10．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．

解析：由x 2

＋y 2

＋xy ＝1，得(x ＋y )2

－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2

－1≤(x ＋y )24.所以3

4

(x ＋y )2≤1，

故－233≤x ＋y ≤233.当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233

.

答案：

23

3

11．函数f (x )＝

2x ＋1

4x 2＋1

(x >0)的最大值为________． 解析：令t ＝2x ＋1(t >1)， 原式＝t t 2－2t ＋2

＝1

t ＋2t －2

①，

因为t ＋2

t ≥22(当且仅当t ＝2取等号)，

所以①式≤1

22－2＝2＋12，故函数f (x )的最大值为2＋12.

答案：

2＋1

2

12.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩

形花园(阴影部分), 则其边长x 为______(m)．

解析：设矩形宽为y ，由三角形相似得：x 40＝40－y

40，且x >0，y >0，x <40，y <40?40＝

x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝20时，矩形的面积S ＝xy 取最大值400.

答案：20

13．已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．

解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3

b ＝1,2a ＋3b ＝(2a ＋3b )????2a ＋3b ＝13＋6????b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a

b

，即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值为25.

答案：25

二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)解不等式组?????

3x －2x －6≤1，

2x 2－x －1>0. 解：3x －2x －6≤1?2x ＋4

x －6≤0?x ∈[－2,6)，

2x 2－x －1>0?(2x ＋1)(x －1)>0 ?x ∈?

???－∞，－1

2∪(1，＋∞)， 所以，原不等式组的解为x ∈????－2，－1

2∪(1,6)． 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6， (1)当a ＝5时，解不等式f (x )<0；

(2)若不等式f (x )>0的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6， 由f (x )<0，得x 2＋5x ＋6<0.

即(x ＋2)(x ＋3)<0. ∴－3

(2)若不等式f (x )>0的解集为R ， 则有Δ＝a 2－4×6<0， 解得－26

所以实数a 的取值范围是(－26，26)．

17．(本小题满分14分)若x ，y 满足约束条件????

?

x ＋y ≥1，x －y ≥－1，

2x －y ≤2.

(1)求目标函数z ＝12x －y ＋1

2

的最值；

(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平

移初始直线12x －y ＋1

2＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大

值1.

所以z 的最大值为1，最小值为－2.

(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a

2

<2，解得－4

18．(本小题满分16分)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形

薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD (AB >AD )为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB ′交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能．

(1)设AB ＝x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1)由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x . 因x >2－x ，故1

因△ADP ≌△CB ′P ，故PA ＝PC ＝x －y . 由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2， 化简得y ＝2???

?1－1

x ，1

?x ＋2

x ≤3－22，

当且仅当x ＝2∈(1,2)时，S 1取得最大值．

答：当薄板长为2米，宽为2－2米时，节能效果最好．

19．(本小题满分16分)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，

则由题意得

????

?

x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.

目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y . 二元一次不等式组等价于 ????

?

x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，

如图：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．

联立?

????

x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.解得x ＝100，y ＝200.即点M 的坐标为(100,200)，

所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

20．(本小题满分16分)已知不等式x 2－4x ＋3<0的解集是A ， (1)求集合A .

(2)函数f (x )＝log 2(a －x )(a ∈R)的定义域为集合B ，若A ?B 求a 的取值范围． (3)不等式ax 2－2x －2a >0(a ∈R 且a ≠0)的解集为C ，若A ∩C ≠?，求a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4x ＋3<0得， (x －1)(x －3)<0. ∴1

(2)由f (x )＝log 2(a －x )得，a －x >0， ∴x

若A ?B ，则a ≥3，即a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)设g (x )＝ax 2－2x －2a ，

①当a >0时，若A ∩C ≠?，则g (3)>0， ∴9a －6－2a >0.∴a >6

7

.

②当a <0时，若A ∩C ≠?，则g (1)>0. ∴a －2－2a >0.∴a <－2.

综上：a 的取值范围是(－∞，－2)∪????67，＋∞.

2019-2020年高二数学必修3 苏教版

2019-2020年高二数学必修3 苏教版 教学目标： 1、理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平。初步了解如何动用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性利税学。感受统计不仅是列表、画图的低层次的工作，而且是一门具有高度科学性的理论与实际相结合的学科。 2、掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的方法。 3、通过对数据的分析与估计，培养学生的理性思维能力。 教学重点：利用平均数和组中值对样本数据进行分析和估计。 教学难点：最小二乘法的思维过程的理解。 教学过程： 课堂引入： 在2.2节中，我们通过列频率分布表、画频率分布直方图、条形图、折线图、密度曲线和茎叶图来对数据从分布规律角度进行分析和估计，发现数据的规律。从本节起，我们利用上节的相同背景问题，从不同的角度提取数量规律进行分析和估计。 我们从天气预报中常见的“月平均气温”、“年平均气温”等概念，对某季篮球联赛中队员得分情况统计，也常利用“平均得分”，成绩统计中，也利用 “平均分”等，都涉及到“平均数”的概念。 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征，这些数字都能为我们提供关于样本数据的特征信息。 学生思考：在频率直方图中，众数是指最高矩形的中点的横坐标，中位数是指样本数据中累积频率为0.5时所对应的样本数据值，平均数是指样本数据的算术平均数。 定义：能反映总体某种特征的量称为总体特征数 思考：怎样通过抽样的方法，用样本的特征数估计总体的特征数呢？ 新课讲授 §2.3.1平均数及其估计 课本P50页引例： 我们可以计算7月25日至8月10日平均气温为34.02度，8月8日至8月24日的平均气 温为30.02度。 学生自学、讨论课本引例，教师引导，适当提示分析最小二乘法的思维过程。注意以下两点： （1）n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的和简记为 ∑=n i i a 1 ； （2）n a a a a n +++= ......21称为这n 个实数a 1，a 2，a 3，……，a n 的平均数或均值。（算术 平均数） 例1：教师在电脑上用EXCEL 展示数据，并直接用EXCEL 中的函数“AVERAGE ”计算给定数据的平均数。 学生练习：课本P66页第3题

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

苏教版高一数学必修1综合复习试题

高一数学必修1综合复习试题 一、填空题 1．集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(?R B )＝ ． 2．已知函数20()10x x f x x x ?=?->?，≤，，，若1()2f a =，则实数a = ． 3．方程)2(log )12(log 255-=+x x 的解集为 ． 4．函数23 )(-=x x f 的定义域为 ． 5．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()2f x x x =-，则0x <时，函数()f x 的表达式为()f x = ． 6．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为 ． 7．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()2(x f x f -=+则)6(f =_________. 8．若2()2(1)2f x ax a x =+-+在(3,3)-为单调函数，则a 的取值范围是 ． 9 ．函数y 的单调递减区间为 ． 10．函数)86lg()(2++-=a ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 11．若关于x 的方程a a x -+= 523)43(有负实数解，则实数a 的取值范围为 ． 12．如果函数()223f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3，最小值2，则m 的范围是 ．

13．已知定义域为()(),00,-∞+∞U 的偶函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则 不等式()0x f x ?>的解集为 ． 14．不等式012 ≥+-ax x 对所有]2,1[∈x 都成立，则实数a 的取值范围 ． 二、解答题 15．设集合{}2|lg(2)A x y x x ==--，集合{}|3||B y y x ==-． ⑴ 求B A ?和A B U ； ⑵ 若{}|40C x x p =+<，C A ?，求实数p 的取值范围． 16．计算下列各式的值： （1）3212833)21() 32(??? ??--+-- ； (2) 2lg 2lg3111lg 0.36lg823 +++．

高中数学必修5第三章不等式练习题

高中数学必修5第三章不等式题组训练 [基础训练A 组] 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522>-+-x x ，则221442 -++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋ 1 1+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 4 3≤x ≤2} B ．{x| 4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤4 3} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2 ＋y 2 =1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值 4 3 C ．最小值 4 3而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组?? ?->-≥3 2x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式 0212 <-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(2 2x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,12 2 N n n n n n n g n n ∈= -- =-+?,用不等号 连结起来为____________.

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

苏教版高中数学必修4—第一学期期末文科测试

开始输入x f(x)>g(x) h(x)=f(x)h(x)=g(x) 输出h(x)结束 是否 第4题图 2014—2015学年第一学期期末文科数学测试 参考公式：回归直线的方程是：a bx y +=?， 其中1 2 2 1 ?,;n i i i i i n i i x y nx y b a y bx y x x nx ==-= =--∑∑g g 其中是与对应的回归估计值. 一、选择题 1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ?≠?，则实数m 的值为（） A ．3或1-B ．3C ．3或3-D ．1- 2．若直线1ax by +=与圆2 2 1x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是() A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.不能确定 3．若函数()y f x =的反函数是2x y =，则(2)f =() A.4B.2C.1D.0 4.如图所示的算法流程图中,若2 ()2,()x f x g x x ==则(3) h 的值 等于（） A.8 B.9 C.1- D.1 5．若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的左焦点重合，则p 的值为（） A.－2 B.2 C.－4 D.4

6.在ABC V 中，已知2cos c a B =，()()a b c b c a +++-3bc =，则ABC V 是() A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.无法判断 商店名称 A B C D E 销售额x (千万元) 3 5 6 7 9 利润额y (百万元) 2 3 3 4 5 根据此表可得回归直线方程为 A.0.50.4y x =+ B.0.41y x =+ C.28.6y x =- D.8.655y x =-+ 8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（） A ．),31 (+∞B ．]31,(-∞C ．),31[+∞D ．)3 1,(-∞ 9.函数2 ()2f x x x =--在[]55x ∈-，内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是(). A ． 110 B ． 23 C ． 310 D ． 45 10．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生 产成本为2 1()2202 C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业 一个月应生产该商品数量为() A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件 D ．9万件 二、填空题 11.设单位向量12,e e u r u u r 的夹角为120°，向量1222,a e e b e =+=-r u r u u r r u u r ，则a b =r r g _______ 12.下列命题不是真命题的是_________________ ①平行六面体一定是直棱柱； ②一个边长为2的等边三角形的直观图的面积为64 ； ③空间三点确定一个平面； ④若//,,l l m αβαβ?=I ，则//l m ； ⑤若,,,l m l n m n α⊥⊥?，则l α⊥. 13.已知0,0x y >>，若 22832y x m m x y +>+-恒成立，则实数m 的取值范围是 ；

高一数学必修5第三章知识点

第三章：不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式24b ac ? =- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ ()0a >的图象 一元二次方程2 0ax bx c ++= ()0a >的根 有两个相异实数根 1,22b x a -= ()12x x < 有两个相等实数根 122b x x a ==- 没有实数根 一元二次不等式的解集 20ax bx c ++> ()0a > {} 1 2 x x x x x <>或 2b x x a ??≠-???? R 20ax bx c ++< ()0a > {}1 2x x x x << ? ? 5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组． 7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合． 8、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．

【2020年】2020年苏教版高中数学必修二(全册)同步练习汇总

【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全 册）同步练习汇总 第1章立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 A级基础巩固 1．下列图中属于棱柱的有()

A．2个B．3个 C．4个D．5个 解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱柱． 答案：C 2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线() A．20条B．15条 C．12条D．10条 解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)． 答案：D 3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为()

解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．答案：A 4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)． ①所有的棱都相等； ②至少有两个面的形状完全相同； ③相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是侧棱． 答案：② 5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为棱柱底面的有________对．

解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作为棱柱底面的只有1对． 答案：4 1 6．下列说法正确的是________(填序号)． ①底面是正方形的棱锥是正四棱锥； ②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； ④正四面体是正三棱锥． 解析：根据定义判定． 答案：④ 7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个． 解析：从长方体中寻找四棱锥模型． 答案：4 8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各

人教版高中数学必修5期末测试题

期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n

苏教版本高中高一数学必修一学习知识点归纳总结计划.doc

教版高一数学必修一知点 【一】 一、集合及其表示 1、集合的含： “集合” 个首先我想到的是上体育或者开会老常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和个意思是一的，只不一个是一个是名而已。 所以集合的含是：某些指定的象集在一起就成一个集合，称集，其中每一个 象叫元素。比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称个集合的元素。 2、集合的表示 通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a， b ，c}。 a、 b、 c 就是集合 A 中的元素，作a∈ A，相反， d 不属于集合A，作 dA 。 有一些特殊的集合需要： 非整数集 (即自然数集 )N 正整数集N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 数集 R 集合的表示方法：列法与描述法。 ①列法： {a,b,c ??} ② 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。如{xR|x-3>2},{x|x-3>2} ，{(x,y)|y=x2+1} ③言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 例：不等式 x-3>2 的解集是 {xR|x-3>2} 或 {x|x- 3>2} ：描述法表示集合注意集合的代表元素 A={(x,y)|y=x2+3x+2} 与 B={y|y=x2+3x+2} 不同。集合 A 中是数元素(x，y)，集合 B 中只有元素y。 3、集合的三个特性 (1)无序性 B={2,1}，集合A=B。 指集合中的元素排列没有序，如集合A={1,2}，集合 例：集合A={1,2}，B={a,b}，若 A=B，求 a、 b 的。 解：，A=B 注意：有两解。 (2)互异性 指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示{2} (3)确定性 集合的确定性是指成集合的元素的性必明确，不允有模棱两可、含混不清的情况。 二、集合的基本关系 1.子集， A 包含于 B，：，有两种可能 (1)A 是 B 的一部分， (2)A 与 B 是同一集合， A=B， A、B 两集合中元素都相同。 反之 :集合 A 不包含于集合B,作。 如：集合 A={1,2,3} ，B={1,2,3,4}， C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示，，B=C。A是 C 的子集，同 A 也是 C 的真子集。 2.真子集 :如果 AB, 且 AB 那就集合 A 是集合 B 的真子集，作 AB(或BA)

最新高中数学必修5第三章测试题含答案

高中数学必修5第三章测试题 一、 选择题 1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) A .a ＞b ?a －c ＞b －c B.a ＞b ?ac ＞bc C.a ＞b ?a 2＞b 2 D. a ＞b ?ac 2＞bc 2 2．不等式02<-+y x 表示的平面区域在直线20x y +-=的（ ） A.右上方 B.左上方 C.右下方 D .左下方 3．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) A .{x |x ＞－1，或x ＜－4} B.{x |－4＜x ＜－1} C.{x |x ＞4，或x ＜1} D. {x |1＜x ＜4} 4．设集合{}20<≤=x x M ，集合{ } 0322 <--=x x x N ，则集合N M ?等于（ ）。 A.{}10≤≤x x B .{}20<≤x x C.{}10<≤x x D. {} 20≤≤x x 5．函数2 41x y -= 的定义域是( ) A .{x |－2＜x ＜2} B.{x |－2≤x ≤2} C.{x |x ＞2，或x ＜－2} D. {x |x ≥2，或x ≤－2} 6．二次不等式2 0ax bx c ++> 的解集是全体实数的条件是（ ）. A ．00a >???>? B ．00a >???? D ．00a --x x 的解集是（ ） A.{}32>0，若x ＋ 81 x 的值最小，则x 为（ ）. A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．18 10．已知2 2 π π αβ- ≤<≤ ，则 2 αβ -的范围是（ ）. A ．(,0)2π- B ．[,0]2π- C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 11．在直角坐标系中,满足不等式x 2-y 2 ≥0的点(x,y )的集合(用阴影部分来表示)是( )B

苏教版高中数学必修三高一参考答案

兴化市板桥高级中学2009-2010学年度第二学期期中学情检测 高一数学参考答案 1、90 2、2,1-==b a 3、0 4、-2 5、),1(),(+∞?-∞a a 6、ο307、18、25 9、3 39210、311、112、直角 13、32 312214、③ 15、解：（1）()[]()21cos cos cos - =+-=+-=B A B A C π∴C ＝120° （2）由题设：???=+=322b a ab ? -+=?-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322 222=-=-+=++=ab b a ab b a 10=∴AB 16、(1)因为x>0,y>0,且2x+y=1 所以

12121x y x y ??+=+? ???()122x y x y ??=++ ??? 44y x x y =++ 448≥+=+= 4112,,42y x y x x y ==上式中，等号当且仅当 即也即x=y=时成立 min 128x y ??∴+= ??? （2） ( )()()( )( )2 2min ,,23 302 3 ,3a+b 22260 1 121 a b R a b ab a b ab a b a b R a b a b ab a b a b a b a b a b ++∈++=-++∴=>∴+<∈+≥-++??≥= ???∴+++-≥∴+≥== ∴+=因为且而当时，有 即上式中等号当且仅当时成立 17、 45451530453015sin sin 1000sin 30sin15sin15cos 7541000100010005001 sin 30sin 302 o o o o o o o o o o o o o ABS SBC BSA AS BS ABS BAS BS BS ?∠=-∠=-=∠=-=∴=∠∠∴=∴=?=?=?=在ABS 中，

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高中数学苏教版必修4三角恒等变换练习题

第三章 三角恒等变换 § 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一．选择题 1、sin750= （ ） Ａ、14 2、tan170+tan280+tan170tan280 = （ ） Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、 3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ） Ａ、6π- Ｂ、3π- Ｃ、6π Ｄ、3 π 4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ） Ａ、 34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74 π 5、1tan 751tan 75+- ＝ （ ） Ｃ、 Ｄ、* 6、在△ABC 中，若0

11、已知tan(4π+x )= 1 2 ，求tan x 12、化简2cos10sin 20cos20- 13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513 ，求sin (α+β)的值。 * 14、已知α、β为锐角，sin α= 8,17cos(α-β)=21 29 ，求cos β. 3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式

2017-2018学年新苏教版高中数学必修1全册教案

苏教版高中数学必修1 全册教案

目录 1.1集合的含义及其表示 (1) 1.2子集、全集、补集（1） (4) 1.2子集、全集、补集（2） (7) 1.3交集、并集 (9) 2.1.1函数的概念和图象（1） (12) 2.1.1函数的概念和图象（2） (15) 2.1.2函数的表示方法（1） (17) 2.1.2函数的表示方法（2） (20) 2.2函数的简单性质（1） (23) 2.2函数的简单性质（2） (25) 2.2函数的简单性质（3） (28) 2.2函数的简单性质（4） (31) 2.3映射的概念 (34) 3.1.1分数指数幂（1） (37) 3.1.1分数指数幂（2） (40) 3.1.2指数函数（1） (43) 3.1.2指数函数（2） (46) 3.1.2指数函数（3） (49) 3.2.1对数（1） (52) 3.2.1对数（2） (55) 3.2.2对数函数（1） (57) 3.2.2对数函数（2） (59) 3.2.2对数函数（3） (61) 3.3幂函数 (63) 3.4.1函数与方程（1） (65) 3.4.1函数与方程（2） (68) 3.4.1函数与方程（3） (70) 3.4.2函数模型及其应用（1） (72) 3.4.2函数模型及其应用（2） (75) 3.4.2函数模型及其应用（3） (78)

1.1集合的含义及其表示 教学目标： 1．使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法； 2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义； 3．使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合． 教学重点： 集合的含义及表示方法． 教学过程： 一、问题情境 1．情境． 新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级． 2．问题． 在介绍的过程中，常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、 “女生”等概念，这些概念与“学生×××”相比，它们有什么共同的 特征？ 二、学生活动 1．介绍自己； 2．列举生活中的集合实例； 3．分析、概括各集合实例的共同特征． 三、数学建构 1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的 ．．．、确定的 ．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素． 2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于?． 3．集合的表示方法：列举法 描述法 图示法 个体与群体 群体是由个体 组成 自然语言描述如{15的正整数约数} 数学语言描述规范格式为{x|p(x)}

人教版高二数学必修五学案(全套)

加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B =

苏教版数学高一必修四模块综合检测

(时间：120分钟；满分：160分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．cos ??? ?－17π 3＝__________. 解析：cos ????－17π3＝cos ????－6π＋π3＝cos π3＝12. 答案：12 2．已知????12sin 2θ ＜1，则θ所在的象限为__________． 解析：∵????12sin 2θ ＜1＝????120， ∴sin 2θ＞0， ∴2k π＜2θ＜2k π＋π(k ∈Z )， ∴θ表示第一或第三象限的角． 答案：第一或第三象限 3．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么a ·b 的值为__________． 解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×4×cos120°＝16×(－1 2 )＝－8. 答案：－8 4．已知sin α＋cos α＝－52，则tan α＋1 tan α的值为__________． 解析：∵sin α＋cos α＝－52，∴1＋2sin αcos α＝54，∴sin αcos α＝18.∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos α sin α ＝ 1 sin αcos α ＝8. 答案：8 5．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 解析：|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×????－1 2＝49，∴|5a －b |＝7. 答案：7 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 )的图象如图所示，则y 的表达式为 __________． 解析：由T 2＝2π3－π6，求出周期T ＝π，ω＝2，然后可求得φ＝π 6 . 答案：y ＝2sin(2x ＋π 6 )

高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

高中数学苏教版教材目录(必修+选修)

苏教版 -----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合 1.1集合的含义及其表示 1.2子集、全集、补集 1.3交集、并集 第2章函数 2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法 2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性 2.3映射的概念 第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数 3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数 3.3幂函数 3.4函数的应用3. 4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用 -----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步 1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法 1.2点、线、面之间的位置关系1. 2.1平面的基本性质 1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线 1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直 1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直 1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步 2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式 3.一般式 2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离 2.1.6点到直线的距离 2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2. 3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离 -----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步 1.1算法的意义 1.2流程图1. 2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构 1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句 1.3.4循环语句 1.4算法案例 第2章统计 2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法 2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样 2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2. 3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差 2.4线性回归方程 第3章概率 3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 3.4互斥事件 -----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数 1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制 1.2任意角的三角函数1. 2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系 1.2.3三角函数的诱导公式 1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质 1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用 第2章平面向量 2.1向量的概念及表示 2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘 2.3向量的坐标表示2. 3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算 2.4向量的数量积 2.5向量的应用 第3章三角恒等变换 3.1两角和与差的三角函数 3.1.1两角和与差的余弦 3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式 -----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理 1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章数列 2．1数列 2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式 2.2.3等差数列的前n项和 2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式 2.3.3等比数列的前n项和 第3章不等式